Содержание к диссертации
Введение
1 Кинетические уравнения для жестких цветных частиц 28
1.1 Интеграл столкновений Балеску-Ленарда для классической кварковой плазмы 28
1.1.1 Исходные уравнения 28
1.1.2 Усреднение микроскопических уравнений 32
1.1.3 Спектральные плотности флуктуации 36
1.1.4 Связь с квантовой кинетической теорией 40
1.1.5 Случай 5/(Зс)-группы 43
1.2 Интеграл столкновений Балеску-Ленарда для кварковой плазмы с учетом спина 46
1.2.1 Одновременной оператор Вигнера 46
1.2.2 Спинорная декомпозиция 48
1.2.3 Усреднение операторных уравнений 53
1.2.4 Спектральная плотность флуктуации источника 56
1.2.5 Интеграл столкновений 60
1.2.6 Переход к физическим функциям распределения 64
1.3 Кинетические уравнения для глюонов с учетом спина в приближении среднего поля 67
1.3.1 Оператор Вигнера
1.3.2 Поляризационное разложение 70
1.3.3 Приближение абелевой доминантности 75
1.3.4 Глюонный ток 78
Нелинейное затухание Ландау мягких возбуждений кварк-глюонной плазмы 81
2.1 Индуцированное рассеяние мягких глюонных возбуждений КГП 82
2.1.1 Приближение случайных фаз 82
2.1.2 Наведенный цветной ток 86
2.1.3 Кинетическое уравнение для продольных возбуждений КГП 94
2.1.4 HTL-функции. Калибровочная инвариантность 101
2.1.5 Физические механизмы нелинейного рассеяния плазмонов107
2.1.6 Связь с HTL-приближениєм 114
2.1.7 Оценка "уЦО). Зависимость от калибровочного параметра 117
2.2 Индуцированное рассеяние мягких кварковых возбуждений КГП 125
2.2.1 Уравнения Блайзота-Янку. Линейное приближение наведенного источника Г] 125
2.2.2 Второе и третье приближение наведенного источника г] 133
2.2.3 Согласованность с калибровочной симметрией. Характерные амплитуды мягких полей 138
2.2.4 Обобщенное кинетическое уравнение для мягких ферми-возбуждений КГП 144
2.2.5 Система кинетических уравнений для плазминов и плаз-монов 147
2.2.6 Калибровочная инвариантность ImT(q, к). Декремент нелинейного затухания Ландау для плазмино 156
2.2.7 Перекачка энергии мягких возбуждений по спектру 164
2.2.8 Декремент затухания плазмино в покое 168
2.2.9 Особенности на световом конусе. Уточненные уравнения Блайзота-Янку 174
3 Кинетические уравнения больцмановского типа для мягких бесцветных и цветных глюонных возбуждений КГП 180
3.1 Предварительные замечания 181
3.2 Принцип соответствия Цытовича 186
3.3 Уравнения Больцмана для четырехплазмонного распадного процесса 194
3.4 Характерные амплитуды мягкого глюонного поля 200
3.5 Матричные элементы для (2n + 2)-плазмонных распадов 204
3.6 Калибровочная инвариантность эффективных амплитуд 212
3.7 Уравнение Власова-Больцмана для цветных плазмонов 214
4 Процессы индуцированного рассеяния мягких глюонных возбуждений высшего порядка 223
4.1 Предварительные замечания 224
4.2 Процесс нелинейного затухания Ландау 228
4.3 Высшие коэффициентные функции 236
4.4 Характерные амплитуды мягкого глюонного поля 245
4.5 Калибровочная инвариантность матричных элементов 251
5 Потери энергии быстрого цветного партона в КГП в приближении жестких температурных петель 257
5.1 Исходные уравнения 258
5.2 Потери энергии, порождаемые процессом рассеяния на бесцветных плазмонах 266
5.3 Внедиагональный вклад в потери энергии 276
5.4 Уравнение Фоккера-Планка для пучка быстрых партонов 280
Заключение 287
- Кинетические уравнения для глюонов с учетом спина в приближении среднего поля
- Согласованность с калибровочной симметрией. Характерные амплитуды мягких полей
- Уравнения Больцмана для четырехплазмонного распадного процесса
- Характерные амплитуды мягкого глюонного поля
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из фундаментальных проблем физики высоких энергий является изучение свойств сильно взаимодействующей материи при экстремальных условиях высокой плотности энергии > 2 —ЗГэВ/Фм3. Повышенный интерес в этой области связан, в первую очередь, с проводимыми в настоящее время интенсивными экспериментами по столкновениям ультрарелятивистских тяжелых ядер на Relativistic Heavy Ion Collider (BNL), а также планируемыми в ближайшие годы экспериментами при еще ббльших энергиях на Large Hadron Collider (CERN). Квантовая хромодинамика (КХД) на решетке предсказывает, что в условиях, которые осуществляются при столкновении тяжелых ядер, сильно взаимодействующая материя совершает фазовый переход от состояния адронных составляющих к плазме несвязных кварков и глюонов: кварк-глюонной плазме (КГП) - нового состояния материи. Образовавшаяся в результате столкновения КГП первоначально находится в существенно неравновесном состоянии, которое затем начинает совершать переход в равновесное состояние, далее охлаждаться и ад-ронизироваться. Кинетические уравнения являются одним из основных инструментов для исследования такой неравновесной эволюции.
Краеугольным камнем в построении кинетических уравнений для горячей кварк-глюонной плазмы является разделение импульсной шкалы возбуждений КГП на мягкую и жесткую. Физическим обоснованием такого разделения является тот факт, что мягкие коллективные возбуждения хорошо отделены (при малом значении постоянной сильного взаимодействия д) от характерной энергии конституентов среды - жестких возбуждений КГП. Соответственно этому определяется два типа кинетических уравнений: для жестких частиц - кварков, антикварков и жестких поперечных глюонов и для мягких коллективных мод как бозе-, так и ферми-типа. Наибольшие усилия теоретиков были направлены на получение и анализ первого типа уравнений. Здесь главные результаты были получены в работах U. Heinz, J. Winter, H.-Th. Elze, M. Gyulassy, D. Vasak, St. Mrdwczynski, D. Bodeker, J.-P. Blaizot, E. Iancu, C.B. Epo-хина, A.B. Прозоркевича, C.A. Смолянского, В.Д. Тонеева и др.. Однако
Г'.'JС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I
БИБЛИОТЕКА [
j СПетервург дьц \
ОЭ ШЯлшя/ІЛ I
11 т *
для сильно неравновесного состояния КГП (в котором она находится в первые моменты времени ее образования), когда характерное время релаксации распределения жестких частиц соизмеримо с характерным временем релаксации мягких колебаний, для полноты описания неравновесной эволюции, наряду с кинетическими уравнениями для жестких термальных партонов, необходимо использовать кинетические уравнения для мягких мод КГП, которые учитывали бы как процессы нелинейного взаимодействия мягких возбуждений с термальными частицами, так и друг с другом. Мощным инструментом вывода данного типа уравнений для кварк-глюонной плазмы служат идеи и методы, которые были заложены в работах Б.Б. Кадомцева, В.И. Петвиашвили, В.Н. Цытовича, В.П. Силина, В.В. Пустовалова, А.А. Галеева, Р.З. Сагдеева, В.И. Кар-пмана, В.Е. Захарова и др. при создании теории слабой турбулентности обычной электрон-ионной плазмы.
Одним из важнейших приложений методов и подходов, развитых при построении кинетической теории КГП, является задача вычисления потерь энергии быстрым цветозаряженным партоном, проходящим через горячую КХД материю. Исследование потерь энергии цветных частиц в КГП представляет в настоящее время значительный интерес в связи с явлением подавления струй, которое уже наблюдается в экспериментах на коллайдере RHIC.
За последние два десятилетия усилиями ряда авторов (J.D. Bjorken, Е. Braaten, М.Н. Thoma, М. Gyulassy, X.-N. Wang, R. Baier, Yu.L. Dokshitzer, A.H. Mueller, D. Schiff, U.A. Wiedemann, Б.Г. Захаров, И.П. Лохтин, A.M. Снигирёв и др.) были изучены несколько возможных механизмов потерь энергии, а именно: (а) потери, обусловленные упругими столкновениями с конституентами среды, (б) поляризационные потери или потери, порождаемые столкновениями на больших расстояниях, (в) радиационные потери. Было показано, что первые два типа потерь энергии дают слишком малый вклад в подавление струй (dEei/dx <0.5 ГэВ/Фм) по сравнению с динамическими потерями в вакууме (dEd[dx~l—2ГэВ/Фм), связанными с фрагментацией струи в адроны, в то время, как наведенные радиационные потери энергии оказались достаточно большими, чтобы
проявить себя в подавлении струй в столкновениях тяжелых ядер. По этой причине теоретические изучения потерь энергии партонов в КГП были сосредоточены на глюонном тормозном излучении.
Однако, как показали экспериментальные данные (RHIC), эти традиционные подходы имеют некоторые трудности в объяснении существенно более сильного, чем ожидалось, подавления струй, что является мощным стимулом как для более детального анализа уже изученных механизмов потерь энергии или их альтернативных формулировок, так и для поиска новых. Одним из таких дополнительных механизмов могут служить потери энергии, связанные со спонтанным рассеянием быстрого партона на мягких глюонных возбуждениях КГП, частным и наиболее простым случаем которого являются поляризационные потери. При достаточно высоком уровне плазменных возбуждений (сильно турбулентной КГП), который можно ожидать при столкновении ультрарелятивистских тяжелых ионов, данный тип потерь энергии становится одного порядка по константе сильного взаимодействия со столкновительными и радиационными потерями и поэтому требует отдельного изучения.
Цели работы. Развитие теоретических методов построения интегралов столкновения типа Балеску-Ленарда для жестких (анти)кварков и жестких поперечных глюонов с учетом цветовых и спиновых эффектов. Разработка последовательной процедуры вывода кинетических уравнений, описывающих поведение бесцветных и цветных мягких коллективных возбуждений кварк-глюонной плазмы с бозе- и ферми-квантовыми числами. Применение развитой кинетической теории кварк-глюонной плазмы к задаче вычисления потерь энергии быстрыми цветными частицами.
Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы классической неравновесной статистической физики; методы теории слабой турбулентности обычной плазмы применительно к кварк-глюонной плазме; эффективная пертурбативная теория Браатена-Писарского для горячей КХД плазмы (приближение жестких темпера-
турных петель); методы общей теории потерь энергии быстрыми заряженными частицами в плазменной среде.
Научная новизна.
Впервые получены столкновитсльные интегралы типа Балеску-Лена-рда для классической и квазиклассичсской моделей кварковой плазмы, учитывающие цветовую и спиновую степень свободы частиц.
Впервые выведена самосогласованная система квазиклассических кинетических уравнений типа Власова для жестких поперечных глю-онов с учетом их частично поляризованного состояния.
Впервые построены кинетические уравнения для мягких глюонных и кварковых возбуждений КГП, описывающие нелинейный процесс рассеяния произвольного числа мягких возбуждений на жестких термальных частицах среды. Впервые получены явные выражения для декрементов нелинейного затухания Ландау бесцветных плаз-монов и плазминов, и доказана их калибровочная инвариантность.
Впервые получено кинетическое уравнение больцмановского типа, описывающее процесс упругого рассеяния произвольного числа мягких бесцветных глюонных возбуждений друг на друге, без обмена энергией с жесткими термальными составляющими кварк-глюонной плазмы. Предложена итерационная процедура вычисления калибро-вочно-инвариантных матричных элементов данных высших процессов рассеяния.
Впервые получено полное выражение для потерь энергии быстрой цветной частицы при её прохождении через КГП в приближении жестких температурных петель, обусловленных процессом спонтанного рассеяния на мягких глюонных возбуждениях. Обнаружен новый эффект сильной анизотропности в угловом распределении потерь энергии, что может проявиться в характерном распределении конечных адронов после процесса охлаждения и адронизации КГП.
Впервые построено кинетическое уравнения типа Фоккера-Планка в квазиклассичсском приближении, описывающее процессы торможения (ускорения) и диффузии в импульсном пространстве пучка (струи) быстрых цветных партонов, распространяющихся в КГП. Получено выражение для изменения энергии цветной частицы пучка, учитывающее процессы индуцированного рассеяния на мягких возбуждениях неабелевой плазмы и эффект комптоновского ускорения, что является важным в полном балансе потерь энергии.
Научная и практическая ценность. Проведенное теоретическое исследование продемонстрировало эффективность методов классической неравновесной статистической физики, методов теории слабой турбулентности и эффективной пертурбативной теории Браатена-Писарского горячей КХД среды в построении кинетической теории, описывающей неравновесную эволюцию такого сложного состояния, каким является кварк-глюонная плазма. Развитая кинетическая теория жестких частиц и мягких возбуждений КГП использована для изучения распространения высоко-энергичных партонов (струй) через горячую КХД среду, что имеет исключительно важное значение в проблеме диагностики кварк-глюонной плазмы в современных экспериментах по столкновениям ультрарелятивистских тяжелых ядер на коллайдерах RHIC (BNL) и LHC (CERN).
Личный вклад автора. Диссертация обобщает результаты исследований, проведенных в соавторстве. В большинстве работ, выполненных в соавторстве, автору принадлежит основной вклад в постановке задач и разработке методов их решения. Часть исследований проведена при поддержке грантов, где автор являлся руководителем. Автором проведены анализ и обобщение результатов исследований, определены отличительные особенности и место развитого подхода в указанной проблематике.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Метод построения столкновитсльного интеграла типа Балсску-Лена-рда для (квази)классичсской модели кварковой плазмы с учетом как цветовой, так и спиновой степени свободы жестких термальных кварков и антикварков. Вывод квазиклассического кинетического уравнения для жестких поперечных глюонов в приближении среднего поля с учётом их частично поляризованного состояния.
-
Подход к исследованию нелинейных процессов рассеяния бесцветных и цветных мягких глюонных возбуждений КГП на жестких термальных частицах. Основой подхода является построение кинетического уравнения для мягких глюонных мод (плазмонов) и итерационная процедура вычисления матричных элементов для высших процессов рассеяния плазмонов на конституентах КГП.
-
Подход к построению системы кинетических уравнений, описывающей процесс рассеяния мягких кварковых возбуждений КГП на жестких термальных частицах на основе полной системы исходных динамических уравнений Блайзота-Янку. Полученная система кинетических уравнений позволила предсказать и детально проанализировать новый физический эффект: возможность перекачки энергии мягких возбуждений КГП от бозонной ветви колебаний к фермион-ной и обратно.
-
Метод вывода кинетического уравнения типа Больцмана, учитывающего распадные процессы с участием произвольного (четного) числа бесцветных плазмонов. При этом предложена итерационная процедура вычисления калибровочно-инвариантных матричных элементов для высших распадных процессов.
-
Замкнутое выражение для углового распределения потерь энергии быстрым цветозаряженным партоном, пересекающим неравновесную КГП, обусловленных спонтанным рассеянием на мягких глюонных возбуждениях, и выражения для полных (интегральных) потерь энергии в лидирующем порядке по константе взаимодействия.
Апробация работы. Все основные результаты докладывались и обсуждались: на семинаре "Физика адронов" ОИЯИ, Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, на международном семинаре "Workshop on the Physics of the Quark-Gluon Plasma" (Ecole Polytechnique, Paris, 2001), на международной конференции по квантовым проблемам (Дубна, 2003), на семинарах и зимних школах ИГУ (Иркутск), на семинарах и конференциях ИДСТУ СО РАН (Иркутск).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ в отечественных и зарубежных изданиях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложения и списка литературы из 202 наименований. Объем работы составляет 327 страниц.
Кинетические уравнения для глюонов с учетом спина в приближении среднего поля
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложения, списка литературы и содержит 327 страниц и 16 рисунков. Список литературы включает 202 наименования.
Первая глава, состоящая из трех разделов, посвящена выводу кинетических уравнений для жёстких возбуждений кварк-глюонной плазмы: жёстких кварков, антикварков и жёстких поперечных глюонов. В первом разделе, на основе расширения фазового пространства, построен интеграл столкновений (ИС) типа Балеску-Ленарда для классической модели кварковой плазмы, учитывающий динамическое экранирование. Во втором разделе, с использованием предложенного автором одновременного оператора Вигнера для кварков и антикварков, дан вывод квантового ИС и найден его квазиклассический предел. Данный подход позволил учесть в транспортном уравнении, кроме цветовой степени свободы (анти)кварков, также спиновую степень свободы, что, в частности, проявляется в появлении специфических для неабелевой плазмы спин-цветовых членов. В третьем разделе, на основе двухвременного оператора Вигнера для жестких поперечных глюонов, получена система квазиклассических кинетических уравнений типа Власова с учётом их частично поляризованного состояния. Определено явное выражение для ковариантно-сохраняющегося, в силу данной системы, цветного глюонного тока с учётом спин-цветовых членов.
Во второй главе, состоящей из двух разделов, рассмотрено построение кинетических уравнений для мягких возбуждений КГП, описывающих процесс нелинейного затухания Ландау. В первом разделе, с помощью квазиклассических кинетических уравнений для жестких мод (глава 1) и уравнения Янга-Миллса, получено кинетическое уравнение, связанное с процессом резонансного взаимодействия двух мягких продольных глюонных волн (плаз-монов) с жёстким термальным партоном среды. Данный процесс известен как процесс нелинейного затухания Ландау. Детально проанализированы физические механизмы данного процесса нелинейного взаимодействия, вычислена его вероятность и на основе эффективных тождеств Уорда доказана её калибровочная инвариантность. Второй раздел данной главы представляет собой распространение полученных результатов на кварковый сектор мягких возбуждений КГП. На основе анализа полученной в данном разделе системы кинетических уравнений предсказывается существование нового эффекта: возможности перекачки энергии плазменных возбуждений от бозонной ветви колебаний к фермионной и обратно. Определены кинематические условия, при которых происходит тот или иной процесс перекачки. Рассмотрена конусная особенность в декременте затухания кварковой моды колебаний, для устранения которой в работе предложены улучшенные исходные динамические уравнения Блайзота-Янку.
В третьей главе, на основе чисто калибровочного сектора системы кинетических уравнений Блайзота-Янку, выведено кинетическое уравнение Больц-мана, учитывающее, так называемые, распадные процессы с участием произвольного (чётного) числа бесцветных плазмонов. Показано, что вычисление матричных элементов данных распадных процессов может быть сведено к вычислению некоторого эффективного тока, представляющего собой функциональное разложение по степеням свободного калибровочного поля. Наиболее оригинальным моментом здесь является предложенная итерационная процедура вычисления матричных элементов для высших распадных процессов. С использованием эффективных тождеств Уорда рассмотрен вопрос калибровочной инвариантности данных матричных элементов. Рассмотрено также обобщение уравнения Больцмана на физически более интересный (и значительно более сложный) случай цветных плазмонов, учитывающее такой чисто неабелев эффект, как прецессию цветного заряда плазмона во внешнем или самосогласованном цветном поле. Показано, что данное уравнение в линейном приближении по возмущению плотности числа продольных колебаний ковариантно сохраняет цветной ток, порождённый цветными плазмонами.
-26 Четвертая глава диссертации представляет собой распространение полученных результатов первого раздела второй главы на случай резонансного взаимодействия произвольного (чётного) числа бесцветных плазмонов с жесткой термальной частицей КГП. С использованием, так называемого, принципа соответствия Цытовича установлена связь между матричными элементами данных процессов рассеяния и некоторым эффективным током, порождающим эти процессы. Новой интересной особенностью здесь является появление классических однопетлевых поправок к изучаемым процессам. Предложена их физическая интерпретация. Определено предельное значение плотности числа бесцветных плазмонов iV (режим насыщения), при котором процессы резонансного взаимодействия с участием произвольного (чётного) числа плазмонов дают вклад одного порядка в правую часть уравнения Больцмана, определяющего динамику изменения iV со временем. Несомненным преимуществом представленного в данной главе подхода является его практически автоматическое обобщение на случай участия в процессе рассеяния произвольного числа тестовых цветных частиц, что позволит в дальнейших исследованиях учесть более тонкие физические эффекты, связанные с перерассеянием жёстких партонов друг на друге, тормозным излучением мягких глюонных возбуждений и т.п..
Пятая глава посвящена приложению развитой квазиклассической кинетической теории к такой важной физической задаче, как вычисление потерь энергии быстрым цветным партоном (или пучком быстрых партонов), проходящим через неравновесную КГП. Показано, что в случае предельного значения плотности числа плазмонов ( 1/р2) потери энергии, связанные с процессом спонтанного рассеяния энергичного цветозаряженного партона на мягких возбуждениях, являются того же порядка по д, что и другие известные типы потерь: столкновительные и радиационные. Оригинальным результатом является вывод углового распределения энергетических потерь. При анализе углового распределения в работе было показано, что существуют определённые выделенные направления относительно скорости быстрого партона, вдоль которых преимущественно происходит переизлучение вторичных плаз-монов (плазмонные струи). Данная анизотропность в угловом распределении потерь энергии может проявиться в характерном распределении адронов после охлаждения КГП и, таким образом, быть вполне наблюдаемым экспериментальным фактом. Построено также уравнение типа Фоккера-Планка, описывающее диффузию и торможение пучка быстрых цветных частиц в КГП, обусловленные эффектами спонтанного и индуцированного рассеяния на мягких глюонных возбуждениях.
В Заключении кратко перечислены основные моменты представленного в работе подхода и намечены возможные пути их дальнейшего обобщения и развития.
В Приложении приведены вычисление тензорной структуры оператора Вигнера для глюонов Г да в квазиклассическом пределе; определение явного вида базисных векторов поляризаций е± и е± как функции скорости жёсткого термального глюона; вывод формулы интенсивности излучения (бесцветных) плазмонов цветным зарядом, колеблющимся в поле плазменной волны; декомпозиция свёртки HTL-ресуммированной вершины между квар-ковой парой и глюоном с импульсом плазмона Ркг; вывод уточнённых динамических уравнений Блайзота-Янку. Результаты, изложенные в настоящей диссертации, опубликованы в работах [161]-[173].
Согласованность с калибровочной симметрией. Характерные амплитуды мягких полей
Дополняя уравнения (1.100) и (1.101) соответствующими сопряженными уравнениями (с учетом правила сопряжения (1.99)), получаем систему уравнений, которую по аналогии с кварковыми кинетическими уравнениями [29] можно также назвать "линейной"версией квантовых кинетических уравнений для глюонов. В дальнейшем ограничимся подробным изучением лишь квазиклассического приближения этих уравнений, предполагая при этом, что выполнены все необходимые условия для справедливости данного приближения исследуемой нами системы (см. например, [28] и замечание в конце данного пункта).
Подставляя (1.102) в (1.100), (1.101) и соответствующие сопряженные уравнения, приравнивая члены при нулевом и первом порядке по h, получаем следующую систему квазиклассических операторных уравнений (так как в дальнейшем будем работать только с этим приближением, индекс "0" будем для простоты записи опускать)
Уравнения первого порядка, следующие из (1.101) и сопряженного к нему уравнения, здесь не приводятся, так как в дальнейшем они нам не понадобятся. Последние члены в системе (1.104), содержащие ток, впервые были рассмотрены в работе А.В. Селихова [11]. Их наличие обеспечивает ковари-антное сохранение цветного тока.
Относительно квазиклассического разложения квантовых кинетических уравнений для глюонов необходимо сделать следующее замечание. В правые части (1.100), (1.101) входят члены вида ехрЛ = exp(i/2hdpV). При разложении их в ряд Тейлора по Ть мы сталкиваемся с затруднением, связанным с присутствием в операторе V (x) = д% — гр/7і[Лм, ] члена с 1/7г, что не позволяет выполнить разложение в ряд по h прямым образом, без каких-либо модификаций. На это обстоятельство впервые было обращено внимание в работе [29], где предложено решение данной проблемы. Для этой цели используется калибровка Фока-Швингера, позволяющая заменить ковариантную производную Vх (х) на обычную д и тем самым выполнить квазиклассическое разложение обычным образом с последующим восстановлением калибровочной свободы. Использование такой процедуры в нашем случае приводит в конечном счете к тем же самым уравнениям (1.103), (1.104).
Анализ полученных уравнений начнем с системы линейных алгебраических уравнений (1.103). Эти уравнения полностью определяют тензорную струк-туру Гм„дст по векторным индексам.
Свертывая второе уравнение в (1.103) с 4-импульсом yf и учитывая первое, получаем Условие (1.105) представляет собой уравнение массовой поверхности в классическом пределе при h — 0. Для определения вида Г ха, удовлетворяющего равенствам (1.103), используем следующие соображения. Величина V xa содержит информацию как об энергетических (калибровочно-ковариантный оператор Вигнера (1.98) связан с потоком энергии-импульса глюонов, а не с плотностью числа частиц как в кварковом случае [25]), так и о поляризационных свойствах глюонов. Как известно, для описания наиболее общего, частично поляризованного состояния глюона (фотона) вводят, так называемую, поляризационную матрицу плотности [181]. Чтобы включить в единую схему описания с помощью матрицы плотности энергетические характеристики глюонов в КГП, мы откажемся от условия ее нормировки, что приводит к следующему определению - операторы, средние значения которых имеют смысл фазовых плотностей четырех соответствующих параметров Стокса [182] (а не трех, как в [181]), полностью характеризующих энергетические и поляризационные свойства глюонов в КГП.
Ясно, что связь Г дст с /5МА должна быть линейной и вся зависимость Т Ха от переменной х должна определяться только через fg и г-. С учетом антисимметричности TpvXo по перестановке индексов р, и г/, Л и а ищем эту связь в виде где фуо- - некоторые неизвестные функции импульса р. Подставляя последнее выражение в (1.103) и учитывая (1.107), получаем следующие уравнения на
Простейшее, нетривиальное решение этой системы, с учетом (1.105), имеет вид: iffu, = PpPv и таким образом, Условие сопряжения (1.99) приводит к требованию эрмитовости операторов U и ІІ.
Несмотря на достаточно простой вид, найденное выражение (1.108), тем не менее, является единственным, удовлетворяющим соотношениям (1.103). Доказательство этого утверждения приводится в Приложении А. Процедуру получения искомых кинетических уравнений для глюонов с учетом спина удобно разбить на два этапа. Получим сначала квазиклассическое операторное транспортное уравнение на матрицу Q = (д а ), которая вводится по определению [181]
Уравнения Больцмана для четырехплазмонного распадного процесса
Нетрудно убедиться, что из функций i и з невозможно составить величины, удовлетворяющей ковариантному условию непрерывности (1.117), что говорит об отсутствии какого-либо вклада во флуктуационный цветной ток линейно поляризованной части глюонов и что, фактически, означает отсутствие какого-либо влияния данного типа поляризации на динамику КГП. Однако здесь интересно отметить, что если в уравнениях (1.116) на i и з в правых частях отбросить члены с током, то из этих функций можно составить бесцветное (синглетное) выражение, а именно, s (x) = fd pp Tr l + f) удовлетворяющее обычному условию непрерывности d s 1 = 0.
Таким образом, в выбранном нами квазиклассическом, бесстолкновитель-ном приближении спиновые свойства глюонов проявляются лишь в связи уравнений на функцию распределения fg с уравнениями на функцию 2, связанную с круговой поляризацией, и в определении флуктуационного цветного тока. Эта связь имеет чисто неабелево происхождение, что было нами явно показано на примере приближения абелевой доминантности.
В этой главе изучается наиболее простой процесс нелинейного взаимодействия мягких возбуждений КГП с жесткими цветными частицами - процесс нелинейного затухания Ландау. В первом разделе на основе квазиклассических кинетических уравнений для кварк-глюонной плазмы и уравнения Янга-Миллса получено кинетическое уравнение для продольных возбуждений КГП (плазмонов), описывающее эффект индуцированного рассеяния плазмонов на жестких частицах. На основе эффективных тождеств Уорда доказана калибровочная инвариантность найденного декремента нелинейного затухания Ландау для плазмонов. Во втором разделе, исходя из динамических уравнений Блайзота-Янку, уравнений Дирака и Янга-Миллса, развита регулярная процедура вывода кинетических уравнений для мягких ферми- и бозе-возбуждений КГП. Проведена классификация типов нелинейного взаимодействия волн с различной статистикой и приведена система согласованных кинетических уравнений для плазминов и плазмонов. Найдено калибровочно-ивариантное выражение для декремента нелинейного затухания Ландау плазмина и проведено его сравнение с декрементом затухания, полученным на основе техники ресуммирования Браатен-Писарского [69]. Результаты этой главы основаны на работах [166]-[169], [171].
Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь исходные уравнения, которые были приведены в предыдущей главе. Тензор напряженности поля Fpv = F ta (1.50) подчиняется уравнению Янга-Миллса в ковариантной калибровке
Здесь X = (Xo,X) - пространственно-временная переменная исходной динамической системы (обозначение для 4-координаты х — (, х) мы сохраним для кинетических уравнений мягких возбуждений). В выражении для тока (2.1) N/ обозначает число типов безмассовых кварков. Функции распределения кварков /+, антикварков /_ и глюонов fg являются, соответственно, iVc х Nc и (N% — 1) х (N% — 1) - эрмитовыми матрицами в цветовом пространстве и удовлетворяют динамическим уравнениям, которые в квазиклассическом пределе имеют вид (первое уравнение в системе (1.96) и первое уравнение в системе (1.116), в которых отброшены спиновые члены) где ковариантные производные DM и Х м, введенные в предыдущей главе, действуют следующим образом Ац, Т определены как Ац = Aa Ta Till/ = F vTa, Здесь мы пренебрегаем спиновой степенью свободы частиц КГП, которую, однако, несложно учесть в данном приближении на уровне исходных уравнений для функций распределений (2.3), используя полные системы (1.96) и (1.116). Наше рассмотрение начнем с динамических, обратимых уравнений (2.3). Разобьем функции распределения f± и fg на две части - регулярную и случайную (турбулентную) где () обозначает усреднение по статистическому ансамблю. Таким статистическим ансамблем являются начальные значения параметров, характеризующие коллективные степени свободы кварк-глюонной плазмы. Для почти линейных коллективных движений, рассматриваемых ниже, это могут быть начальные значения фаз колебаний. По определению положим также Далее регулярную часть поля А будем считать равной нулю. Условие, при котором выполняется последнее предположение, будет рассмотрено более подробно в пункте 2.2.3 следующего раздела для ситуации, более общей чем здесь.
Характерные амплитуды мягкого глюонного поля
Вычитая (2.72) из (2.71), мы приходим к аналогичному выражению (2.70). Таким образом, нами показано, что, по крайней мере, в классе ковариантной и Ло-калибровок декремент нелинейного затухания Ландау (2.55) (точнее, его часть, независящая от калибровочного параметра) калибровочно инвариантен.
Необходимо отметить следующее обстоятельство. Несмотря на то, что мы ограничили свое внимание двумя конкретными калибровками, анализ, проведенный выше, может быть выполнен без труда для произвольной линейной калибровки, которая не нарушает симметрию системы относительно вращения (в системе покоя плазмы) [189]. После подобных вычислений придем к аналогичному выражению (2.70).
В пункте 2.1.3 нами было получено выражение декремента нелинейного затухания Ландау 7 (к) для бозе-возбуждений кварк-глюонной плазмы, которое в следующем пункте было переписано в терминах HTL-функций (уравнение (2.55)). Преобразуем теперь его к форме, позволяющей более четко выяснить физический смысл членов, входящих в нелинейный декремент затухания. Впервые преобразование такого типа было использовано для электрон-ионной плазмы [60, 61]. В [60, 61] учитывался вклад только с продольным виртуальным колебанием. Здесь обобщается преобразование подобного рода на случай, когда присутствует также вклад с поперечным виртуальным колебанием, что, как было показано в пункте 2.1.4, важно для обеспечения калибровочной инвариантности 7 (к)- В силу калибровочной инвариантности декремента нелинейного затухания Ландау мы выбираем для простоты AQ - калибровку.
Как уже упоминалось в пункте 2.1.3, выражение 7 (к) содержит вклады двух различных процессов. Первый известен как процесс индуцированного рассеяния продольных волн частицами КГП [55], [60]-[64] его можно ин о терпретировать как процесс поглощения частицами плазмона с частотой и волновым вектором к с последующим излучением с частотой ші и волновым вектором ki. Наличие спектральной плотности энергии продольных колебаний W в качестве общего множителя в правой части кинетического уравнения для волн (2.52) отражает тот факт, что процесс индуцированный. Этот процесс определяется вторым членом справа под знаком мнимой части в (2.55). Частоты и волновые векторы падающего плазмона и плазмона излучения удовлетворяют закону сохранения (2.51). Второй процесс представляет собой одновременное испускание (или поглощение) двух плазмонов с частотами и, Ш\ и волновыми векторами к, кі, для которых выполняется закон сохранения вида и определяется третьим членом под знаком мнимой части в (2.55). В отличие от предыдущего процесса рассеяния, данный процесс не сохраняет число плазмонов и происходит с гораздо меньшей вероятностью. Первый член в (2.55), связанный с HTL-поправкой к 4-глюонной вершине, включает в себя оба процесса. В дальнейшем все члены, пропорциональные -функции от (2.73), будем отбрасывать, оставляя только члены с (2.51).
Рассмотрим сначала выражение с ST . С учетом вышесказанного и в силу определения (2.56), вклад в 7 (к) от данного члена можно представить в виде Для выяснения физического смысла вклада (2.74), удобно сопоставить его с соответствующим вкладом в теории абелевой плазмы, где, как показано в работе [60], он описывает томсоновское рассеяние волны и на частицах КГП: волна и заставляет колебаться частицы плазмы, а колеблющиеся частицы излучают дипольно волну ш\. Соответствующая функция гу (к, ki) представляет собой вероятность данного рассеяния. В кварк-глюонной плазме для мягких длинноволновых возбуждений все абелевы вклады подавляются по константе взаимодействия д в сравнении с неабелевыми, и основной механизм рассеяния здесь качественно другой (далее мы кратко его опишем, отнеся детали вычисления в Приложение С).
Для выявления этого механизма используем классическую картину описания КГП [20, 23], в которой состояния частиц характеризуются, кроме координат и импульса, также цветным вектором Q = (Qa), а = 1,..., N% — 1. Как было показано в [20] (см. также раздел 1.1.4 главы 1), между классическими динамическими уравнениями и квазиклассическими (2.3) существует тесная связь, поэтому использование чисто классических представлений в данном случае является оправданным.
Пусть действующее на цветную частицу КГП поле представляет собой набор продольных плоских волн Движение частицы в этом поле волн описывается системой уравнений (система (1.1))
Здесь г - собственное время частицы. Система (2.78), (2.79) решается методом последовательных приближений - разложением по амплитуде поля. Нулевое приближение описывает равномерное, прямолинейное движение, а следующее - вынужденное колебание заряда в поле (2.77). Зная закон движения заряда, можно далее определить интенсивность излучаемых им продольных волн. При этом уравнение (2.78) определяет абелев вклад в излучение, а (2.79) - неабелев, причем интерференция этих двух вкладов равна нулю. Вычисленная таким путем вероятность рассеяния, с использованием уравнения (2.79), совпадает с найденной нами выше (2.75).
Таким образом, вклад (2.74) в (к) обусловлен не пространственными колебаниями цветной частицы, как это имеет место в обычной плазме, а возникновением прецессии цветного вектора Q у частицы в поле продольной волны (2.77) (напомним, что QaQa = const в силу уравнения (2.79)).
