Содержание к диссертации
Введение
1. Квантовые кинетические уравнения для многоуровневого атома, взаимодействую щего с многочастотным лазерным излучением, в ячейке конечного размера 20
1.1. Метод решения квантовых кинетических уравнений для матрицы плотности в плоской ячейке для многоуровневого атома 20
1.2. Граничные условия и методы решения системы квантовых кинетических уравнений для многоуровневого атома 23
1.2.1 Граничные условия зеркального типа 23
1.2.2. Граничные условия полного гашения 24
1.2.3. Граничные условия диффузного типа 28
2. Резонанс когерентного пленения населенностей в Xmw- ячейке для трёхуровневой модели атома 33
2.1. Аналитическая теория резонанса КПН в ячейке конечного размера 34
2.1.1. Система квантовых кинетических уравнений для Л- атома в ограниченной ячейке 34
2.1.2. Решение системы уравнений для Л-атома в Xmw- ячейке конечного размера для граничных условий зеркального типа 37
2.2. Форма линии КПН резонанса возбуждаемого на сверхтонком переходе 41
2.2.1. Зеркально-когерентные граничные условия 42
2.2.2. Граничные условия диффузного типа 43
2.2.3. Граничные условия полного гашения 46
2.3. Форма линии резонанса КПН возбуждаемого на зеемановском переходе 47
2.4. Параметр качества резонанса КПН 49
3. Резонанс когерентного пленения населенностей в Xmw- ячейке в парах атомов 87Rb 51
3.1. Схема возбуждения резонанса КПН в атоме 87Rb 52
3.2. Система квантовых кинетических уравнений для резонанса КПН в ограниченной ячейке 53
3.3. Формирование резонанса КПН, возбуждаемого на сверхтонком переходе, в атоме 87Rb 56
3.3.1. Зеркально-когерентные граничные условия 57
3.3.2. Граничные условия полного гашения 58
3.4. Формирование резонанса КПН, возбуждаемого на зеемановском переходе, ватоме87ЯЬ 60
3.5. Оценка стабильности квантового стандарта частоты (КСЧ) на основе резонанса КПН 60
4. Резонанс когерентного пленения населенностей (электромагнитно- индуцированная прозрачность) в "наноячейках" 62
4.1. Система квантовых кинетических уравнений резонанса КПН в "наноячейке" 62
4.2. Форма резонанса ЭИП в случае зеркально-когерентных, диффузных и полного гашения граничных условий 64
4.2.1. Сонаправленные волны 65
4.2.1.1. Зеркально-когерентные граничные условия 65
4.2.1.2. Диффузные граничные условия 67
4.2.1.3. Граничные условия полного гашения 69
4.2.2. Противоположно-направленные лазерные поля 70
4.3. Анализ ширины резонанса ЭИП в "наноячейке". Аналитическое выражение для оценки вкладав ширину резонанса ЭИП от стеночной релаксации 71
4.4. Эффект когерентного сужения Дике в "наноячейке" 73
5. Двойной радиооптический резонанс в Xmw-ячейке в парах атома Rb 77
5.1 Система квантовых кинетических уравнений для ДРОР в ограниченной ячейке 78
5.2 Схемы возбуждения ДРОР в атоме 87Rb 82
5.3. Форма линии ДРОР. Сужение Дике. Радио-индуцированный и лазерно- индуцированый переносы 84
5.3.1. Зеркально-когерентные граничные условия 85
5.3.2. Граничные условия диффузного типа (парафиновая кювета) 88
5.3.3. Граничные условия полного гашения (стеклянная кювета) 92
5.4. Оценка стабильности квантового стандарта частоты основанного на ДРОР 93
Заключение 96
- Граничные условия и методы решения системы квантовых кинетических уравнений для многоуровневого атома
- Форма линии КПН резонанса возбуждаемого на сверхтонком переходе
- Формирование резонанса КПН, возбуждаемого на зеемановском переходе, ватоме87ЯЬ
- Форма линии ДРОР. Сужение Дике. Радио-индуцированный и лазерно- индуцированый переносы
Введение к работе
Взаимодействие многочастотного лазерного излучения с атомами щелочных металлов приводит к возникновению нелинейных эффектов. Одним из таких эффектов является резонанс когерентного пленения населенностей (резонанс КПН) [1-3] и связанный с ним эффект электромагнитно-индуцированной прозрачности (ЭИП), соответствующие деструктивной интерференции каналов возбуждения.
Другой эффект — двойной радиооптический резонанс (ДРОР) [4], соответствующий резонансному двухфотонному поглощению микроволнового и оптического полей атомом. Отличительной особенностью резонанса КПН и ДРОР является, то, что ширина резонанса определяется не естественной шириной линии оптического уровня (как при однофотонном поглощении), а скоростью распада нижних состояний. Таким образом, однородная ширина резонанса может составлять несколько сотен или даже несколько десятков герц.
Суть эффекта КПН (ЭИП) состоит в возникновении в многоуровневой квантовой системе, взаимодействующей с многокомпонентным лазерным излучением, суперпозиционного состояния, невзаимодействующего с этим излучением. Этот процесс критически зависит от частотных отстроек лазерных полей. При сканировании отстроек возникает узкий провал в спектре поглощения. Резонанс ЭИП, по сути, представляет собой резонанс КПН, но часто в литературе подразумевается, что либо активная среда должна быть оптически плотной, либо используется импульсное лазерное излучение, либо компоненты лазерного поля значительно отличаются по интенсивности (так называемое сильное поле и пробное).
Рассмотрим резонанс КПН на примере трехуровневой системы (Л-система), Рис. В.1. Пусть на переходы |і)-»|з) и |2)—>\3) действует лазерное поле с частотами сох и а>2, имеющее частотные отстройки Q, = сох —соп и
Q2 = й)2 - o)n соответственно. Оказывается, что при равенстве частотных отстроек Q, и С12 (т.е. Q, -Q2 = 0) световых волн от частот соответствующих переходов вероятность обнаружить атом в верхнем состоянии |3) близка к нулю.
Рис. В.1. Схема энергетических уровней Л-системы: |l) и |2) — низкоэнергетические долгоживущие состояния, |з) — возбуждённое короткоживущее состояние, Г — скорость релаксации в основном состоянии, у — скорость спонтанного распада возбуждённого состояния, к, и к2 — волновые вектора компонент лазерного поля, 8L — лазерная отстройка, SR = Q, -Q2 — двухфотонная отстройка.
Другими словами при выполнении условия SR = 0 Л-атом не может испускать или поглощать фотоны. На эксперименте это проявляется как узкий провал в спектре поглощения, Рис. В.2(а). Исследование формирования резонанса КПН является важной задачей теоретической физики, поскольку данный эффект, имеет место в различных средах и в широком диапазоне частот возбуждающих полей. Кроме того, резонанс КПН имеет широкий спектр практических применений как: атомные стандарты частоты [5-7], высокопрецизионные магнитометры [8,9], безинверсные лазеры [10], спектроскопия сверхвысокого разрешения [11,12], сверхглубокое лазерное ох-
лаждение атомов [13], устройства для записи квантовой информации [14], хранение и замедление света [15,16], пленение ионов [17] и др. В последнее время появились работы по исследованию этих эффектов в конденсированных средах [18-21], а в [22] рассматривалось формирование резонанса КПН при частотах возбуждающих полей относящихся к рентгеновскому диапазону.
«5 — .
I і
"в*
Ы о
(а)
«
О/
О О
в"
и о
(Ь)
О
Рис. В.2. Зависимость тока фото детектора от (а): двухфотонной расстройки SR (резонанс КПН), (Ь): отстройки микроволнового
поля Qr/ (ДРОР).
Двойной радиооптический резонанс представляет собой взаимодействие бихроматического излучения (состоящего из резонансных оптического и микроволнового полей) с атомами. Рассмотрим ДРОР на примере трехуровневой системы, Рис. В.З. Пусть на переходы |l)—»|2) действует микроволновое поле с частотой a>rf, а на |2) —> |3) действует лазерное поле с частотой й), имеющие частотные отстройки Qr/ =corf -а>2Х и Q.L=a>n-a> соответственно. Оказывается, что при равенстве Qr/ и Q7 нулю возникает резонанс
оптического и микроволнового полей. Экспериментально это проявляется как пик в спектре пропускания лазерного излучения, Рис. В.2(Ь). ДРОР также как эффект КПН, является фундаментальным эффектом. Ширина ДРОР
может достигать значения менее 100 Гц. Ответ на вопрос о том, в каком из этих эффектов (ДРОР или резонансе КПН) можно получить более узкую ширину линии (в ограниченной ячейке) по-прежнему остаётся неоднозначным. ДРОР используется в таких приложениях как магнитометры и атомные стандарты частоты.
Рис. В.З. Диаграмма энергетических уровней: |l) и |2) — низкоэнергетические долгоживущие состояния, |3) — возбуждённое короткоживущее состояние.
Диссертация главным образом направлена на решение вопросов, связанных с формированием резонанса КПН в ячейках конечного размера. Однако ряд полученных фундаментальных результатов имеет также практическую значимость для разработки высокоточных атомных стандартов частоты и высокопрецизионных магнитометров. Рассмотрим подробнее важность этих приложений.
Магнитометры имеют широкое применение в таких областях как геологоразведка [23], подводная разведка, физика элементарных частиц и т.п. Кроме того, в последнее время круг их приложений стремительно развивается и внедряется в такие несвойственные для них области как, например, медицина. Недавно национальным институтом стандартов и технологий
США был продемонстрирован [24] оптический магнитометр с чувствитель-ностью 70 fT-Hz" при комнатной температуре, что открывает ряд новых применений подобных приборов, например — детектирование магнитных полей сердца и головного мозга [25]. Это даёт значительно более богатую информацию о работе этих органов по сравнению с традиционными методами. Другая область применений магнитометров - измерение слабых магнитных полей в пространстве, что важно, например, для исследования объектов ближнего и дальнего космоса [26], предсказания сейсмической активности [21] и т.п.
Квантовые стандарты частоты (КСЧ) важны при создании систем навигации и позиционирования (GPS, GLONASS, GALILEO), устройств синхронизации оборудования телекоммуникационных сетей, при проверке фундаментальных физических законов.
Одним из главных параметров любого квантового дискриминатора является кратковременная стабильность сгу (параметр качества) [27], которая в
пределе дробового шума определяется как:
S Г 1
М= , а « . (В.1)
yj2j-e-l/4Hz у M-a)hfs-yll/4Hz-T
Здесь М — параметр качества резонанса, Г — ширина линейного участка дискриминационной кривой (т.е., участка вблизи максимума резонанса, на котором вторая производная фототока по двухфотонной расстройке SR (в
случае резонанса КПН) и микроволновой отстройки Qr/ (в случае ДРОР) остаётся практически постоянной), cohfs — частота сверхтонкого расщепления подуровней основного состояния, г — время усреднения, е — заряд электрона. Если форма линии резонанса близка к лоренцеву контуру, то произведение SY можно оценить как отношение амплитуды резонанса к
его ширине, SY « A/Fs.
Из (В.1) видно, что сгу зависит от таких параметров резонанса КПН и ДРОР, как амплитуда, ширина и контраст. Амплитудой резонанса КПН назовём разность р^ — р^, где р^ — населённость в возбужденном состоянии вне двухфотонного резонанса, а Рехс — в резонансе; ширину резонанса КПН на половине высоты обозначаем ТСРТ, а контрастом назовем
отношение ^\r)- —NR , которое удобно для графического пред-
ставлення сигнала резонанса КПН [28]. Амплитудой ДРОР назовём раз-
—NR —R -x^R .. — R
ность рда - рехс, где рехс — населенность вне резонанса, а рехс — в резонансе; ширину ДРОР на половине высоты обозначаем TDROR, а контрастом
назовем отношение ^\У^^)~—_ (п Л—, которое удобно для графиче-
ского представления сигнала ДРОР [29]. Значения этих параметров зависят от условий, в которых происходит возбуждение резонансов. При возбуждении резонанса существенное значение имеет время когерентного взаимодействия атома с электромагнитным полем. Другими словами, основным препятствием получения наилучшей стабильности (параметра качества) является релаксация атомной поляризации на стенках ячейки и при столкновении атомов друг с другом.
Существуют два основных способа увеличения времени когерентного взаимодействия атома с возбуждающими полями: введение буферного газа в ячейку с активными атомами, либо использование ячейки с антирелаксационным покрытием стенок. При введении в ячейку с активными атомами буферного газа (т.е., такого газа, при столкновении с атомами или молекулами которого активные атомы практически не деполяризуются), концентрация которого превышает примерно на 6 порядков концентрацию активных атомов, резко уменьшается длина свободного пробега активных атомов и, соответственно, существенно снижается как их деполяризация при столкновении
со стенками, так и скорость их перемещения на расстояния порядка Amw (длина волны микроволнового перехода). Таким образом, происходит сужение линии резонанса — сужение Дике [31]. Данный метод имеет ряд недостатков, самый значительный из которых — это сдвиг и уширение частоты эталонного перехода, вызванные обменным отталкиванием Паули и притяжением ван дер Ваальса (которые не компенсируют друг друга) при столкновении парамагнитных активных атомов с диамагнитными атомами или молекулами буферного газа.
Второй способ увеличения времени когерентного взаимодействия атомов с электромагнитным полем, предложенный Робинсоном и др. в 50-х годах прошлого века [31], заключается в использовании ячеек с такими стенками, при столкновении с которыми активные атомы не деполяризуются. Этого добиваются, покрывая стенки ячейки специальным антирелаксационным составом, в качестве которого обычно используют парафин [32,33]. Вероятность деполяризации атома при столкновении со стенками ячейки покрытой парафином снижается на 4 порядка [34]. При этом потенциал взаимодействия атома с покрытием такой, что имеет место физическая адсорбция, когда атом захватывается стенкой ячейки, проводит на ней некоторое время [32], обмениваясь энергией, а затем вылетает. В тоже время с бурным развитием нанотехнологий появляются уникальные возможности создавать покрытия, например, за счёт нанесения моноатомных слоев [35,36], или создавать сами ячейки из новых материалов, при соударении с которыми атомы будут отражаться зеркально, не изменяя внутреннего и поступательного состояний.
В ячейках, размеры которых порядка длины Xmv волны микроволнового перехода, помимо вклада релаксации атомной поляризации на стенках ячейки в ширину резонанса, имеется вклад от теплового движения атомов — до-
плеровского уширение SD=2y/h\2-qVT (q = k,-k2) микроволнового перехода, где VT — средняя тепловая скорость атомов. Величина SD может со-
ставлять от нескольких единиц до нескольких десятков килогерц при комнатных температурах. Для того чтобы подавить его влияние на ширину резонанса (получить существенно более узкую линию резонанса), необходимо либо "остановить" атомы (введение буферного газа), либо уменьшить размеры ячейки, чтобы выполнялось условие qa < 1.
В [31,37] было экспериментально обнаружено сужение линии ДРОР. В [38,39] была построена теория эффекта Дике для ДРОР в ячейках с антирелаксационным покрытием в трёхуровневой модели для некогерентных источников света (лампа). В последние годы в связи с широкой доступностью лазеров возрос интерес к исследованию ДРОР в ячейках с антирелаксационными покрытиями, о чем свидетельствуют недавние экспериментальные работы [40,41]. Отметим, что в [40] исследовались ячейки с покрытиями, изготовленные более 40 лет назад. Результаты исследований показали, что антирелаксационное покрытие очень слабо "стареет". Авторы этой работы дают оценку временного сдвига эталонной линии: менее <10 Гц/30 лет. Этот факт весьма важен при использовании атомных стандартов частоты на спутниках и для исследований дальнего космоса.
Следовательно, можно ожидать, что, по аналогии с ДРОР, резонансы КПН в ячейках с антирелаксационным стеночным покрытием будут весьма узкие по сравнению с SD. И действительно имеются работы, в которых наблюдается узкий резонанс ЭИП [14, 42, 43]. Однако это сужение наблюдалось как для ячеек имеющих антирелаксационное покрытие, так и без него (вакуумные ячейки) [42, 43]. При этом имело место сужение резонанса ЭИП для длин а ячеек больших, чем предполагает теория Дике {qa «: 1), и сравнимых с qa — 1 (а в некоторых случаях превосходящих qa>l). Эти результаты можно попытаться объяснить в рамках модели для безграничной ячейки, которая подразумевает, что лазер с узким спектральным диапазоном взаимодействует только с атомами из одной скоростной группы [44]. Возбуждение резонанса ЭИП таким типом лазеров в последнее время интенсив-
но исследовалось в теоретических работах [45-47], но для безграничной ячейки.
Таким образом, построение квантовой кинетической теории механизмов сужения резонанса КПН в ячейках конечного размера является фундаментальной задачей с широким спектром практических приложений.
Примечательно, что до недавнего времени большинство экспериментальных работ, включая [14, 44-47], были посвящены исследованию формирования резонанса КІШ в парах атомов щелочных металлов, заключённых в ячейки с размерами порядка 0,1 — 10 см. Такие ячейки назовём Xmv- ячейками, поскольку их размеры по порядку сравнимы с длиной волны микроволнового перехода. Однако в [48-51] была экспериментально продемонстрирована возможность наблюдения резонанса КПН в ячейках, представляющих собой тонкий плоский слой (от сотен нанометров до нескольких микрометров). Такие ячейки в дальнейшем мы будем называть "наноячей-ками". Размеры "наноячеек", которые рассматриваются в настоящей диссертации, сравнимы по порядку величины с длиной A t волны оптического излучения. Имеется ряд работ по исследованию спектров поглощения (в том числе и насыщенного) [50, 52-56], спектров прозрачности [50, 56], спектров флуоресценции [52,55] в "наноячейках".
При переходе от Xmw- ячеек к "наноячейкам", во-первых, можно будет ожидать проявления новых фундаментальных эффектов, связанных с уменьшением размеров, в которых локализованы активные атомы. Во-вторых, область приложений резонанса ЭИП (КПН) существенно расширится. Известно, что оптические магнитометры позволяют детектировать магнитные поля в несколько фТл (~10"15 Тл-Гц1/2) [25]. Подобные магнитометры важны в медицинской диагностике. Поскольку величина магнитных по-лей, которые генерируют органы человека, колеблется в диапазоне (10" -10"14) Тл, то измерение, например, магнитного поля сердца (магнитокардио-графия), позволяет получить более подробную информацию о его работе в сравнении с традиционными методами электрокардиографии. Измерение
магнитного поля головного мозга (магнитоэнцелография) даст богатую информацию о его деятельности. Существенным преимуществом таких методов является их бесконтактность и абсолютная безвредность. Создание же магнитометров с размерами в несколько сот нанометров даст возможность создавать карту магнитных полей с пространственным нанометровым разрешением и при этом иметь точность 10"15 ТлТц"ш (наномагнитометры). Наномагнитометры найдут широкое применение в медицинской диагностике, в неразрушающем контроле качества материалов, контроле роста магнитных наноструктур.
Миниатюризация ячеек приведёт к созданию кластера или даже матрицы "наноячеек", что актуально для разработки устройств хранения и обработки квантовой информации, квантовых компьютеров, и квантовых повторителей для телекоммуникационных сетей [57]. Кроме того, "наноячейки" дают возможность изучать взаимодействие атомов с поверхностью через частотный сдвиг резонанса ЭИП [58].
Ширина Тш резонанса ЭИП в "наноячейке", измеренная в [48-51], составила более 5 МГц. Основными причинами столь большой Г^ являлось
то, что, во-первых, использовались два независимых лазера, во-вторых - использовались "наноячейки" со стенками без антирелаксационного покрытия, в которых при соударении атомов со стенкой происходит практически полная деполяризация спина. В [59] теоретически рассматривалось формирование резонанса ЭИП в "наноячейках", однако, эта работа не обладает полнотой, поскольку решается задача без учёта краевых эффектов. Для более корректного описания всех основных особенностей формирования резонанса ЭИП в "наноячейке" необходимо решать систему квантовых кинетических уравнений для матрицы плотности атома с граничными условиями.
Настоящая диссертация главным образом посвящена построению квантовой кинетической теории формирования резонанса КПН в ячейках конеч-
ного размера для атома Rb. Рассматриваются ячейки от несколько сотен нанометров до десятка сантиметров. Помимо исследований формирования
резонанса КПН, в диссертации также рассмотрены вопросы взаимодействия лазерного и микроволнового полей в атоме Rb в условиях двойного радиооптического резонанса в ограниченной Xmw- ячейке. На примере расчета стабильности квантового стандарта частоты проводится сравнение эффективности использования резонанса КПН и ДРОР, т.е. получение наибольшей амплитуды и наиболее узкой ширины резонанса. Кроме того, в диссертации исследуются различные схемы возбуждения резонанса КПН и ДРОР в атоме Rb. Сделаны оценки кратковременной стабильности квантового стандарта частоты в пределе дробового шума в зависимости от размеров ячейки, ширины спектра лазерного излучения, магнитного поля и интенсивностей оптического и микроволнового (для ДРОР) излучений.
Целью работы является построение квантовой кинетической теории фор-мирования резонанса КПН в ячейках конечного размера для атома Rb. Основные этапы исследований включают в себя:
1) вывод уравнений для расчёта линии поглощения, последовательно учи
тывающих все основные особенности явления, корректная постановка
граничных условий, конечная спектральная ширина ГЛ лазерного излу
чения (рассматриваются два случая: "широкий" лазер — Т L =109 с"1 и
"узкий" лазер — rL =107 с-1), релаксационные процессы, сверхтонкая и
зеемановская структура уровней основного и возбуждённого состояний атома 87Rb, поляризация лазерного излучения;
2) сравнительный анализ различных способов возбуждения резонансов, со
поставление полученных результатов с экспериментом.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и списка литературы. Каждая глава заканчивается разделом «выводы к главе», в котором перечисляются полученные в ней результаты.
В главе 1 описан метод решения квантовых кинетических уравнений для многоуровневых систем для расчёта линии поглощения ДРОР и КПН
резонанса в ячейке конечного размера. Рассмотрены различные виды граничных условий, отвечающие разным типам отражения атома от стенки ячейки. Параграф 1.1 посвящен методу решения систем уравнений для многоуровневого атома, взаимодействующего с многочастотным лазерным излучением, в ограниченной ячейке. В параграфе 1.2 рассматриваются граничные условия, которые отвечают различным видам отражения атома от стенок ячейки.
Граничные условия и методы решения системы квантовых кинетических уравнений для многоуровневого атома
В этом разделе обсуждаются различные типы граничных условий, которые по сути своей отражают взаимодействие атома при соударении со стенкой ячейки. Рассмотрим следующие предположения относительно соударения атома со стенкой. Пусть, во-первых, отражение атома от стенок ячейки является упругим, импульсы р и р атома до и после соударения со стенкой связаны соотношением р = р-2п(пр), где п — единичный вектор нормали к поверхности S ячейки. Во-вторых — процессы атомной деполяризации не зависят от скорости, с которой атом сталкивается со стенкой. В-третьих — при столкновениях, сопровождающихся деполяризацией, переходы между различными подуровнями основного состояния равновероятны. Тогда для элементов матрицы плотности можно записать следующие граничные условия [39]: Здесь Д,(р) = М(р)/(2-я) — населенность уровня в отсутствие возбуждающих полей, где а — размер ячейки. Коэффициенты /? и а (0 а,/? 1) характеризуют степень сохранения поляризации населенностей ри и когерентности Ру в результате соударения атомов со стенкой. Зеркально-когерентные граничные условия реализуются, когда а -1 и /? = 1. В этом случае при соударении атома со стенкой мы полагаем, что его населенности рп и когерентности ptj сохраняются. Другой крайний случай имеет место, когда каждое столкновение активного атома со стенкой приводит к полной дезориентации его спина. Такая ситуация реализуется для стеклянных ячеек с парами щелочных элементов и обусловлена весьма существенной дисперсией магнитного поля, достигающей, например, в пирексе, величины 5G в связи со значительным содержанием в нем магнетита (0,1%), образующего ферромагнитные домены. Этому взаимодействию соответствуют граничные условия полного гашения, отвечающие полной релаксации когерентностей и выравнивание населенностей в потоке атомов, летящих от стенки а = 0, /? = 0: Рассмотрим ситуацию, когда при взаимодействии атома со стенкой ячейки (налетающие на стенку атомы имеют неравновесную функцию распределения) потенциал взаимодействия атома с покрытием такой, что имеет место физическая абсорбция, т.е. атом захватывается стенкой ячейки, проводит на ней некоторое время [32], обменивается энергией, а затем вылетает с максвелловским распределением по скоростям [60].
Поток населенностей, налетающего атома на стенку на границах z = 0 и z = а имеет вид: Аналогично (1.24) и (1.25) можно записать выражения и для когерентно-стей. Тогда атомы, вылетающие от стенки, будут иметь максвелловское распределение по скоростям вне зависимости от их внутреннего состояния: 28 Разработка теории резонанса когерентного пленения населенностей в ячейке конечного размера является важной задачей, как с фундаментальной, так и с практической точки зрения. Теоретический подход, используемый в данной работе, основанный на формализме матрицы плотности, является наиболее корректным. Глава 2 посвящена составлению и решению системы квантовых кинетических уравнений для трёхуровневого Л- атома в ячейке конечного размера. Мы рассматриваем различные типы отражения атома от стенки ячейки, учитываем конечную ширину спектра лазерного излучения. В параграфе 2.1 рассматривается формирование резонанса КГШ в трехуровневой модели в ограниченной Xmw- ячейке. В параграфе 2.2 представлены результаты расчета формы линии резонанса КГШ, возбуждаемого на сверхтонком переходе. Показано, что в зависимости от ширины лазерного спектра имеют место различные механизмы сужения: сужение Дике и эффект лазерно-индуцированного сужения. Параграф 2.3 посвящен расчёту формы резонанса КГШ на зеемановском переходе. В параграфе 2.4 проводятся оценки параметра качества квантового дискриминатора для двух типов механизмов сужения резонанса КГШ. Новизна главы 2 состоит в том, что в ней впервые рассмотрено и исследовано формирование резонанса КГШ на основе квантовой кинетической теории в Xmw- ячейке конечного (сантиметрового) размера с учетом краевых эффектов. Показано, что в случае работы ла-зерно-индуцированого механизма сужения форма резонанса КГШ не зависит ни от размеров ячейки, ни от типа антирелаксационного покрытия. Установлено, что параметр качества квантового стандарта частоты (КСЧ) на порядок выше в случае возбуждения резонанса КГШ "широким" лазером по сравнению с "узким". Этот параграф состоит из двух частей. Первая часть посвящена выводу уравнений для формы линии резонанса КПН в Л-атоме с учетом граничных условий. Во второй части рассматривается аналитическое решение такой системы уравнений. 2.1.1. Система квантовых кинетических уравнений для А- атома в ограниченной ячейке. Рассмотрим ячейку, заполненную парами щелочного атома. Будем считать активные атомы трёхуровневыми Л- атомами, причём уровни l) и 2) пусть будут уровнями сверхтонкой структуры основного состояния, а переходы і) -»3) и 2) - 3) — оптическими, Рис. В.1.
Форма линии КПН резонанса возбуждаемого на сверхтонком переходе
Рассмотрим случай, однофотонная лазерная расстройка 5L равна нулю. Из выражения (2.7) следует, что коэффициенты F и G оказываются порядка единицы только для таких атомов, величина импульса р которых меньше или порядка величины рс=у,т/ k. Введём удобный безразмерный параметр ju: где AD =2лІ\п2-кит — доплеровское уширение оптического перехода, Если ju «1 ("узкий" лазер, FL у), то в формировании резонанса КПН участвуют только «достаточно медленные» атомы и, соответственно, доплеровское уширение резонанса КПН составляет не qpT/m, а порядка qpc/m [44]. Если же // 1 ("широкий" лазер, TL «AD), то доплеровское уширение резонанса КПН составляет порядка q от. Однако, если резонанс КПН возбуждается в ячейке с антирелаксационным покрытием, размеры которой меньше длины волны микроволнового перехода, то в такой ячейке начинает работать механизм сужения Дике [30]. Численные расчёты резонанса КПН проведены при различных значениях скорости у релаксации оптической когерентности, различных граничных условиях (зеркально-когерентные, диффузные и полного гашения) и различных длинах а ячейки. Параметры Л-атома выбирались близкими к параметрам атома 87Rb (см. приложение 1): /я = 87 а.е.т, со = cohjs =#с = 4.3-1010 с х = 6.8 ГГц, что соответствует длине Xmv/ волны перехода l) -» 2), равной Amw » 4.4 см. Предполагается, что ячейка находится при температуре 50С, и скорость Г релаксации в основном состоянии состав- ляет Г = 100 с1. При этих параметрах кот «315МГц«2-109 с l, а qvT «5.7 КГц «3.56-104 с-1. Перейдем к результатам численных расчётов для различных типов граничных условий. при // = 0.01 (а) и /л = 1 (Ь) для зеркально-когерентных граничных условий [28,65,66]. Из рис. 2.2. видно, что при /л = \ ширина и наибольший контраст резонанса КГШ сильно зависят от длины ячейки и при длине ячейки порядка длины волны микроволнового перехода a=Xmw ширина контура резонанса КПН становится порядка величины доплеровского уширения. Однако при // = 0.01 какой-либо существенной зависимости формы резонанса КПН от размера ячейки не наблюдается.
Данный результат указывает на то, что мы имеем дело с различными механизмами сужения резонанса КГШ: в одном случае это лазерно-гтдуцированное сужение [65-67], рис.2.2(а); в другом — сужение Дике, рис.2.2(Ь). 2.2.2. Граничные условия диффузного типа. На рис 2.3 представлена форма резонанса КГШ для случая диффузных граничных условий в сравнении с зеркально-когерентными граничными условиями для "узкого" и "широкого" лазеров [68]. Из рис. 2.3 (а) видно, что для размеров ячейки a = Amw форма резонанса КГШ совпадает. Далее с уменьшением размеров ячейки до a = Zmw /4 незначительно начинает падать амплитуда резонанса КГШ для случая диффузных граничных условий по сравнению с зеркально-когерентными, в итоге при a = Zmw/4 амплитуда отличается примерно на 20%. При дальнейшем уменьшении размеров ячейки разница между двумя типами отражения начинает сказываться более значительно, рис. 2.3(a). Так при размерах ячейки а = 1 mm отношение амплитуды к ширине для двух типов граничных условий отличается примерно в 10 раз. Это связано с тем, что при уменьшении размеров ячейки увеличивается частота соударений атома со стенкой ячейки, а, следовательно, атому, отраженному от стенки ячейки необходимо некоторое время (поскольку отраженные атомы имеют максвелловское распределение по скоростям), чтобы вступить в когерентное взаимодействие с лазерным полем. Поэтому время его когерентного взаимодействия с лазерным полем уменьшается, что ведёт к падению амплитуды резонанса КІШ. В случае граничных условий зеркального типа время взаимодействия атома со стенкой будет зависеть от размеров ячейки намного слабее, поскольку в этой ситуации полагается, что после от- ражения от стенки атом не теряет когерентное состояние с лазерным полем (скорость до и после столкновения совпадает по величине). Принимая во внимание, что рассматривается возбуждение резонанса КПН "узким" лазером, очевидно, что лазер с таким спектром будет захватывать атомы только из одной скоростной группы. Следовательно, при диффузном отражении атом после столкновения со стенкой попадает в другую скоростную группу и перестаёт участвовать в формировании резонанса КПН. Для зеркально-когерентных граничных условий такого эффекта не возникает, поскольку атомы не меняют своё скоростное распределение после отражения от стенки.
Другая ситуация наблюдается в случае "широкого" лазера, рис. 2.3 (Ь), результаты для граничных условий диффузного и зеркально-когерентного типа полностью совпадают. Это объясняется тем, что "широкий" лазер захватывает атомы со всеми скоростными группами, и поэтому нет существенной разницы в скоростном распределении атомов до и после столкновения со стенкой. 2.2.3. Граничные условия полного гашения. На Рис. 2.4 представлены результаты расчета резонанса КПН при граничных условиях полного гашения для различных длин стеклянной ячейки [29,65,66]. Видно, что в случае лазерно-индуцированного сужения (рис. 2.4 (а)) форма линии резонанса КПН слабо зависит от размеров ячейки, и незначительно отличается от формы линии в случае зеркально-когерентных граничных условий (рис. 2.2 (а)). С другой стороны, в условиях, когда работает механизм сужения Дике, контраст резонанса КПН падает в 4-5 раз (рис. 2.4 (Ь)), а ширина увеличивается в 3-4 раза (рис. 2.4 (Ь)) по сравнению с рис. 2.4 (а). для ячейки с антирелаксационным покрытием форма линии резонанса КПН не зависит от размеров ячейки Рис.2.5 (а). Но для стеклянной ячейки такая зависимость имеет место из-за релаксации атомной поляризации на стенках ячейки, рис. 2.5 (Ь). Мы видим уменьшение контраста и увеличение ширины резонанса КПН с уменьшением размеров ячейки [68]. Рис. 2.6. Зависимость ширины резонанса КПН от интенсивности сильного поля когда у у « V2 « A2Dy4 у (а) и при высоких интенсивностях (Ь). Для того чтобы проверить нашу теорию с имеющими теоретическими (для безграничной ячейки) и экспериментальными данными нами был рассмотрен случай, когда одна компонента лазерного поля (Vx) сильная и другая (V2) слабая в ячейке с антирелаксационным покрытием. Мы нашли, что зависимость ширины Гсрт линии резонанса КПН от сильного поля Vx имеет линейный характер, рис. 2.6(a), Гсрт У ІуЧу , если у1 у « V2 « A2DуЧу, и квадратичный характер, Рис. 2.6(b), ГСРТ » V2 / AD при высоких интенсивностях. Данный результат совпадает с теоретическим результатом [43] и экспериментальным результатом [42], что указывает на то, что наша теория согласуется с имеющими теоретическими (для безграничной ячейки) и экспериментальными данными.
Формирование резонанса КПН, возбуждаемого на зеемановском переходе, ватоме87ЯЬ
Полученные результаты для резонанса КПН, возбуждаемого на зеемановских подуровнях основного состояния атома 87Rb в ячейке конечного размера качественно совпадают с трехуровневой моделью [72]. Мы провели сравнение наших результатов с экспериментом, и заключили следующее: В [15] исследован резонанс КПН в ячейке с антирелаксационным стеночным покрытием длиной 50 мм, и ширина резонанса КПН составила 0,35 кГц. В [73] исследован резонанс КПН в стеклянных ячейках с длинами 50 мм, 20 мм, и ширина резонанса составила 1,2 КГц. Мы полагаем, что уширение резонанса КПН, исследованного в [73], возникает из-за влияния стенок ячейки, которые не имеют антирелаксационного покрытия. Таким образом, наша теория позволяет объяснить различие результатов экспериментов [15] и [73]. 3.5. Оценка стабильности квантового стандарта частоты (КСЧ) на основе резонанса КПН. Проанализируем кратковременную стабильность ау квантового стандарта частоты на ячейке с антирелаксационным стеночным покрытием рис. 3.5 [71]. Сравниваются результаты возбуждения резонанса КПН на Dj линии в зависимости от магнитного поля, интенсивности лазерного поля и возбуждения на Fe=l или Fe=2. Стоит отметить, что вычисления сделаны при оптимальных размерах ячейки, т.е. a = Amw /4. Из рисунка видно, что наилучшая стабильность КСЧ наблюдается в lin_Llin конфигурации, которая достигает 10"14 за 1 секунду при интенсивности лазерного поля в 100 мкВт/см2. , что все основные эффекты (сужение Дике и лазерно- индуцированное сужение) присущие резонансу КПН, возбуждаемом на сверхтонком подуровне основного состояния в ячейке конечного размера проявляются как для трехуровневой модели, так и для атома 87Rb с уче том сверхтонкой и зеемановской структуры уровней основного и возбу ждённого состояний. 2) Показано, что стабильность квантового стандарта частоты (КСЧ) при ис пользовании "широкого" лазера в сочетание с антирелаксационным сте- ночным покрытием позволяет достичь значения 1-Ю"14 за одну секунду. Глава 4. Резонанс когерентного пленения населенностей (электромагнитно-индуцированной прозрачности) в "на-ноячейках".
В этой главе рассматривается формирование резонанса электромагнитно-индуцированной прозрачности в "наноячейке". В отличие от работы [58] где не учитываются краевые эффекты, в настоящей работе учитываются как различные типы отражения атомов от границы ячейки, так и конечная ширина спектра лазерного излучения. Показано, что для задач высокопрецизионной спектроскопии в "наноячейках" необходимо использовать только зеркально отражающее антирелаксационное покрытие. Исследован эффект когерентного сужения Дике в нано- и Xmw- (сантиметровых) ячейках. На основе этого эффекта предложен новый метод тестирования качества антирелаксационного покрытия. В параграфе 4.1 построена квантовая кинетическая теория резонанса ЭИП в "наноячейке". В параграфе 4.2 рассмотрены основные результаты расчета. Показано, что в случае зеркально-когерентного отражения атомов от стенки ячейки ширина резонанса ЭИП может достигать нескольких сотен герц. Параграф 4.3 посвящен аналитическому выводу ширины резонанса ЭИП в стеклянной ячейке. В параграфе 4.3 рассмотрен эффект когерентного сужения Дике (КСД) в нано- и Х - ячейках. 4.1. Система квантовых кинетических уравнений резонанса КПН в "наноячейке". Рассмотрим трёхуровневый атом, взаимодействующий с двухчастотным лазерным полем, рис. В.1. На переходы l) - з) и 2) - 3) — действует лазерное поле, которое может быть представлено в виде: Е(г,/) = Е1ехр[/(к,г-01ґ)] + Е2ехр[/(к2г-02ґ)] + /с.с., (4.1) где й)1 и й)2 - частоты, Е, и Е2 амплитуды, кг и к2- волновые вектора компонент лазерного поля, действующих на переходы l) 3) и 2) -»3) соответственно. Поскольку время пролёта атома от одной стенки до другой в "наноячей-ке" на 1+2 порядка меньше, чем у х (время жизни возбужденного состояния), то нельзя использовать адиабатическое приближение [2]. Для описания взаимодействия атома с полем Е(г,) используется аппарат матрицы плотности /3(г,р,0 в представлении Вигнера. Уравнения для элементов р.. матрицы плотности Л- системы во внешнем лазерном поле в приближении вращающейся волны имеют вид [74,75]: Мы рассматриваем полностью скоррелированные (С, -1) лазерные пучки, это означает что в (4.3) сумма первых двух членов при YLi = Г/2 = Г7 равна нулю, что приводит к резкому уменьшению TEIT. Система (4.2) решается методом изложенным в главе 1. В итоге находим населенность в возбужденном состоянии ръг(г,р). Интегрируя p33(z,p) по координате и импульсу, находим полную населённость возбуждённого состояния, которая пропорциональна мощности лазерного излучения, поглощённого в ячейке. Для высокоточных спектроскопических приложений резонанса ЭИП в "наноячейке" необходимым условием является получение узкого (несколько сотен герц) резонанса.
Для этого рассмотрим возможность использования буферного газа в "наноячейке" с целью получения сужения линии резонанса ЭИП. Для начала оценим концентрацию буферного газа, которую необходимо ввести в ячейку. Длина Я1г свободного пробега активного атома равна Я1Г я —, где п — концентрация атомов буферного газа, а - сечение упруго" гого рассеяния активного атома на буферном. Подставляя значения Xtr -10-6 cm для "наноячейки" (здесь важно, чтобы длина свободного пробега атома была значительно меньше, чем размеры ячейки, а значит необходимо выполнение условия Xtr са, где а - размер ячейки), а = 10 15 cm2 получаем, что /7 = 1021 сгпъ. Следовательно, необходимо иметь давление буферного газа /7-Ю4 Торр. Однако при таких давлениях буферного газа ширина резонанса ЭИП за счет столкновения активных атомов с буферными ( Fbuff ) [76] достигнет нескольких десятков килогерц. 4.2. Форма резонанса ЭИП в случае зеркально-когерентных, диффузных и полного гашения граничных условий. В этом разделе представлены результаты численного расчета формы резонанса ЭИП при разных параметрах возбуждения [75,77]. Мы полагаем, что температура, при которой находится "наноячеика" с атомами, равна 50С, а Г «100 с-1. Параметры трехуровневого атома мы полагаем близки-ми к параметрам атома Rb: А ,— длина волны оптического перехода (795нм), Amw— длина волны микроволнового перехода (4,4 см), у - 3.5 107с-1 — скорость релаксации возбуждённого состояния. Здесь мы рассмотрим ситуацию, когда лазерные поля распространяются в одном направлении. На рис. 4.1(a) и рис. 4.2 представлена форма резонанса ЭИП возбуждаемого "узким" лазером в зависимости от длины а "наноячейки" для граничных условий зеркально-когерентного типа. Из рис. 4.1(a) видно, что в области а Лор1 наблюдается уменьшение ширины резонанса ЭИП (сужение резонанса) при уменьшении размеров "наноячейки". Чтобы разобраться, какой механизм сужения в данной ситуации имеет место, проанализируем спектр поглощения однофотонного излучения на переходе і) -»з) (для перехода 2) - 3) результаты аналогичны) в зависимости от отстройки SL лазерного поля при разных размерах "наноячейки", рис. 4.1(b). В рассматриваемой Л-системе (Рис. В.1), поглощение лазерного излучения атомом на переходе l) - 3) пропорционально Imp13 [78]. Из рис. 4.1(b) видно, что при а - Хор1 ширина сигнала поглощения равна AD kvT «313 МГц — доплеровской ширине оптического перехода. Далее с уменьшением размеров ячейки (при а Яор1) ширина сигнала поглощения на переходе і) - 3) стремится к естественной ширине оптического перехода у12п «5.7МГц. Это означает, что при а Лор, имеет место механизм сужения Дике для оптического перехода, а, следовательно, и для резонанса ЭИП (Рис. 4.1(a)).
Форма линии ДРОР. Сужение Дике. Радио-индуцированный и лазерно- индуцированый переносы
Мы рассмотрели возбуждение ДРОР на Di и D2 линиях (структурная схема атома 87Rb приведена в приложении 3). В [84,85] было установлено, что амплитуда сигнала ДРОР в случае возбуждения на Di линии в 2-4 раз выше, чем при возбуждении на D2 линии. Это в первую очередь связано с тем, что расстояние между уровнями \Fe = l) \Fe = 2) на D] линии составляет 816 МГц, в то время как на D2 линии расстояние между \Fe = і) и \Fe = 3) составляет 422 МГц. За счет доплеровского уширения оптического перехода, равного 515 МГц на D2 линии "захватываются" уровни \Fe =l), \Fe =2) и \Fe =3), что негативно сказывается на амплитуде сигнала ДРОР. На D! линии таких "захватов" не происходит. На рис. 5.2 мы представляем разные схемы возбуждения ДРОР на Dj линии, зависящие от поляризации лазерного поля [29]. На рис. 5.2(a) показана схема оптической накачки с+- поляризованным лазерным полем. Вид- но, что имеется три уровня ("карманы")li =1,/и = -і\, \Fg=2,m = +2) и Fg=l,m = l), которые не взаимодействуют с лазерным излучением. Через несколько оптических циклов все атомы накапливаются в этих карманах и перестают нести вклад в формирование сигнала ДРОР. Это значительно уменьшает амплитуду резонанса, и, следовательно, ухудшается параметр качества (стабильность). Fg=2,m = -l),\Fg=2,m = +l) \Fe,m = 0), взаимодействует с лазерным полем и возникает когерентное "Карман" Fg=2,m- +2} может быть подавлен при использовании линейно-поляризованного лазерного поля [рис. 5.2(b)]. Однако более детальный анализ показывает, что система уровней непоглощающее состояние, захватывающее атомы и действующее как карман". В этой ситуации атомы попадают в когерентную суперпозицию уров- ней Fg -2,т = 1) и Fg-2,m = -і), и перестают давать вклад в сигнал Также мы рассмотрели возбуждение ДРОР л — поляризованным лазерным полем рис.5.2(c). Такой тип возбуждения является более эффективным, поскольку число "карманов" минимально. Эти "карманы", возникающие на состояниях Fg = 1, т = -1), Fg = 1, т = +1}, имеются также и на двух предыдущих схемах. Для того чтобы избежать их, мы должны использовать двух-лазерную накачку [86-88]. Однако практическая реализация такой схемы технически сложна. Таким образом, далее мы будем рассматривать однола-зерную л — поляризованную накачку, которая используется в большинстве экспериментов.
В этом разделе рассматривается оптическая накачка я-поляризованным лазерным полем на Dі-линии. Под тс-поляризацией мы понимаем ситуацию, когда лазерное излучение поляризовано линейно, направление его распространения ортогонально, а направление поляризации совпадает с направлением постоянного магнитного поля В. Величина магнитного поля составляет В=0,05 Гс. Схема возбуждения ДРОР представлена на Рис. 5.2(c)., а геометрия, в которой реализуется подобная схема — на Рис. 5.3. Сигнал ДРОР — это зависимость сигнала тока у фотодетектора от отстройки Q.rf микроволнового поля. Поскольку поглощённая мощность пропорциональна рт, мы будем под сигналом ДРОР понимать зависимость Рассматривается случай, когда оптическое поле настроено в резонанс с переходом Fg = Т) - \Fe = l), при этом, поскольку расстояние между сверхтонкими подуровнями возбуждённого состояния составляет 816 МГц, а доп-леровская ширина оптического перехода AD « 500 МГц, мы принимаем во внимание также переходы Fg = 2\ - Fe =2), индуцированные оптическим полем. Микроволновое излучение действует на эталонном переходе jr =l,»! = 0) - Fg=2,iH = 0). Перейдем к результатам численного расчета и анализа ДРОР для различных граничных условий. На рис. 5.4 представлены результаты расчета ДРОР для зеркально-когерентных граничных условий [29,83]. Вначале рассмотрим случай "широкого" лазера, рис. 5.4(a). Из рисунка видно (кривая для Л /4 и ЗЛт„/4) влияние механизма сужения Дике [30] на форму ДРОР при длинах ячейки а Amw. При длинах ячейки а Х наблюдается влияние эффекта радио- индуцированного переноса (РИП) чистых и смешанных квантовых состояний на форму ДРОР (сплошная кривая). Этот эффект был впервые рассмотрен в [39,89,90] для 3-х уровневой модели. Физической сутью возникновения РИЛ является обусловленная эффектом Доплера селективность (по скоростям) взаимодействия радиочастотного поля с активными атомами. Она приводит к появлению беннетовских провалов и пиков [91] в распределении по скоростям атомов в долгоживущих состояниях l) и 2), образующих переход, взаимодействующий с микроволновым полем. Ассиметрия распределений по скоростям приводит к появлению встречных потоков атомов в этих состояниях вдоль направления распространения радиоволны. В этих условиях можно говорить о потоке инверсии или выморожен-ности населенностей, в зависимости от ситуации, или эквивалентно о переносе продольной намагниченности, что приводит к пространственному разделению этих состояний. Более подробно этот эффект описан в [90].
Теперь перейдем к случаю, когда для оптической накачки используется "узкий" лазер. Результаты представлены на рис. 5.4(6). Из рисунка (кривая для /lmw/4 и 3/1 /4) видно, что, во-первых, наблюдается влияние эффекта Дике на форму ДРОР, имеющего место, также как и в случае "широкого" лазера, при а Я . По сравнению с "широким" лазером, контраст ДРОР в этом случае примерно в 2 раза меньше, поскольку при накачке "узким" лазером в формировании резонанса участвуют только атомы определенной скоростной группы. Вторая особенность, связанная с использованием "узкого" лазера -влияние эффекта лазерно-индуцированного переноса (ЛИП) квантовых состояний [63,92] на форму ДРОР, имеющего место при длинах ячейки Эффект ЛИП, возникает аналогично РИП, а именно, появляются потоки атомов в разных долгоживущих состояниях. Однако в этом случае появление беннетовских провалов и пиков, а соответственно возникновение ас- симетрии распределений по скоростям, вызвано использованием "узкого" лазера. Отметим, что ЛИП наблюдается как в стоячей, так и в бегущей волне микроволнового излучения, в то время как для того чтобы наблюдать РИП, необходимо, чтобы микроволновое излучение представляло собой бегущую волну. Заметим, что как РИП, так и ЛИП играют весьма важную, а в некоторых случаях определяющую роль в формировании ДРОР, но при размерах ячейки а Лпт1% эти эффекты исчезают. В данной работе рассматривается плоская одномерная ячейка. В реальных же ячейках (трехмерных) наличие боковых стенок ячейки (как и использование частотной модуляции микроволнового поля) приводит к гашению РИП и ЛИП, поэтому наблюдение этих эффектов весьма затруднено. В [14,40,41] из-за трехмерного движения атомов и использования слабых микроволновых и оптических полей не наблюдалось влияние эффекта ЛИП на форму ДРОР. В [93] исследовался ДРОР в сильных полях, и авторы работы обнаружили проявление ЛИП. Интересно отметить, что этот эффект наблюдался в стеклянной (без антирелаксационного стеночного покрытия) ячейке. В разделе 5.3.3 мы рассмотрим такую ситуацию. Вместе с этим результаты, которые касаются наблюдения эффекта Дике, остаются справедливыми и при учете трехмерного движения атома. Соответствующий анализ был проведен в [38]. Приведём основные выводы. В одномерной модели длина свободного пробега атома равна длине а ячейки, а частота соударений со стенками y = v,/a. Это означает частотную модуляцию микроволнового излучения с частотой v, приводящую к возникновению в дополнение к центральной частоте к21 двух боковых v2l ± v. Усреднение по ансамблю атомов даст поэтому, кроме узкого центрального пика еще и широкий пьедестал. В трехмерной же кювете радиуса а длина свободного пробега уже не фиксирована и пробегает значения от нуля до а.
