Содержание к диссертации
Введение
Глава I ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА 15
I. Введение 15
2. Законы сохранения на поверхности раздела. . 16
3. Термодинамические соотношения на поверхности раздела 22
4. Вид поверхностных потоков и диссипативной функции -., . 27
5. Модернизация граничных условий в случае бездиссидативного роста кристалла 34
Глава П ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТИ КВАНТОВОГО КРИСТАЛЛА. 37
I. Введение 37
2. Классические модели поверхности кристалла. 38
3. Переход шероховатости и огранка кристалла. 42
4. Простейшая квантовая модель поверхности кристалла 44
5. Переход к. газу инстантонов 50
6. Энергия ступени 57
7. Температура перехода 61
8. Альтернативный класс моделей 63
9. Квантовая модификация -модели 67
Глава Ш КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА КРИСТАЛЛА I СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 71
I. Введение. Формулировка модели 71
2. Классические уравнения движения 73
3. Свойства границы раздела кристалл-жидкость 76
4. Форма кристалла при низких температурах 81
Глава ІУ КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КРИСТАЛЛА 84
I. Введение. Формулировка мод еж 84
2. Исследования модели при нулевой температуре 86
3. Фазовая диаграмма 94
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 97
ЛИТЕРАТУРА 100
- Законы сохранения на поверхности раздела.
- Классические модели поверхности кристалла.
- Классические уравнения движения
- Исследования модели при нулевой температуре
Введение к работе
Понятие о двух возможных состояниях поверхности кристалла - атомно-гладком и атомно-гаероховатом - было введено в работах Бёртона и Кабреры 11] и Бёртона, Кабреры и Франка [2] более тридцати лет тому назад. Хотя на поверхности кристалла, находящегося в атомно-гладком состоянии, и могут встречаться поверхностные дефекты упаковки (адатомы, вакансии в поверхностном слое) или кластеры таких дефектов, всегда, тем не менее, можно указать некий реперный уровень поверхности, отклонениями от которого эти дефекты являются. В атомно-шероховатом же состоянии кластеры поверхностных дефектов различного знака смыкаются и пересекаются друг с другом, так что становится невозможным определить, какой уровень поверхности является реперным.
Различию между атомно-гладким и атомно-шероховатым состояниями поверхности кристалла может быть придан не только качественный, но и количественный смысл. Для атомно-гладкого состояния свободная энергия ступени на поверхности кристалла в расчете на единицу длины является конечной, в то время как для атомно-ше-роховатого состояния она обращается в ноль. Кажцая грань кристалла, находящаяся в атомно-гладком состоянии, представлена в термодинамически равновесной огранке кристалла в виде плоского участка [3,4j, а грани, находящейся в атомно-шероховатом состоянии, соответствует лишь точка на закруглённом участке поверхности . г* -»
Ландау [3] показал, что из-за наличия ван-дер-ваальсова взаимодействия все грани классического кристалла должны находиться при нулевой температуре в гладком состоянии.
Фазовый переход между атомно-гладким и атомно-шероховатым состояниями поверхности кристалла (переход шероховатости, roucibehinaTmnsition) в равновесной огранке проявляется в уменьшении и дальнейшем исчезновении при некоторой температуре соответствующего плоского участка поверхности. Поэтому иначе его можно назвать переходом огранения.
Теоретическое исследование перехода шероховатости в рамках классической термодинамики производилось в основном с помощью так называемых ОиЬ-моделей (см., например, обзоры [5,6(). В этих моделях считается, что состояние поверхности кристалла может быть задано с помощью двумерного массива целочисленных переменных, представляющих собой высоту поверхности над некоторым фиксированным уровнем. Энергия, соответствующая данной конфигурации поверхности, представляет собой некоторую функцию разностей этих переменных. В разумно построенной модели при низких температурах поверхность является атомно-гладкой, а при высоких - атомно-шероховатой. По критическому поведению переход шероховатости принадлежит к тому же классу универсальности, что и фазовый переход в двумерном планарном магнетике [6J.
Существует также и феноменологическая теория перехода огранения, предложенная Андреевым [7J. По своей формулировке она аналогична безфлуктуационной теории фазовых переходов второго рода Ландау (см., например,[в]) и приводит к иному критическому поведению, чем микроскопические теории.
Появление и исчезновение плоских участков на равновесной огранке наблюдалось в экспериментальных исследованиях включений жидкой фазы в кристаллах дифенила [9,I0j и нафталина [if] и включений пара в кристаллах тетрабромметана l2j, а также кристаллов oi. -модификации сернистого серебра, находящихся в равновесии с паром [іЗІ.
Все эти исследования проводились при температурах выше комнатной, т.е. в области применимости классической термодина- мики. К сожалению, характер экспериментальных данных не позволяет выявить характеристики критического поведения. Исследования равновесной формы закругленных участков поверхности кристалла вблизи плоского участка, проводившиеся на кристаллах свинца, находящихся в равновесии с паром [l4J, указывают на наличие соответствия с микроскопической теорией.
В последнее время переходы огранения интенсивно исследуются при низких температурах на кристаллах , находящихся в равновесии с жидким сверхтекучим 4Не [l5-2Ij. Наличие в жидкости бездиссипативных потоков энтропии, обеспечивающих подвод и отвод теплоты плавления, и малость диссипации на границе раздела приводят к возможности исключительно быстрого роста кристалла и установления равновесной формы. К настоящему времени на поверхности кристалла %е обнаружено три различных перехода огранения, происходящих при температурах 1,2К, 0,9К и 0,35К [20\, Быстрый прогресс в этой области позволяет надеяться, что вскоре мы будем иметь надежные экспериментальные данные по характеру особенностей термодинамических величин при переходе шероховатости в гелии.
В случае границы раздела между твердым и жидким %е при низких температурах обе фазы (кристалл и сверхтекучая жидкость) представляют собой существенно квантовые объекты. Это обусловливает необходимость учета квантовых эффектов при изучении перехода шероховатости и возможных состояний поверхности.
Начало теоретическому исследованию поверхности квантового кристалла было положено Андреевым и Паршиным в 1978 г. [22J. В этой работе было показано, что квантовое туннелирование атомов на границе раздела из одной фазы в другую может привести к делокализации ступени на поверхности квантового кристалла и даже понизить её энергию вплоть до отрицательных значений. Авторы предположили, что спонтанное рождение делоішлизованннх ступеней, которое должно иметь место, если энергия одиночной ступени отрицательна, может привести к бездиссипативности процесса роста кристалла и к переходу поверхности кристалла в атомно-шероховаг-тое состояние даже при нуле температур (так называемая кванто-во-шероховатая поверхность). При таком подходе, вообще говоря, остается неясной возможность использования исходного приближения, основанного на анализе одиночной изолированной ступени, для описания квантово-шероховатой поверхности, представлящей из себя конгломерат взаимопересекающихся делокализованных ступеней различных ориентации.
Противоположная точка зрения на роль квантовых эффектов была высказана Фишером и Биксом [23]. Исходя из конечности ширины поверхности (квадрата нулевых колебаний) при любом степенном спектре поверхностных возбуждений эти авторы делают вывод о невозможности атомно-шероховатого состояния поверхности при температуре равной нулю. При этом аргументация заключается в том, что поверхность конечной ширины не может не чувствовать периодического потенциала, связанного с периодической структурой твердого тела. Подобное рассуждение, высказанное вне связи с какой-либо конкретной моделью, не кажется вполне убедительным. Помимо того, оно не исключает возможности фазового перехода при Т=0. Для произвольной конечной температуры авторы пользуются ренормгрупповыми уравнениями классической двумерной модели sun -Гордона, не обосновывая правомерность их применения в области температур, где, казалось бы, существенны квантовые эффекты.
Центральное место в настоящей диссертации занимает попытка решения вопроса о роли квантовых эффектов в переходе шероховатости на более конкретном уровне. Мы будем заниматься постро- ением и исследованием различных моделей поверхности квантового кристалла, учитывающих возможность квантовых переходов между различными состояниями поверхности. Среди них будет и модель, пригодная для описания границы раздела квантового кристалла и сверхтекучей жидкости.
Содержание работы Андреева и Паршина [22}, фактически положившей начало новой отрасли физических исследований - физике поверхности квантового кристалла, не ограничивается гипотезой о возможности пребывания поверхности кристалла в атомно-шерохо-ватом состоянии при нуле температур. В ней также была предсказана возможность распространения по такой поверхности микроскопических волн (названных ими волнами кристалжзации), в которых происходят колебания поверхности кристалла за счет его бездис-сипативного переплавления. По уравнеїшям движения эти волны аналогичны капиллярным волнам на свободной поверхности жидкости и при малых волновых векторах также имеют спектр с^«>к (в отсутствие поля тяжести).
Экспериментальные исследования Кешишева, Паршина и Бабкина [17,24) подтвердили, что при низких температурах по находящимся в атомно-шероховатом состоянии граням кристалла %е действительно возможно распространение волн кристаллизации со спектром, предсказываемым теорией [22]. Наблюдаемая на эксперименте зависимость величины затухания волн кристаллизации от джны волны и от температуры [l7,24j в общих чертах согласуется с предсказаниями теории [22,25,2б], объясняющей диссипацию энергии при переплавлении кристалла отсутствием полного равновесия между движущейся поверхностью и газами возбуждений в сверхтекучей жидкости и кристалле. другим интересным проявлением возможности переплавления кристалла является аномальное отражение звука [27J . Как. показа- ли Марченко и Паршин [28J, при 1VD выполнение условий бездис-сипативного роста кристалла приводит к тому, что прохождение звука через границу раздела оказывается связанным с чисто поверхностными эффектами в уравнениях динамики (например, капиллярным), а коэффициент прохождения низкочастотных звуковых волн становится пропорциональным квадрату частоты. Это приводит к увеличению теплового сопротивления границы раздела и изменению закона его температурной зависимости с 1 для случая непере-плавляющейся грани [29] на Т (аномальный скачок Капицы [28, 30j). При рассмотрении падения на границу раздела фаз макроскопической звуковой волны при Т^О коэффициент прохождения содержит также вклад, связанный с диссипативными процессами на границе раздела [27].
Эти предсказания также были подтверждены экспериментально как при изучении температурной зависимости величины скачка Капицы [3I-34J, так и при непосредственном исследовании отражения и конверсии звуковых волн [35,3б].
Экспериментальное наблюдение волн кристаллизации [17,24] и аномального скачка Капицы [3I-34J не могут служить безоговорочным подтверждением того, что поверхность находится в особом квантово-шероховатом состоянии.
Результаты, полученные в диссертации, согласуются в тем, что по граням, находящимся в атомно-шероховатом состоянии лишь при температуре выше некоторой, при благоприятном соотношении параметров также возможно распространение макроскопических колебаний поверхности (волн кристаллизации), несмотря на то, что при более низких температурах эти грани переходят в атомно-глад-кое состояние.
Несомненный интерес представляет вопрос о характере диссипации при росте квантового кристалла, находящегося в атомно-ше- роховатом состоянии. Большинство авторов [22,25,26] полагает, что возможен чисто бездиссипативный равновесный рост кристалла даже при конечной температуре, а наблюдаемая в экспериментах диссипация связана с неполным равновесием, возникающим из--за конечности частот и длин волн. Имеются, однако, и предположения о существовании процессов, препятствующих такому без-диссипативному росту [37] . Окончательный ответ на этот вопрос может быть дан лишь с помощью дальнейшего исследования квантовых моделей поверхности кристалла типа рассматриваемых в настоящей диссертации.
В первой главе исследование границы раздела кристалла и сверхтекучей бозе-жидкости проводится на феноменологическом уровне. Несмотря на активное теоретическое и экспериментальное исследование границы раздела фаз в %е (часть работ упомянута выше), в литературе пока отсутствует последовательный и полный вывод граничных условий для такой системы. Рассматривались лишь отдельные частные случаи. Шмидт [звЗ осуществил вывод граничных условий для сверхтекучей жидкости, соприкасающейся с жесткой непереплавляющейся стенкой, учтя при этом диссипативные потоки в жидкости. Кастэн и Нозьер [27] получили вид граничных условий при наличии диссипативных потоков массы и тепла через плоскую границу раздела, пренебрегая всеми другими поверхностными эффектами и диссипативными потоками в обеих средах. Пюэш и Кастэн [зэ] нашли каким образом входит в граничные условия специфический инерционный член, связанный с возможностью без-диссипативного потока массы через границу раздела (опять-таки при тех же многочисленных пренебрежениях). Попытка ввести такой член, основываясь на микроскопических соображениях, была сделана ранее Косевичем и Косевичем [40] . - II -
Исходя из законов сохранения и второго начала термодина-мини в первой главе получены граничные условия в наиболее общем виде. Подобный подход использовался ранее Ландау и Халат-никовым при выводе уравнений гидродинамики сверхтекучей жидкости (см., например, |4l]), а также Андреевым и Компанейцем при выводе граничных условий на свободной поверхности сверхтекучей жидкости [42J. Отдельно рассмотрены случаи наличия и отсутствия процессов переброса и случаи диссипативного и бездис-сипативного роста кристалла.
Полученные граничные условия включают в своё число ряд соотношений онсагеровского типа, связывающих восстанавливающие термодинамическое равновесие потоки с отклонениями от равновесия, их вызвавшими, а также уравнение, определяющее скорость изменения поверхностного квазиимпульса (в случае отсутствия процессов переброса на поверхности) и уравнение, являющееся обобщением соотношения Херринга [57] с учетом поверхностной инерции (в случае бездиссипативности роста кристалла). Наличие диссипации в жидкости и газе возбуждений твердого тела приводит к появлению дополнительных членов как в обобщенном соотношении Херринга, так и в условии, определяющем поток тепла через границу раздела.
Во второй главе построена и исследована простейшая модель квантового кристалла, являющаяся обобщением классической дискретной гауссовой модели J43J. Эта модель оказывается пригодной для описания границы раздела кристалла и жидкости равных плотностей. Она может также служить для описания доменной стенки в магнетике или планарного дефекта в квантовом кристалле.
Модель исследована в предельном случае большой амплитуды квантового туннелирования с помощью перехода к представлению инстантонного газа. Показано, что при нулевой температуре по** верхность является гладкой при любом соотношении параметров, а температура перехода в атомно-шероховатое состояние TR хотя и падает с ростом амплитуды квантового туннелирования,но лишь незначительно. Этот вывод верен и для других моделей, рассматриваемых в двух последующих главах. Квантовые эффекты могут, однако, привести к сильному уменьшению размеров плоских участков на равновесной огранке, что затрудняет их экспериментальное наблюдение в случае кристалла конечного размера. Другим следствием большой амплитуды квантового туннелирования является сужение области критического поведения термодинамических величин.
Во второй главе также сформулирована модель поверхности кристалла, принадлелшщая к не рассматривавшемуся ранее классу моделей, в которых гладкое состояние грани в отсутствие флуктуации не является абсолютно устойчивым. Согласно построенному ван Бейереном соответствию J44J эта модель эквивалента одному из вариантов точно решаемой шестивершинной модели [45j. В ней при низких температурах рассматриваемая грань не присутствует в равновесной огранке (на поверхности кристалла имеется ребро). При некоторой температуре на месте ребра появляется закругленный участок, соответствующий атомно-шероховатому состоянию поверхности. Сформулирована и исследована при помощи теории возмущений квантовая версия этой модели, на фазовой диаграмме которой помимо областей значений параметров, соответствующих ребру и атомно-шероховатому состоянию, имеется также и область устойчивости атомно-гладкого состояния данной грани. И в этой модели поверхность может находиться в атомно-шерохо-ватом состоянии лишь при не слишком малых температурах. - ІЗ -
В третьей главе сформулирована и исследована модель, построенная для описания границы раздела кристалла и сверхтекучей жидкости. В ней амплитуда межфазного туннелирования является комплексной величиной, фаза которой зависит от фазы конденсата, а суммарный функционал действия системы помимо чисто поверхностного вклада содержит также вклады, связанные с жидкостью и с твердым телом. При пренебрежении дискретностью структуры кристалла классические уравнения движения этой модели согласуются с феноменологическими уравнениями для границы раздела с бездиссипативным плавлением (глава I, 5).
Исследование различных предельных случаев при помощи перехода к представлению инстантонного газа и при помощи теории возмущений показывает, что при нулевой температуре в этой модели имеет место фазовый переход по параметру между фазой со щелевым спектром поверхностных возбуждений и фазой с бесщелевым спектром. При температуре \ , зависящей, хотя и слабо, от амплитуды квантового туннелирования, на поверхности происходит переход в атомно-шероховатое состояние. При температуре выше TR и благоприятном соотношении параметров (соответствующих малой химической активности инстантонов) линеаризованные уравнения движения поверхности совпадают (с точностью до ренормировки некоторых констант) с граничными условиями для случая без-диссипативного роста кристалла и, следовательно, допускают распространение волн кристалжзации, предсказанных Андреевым и Паршиным [22].
В третьей главе также обсуждается вопрос о степени уменьшения за счет квантовых эффектов размеров плоских участков равновесной огранки кристалла и приводится критерий возможности экспериментального наблюдения таких граней.
В четвертой главе исследуется модель свободной поверхности квантового кристалла, впервые предложенная Фрадкиным [4б]. В ней возможны перескоки атомов вдоль поверхности кристалла. Из-за наличия дополнительной симметрии гамильтониана (происхождение которой связано с сохранением числа атомов в кристалле) в этой модели помимо перехода шероховатости происходит также еще один фазовый переход. Это переход в состояние, в котором возможен бездиссипативный ток массы вдоль поверхности, т.е. переход сверхтекучести. Его существование особенно очевидно в одном из предельных случаев, когда рассматриваемая модель становится эквивалентна классической ХУ-модели. Температура перехода сверхтекучести падает с уменьшением амплитуды квантового туннелирования и при некотором соотношении параметров обращается в нуль.
Исследование показывает, что фазовая диаграмма данной модели разбивается на четыре области, соответствующие различным фазам. По крайней мере в одной из них (сверхтекучей атомно-ше-роховатой) возможны макроскопические колебания поверхности -волны огранки.
Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на 6-ом Советско-финском симпозиуме по физике низких температур и твердого тела (Звенигород, октябрь 1984 г.) и 23-ем Всесоюзном совещании по физике низких температур (Таллин, октябрь 1984 г.), а также на семинарах Института теоретической физики им.Л.Д.Ландау АН СССР и Института физических проблем им.С.И.Вавилова АН СССР и были опубликованы в работах [47-52].
Законы сохранения на поверхности раздела.
Выберем поверхность раздела фаз, как. это обычно принято, так, чтобы поверхностная масса отсутствовала. Это всегда можно сделать, так как. объемные плотности твердого тела и жидкости различны. После этого мы уже не сможем представлять другие аддитивные величины (энергию, энтропию и т.д.) в виде объемных интегралов от соответствующих плотностей, а должны будем также включать в рассмотрение специфическую поверхностную часть.Формально это эквивалентно добавлению к. регулярной части соответствующей плотности (например, плотности энергии L ) сингулярной поверхностной части:
Здесь 8- - обобщенная функция "простой слой", носителем кото-рой является поверхность раздела фаз.
Классические модели поверхности кристалла.
В обычно изучаемых моделях кристалл со свободной поверхностью, находящийся в равновесии с паром, моделируется с помощью решеточного газа. При этом вводатся следующее ограничение: узел решетки может быть занят атомом, лишь если так же занят лежащий непосредственно под ним узел (или группа узлов). Такое условие и дало название всему классу моделей ( solid-ОУЬsolid или, сокращенно, Sup ). При выполнении указанного ограничения состояние кристалла со свободной поверхностью может быть однозначно задано с помощью двумерной матрицы целочисленных переменных, представляющих собой высоту поверхности относительно некоторого фиксированного уровня. При этом её энергия, соответствующая различным поверхностным конфигурациям, задается как функция этих целочисленных переменных.
Характерным представителем описанного выше класса моделей является дискретная гауссова \DG) модель с гамильтонианом введенная Чуй и Биксом [43]. Здесь целочисленные переменные заданы на узлах плоской квадратной решетки, а суммирование ведется по парам ближайших соседей. Модель (I) описывает грань (001) кристалла с простой кубической решеткой.
Заметим, что гамильтониан (2.1) инвариантен относительно одновременного смещения всех переменных: И;-?И;4ДУ1 .В шероховатом состоянии поверхности эта симметрия сохраняется, а переход в гладкое состояние представляет собой её нарушение. Вместо непосредственного изучения критических свойств Ъ\з и подобных ей моделей в статсумме обычно проводят дуальное преобразование jj58t59j, переводящее её в статсумму модели планарного магнетика (типа ХУ-модели). Природа фазового перехода в таких моделях была установлена Березин-ским j_60,6]Q и Костерящем и Таулесом [62,63]. Их критические свойства были проанализированы Костерлицем [64] с помощью метода ренормгрупповых преобразований. Удобьшм инструментом анализа высокотемпературных свойств модели (2.1) является перевод стат-суммы (2.2) в статсумму решеточного кулоновского газа [43\,
Классические уравнения движения
Так же, как и для простейшей квантовой SDS-модели (глава П), в предельном случае большого U и малого J оказывается возможным при помощи вычисления по методу перевала представить функциональный интеграл, соответствующий феинмановскои амплитуде перехода, в виде статсуммы разреженного инстантонно-го газа. Вклад в действие от одиночного инстантона и взаимодействие инстантонов могут быть вычислены по классическим уравнениям движения для действия (3.2), в котором переменная п рассматривается как непрерывная.
Уравнения (3.12) и (3.13) представляют собой, соответственно, закон сохранения массы и закон сохранения импульса для границы раздела. Отсутствие в них специфических поверхностных членов (ср. с феноменологическими уравнениями (1.8) и (I.II) главы I) связано с простейшей формой поверхностного вклада в действие (3.5), в котором коэффициенты о и U считаются постоянными, не зависящими от каких-либо переменных. Поскольку введение поверхностных потоков массы и импульса не приводит к качественному изменению поведения системы, мы не будем этим специально заниматься.
Уравнение (3.II) представляет собой обобщение известного условия Херринга [_57] с учетом специфического инерционного члена, введенного из феноменологических соображений Пюэшем и Кае-тэном [39_\. В рассматриваемой модели поверхностная инерция связана с конечностью амплитуды межфазного туннелир.ования, т.е. имеет чисто квантовое происхождение в отличие от работ 39,40j, где предлагалось её механическое толкование. Решеточный лапласиан от И; , входящий во второе слагаемое в правой части (3.II), в непрерывном приближении соответствует кривизне границы раздела, по отношению к недсформированному кристаллу. Анализ феноменологического аналога уравнения (3.II) (см. (1.35) и (1.32)) показывает, что именно эта "редуцированная" кривизна входит как коэффициент при поверхностной свободной энергии ОІ .
Таким образом, мы показали, что классические уравнения движения рассматриваемой модели согласуются с феноменологическими уравнениями для границы раздела. Это указывает на правильность выбора выражения (3.1) для амплитуды туннелирования и вида членов с временными производными в выражениях для действия жидкости (3.3) и кристалла (3.4). Из-за возможности перемещения границы раздела относительно кристалла оказывается существенным, какая именно из сопряженных переменных входит в действие как. координата, а какая - как импульс. Если бы мы использовали члены с "перекинутыми" временными производными, то вид уравнений движения для поверхности получился бы иным (не согласующимся с феноменологией).
Исследования модели при нулевой температуре
При Y=0 гамильтониан (4.1) диагоналей в переменных И; . Основное состояние соответствует абсолютно гладкой поверхности (и:=іа0 соплі) и обладает нулевой энергией. Наиболее низколежащие из возбужденных состояний соответствуют наличию одного адатома на гладкой поверхности или наличию вакансии в верхнем слое атомов и обладают энергией (2/2)1 ( 2 - число ближайших соседей в плоскости поверхности).
При конечном, но малом мы можем иссле довать гамильтониан (4.1) с помощью теории возмущений. Учет поправок первого порядка не меняет энергию основного состояния, однако первый возбужденный уровень размывается в зону шириной sY . Учет поправок, следующих порядков позволяет записать выражение для величины щели в спектре в виде: что позволяет сделать вывод о её конечности при малых Y .
В другом предельном случае, Y » оказывается удобным исследовать функциональный интеграл L. , представляющий собой фейнмановскую амплитуду перехода j_86J для гамильтониана (4.2).
В выражении (4.3) уже осуществлен переход к мнимому времени, а суммирование по иДі) заменено на интегрирование, что компенсируется добавлением о -функциональных множителей в виде сумм по
При Y.T можно исследовать (4.3) вычисляя различные слагаемые суммы по Vvuii) методом перевала, подобно тому как это было сделано в главе П для простейшей квантовой оир -модели. Экстремум действия ft , стоящего в показателе экспоненты в выражении (4.3) достигается на траекториях, удовлетворяющих классическим уравнениям движения для V0 и И где через обозначен решеточный градиент.
