Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Локализация в системах с ближним порядком . 30
1.1 Коррелированная модель Андерсона на решетке Бете: перколяционный подход 33
1.2 Коррелированная модель Андерсона на обычных решетках...37
1.3 Коррелированная модель Андерсона на решетке Бете: самосогласованный подход 42
1.4 Выводы 50
ГЛАВА 2. Системы, близкие к квантовому протеканию ...51
2.1 Модель квантового протекания на решетке Бете 52
2.2 Квантовое протекание при наличии дополнительного беспорядка 66
2.3 О квантовом протекании на обычных решетках.. 73
2.4 Выводы 75
ГЛАВА 3. Пространственно разупорядоченные системы 76
3.1 Модель резонансной сети для структурно неупорядоченной системы 78
3.2 Самосогласованный подход к локализации в структурно-неупорядоченной системе 86
3.3 Выводы 95
Приложение 97
Заключение 105
Литература 107
- Коррелированная модель Андерсона на решетке Бете: самосогласованный подход
- Квантовое протекание при наличии дополнительного беспорядка
- Модель резонансной сети для структурно неупорядоченной системы
- Самосогласованный подход к локализации в структурно-неупорядоченной системе
Коррелированная модель Андерсона на решетке Бете: самосогласованный подход
Разумеется, рассуждения, лежащие в основе критерия в его изложенной здесь форме очень грубы. В частности, уже в исходном варианте его [23] рассматривался вклад резонансного тунеллирования неблагоприятным узлам.
Важность перколяционного критерия для исследования неупорядоченных систем обусловлена тем, что, оперируя понятием резонансной сети, путей протекания и пр., этот критерий демонстрирует тот факт, что критическое значение беспорядка определяется как топологией доступных путей, так и локальной координацией и ближним порядком, т.е. поведением системы на самых разных масштабах длин. Отметим, что для задачи Андерсоновской локализации существует и более тонкая, чем теория протекания, классическая аналогия, а именно, некоторая специальная модель случайных блужданий [55] .
Обратим внимание на то, что модели Андерсона и протекания сводятся к разным теоретико-полевым моделям и принадлежат разным классам универсальности. Значения критических размерностей /нижняя критическая размерность - I для теории протекания и ) =2 для модели Андерсона, верхняя - соответственно 6 и 8 / и критических индексов для этих моделей оказываются разншж. Однако этот факт никак не отрицает того, что соответствующие критические точки оказываются близки при введении определеіпшхкправил соответствия между моделями.
Кажущимся противоречием преколяционноілу критерию выглядят результаты работ, посвященных исследованию квантового протекания. Это задача о локализации состояний в модельной системе типа бинарного сплава атомов А и В таких. Оказывается, что состояние с энергией ЕГ = 0 остается локализованным даже в том случае, когда в системе существует бесконечный кластер атомов типа А, которые являются в нашей терминологии резонансными. Делокализация этого состояния происходит при концентрации атомов А несколько большей /а в некоторых случаях - значительно большей/, чем та, при которой возникает резонансная сеть.
Противоречие это разрешается установлением возможной природы и границ применимости перколяционного критерия, которые мы рассмотрим в Приложении. Заранее сообщим, что критерий Таулесса есть критерий, использующий приближение верхнего предела, и следовательно, справедливый лишь в том случае, когда величина мала в среднем по сравнению с G[ .В случае непрерывного беспорядка, такого, как, например, в модели Андерсона, это утверждение справедливо для больших отношений "W . /v , т.е. почти всегда / " с / У = Ю 40 для Е = 0 на различных решетках [l] /. Модель же квантового протекания, как оказывается, соответствует обратному предельному случаю. Понятие резонансной сети для этой модели нуждается в переформулировке. Эта и близкая к ней задачи будут рассмотрены в гл.2.
Учитывая чрезвычайную важность для дальнейшего, дадим краткое изложение определений и основных выводов классической теории протекания, не стараясь дать полное представление об этой чрезвычайно разветвленной и активно работающей теории. Теория протекания прекрасно изложена в дополняющих друг друга обзорах [18] , гл.5 на русском и [561 , [57]на английском языке.
Первые задачи теории протекания, как и сам термин percolation /протекание/ были введены в работе [53]. Начнем с определения простейшей задачи узлов. Пусть в узлах регулярной решетки размещены атомы двух видов - А и В, которые мы в дальнейшем будем называть черными и белыми. Иногда мы будем говорить просто о раскраске узлов в черный и белый цвет. Пусть доля черных узлов составляет X и белых - соответственно 1 - X . Нас будет интересовать, существует ли в системе бесконечный кластер / ЕК / связанных черных узлов, или, что то же самое, существует ли пронизывающий всю систему бесконечный путь, проходящий только по черным узлам. Ответ на этот вопрос следующий. Для каждой решетки существует критическая концентрация Хс , зависящая от вида решетки, такая, что при ОС Хс такой кластер с достоверностью отсутствует, а при Х ХС- с достоверностью существует. При X Хс бесконечному кластеру /или кластерам, что возможно в случае решетки Бете, а также по-видимому, при размерности пространства принадлежит конечная доля всех узлов. При X - ЭСС вероятность того, что данный узел принадлежит Ж ведет себя асимптотически как 2 со (,Х-Хе)Г , где 6 - критический индекс мощности бесконечного кластера. Можно ввести понятие о длине корреляции бесконечного кластера, которая есть,грубо говоря, харак-ный размер полостей БК или расстояние между ветвлениями проходящего по нему бесконечного пути. сК ч (эс-Хс) , где V - критический индекс радиуса корреляции.
Аналогично задаче узлов мы можем ввести задачу связей -задачу о существовании БК связанных целыми связями узлов на решетке, где доля целых связей равна ОС , а разорванных - I - X . Критические концентрации Хс протекания определены аналитически /точно/ для решетки Бете и некоторых плоских решеток и численно - для весьма широкого класса решеток [18] . Выявлены следующие приближенные закономерности.
Квантовое протекание при наличии дополнительного беспорядка
В настоящей главе будут рассмотрены задачи, касающиеся поведения систем, близких к режиму квантового протекания. Примером таких систем являются сплавы сильно различающихся компонент, у которых зоны соответствующих компонент далеко разнесены по энергии друг от друга. Подобные системы отнюдь не редкость в реальном мире, но свойства их на сегодня поняты весьма плохо.
Теоретическое рассмотрение систем типа бинарного сплава оказывается не слишком сложным, если в задаче существует малый параметр. Такими малыми параметрами обычно являются разность энергий Д Є. — Є л — Єїа уровня на атомах различных компонент по сравнению с матричным элементом "v /см., например, Ц 82] /, либо концентрация одной из компонент [ 83 ] . Случай же, в котором оба эти параметра не малы, оказывается-сложным для рассмотрения.
Причина этого - весьма сложная структура электронных состояний в бинарном сплаве сильно различающихся компонент. В частности, при Є -ьоО в системе появляются так называемые киркпатрик--эггартеровские состояния [16 ] , локализованные на бесконечном кластере доступных узлов /узлов, занятых атомами типа А/. В такой вырожденной системе возможно сосуществование этих киркпатрик-эггартеровских состояний с делокализованными или локализованных по Андерсону состояниями.
При истинах киркпатрик-эгтартеровских состояний не возникает, но остаются соответствующие им резонансы, которые делают картину локализации в бинарном сплаве гораздо более сложной, чем в модели с непрерывным беспорядком типа модели Андерсона.
Это, в частности, проявляется в гораздо более сложной зависимости подвижности электрона от энергии, выражающейся в наличии нескольких пар порогов подвишюсти [ I7J . Модель бинарного сплава с в= оо , носящая наименование модели квантового протекания [84 ] -[88 J позволяет не только понять свойства бинарных сплавов в предельном случае сильно различающихся компонентов, но и сама по себе является адекватной моделью для описания свойств некоторых топологически неупорядоченных систем - кристаллов с дефектами, ветвящихся полимеров и др.
Модель квантового протекания и близкая к ней разбавленная модель Андерсона и будут предметом рассмотрения в настоящей главе.
Рассмотрим модельную систему, описываемую гамильтонианом сильной связи (0.1), где матричный. элемент переноса уц =Л/ для узлов , являющихся ближайшими соседями на решетке, и V j = 0 для любых других узлов і и L . Энергия узла где Y есть случайная величина, распределенная по закону Р С%) с характерной шириной распределения vv . Аілплитуда волновой функции частицы на узлах с Є -L = ОО равна нулю, и эти недоступные узлы можно считать просто исключенными из системы. Подобная модель, которую мы будем называть разбавленной моделью Андерсона, представляется достаточно естественной для сплава сильно различающихся компонент при наличии в нем неизбежного изотопического или теплового беспорядка. При ЗС- І_ модель переходит в обычную модель Андерсона, при W- О-в модель квантового протекания. При ЭС С ССС , где ОС - критическая концентрация класси-ческого протекания, совокупность доступных узлов распадается на конечные кластеры; волновая функция, соответствующая любому разрешенному значению энергии, лоаклизована на одном из них. Проводимость системы на постоянном токе при этом равна нулю. При ОС Хс в системе появляется БК доступных узлов, который и будет давать вклад в проводимость системы. В дальнейшем мы будем рассматривать только один этот кластер.
Рассмотрим сначала модельный случай квантового протекания / "W = 0/. При этом даже при наличии в системе бесконечного кластера доступных узлов квантовомеханическое состояние с энергией ЕГ может остаться локализованным и делокализуется при концентрации
В работах [84], [_ 85 J , исследовавших подобные системы, этот эффект не был замечен. В работе [86] содержатся разумные оценки для OCQ , однако неясно, к какому значению энергии они относятся. Наибольшее доверие вызывает метод рядов, использованный в работе [88] . Как мы видим, сведения, имеющиеся относительно квантового протекания на обычных решетках пока еще противоречивы. Близкие к сформулированным здесь проблемам квантового протекания задачи рассмотрены в работах [89] , [/90] .
Введенная выше задача аналогична задаче узлов классической теории протекания. Мы можем подобным же образом ввести и задачу связей, положив некоторые из недиагональных матричных элементов гамильтониана равными нулю. На решетке Бете задачи узлов и связей, как и в классической теории протекания, эквивалентны, на обычных решетках такое соответствие не имеет места. Задачей, в некотором смысле близкой к такой задаче связей, окажется задача о локализации электронного состояния в системе с экспоненциально спадающим матричным элементов взаимодействия и структурным беспорядком, рассматриваемая в гл.З / см. 3.3/.
Противоречивость данных о квантовом протекании на обычных решетках принуждает нас рассмотреть сначала по возможности более простой модельный случай. Таким случаем оказывается модель- дерева.
Спектры плотности состояний такой системы, построенные в рамках приближения эффективной среды с учетом наличия оборванных недоступными узлами связей, показаны на рис.4 . Такое приближение основано на следующем правиле самосогласования для усредненного значения собственной энергии на решетке Бете с учетом возможных локальных конфигураций.
Модель резонансной сети для структурно неупорядоченной системы
Единственным параметром модели является безразмерная кон- центрация узлов. Часто более удобной величиной является среднее безразмерное расстояние между атомами m = &
Как было показано еще в работе И.М.Лифшица [ю] при все электронные состояния локализованы на одиночных узлах или парах узлов. С ростом в / убыванием М / радиус локализации состояния, соответствующего некоторой энергии Ь. , растет, и при М МС(Е) состояние делокализуется. Оценки Мс для наиболее легко делокализующегося состояния в окрестности центра зоны получались в работах [98] - [l05] самыми разными методами. Крайнив из них разнятся между собой по меньшей мере на порядок, что соответствует различию величины Р на три порядка. Следует отметить, что все эти расчеты выполнены методами, хорошо согласующимися друг с другом при исследовании решеточных задач, с применением вполне обоснованных аппроксимаций. Причины разнобоя в результатах, даваемых аналитическими критериями, требуют выяснения. Обзор и анализ теоретических методов исследований М отложим до 2.2 .
Автору известна только одна попытка прямого численного моделирования поведения таких систем - работа Чинга и Хубера [l07] , в которой с помощью критерия обратной меры участия было получено, что делокализация происходит сначала вблизи центра зоны, и критическое значение М равно М = 2.7 . Использованный в этой работе вариант критерия меры участия не свободен от произвола и доступен критике. Дело в том, что в точке перехода Андерсона волновая функция сосредоточена на достаточно малой доле V всех узлов. По оценкам [23] , [J09] эта доля составляет \) = = 1/30 1/60 , в то время как в работе Чинга и Хубера в точке перехода это значение полагалось равным V = 1/5 1/6 .
В работе Цію J , где рассматривался вид волновой функции на пороге подвижности в обычной модели Андерсона, утверждается, что эта функция занимает бесконечно малую долю объема, т.е. локализована на бесконечно малой доле \) - 0 узлов. Эта функция имеет масштабно-инвариантную структуру и является фрактальным объектом [ill] , напоминающим бесконечный кластер на пороге протекания.
Критерий локализации, свободный от этого произвола и не зависящий от априорных предложений о величине V на пороге подвижности должен быть основан на исследовании поведения значения обратной меры участия ( 0.9_) от числа узлов в системе Л/ . Определить величину V = & m Ь/СР(кі)и точное значение Мс по данным работы Гі07"] » относящимся всего к двум различным значениям А/ , не представляется возможным.
Дальнейшая структура настоящей главы следующая. В 2.1 рассмотрена попытка на интуитивном уровне понять структуру резонансной сети в структурно-неупорядоченной системе. Это сделано с помощью сведения задачи к некоторой новой, ранее не рассматривавшейся задаче теории протекания. В 2.2 сделан краткий обзор теоретических подходов к проблеме и построен самосогласованный критерій локализации в этом случае. Анализируется даваемый этим критериям результат. В 2.3 подведены итоги изложенных в настоящей главе исследований.
Пусть ос - характерная длина затухания экспоненциально спадающих матричных элементов V Ц , а С - концентрация узлов в системе. Как уже было указано, при Ь - СоС «1. электронные состояния в основном локализованы на парах узлов и одиночных узлах. С ростом концентрации радиус локализации и число резонансных узлов, на которых волновая функция с данной энергией существенно отлична от нуля, растут. При некотором критическом значении концентрации радиус локализации одного из состояний с F 3 0 обращается в бесконечность: происходит переход Андерсона, которому соответствует образование бесконечного кластера связанных резонансных узлов.
В нашем случае резонансными следует считать узлы, не имеющие соседа на расстоянии, меньшем 1С- : в противном случае уровни энергии такой близкой пары узлов находятся в крыльях зоны, и амплитуда волновой функции электрона с Е О на этих узлах невелика. Узлы, не имеющие соседей на расстоянии ІГ Г\_ 7 хотя и являются резонансными, но не принадлежат резонансной сети, поскольку из-за экспоненциального спадания интеграла перекрытия они слабо связаны с другими узлами. Параметры ІГ_ и Г+ - пока произвольные параметры модели.
Рассмотрим следующую задачу протекания по полностью разупоря-доченному массиву случайных узлов. Будем называть узел доступным, если он не имеет соседей на расстоянии У 1Г+ ; будем.считать, что недоступные узлы не принимают участия в протекании. Доступные узлы, находящиеся друг от друга на расстоянии, не превосходящем Г+ /очевидно, Y\ 1С / будем считать связанными. Нас будет интересовать условие протекания по системе связанных доступных узлов. Настоящую задачу можно рассматривать как смешанную задачу узлов и связей, определенную на системе случайных узлов / аналогичную решеточной задаче, рассмотренной в работе И2 ] /, а также как обычную задачу сфер в системе, из которой удалены все недоступные узлы и которая поэтому обладает ближним порядком в расположешш узлов. Наличие у узлов нетривиальной парной функции распределения приводит к тому, что на пороге
Самосогласованный подход к локализации в структурно-неупорядоченной системе
Число работ, посвященных попыткам аналитического исследования систем со структурным беспорядком довольно велико. Наличие бесконечного числа отличных от нуля матричных элементов ) для каждого узла І в такой системе делает неэффективными аналитические методы исследования андерооновской локализации, получившие наибольшее распространение для решеточных задач, Дело в том, что большинство этих методов, например, известный с(Е)-критерий, апеллирует к понятию связности решетки, которая в нашей системе оказывается трудно определимой величиной.
В работах Аоки и Камимуры [99] , Мотта [ІОО] - Пі02],Кику-чи [іОЗ]и других авторов структурно неупорядоченные системы исследовались с помощью разбиения на блоки, сводящего исходную задачу к задаче с диагональным беспорядком, и последующего применения к полученной системе какого-либо известного для решеточных задач критерия локализации; Такой метод в любой его форме содержит произвольный параметр - число ближайших соседей блока. В работах Одагаки [104], 053 рассматривается способ сведения системы к решёточной системе с недиагональным беспорядком особого рода. Этот подход также содержит произвольные параметры. Наличие параметров, плохо определенных или вообще неопределимых в рамках исходной модели, делает ценность этих подходов низкой, даже если они правильно "отгадывают" значение Мс .
Самосогласованный критерий типа ААТ, примененный к исследованию неупорядоченных систем в работах [98] ,[Пб], не содержит произвольных параметров и не использует в явном виде статистики путей в системе. Он основывается на вполне конкретном способе отбора диаграмм в разложении функции Грина системы, точность которого может быть оценена сравнением, допустим, спетров, полученных в рамках такого правила отбора [97] и с помощью численного моделирования [l07] , [п7 J . Именно его мы и изберем для дальнейшей модификации с целью учета эффектов локального окружения.
Действительно, усреднение по конфигурациям, проводимое в работах [ S8 ], [ііб] не учитывает обусловленных геометрией корреляций между элементами функции Грина на различных узлах. Это приводит к слишком грубому описанию влияния локального окружения, которое, как подсказывают нагл выводы из ?2.1, должно быть очень важно. Более точной является процедура усреднения только по координатам удаленных узлов при точном учете вклада ближайших соседи. Такой подход является модификацией подхода, использованного в 1.2 , того же плана, в каком подход работ является модификацией исходного критерия ААТ. Этот подход и будет изложен ниже.
Основное приближение самосогласованного метода состоит в учете только первого члена разложения, дающего в плотность состояний вклад первого порядка по концентрации. Такое приближение соответствует отбору диаграмм, имеющих топологию дерева Кэйли с переменной связностью, в разложении для функции Грина и является справедливым в окресности перехода Андерсона коль скоро при этом & х . Плотность состояний в этом приближении имеет симметричную форму с максимумом при Е =0. При переходе Андерсона щель подвижности раскрывается в точке С = 0. При & ;$ 10 форма спектра плотности состояний, рассчитанная в этом приближении прекрасно согласуется с полученной в численном эксперименте, как что получение значений & такого порядка будет означать справедливость аппроксимации.
В самосогласованном подходе [98J, [116 J требуется, чтобы при усреднении по конфигурациям безусловные распределения вероятности правых и левых частей совпадали. В настоящей модификации метода потребуем совпадения условных функций распределения P LjV4) , где К4 - расстояние до ближайшего соседа данного узла. Как и в С 8 1» [пб] будем считать, что величины 2 и 21: на раз-личных узлах (, и L являются независимыми случайными величинами. Это предположение нарушается только при ІГ-: 4 Г , v К , то есть только в том случае, когда узлы с и і образуют пару взаимно-ближайших соседей, и расстояние между ними много меньше среднего. Такие пары, однако, довольно редки. Качественно, как указано в 1.98J , этому предположению соответствует предположение о том, что у каждого из узлов t и J есть свой ближайший сосед.
Величины At и В на одном и том же узле, в отличие от похода s8 J , [ііб] не полагаются независимыми: учитываются корреляции между ними, обусловленные влиянием ближайшего соседа. Таким образом, наш подход, учитывающий корреляции значений А;и Б на одном и том же узле, является в некотором смысле промежуточным между приближением верхнего предела и строгим рассмотрением типа [S8J .
Рассмотрим условие локализации электронного состояния в центре зоны (с Е = 0). Уравнения ( 3.8 ), ( 3.9 ) при этом принимают вид: где . Считая, что величины имеют соответственно одинаковые функции распределения при условии, что ближайшие соседи узлов t и і находятся на одинаковом расстоянии от соответствующих узлов, найдем p(Zr).
