Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І Гамильтонов хаос в классических и квантовых системах 8
1 Гамильтонов хаос 8
2 Проблема квантового хаоса и квантово-классического соответствия 11
3 Гамильтонов хаос с атомами и фотонами в резонаторе 13
ГЛАВА II Динамика одномерного нелинейного осциллятора в пространст венно-временном поле внешней силы 17
1 Динамика нелинейного осциллятора в поле периодической во времени и в пространстве внешней силы 17
2 Резонансное влияние пространственных осцилляции возмущения на динамику нелинейного осциллятора 21
3 Случай быстрых пространственных осцилляции возмущения. Метод усред нения 27
4 Динамическое описание влияния мультипликативного шума на гамильтонову систему 33
ГЛАВА III Динамика звуковых лучей в пространственно-неоднородных акустических волноводах 40
1 Гамильтонов формализм для описания динамики лучей в нерегулярных волноводах 40
2 Глубоководный акустический волновод 43
3 Мелководный волновод 51
4 Высвечивание лучей из мелководного волновода 58
5 Времена прихода звуковых лучей 65
6 Распространение лучей в случайно-неоднородных акустических волноводах 72
ГЛАВА IV Хаотическое рассеяние частиц в плоском гидродинамическом потоке 82
1 Модель с периодическим возмущением 84
1.1 Формулировка задачи 84
1.2 Стационарный случай 84
1.3 Хаотическое инвариантное множество потока 86
1.4 Поиск периодических орбит 90
1.5 Фрактальная структура рассеяния 93
2 Модель со стохастическим возмущением 98
2,1 Численное моделирование случайной функции 99
2.2 Шумоиндуцированное рассеяние 103
2.3 Шумоиндуцированные кластеры 108
ГЛАВА V Гамильтонов хаос в резонаторной квантовой электродинамике 115
1 Модель Джейнса - Каммингса для двухуровневого атома в квантованном поле идеального резонатора 116
2 Квантово-классический атомно-полевой гибрид 118
2.1 Квантовые степени свободы 119
2.2 Трансляционная степень свободы 121
2.3 Квантовые динамические величины 122
3 Когерентное поле 124
3.1 Регулярное и хаотическое движение атома 124
3.2 Запутанность и квантово-классическое соответствие 125
3.3 Квантово-классическое соответствие для хаотического движения атома 128
3.4 Воспроизводимость квантового состояния в режимах регулярного и хаотического движения атома 131
3.5 Атомные фракталы 134
4 Фоковское поле 136
4.1 Хаос в фоковском поле 137
4.2 Фоковский фрактал 140
Заключение 145
Список статей, опубликованных по теме диссертации 147
Библиография 149
- Проблема квантового хаоса и квантово-классического соответствия
- Резонансное влияние пространственных осцилляции возмущения на динамику нелинейного осциллятора
- Высвечивание лучей из мелководного волновода
- Модель со стохастическим возмущением
Введение к работе
Диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию основных закономерностей динамического хаоса в гамильтоновых системах на примерах из механики, гидродинамики, лучевой акустики и квантовой электродинамики. Выбор примеров обусловлен стремлением продемонстрировать разнообразие нелинейных процессов, которые можно описать в рамках единого подхода.
Открытие и изучение динамического хаоса в простых детерминированных динамических системах стало одним из главных достижений науки второй половины XX века. Проще всего определить динамический хаос в терминах экспоненциальной чувствительности к малым изменениям начальных условий. Если фазовое пространство системы ограничено, то экспоненциально быстро разбегающиеся по одному или нескольким направлениям траектории будут возвращаться в окрестность своего начального положения, что приводит к перемешиванию траекторий в ограниченном пространстве. Динамика называется хаотической, если экспоненциальная чувствительность проявляется почти для всех начальных условий и их вариаций. Отсюда следует практически важный вывод — хаос ограничивает прогнозируемость поведения даже сравнительно простых систем. Неизбежные неточности знания начальных условий в хаотической системе могут экспоненциально быстро нарастать, и через промежуток времени, обратно пропорциональный средней скорости разбегания траекторий (максимальный показатель Ляпунова), начальная неточность достигает неприемлемой для сколь либо разумного прогноза величины.
Пуанкаре, занимаясь проблемой трех тел в небесной механике, установил, что сложное поведение траекторий, чувствительная зависимость от начальных условий и бесконечное множество периодических орбит связано с существованием гомоклинической структуры — бесконечного разнообразия траекторий в окрестности неустойчивой точки равновесия, среди которых наряду со счетным множеством периодических траекторий имеются и хаотические. Как писал Пуанкаре: "Поражаешься, сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить" Фактически, Пуанкаре была поставлена проблема описания нового типа движения, впоследствии названного динамическим хаосом. Динамический хаос стал тем мостом, который связал давно известные и, казалось бы, несовместимые друг с другом типы движения — регулярное и полностью случайное.
Гамильтоновы системы, в отличие от диссипативных, являются чисто динамически-
ми, поскольку диссипация всегда связана с некоторым шумом. Можно выделить четыре их класса. Регулярные, полностью интегрируемые системы, движение которых является устойчивым (квази) периодическим с дискретным спектром. Поскольку почти любое возмущение разрушает интегрируемость, то такие системы исключительны. Их антиподами являются системы Аносова, движение в которых отличается полным и однородным перемешиванием и является идеально хаотическим. Такие системы структурно устойчивы, но не слишком реалистичны. Существуют гамильтоновы системы со слабым возмущением, так называемые КАМ-системы (по фамилиям Колмогорова, Арнольда и Мозера). Слабое возмущение деформирует инвариантные торы с иррациональными числами вращения и разрушает торы с рациональными числами вращения, на месте которых образуются экспоненциально узкие стохастические слои. Для двух и менее степеней свободы разрушенные торы лежат между инвариантными, и траектории оказываются зажатыми между ними. Если число степеней свободы больше двух, то узкие стохастические слои могут соединяться и соответствующие траектории могут сколь угодно далеко уйти от своих невозмущенных значений (диффузия Арнольда). Наконец, четвертый класс составляют типичные гамильтоновы системы с неоднородным фазовым пространством, в котором существуют обширные области с регулярным и хаотическим движением.
Наглядный образ фазового пространства гамильтоновой системы с малым числом степеней свободы дает сечение Пуанкаре — множество следов направленных траекторий, запечатленных с некоторым характерным периодом времени на определенной плоскости переменных системы. На Рис. 38 изображено сечение Пуанкаре на координатной плоскости пассивных частиц, адвектируемых точечным топографическим вихрем на фоне нестационарного течения. Для модели хаотической адвекции, рассмотренной в третьей главе, фазовое пространство совпадает с конфигурационным. Стало быть, точки на Рис. 38 могут представлять реальные положения частиц красителя в кювете, где удалось создать соответствующий двумерный поток. Фазовое пространство содержит множество "островов", движение внутри которых строго регулярное. Внешние "острова" погружены в "море" хаоса и окружены цепочками "островов" меньшего размера, те, в свою очередь, окружены "островами" еще меньшего размера. Иерархия "островов" прослеживается на всех масштабах увеличения разрешения. Хаотические траектории с неупорядоченным набором точек на сечении Пуанкаре не могут проникать через границы "островов". Влияние "островов" нельзя исключить, просто уменьшая на соответствующую величину фазовый объем ха-
отического "моря". Их роль гораздо важнее. Вблизи внешних границ "островов" имеются так называемые зоны "прилипания", в которых траектории могут подолгу застревать, кардинально изменяя статистические свойства движения. Диффузия становится аномальной, корреляции не распадаются экспоненциально, а типичная траектория отличается перемежаемостью — чередованием регулярных и хаотических осцилляции. Динамическое, статистическое и кинетическое описания гамильтоновых систем являются важнейшими задачами современной нелинейной динамики.
В первой главе кратко обсуждаются современные проблемы теории гамильтонова хаоса в классических и квантовых системах, имеющие непосредственное отношение к теме диссертации,
Во второй главе развивается теория одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы, который может служить прототипной моделью множества физических явлений, в том числе и рассматриваемых в диссертации. Развитая теория позволяет выявлять в фазовом пространстве системы зоны устойчивости, которые присутствуют даже в случае широкополосного шума.
В третьей и четвёртой главах диссертации исследуются транспортные, фрактальные и статистические свойства динамического хаоса в гамильтоновых системах, которые естественным образом возникают в океанологии при моделировании адвекции пассивных примесей в районах так называемых топографических вихрей в океане и при распространении звука в глубоком океане на дальние расстояния в подводном звуковом канале. В гидродинамике лагранжевы уравнения движения в случае идеальной несжимаемой жидкости можно получить с помощью функции тока по аналогии с гамильтоновыми уравнениями движения для канонически сопряженных переменных в механике. Распространение звука в подводном звуковом канале на дальние расстояния адекватно описывается в приближении геометрической оптики в терминах звуковых лучей. И в том и в другом случае при ряде допущений получаем неавтономные гамильтоновы системы с полутора степенями свободы, в которых роль половинки степени свободы играет время в задаче адвекции и пространственная координата вдоль волновода в акустической задаче. Следует отметить, что эти системы подробно исследовались в работах Д.В. Макарова "Нелинейная динамика лучей в неоднородном подводном звуковом канале" (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. СВ. Пранца, защищена в 2004 г.) и М.В- Будянского "Хаотическая адвекция и фракталы в нестацио-
нарном плоском потоке" (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. СВ. Пранца, представлена к защите в 2005 г.). В настоящей работе рассмотрены новые эффекты и предложены новые методы исследования этих явлений, не вошедшие в упомянутые диссертации.
В чистом виде гамильтоновы системы встречаются, пожалуй, только в небесной механике. В земных условиях любая система подвергается действию шума со стороны своего окружения. Практически важно изучить влияние шума на хаотическую динамику. Автором предложен новый метод обнаружения зон устойчивости в фазовом пространстве гамильтоновых систем, выживающих даже под действием шума, в рамках предложенных моделей исследованы индуцированные шумом транспортные, фрактальные и статистические свойства хаотической адвекции пассивных примесей и хаоса лучей в подводном звуковом канале.
Связь классического динамического хаоса с квантовой механикой — одна из наиболее интересных проблем современной физики [30,69,76,77]. Динамическим хаосом в классической механике называется псевдослучайное поведение динамических систем при отсутствии всякого шума и случайно варьируемых параметров, основным свойством которого является сильная зависимость от начальных условий в ограниченном фазовом пространстве. Считается, что изолированные ограниченные квантовые системы не могут проявлять столь чувствительную зависимость от начальных условий как классические системы в силу унитарности своей эволюции. Возникает вопрос: каков механизм возникновения классического хаоса из квантовой механики? В пятой главе диссертационной работы показывается как классический гамильтонов хаос с чувствительной зависимостью от начальных условий, положительными показателями Ляпунова, фрактальными свойствами фазового пространства и аномальными статистическими характеристиками возникает в сильно связанной атомно-полевой системе с бесконечномерным фазовым пространством. Такая система возникает в квантовой электродинамике одиночного атома, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем в высокодобротном резонаторе. Изучение фундаментальных принципов атомно-фотонного взаимодействия составляет быстро развивающуюся область резонаторной квантовой электродинамики [67,106,118]. В экспериментальных работах достигнут уровень, когда переход между классическим и квантовым динамическими режимами может наблюдаться напрямую. В этой главе теоретически и численно исследуется нелинейная динамика и квантовый хаос во взаимодействии атома с
квантованным полем стоячей световой волны с учетом атомной отдачи при излучении и поглощении фотонов в высокодобротном резонаторе. Установлено квантово-классическое соответствие поведения сугубо квантовых характеристик движения (квантовой энтропии и воспроизводимости состояний) и максимального показателя Ляпунова.
Проблема квантового хаоса и квантово-классического соответствия
Хаотическое поведение классических систем обусловлено экспоненциальным "разбега-нием" близких траекторий в ограниченном фазовом пространстве с хорошо известными мерами скорости такого разбегания {показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова - Синая и др.). Если говорить математически строго, то динамический хаос — явление асимптотическое. В определении показателя Ляпунова стоят два предела — расстояние между фазовыми точками, устремлённое к нулю, и время устремлённое к бесконечности. Даже в численных экспериментах (не говоря уже о реальных) эти пределы не достижимы. Более того, мы называем хаотическим (и правомерно), например, рассеяние пассивных примесей в модели адвекции, хотя, строго говоря, траектории частиц асимптотически (при т—» ±« ) регулярны. Наличие хаотического инвариантного множества в зоне перемешивания, фракталы, положительность (на конечном времени) показателя Ляпунова и другие признаки дают на это право. Попытки перенести хорошо разработанную теорию динамического хаоса в классических системах на квантовые системы наталкиваются на большие трудности. Поскольку типичные квантовые состояния делокализованы, то нет и понятия траектории, на котором основаны все меры хаоса в классической механике. Фазовое пространство в квантовой механике не является непрерывным — квантовое состояние не может занимать фазовый объем меньший, чем VQ ft , где N — число степеней свободы. В классической механике нет такого ограничения и в результате хаотического движения быстро "развивается" тонкая структура классического фазового пространства, вплоть до бесконечно малых деталей, что и является в строгом смысле слова перемешиванием.
В конечном объеме V фазового пространства квантовой системы имеется конечное число собственных частот системы равное V/Vo [66]. Движение с дискретным спектром по определению эргодической теории является регулярным. Однако, резкая граница между непрерывным и дискретным спектрами существует только в пределе Т — « . В силу соотношения неопределенности ДтД ft существует конечный интервал времени Тд, на котором дискретный спектр не разрушается, и следовательно, он динамически эквивалентен непрерывному спектру [66]. Согласно Б, Чирикову на этом очень малом промежутке времени Тд движение с дискретным спектром может проявлять статистические свойства классического хаоса. Из унитарности квантовой эволюции следует, что расстояние между двумя начальными квантовыми состояниями 14 1(0)) и Ч 2(0))і измеряемое величиной их скалярного произведения (перекрытия), вообще не изменяется со временем, т. к. где U — унитарный оператор эволюции со свойством U U —I (1 — единичный оператор). Идея А. Переса [97] состояла в том, чтобы искать чувствительную зависимость квантовой системы не к малым изменениям ее начального состояния, а к малым изменениям ее управляющих параметров или даже вида ее гамильтониана. С другой стороны принцип квантово-классического соответствия требует, чтобы в некотором макроскопическом пределе квантовая и классическая теория были согласованны, включая, разумеется, и теорию динамического хаоса. Очевидное противоречие и составляет суть проблемы квантового хаоса. Первоначально квантовым хаосом называли (а иногда называют и по сию пору) особенности квантовой эволюции в той области значений квантовой системы, где ее классический аналог демонстрирует хаотические свойства. Зачастую оказывалось, что квантовая система более устойчива и регулярна именно в той области значений параметров, где наблюдается хаос в ее классической версии. Кроме этого, как правило, для данной квантовой системы можно указать несколько классических аналогов с различными уравнениями движения. Имеется общая и фундаментальная проблема квантово-классического соответствия, суть которой заключается в следующем: если окружающий нас мир состоит из объектов, подчиняющихся законам квантовой физики, то почему повсеместно не наблюдаются макроскопические квантовые суперпозиции? Когда же благодаря недюжинным усилиям экспериментаторов их и удается создать в лаборатории (так называемые шредингеровские "коты"), то они очень быстро распадаются. Открытие динамического хаоса внесло в эту проблему дополнительную трудность. Оказалось, что время квантово-классического соответствия для классически хаотических систем неприемлемо мало. Из общих соображений его можно оценить так [62] где А — максимальный показатель Ляпунова, J — характерное классическое действие системы. Формула (2) означает, что промежуток времени Тд {в единицах характерного периода колебаний системы), после которого ожидаемые значения квантовых наблюдаемых системы начинают существенно отклонятся от классических переменных, зависит от величины действия логарифмически. Таким образом можно было бы ожидать, что даже вполне макроскопические объекты (планеты) давно должны демонстрировать сугубо квантовое поведение. Простой ответ на вопрос, почему этого не происходит, известен — из-за неизбежного воздействия окружения квантовая когерентность всех объектов нашего мира (являющаяся причиной, например, квантовых суперпозиций) очень быстро исчезает и тем быстрее, чем макроскопичнее объект. Для иллюстрации приведем такую оценку. Моделируем окружение некоторой системы "баней" гармонических осцилляторов. Из квантовых уравнений движения следует, что безразмерное время декогерентности (промежуток времени, в течение которого два фрагмента волнового пакета системы на расстоянии 6х друг от друга теряют когерентность) — можно оценить так [125] где у— скорость релаксации энергии системы, Ав{Т) = Ь/у/2ткьТ —длина волны де Брой-ля при данной температуре Т. Для объекта массой m = 1 грамм при комнатной температуре отношение Лд к расстоянию 8х= 1 см есть величина порядка 10-М. Следовательно, время декогерентности То Ю-40/у, значительно меньше времени диссипации и исключительно мало. Эта оценка дает представление о масштабе времени, на котором происходит потеря квантовой когерентности в макромире. Открытие того, что одномодовый лазер, символ когерентности и стабильности, может порождать динамический хаос, особенно важно не только потому, что лазер — это один из основных физических (и не только) инструментов, но также и потому, что лазер еще и идеальная система для проверки основных идей квантовой механики и статистической физики. С точки зрения нелинейной динамики лазер представляет собой открытую диссипативную систему, которая преобразует внешнюю накачку в когерентное излучение. Некоторые проявления странных аттракторов и диссипативного хаоса наблюдаются в лазерах разных типов [52,53,78]. Множество одинаковых двухуровневых атомов, взаимодействующих с одномодовым электромагнитным полем, является простейшей моделью лазерной динамики. Так как число атомов (и (ротонов) велико, лазерная динамика может быть адекватно описана в полуклассическом приближении, при котором мы считаем атомы двухуровневыми объектами, описываемые уравнениями Блоха для двух компонент электродипольной поляризации и инверсии населенности.
Эти атомы взаимодействуют с полем, описываемым классическими уравнениями Максвелла, правые части которых зависят от атомной поляризации. В случае одномодового однородно уширенного лазера, оперирующего в резонансе с центром линии, эти пять уравнений сводятся к системе трех вещественных уравнений для медленно меняющихся амплитуд, эквивалентной хорошо известной модели Лоренца для конвекции жидкости [89]. Практически в то же время динамический хаос был обнаружен в фундаментальной модели атомно-полевого взаимодействия: множества двухуровневых атомов взаимодействующих с их собственным полем излучения в одномодовом резонаторе без потерь и внешней накачки. Теоретически и численно было показано [18], что полуклассические уравнения Максвелла - Блоха, полученные из гамильтониана Дикке с учетом контр-вращающих членов [85], могут порождать полуклассический гамильтонов хаос. Контр-вращающими называются члены гамильтониана, приводящие к очень быстрым осцилляциям переменных на удвоенной частоте колебаний поля. Этот механизм возникновения хаоса при реалистичных значениях параметров довольно слаб. С другой стороны, приближение вращающейся волны подавляет хаос для покоящихся атомов в силу существования дополнительного интеграла движения — энергии атомно-полевого взаимодействия. В ряде работ [40,48,100-102] было показано, что полуклассический гамильтонов хаос может возникать и в приближения вращающейся волны в случае какой-либо модуляции атомно-полевой связи. Такие условия возникают при движении атома вдоль поля стоячей электромагнитной волны, периодического в пространстве [40,101]. Если скорость атома постоянна, то сила, действующая на него со стороны поля, будет периодической по времени. Энергия взаимодействия больше не является интегралом движения, и появляется возможность возникновения га
Резонансное влияние пространственных осцилляции возмущения на динамику нелинейного осциллятора
К сожалению, с помощью приведённой в предыдущем параграфе теории достаточно сложно исследовать влияние пространственных осцилляции возмущения на динамику системы. Для того, чтобы восполнить этот недостаток, представим систему уравнений движения для угла и действия в следующем виде Таким образом, движение имеет два масштаба по времени — колебания относительно минимума потенциала с частотой и модулируются колебаниями внешнего возмущения с частотой Частота fieff осциллирует вдоль траектории и может принимать отрицательные значения (при р 0). Представляя функцию V в виде ряда Фурье преобразуем уравнения (21) к виду где Ч ± = m#±I2±Jb7(/,#). Основной вклад в решение этой системы дают точки стацио-парной фазы dy±/dt cz 0, определяющие систему целочисленных реэонансов Условие (26) можно упростить, если влияние возмущения V(/, &) на траекторию сосредоточено в некоторой относительно малой окрестности і? = 0. Тогда, находясь в резонансе (26), траектория испытывает при каждом прохождении ф = 0 толчок. Интервал по времени между толчками равен периоду невозмущенных колебаний. Таким образом, условие (26) выполняется при кратном соотношении периодов невозмущенного движения Г„ и возмущения Т = InjCi n = 2я/1, где черта означает усреднение по периоду, и может быть записано в виде т. е. идентично уравнению (16) при л = 1. Уравнение (27) определяет условия резонансного взаимодействия частицы с пространственными осцилляциями возмущения, аналогичного известному явлению резонанса "волна - частица" [32,42]. Отметим, что, в отличие от (28), условие (27) может выполняться только в отдельных точках траектории частицы при некотором значении импульса p i 0-Оценим амплитуду отклика на этом резонансе. Назовем д-окрестностыо резонанса (27) с резонансной точкой р участок траектории, на котором расстройка резонанса Л] удовлетворяет неравенству где fi — некоторое малое число. При резонансе появляются неосциллирующие члены в правой части уравнения (24), поэтому внутри Jl-окрестности происходит секулярный рост (или уменьшение) амплитуды колебаний. В первом приближении этот рост можно считать линейным, т. е. изменение действия при прохождении резонанса имеет вид Д/= const (.
Максимальное изменение действия, обусловленное выделенным резонансом с резонансной точкой pres, есть (30) о, где /о — время прохождения ji-окрестности. Границы последней, q\ и qi, находятся из уравнения Мгновенная скорость изменения расстройки, характеризующая скорость движения по Ц-окрестности, даётся выражением (33) где Aq= \qt — q\ , если координата минимума потенциала q$ \qx: q \. Если же qo Є [q\ : qz], то импульс и, следовательно, потенциальная энергия одинаковы в точках q\ и qz, т. е. U{qz) = U(q\). В этом случае средняя скорость изменения расстройки принимает вид Отметим, что размер jl-окрестности по координате Aq является максимальным, если резонансная точка находится вблизи минимума потенциала, где производная dq/dp равна бесконечности. Следовательно, резонансный отклик, пропорциональный /eh будет в этой области наибольшим. Так как при прохождении минимума потенциала модуль импульса достигает максимума, уравнение определяет область значений действия, наиболее подверженную влиянию резонанса (27). Если qa является серединой интервала [1: q \t выражения (34) и (37) можно упростить, поскольку вблизи до потенциал можно представить в виде где 0 — частота малых колебаний. После подстановки (40) в (34), получаем выражение для Го В непосредственной близости минимума потенциала Ар и Aq связаны соотношением из которого следует После подстановки (43) в (41), выражение для времени пребывания в резонансной окрестности принимает вид Для колебаний с высокой амплитудой ртах Ар, и выражение (44) принимает форму uW Pmax Таким образом, траектории высокоамплитудных колебаний быстро "проскакивают" резонансную окрестность, проводя в ней лишь малую долю времени, в то время как низкоамплитудные колебания могут вообще не покидать резонансной окрестности. Величина резонансного отклика на колебаний высокой амплитуды имеет вид
Высвечивание лучей из мелководного волновода
С увеличением ширины примыкающего к сепаратрисе хаотического слоя усиливается транспорт в фазовом пространстве и, как следствие, возрастает число высвечивающихся лучей, т. е. лучей, достигающих дна. Для количественного описания этого эффекта введем коэффициент высвечивания где Ne число высветившихся лучей, Ns — общее число лучей, испускаемых источником. Очевидно, что величина пе будет существенно зависеть как от глубины, так и от диаграммы направленности источника, задающей начальное распределение лучей в фазовом пространстве. Для наших расчетов мы рассматривали источник, создающий однородное распределение лучей по переменным угла и действия. Такая модель источника наиболее удобна для выявления связи пе с топологией фазового пространства. На Рис. 24 изображена зависимость коэффициента высвечивания от масштаба вертикальных осцилляции возмущения профиля скорости звука. В случае Xr = 1 км функция ne(Aj) имеет резкий пик в точке Аг О,13 км. При Аг = 4 км максимум функции расположен в точке Aj = 5 км, имея при этом гораздо меньшую амплитуду и являясь достаточно расплывчатым. Полученный результат объясняется уширением внешнего хаотического слоя под влиянием резонанса (27) с резонансной точкой p„»l = К./К — 0,13, что соответствует крутым присепаратрисным лучам. Как уже отмечалось выше, амплитуда этого резонанса возрастает при уменьшении Я; и Яг (при условии, что отношение между ними сохраняется), что позволяет объяснить различия кривых, соответствующих Xf=\ км и А = 4 км. Для более детального анализа полученных результатов построим карты высвечивания, изображающие расстояние, преодолеваемое лучом до касания дна, как функцию начальных координат в фазовом пространстве. Результат приведен на Рис. 25. Белый цвет обозначает лучи, не высвечивающиеся вплоть до расстояния R = 400 км от источника. Обратимся сначала к верхней паре рисунков, соответствующих неоднородности с горизонтальным периодом Xr = 4 км. На левом рисунке приведён расчет для чисто горизонтальной неоднородности (кг = 0), на правом — для случая Aj = 0,5, что соответствует максимуму коэффициента высвечивания.
На обеих рисунках четко видны расположенные под разны ми углами полосы быстрого высвечивания. Их происхождение можно легко объяснить, если сравнить карты высвечивания с картами изменения действия за цикл траектории луча 3,12J, изображенными на Рис. 26. Структура карт изменения действия состоит из чередующихся полос положительных и отрицательных значений Д///$, своего рода "горбов" и "впадин", которые разделяются линиями нуля. Точки на линиях нуля, соответствующие резонансным значениям действия (т. е. для которых выполняется условие mu (/) = пкг), это эллиптические и гиперболические точки резонансов. Эллиптические расположены на устойчивых линиях нуля, снизу которых изменений действия является положительным, а сверху — отрицательным и, таким образом, фазовые траектории "стягиваются" к ним. Аналогично неустойчивые линии нуля содержат в себе гиперболические точки резонансов. В следующей главе это свойство линий нуля использовано для построения численного метода отыскания периодических орбит системы. Следует отметить также, что, вообще говоря, возможна ситуация, когда одна и та же линия нуля будет устойчивой в одном диапазоне значений действия и неустойчивой в другом. Простое сравнение Рис. 25 и Рис. 26 показывает, что полосы быстрого высвечивания образуются в областях фазового пространства, соответствующих "горбам" карты изменения действия. Отсюда следует вывод, что большое количество высвечивающихся лучей покидают канал очень быстро, в течение одного цикла траектории луча. Такой механизм высвечивания можно условно назвать регулярным, поскольку он обусловлен не столько явлением лучевого хаоса, сколько величиной эффективной амплитуды возмущения, "выносящего" лучи за сепаратрису. В случае Аг =4 км вертикальные осцилляции неоднородности сравнительно слабо влияют как на карту изменения действия, так и на карту высвечивания, приводя лишь к двукратному увеличению максимального изменения действия, что вызвано ростом производной dljdr вблизи резонанса (27) (на что указывалось в предыдущей главе), а также к небольшому искажению структуры вблизи іЗ = О. В результате структура карты высвечивания также меняется достаточно слабо. Ширину общего слоя высвечивания можно рассматривать как приближенную ширину внешнего хаотического слоя, поскольку все лучи, принадлежащие внешнему хаотическому слою, имеют конечное расстояние высвечивания и, более того, относительно малая часть часть хаотических лучей покидает волновод на больших расстояниях от источника. Существование "долгожи-вущих" хаотических лучей связано, главным образом, с наличием динамических ловушек в фазовом пространстве, располагающихся вблизи границ зон устойчивости. Этот эффект хорошо известен как "прилипание" (см., например, [11]). Ширина общего слоя высвечивания в фазовом пространстве составляет 0,3/j при г = О и 0,6/j при Яг = 0,5. Величина слоя быстрого высвечивания (соответствующего лучам, высвечивающимся менее чем за один цикл траектории) составляет, соответственно 0,1 Is и 0,2/г. В случае Аг = 1 км влияние вертикальных осцилляции неоднородности на структуру карту изменения действия гораздо сильнее.
При kz = 0 изменение действия за цикл траектории исчезающе мало. Это, главным образом, связано с тем, что период неоднородности существенно меньше цикла траектории луча в волноводе. Влияние нелинейного резонанса в этом случае слабо из-за чрезвычайно высокого порядка возникающих резо-нансов и задача вполне успешно может быть сведена к интегрируемой с помощью метода усреднения [28,41]. Важным свойством карты изменения действия в этом случае является горизонтальность линий нуля в окрестности д = 0, что означает отстутствие зависимости знака изменения действия от начальной фазы траектории. Адекватное объяснение этому явлению еще предстоит найти. Карта высвечивания для случая Xf = 1 км, kz = 0 не приведена по очень простой причине — высвечивание в этом случае практически отсутствует. Добавление вертикальных осцилляции неоднородности меняет картину кардинально. Структура карты изменения действия состоит, как и в случае А, = 4 км, из последовательности наклонно расположенных "горбов" и "впадин", причем на торбах1 также образуются зоны быстрого высвечивания, проникающие вглубь фазового пространства до / = 0,6/5. Общая ширина слоя высвечивания, а следовательно, как было показано выше, и хаотического слоя составляет 0,8/s, т. е. присепаратрисный хаотический слой захватывает большую часть фазового пространства. В дополнение к вышесказанному приведем карту коэффициента высвечивания в координатах кг - Лг, построенная для несколько измененной модели мелководного волновода с а = 10 км-1 и изображенная на Рис. 27. Как следует из приведенной карты, пе нарастает с увеличением кг вдоль прямой, кг — \рїе&\ хкг, где /Jres язО, 1. Это подтверждает наше утверждение о ключевой роли резонанса (27) в высвечивании лучей. В заключение этого параграфа проанализируем чисто физические следствия эффекта высвечивания лучей из подводного звукового канала. Очевидно, что наличие большого числа лучей, достигающих в процессе распространения поглощающего океанического дна неминуемо приводит к большим потерям акустической энергии. В наибольшей степени вы
Модель со стохастическим возмущением
Проблема влияния малого внешнего шума на динамическую систему важна и в реальных и в численных экспериментах на компьютере. Компьютерные вычисления подвержены случайным ошибкам. Для устойчивых траекторий малость этих ошибок гарантирует устойчивый результат. В случае неустойчивых хаотических траекторий экспоненциальное увеличение малой ошибки быстро приводит к уходу компьютерной траектории от соответствующей детерминированной. Казалось бы, это дезавуирует все компьютерные расчёты хаотических траекторий. Однако, в сильно хаотических системах вблизи каждой "шумовой" орбиты найдётся хаотическая детерминированная (т. е. без шума). Таким образом, мы не в состоянии на компьютере отслеживать истинную детерминированную орбиту, тем не менее (какая-то) детерминированная орбита в состоянии отслеживать наши вычисления. Поле скоростей реального потока имеет ярко выраженную случайную составляющую, обусловлєннную, прежде всего, молекулярной диффузией. Так как нас интересует не диф Рис. 48: Зависимость длин сегментов эпистроф Lj от их номера в эпистрофе j для нескольких эпистроф. Линиями показаны теоретические зависимости, рассчитанные по формуле (169). фузия сама по себе, а ее влияние на транспорт и перемешивание, то для моделирования этого эффекта введем в нашу детерминированную функцию тока случайную аддитивную компоненту где (т) — случайная функция, имеющая гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией а2 = 1/2 (то есть среднеквадратичные отклонения (т) и sinr равны), а а Є [0: 1] — коэффициент, определяющий относительные интенсивности периодического и случайного возмущения. Мы представляем случайную функцию (т) как сумму большого числа синусоид с разными частотами и случайными фазами Рис. 49: Зависимость времени от координаты для одного из отрезка эпистроф с Рис. 46. где фк — случайная величина, равномерно распределённая в интервале [0 : 2л:], а щ — набор частот, выстроенный по определённому закону. В задаче адвекции Здесь (Оь и а е — нижняя и верхняя границы спектра, соответственно, а й\ равномерно распределены в интервале от 6 до Щ.. В принципе, несложно получить спектр произвольной формы, введя в (171) амплитудный множитель, зависящий от частоты. На практике это не делалось, так как в этом не было необходимости. Так как (т) представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, то, в силу центральной предельной теоремы, (г) имеет гауссово распределение. Нормировочный коэффициент перед суммой в формуле (171) обеспечивает условие а2 = 1/2. На Рис. 51 приведён участок одной из реализаций (т), а на Рис. 52 приведено распределение вероятности для этой реализации. На практике, для ускорения счёта используется не сама (t), а её аппроксимация кубическими сплайнами. Это делает скорость счёта независимой от числа гармоник N. Моделирование шума в виде (171) по сравнению с непосредственным решением сто Рис. 50: Статистика времён для фрактала на Рис. 46. Сплошной линией показана функция N T r су 3,3. хастических уравнений, полученных из (170) имеет как преимущества, так и недостатки. Преимущества: Гладкость функции С(т). Это позволяет использовать без каких-либо модификаций все численные методы для задач без шумового возмущения. Скорость счёта уменьшается крайне мало, так как используется аппроксимация сплайнами. Воспроизводимость. Функция (т) зависит от набора фаз р , которые получаются с помощью генератора псевдослучайных чисел. Инициализируя генератор одним и тем же числом, мы получаем ту же самую реализацию (т) (при равных Щ, ое и Nt конечно). Таким образом можно делать различные численные эксперименты, используя одну и ту же реализацию шума. Независимость решения от шага интегрирования.
В отличие от решения стохастических уравнений, где появляется дополнительная зависимость от шага интегрирования, данный метод не вносит никакой дополнительной зависимости (кроме уже имеющихся, как то погрешность метода, ляпуновская расходимость и т. д.). Возможность моделирования произвольного спектра шума. Ненулевая длина корреляции. Во многих задачах дельта-коррелированный шум является бессмыслицей. Так, например, в задаче о распространении звуковых лучей в океане не имеет смысла рассматривать возмущение с частотой большей либо равной частоте звукового сигнала. Кроме того, во многих задачах высокочастотное возмущение оказывает на систему незначительное влияние. Недостатки: Необходимость обрезки спектра сверху и снизу. Трудно считать высокочастотное возмущение. Во-первых, увеличивается расход памяти на хранение коэффициентов сплайнов. Во-вторых, требуется более мелкий шаг интегрирования. Спектр не является гладким, а представляет набор дельта-пиков.
Конечно, можно увеличить их число, увеличивая N, но, тем не менее, этот эффект неустраним. Ненулевая длина корреляции. Для многих задач, дельта-коррелированность шума является важной, например, для задачи о броуновском движении. Трудность обобщения данного метода на случай, когда шум является многомерным (например, шум по пространству и по времени). Мы ограничимся перечислением наиболее важных эффектов влияния шума на транспорт, перемешивание и рассеяние пассивных примесей в исследуемой модели. Подробности изложены в диссертационной работе М. В. Будянского "Хаотическая адвекция и фракталы в нестационарном плоском потоке", Владивосток, 2005 (Дисс. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руковод. дф-мн С. В. Пранца). В отличие от цитированной работы мы исследуем чисто шумовой воздействие, т. е. выраженная периодическая компонента отсутствует в потоке. Наиболее очевидным следствием малого шума является "размывание" гладких инва
