Содержание к диссертации
Введение
1. Общие методы расчета магнитного поля и вихревых токов в экранах электрических машин 9
1.1. Особенности конструктивного исполнения электрических машин с немагнитным ротором 9
1.2. Анализ существующих методов расчета магнитного поля и вихревых токов в области экранов ротора 13
1.3. Электромагнитное поле и вихревые токи в экранах ротора при упрощенной постановке задачи.. 25
1.4. Выводы 38
2. Исследование алгоритмов расчета трехмерного поля .. 39
2.1. Допущения, принимаемые в исследуемых алгоритмах 39
2.2. Применение векторного потенциала электрического тока и скалярного магнитного потенциала для расчета поля и вихревых токов 44
2.2.1. Расчет электромагнитного поля с учетом трех составляющих плотности вихревых токов 45
2.2.2. Расчет поля и вихревых токов с учетом электрической анизотропии экранов ротора
2.2.3. Об аналитическом решении задачи расчета поля и вихревых токов в плоских экранах
2.3. 0 расчете поля и вихревых токов в экранах ротора в прямоугольной системе координат
2.4. Упрощенный расчет электромагнитного поля и вихревых токов с помощью векторного магнитного и скалярного электрического потенциалов... 75
2.5. Выводы 85
3. Исследование особенностей численной реализации алгоритмов на основе векторного и скалярного потенциалов 86
3.1. Исследование свойств конечноразностных уравнений 86
3.2. О сходимости итерационных процессов решения систем конечн оразн ос тных уравнений 102
3.3. Разработка разностной схемы аппроксимации источников 12Е
3.4. Выводы 138
4. Анализ результатов расчета и сопоставление методов .139
4.1. Исследование решений задач в упрощенной постановке 139
4.2. Исследование решений задач расчета поля в трехмерной постановке 151
4.3. Результаты расчета поля и вихревых токов в экранах ротора существующих машин 178
4.4. Выводы 213
Заключение 215
Список основной использованной литературы 217
Материалы о внедрении 226
Содержание 230
- Анализ существующих методов расчета магнитного поля и вихревых токов в области экранов ротора
- Применение векторного потенциала электрического тока и скалярного магнитного потенциала для расчета поля и вихревых токов
- О сходимости итерационных процессов решения систем конечн оразн ос тных уравнений
- Исследование решений задач расчета поля в трехмерной постановке
Анализ существующих методов расчета магнитного поля и вихревых токов в области экранов ротора
Определение вихревых токов в экранах ротора с учетом конечной длины последних, а также оценка мощности потерь в этих экранах наиболее точно могут быть произведены путем расчета электромагнитного поля во всей торцевой зоне электрической машины. В настоящее время существует несколько подходов к расчету поля в торцевых областях, отличающихся как количеством, так и степенью правомерности упрощающих допущений.
Большинство попыток рассчитать поле в торцевой зоне с помощью аналитических методов требует более существенного упрощения задачи. Многие авторы /16,22,85,73,43/ производят расчет магнитного поля в области лобовых частей без учета реакции вихревых токов. Определение вихревых токов и потерь в этом случае необходимо осуществлять по значениям магнитной индукции на поверхностях проводника /56,79/. Существуют работы /27,38,35,36,45,49/, в которых расчет поля производится путем аналитического решения уравнений квазистационарного электромагнитного поля. Такие решения возможны в случаях, когда граничные условия и условия на поверхностях раздела сред достаточно просты. Поэтому исследователи вынуждены упрощать как геометрию источников поля, так и геометрию всей расчетной области. Так, в /84/ рассматривается задача расчета квазистационарного электромагнитного поля и вихревых токов в цилиндрических экранах, простирающихся до торцевых щитов. Экраны и обмотка статора заключены в магнитный контейнер. Экран конечной толщины представляется в виде набора тонких оболочек, индуктивно связанных между собой и с оболочкой, моделирующей обмотку статора. Аналогичный подход используется в /70/, однако отличительной чертой этой работы является возможность учета произвольной длины экрановСрис.1. 20 . В обеих работах тонкие оболочки заменяются эквивалентными индуктивно связанными цепями, параметры которых находятся при помощи решения более простой краевой задачи для тонкой оболочки в цилиндрическом магнитном контейнере методом Фурье. Как видно, авторы не имеют возможности учесть реальную геометрию сердечншса и лобовых частей оомотки статора.
В работе /32/ получены аналитические соотношения для расчета радиальных и тангенциальных удельных электродинамических усилий, действующих на наружный экран ротора в активной зоне генератора. Разработана методика определения коэффициентов, учитывающих влияние торцевого эффекта при расчете активных и индуктивных сопротивлений экранов. При этом автором были приняты следующие допущения: статорная обмотка представлена бес конечно тонким токовым слоем, расположениям на среднем радиусе обмотки, сердечник статора и экран простираются до торцевого щита машины (рис.1.3.) .
Рекуррентные соотношения для расчета коэффициентов экранирования и отражения многослойной системы цилиндрических экранов получены в работе /33/. Результаты получены на основе разработанного автором методом расчета поля в многослойных средах. Суть метода заключается в замене граничных условий на поверхностях проводящего слоя соотношениями для напряженностей электрического и магнитного полей, выраженными через коэффициенты экранирования и отражения слоя. Автором использовано при этом допущение о бесконечной длине экранов. В этой же работе получено аналитическое решение и разработан алгоритм расчета поля в криотурбогенераторе с учетом конечной длины экрана. При этом система экранов на частотах несколько десятков герц представлена как эквивалентный экран с бесконечно большой проводимостью (рис.1.4.) . Большую ценность в работе представляют результаты экспериментального исследования модели экрана.
Метод расчета электромагнитного поля с учетом неравномерности распределения вихревых токов по толщине экрана приведен в /58/. При определении магнитного поля экранов в работе используются граничные условия на поверхностях проводника, которые впервые были описаны в /31/. Следует отметить, что методика не позволяет учесть эффекты, связанные с конечной длиной экранов, а также с отгибом лобовых частей обмотки статора. Кроме того, методика не дает возможности рассчитать распределение мощности потерь в массиве экрана.
Модель с бесконечно длинными в осевом направлении экранами принята в качестве исходной в работе /68/. Конечность длины экранов учитывается приближенным аналитическим методом. Неравномерность распределения токов по толщине экранов учитывается путем разделения экранов на отдельные бесконечно тонкие токовые слои. Подход не дает возможности учесть отгиб лобовых частей оомотки статора.
Аналитическое решение задачи о проникновении произвольно ориентированного магнитного поля В внутрь многослойного немагнитного бесконечно длинного цилиндра, слои которого различны по толщине и электропроводности, приведено в /77/. Задача сводится к интегрированию уравнения типа теплопроводности относительно 6 в пределах каждого слоя. Приложенное поле представлено в виде ряда фурье по угловой и интеграла Фурье по осевой координатам. Путем использования преобразования Лапласа и введения вспомогательных функций 1J= Br- jBsp и V=f} -«-}B f получены независимые уравнения относительно U , V и . Решения этих уравнений представлены в виде, содержащем функции Макдональда и коэффициенты, определяемые из условий сопряжения на границах слоев. Указывается на возможность применения метода для цилиндров конечной длины.
Применение векторного потенциала электрического тока и скалярного магнитного потенциала для расчета поля и вихревых токов
Использование пары потенциалов А и U3, рассмотренное в п. 1.2., для решения трехмерной вихревой задачи требует нахождения распределения векторной функции А во всей расчетной о сласти и скалярной функции 17э в области, занятой проводником. Этот подход, как было уже отмечено, встречает значительные трудности практической реализации. Условие равенства касательных составляющих Н на границах раздела сред с различными магнитными проницаемое тями связывает между собой компоненты векторного магнитного потенциала, что существенно усложняет решение задачи расчета поля в областях, граничащих с ферромагнитными поверхностями. Кроме того, в цилиндрической системе координат уравнения относительно радиальной и тангенциальной составляющих А взаимосвязаны и это дополнительно усложняет решение системы дифференциальных уравнений для проекций А в этой системе координат.
Не всегда возможно упрощение задачи путем пренебрежения какой-либо одной составляющей потенциала, как это сделано в п.2.4. Поэтому очевидное преимущество имеет предложенная в /72/ формулировка задачи с помощью другой пары потенциалов, а именно, скалярного магнитного U , определяемого во всей расчетной области, и векторного потенциала электрического тока, не равного нулю обычно только в областях, занятых проводником, в котором ищется распределение вихревых токов, и в областях со сторонними источниками. Преимущества использования скалярной функции для описания поля в областях вне проводящих тел состоят в следующем: уменьшается число искомых неизвестных, упрощаются краевые условия, упрощается формулировка и решение задачи с учетом нелинейных и анизотропных свойств материалов.
Характер поля вектора Н0 зависит от вектора искомой плотности вихревых токов 3 . В самом общем случае, когда 3 содержит все три составляющие, вектор Н0 может иметь как две, так и три компоненты. Эта свобода выбора поля Н0 связана с неединственностью решения уравнения irotH J . Выбор того или иного решения этого уравнения приводит к различным моделям расчета поля. Свобода выбора поля Но определяется тем фактом, что не задана функция dl\j п0 и на ее выбор не наложены никакие ограничения. Так, если в общем случае вектор К0 содержит три составляющие, то потенциальные источники did Н0 могут быть произвольными, если же мы выбираем двухкомпонент Так как электропроводность Y экранов постоянна вдоль координаты У » то слагаемое, содержащее І , в левой части этого уравнения обращается в нуль. Значение также равно нулю всюду внутри проводника, за исключением торцевых поверхностей экранов, на которых Для функции п0 необходимо задать граничные условия.
Уравнения для искомых функций и , H0rm и Ногт необходимо дополнить краевыми условиями на границах расчетной об-ласти. Условия для Horm следует задать только на торцевых поверхностях экрана 1-± Ь , так как уравнение для Hofrn Одномерно. Рассматривая совместно равенство 32=-- и условие jl +р-0 » можно заключить, что Ц0г не зависит на этих поверхностях от координаты У , но, как указывалось в п.2.1., одно из основных допущений решения задачи требует, чтобы все величины, определяющие поле,были периодичны вдоль У , значит это возможно только в одном случае, когда Н0ип 0 на этих поверхностях. Так как плоскость 2=0 является плоскостью симметрии электромагнитного поля, то на этой поверх-нос ти следует задать условие yf -O Аналогичные рассуждения для функции ],.= - TJ , а также условие равенства нулю нормальной составляющей плотности вихревых токов 3j.= Q на внешней и внутренней поверхностях цилиндрических экранов приводит к однородным граничным условиям на них для функции пОІп
Рассмотрим отдельно точки, лежащие на пересечении торцевой и боковых поверхностей экрана. В этих точках не определено понятие нормали к поверхности экрана, поэтому граничные условия, полученные ранее из условия равенства нулю нормальной к поверхности проводника составляющей тока,нельзя считать справедливыми для этих точек. В реальном экране кривизна сопрягающей поверхности конечна и нормаль при переходе от боковых к торцевым поверхностям непрерывна. Поэтому в точках, расположенных на граничном контуре экрана, целесообразно совместно с уравнением для скалярного магнитного потенциала рассмат-ривать уравнение для нормальной составляющей Hon функции Н0, которое на боковых поверхностях совпадает с (2.12.), а на торцевых с (2.13.). Функция H0h также непрерывна при переходе через "скругленный" угол экрана, что предлагается использовать при численном решении уравнения для И , и Honw.
О сходимости итерационных процессов решения систем конечн оразн ос тных уравнений
Для решения получаемой системы алгебраических уравнений могут использоваться различные детально разработанные методы /50/. Практически наиболее эффективными и наиболее часто применяемыми являются итерационные методы.
Скорость сходимости метода Янга существенно зависит от величины коэффициента релаксации W . Теория выбора оптималь-ного значения 4} основана на вычислении перехода от и к U /II/. Точное определение оптимального коэффициента релаксации представляет собой задачу, по сложности превосходящую нашу ис -104 ходную задачу решения системы уравнений, поэтому наиболее целесообразно выбирать этот коэффициент методом проб и ошибок /6/. Здесь необходимо отметить, что так как различным подходам к описанию задачи соответствуют системы уравнений различного порядка, с различной структурой матрицы А , то и оптимальные значения коэффициента релаксации WonT будут отличаться друг от друга при решении той или иной системы уравнений. Особое положение занимают системы уравнений, соответ-ствуюшие алгоритмам с использованием функций Um, H0w и Нц» , гЦт , в связи с тем, что каждому узлу, расположенному в экране, соответствуют по два разностных уравнения в этих системах.
В настоящей работе были проведены численные исследования с целью определения оптимальных значений коэффициентов релаксации Aj0hT на модели торцевой зоны турбогенератора, изображенной на рис.3.8. Расчет поля проводился в цилиндрической и декартовой системах координат всеми тремя методами, описанными во второй главе. Использование пары потенциалов Аг и TJj приводит к необходимости решать систему уравнений, матрица которой имеет вид, изображенный на рис.3.2. В некоторых работах отмечается, что для решения уравнений сходного типа при расчете вихревых токов был использован комплексный коэффициент релаксации. В работе /81/ приводится выражение для оптимального значения коэффициента при расчете поля и вихревых токов в цилиндрической системе координат. Автор отмечает, что использование оптимального комплексного коэффициента релаксации приводит к существенному ускорению сходимости процесса решения. В других же работах /69/ сообщается, что использование комплексного коэффициента не дает какого-либо выигрыша во времени.
Для модельной задачи, геометрия которой изображена на рис.3.8., производился расчет поля с использованием векторного магнитного и скалярного электрического потенциала. При этом частота поля и электропроводность материала экрана выбирались такими, что эквивалентная глубина проникновения поля была равна толщине экрана D . Количество узлов сетки 2196. Комплексный коэффициент релаксации \A/=W,+JMO" изменялся в пределах от \ы =1,5-]0, 5 до ч=1,5+}0,5 с приращением &4f =]0,05. Наибольшая скорость сходимости была достигнута при значении \ J=I,5. Для сравнения на рис.3.9. приведены графики зависимости суммарной относительной невязки R для потенциала IAim\ от числа итераций при значениях \ і=І,5 (кривая I) и \кІ=І,5+ 0,05 (кривая 2). Здесь следует отметить, что аналогичный вывод был получен в /69/.
В ходе численных экспериментов было обнаружено, что значительно быстрее процесс сходится, если после уточнения потенциала "И , узла в экране сразу же произвести уточнение функций Н0Пп и И0т в этом же узле. Для иллюстрации сказанного приведем графики зависимости суммарной относительной невязки потенциала TJ от количества выполненных итераций И ( рис.3.10.) при разном порядке обхода уравнений системы. Кривая I на рисунке соответствует естественному порядку обхода уравнений, а кривая 2 - предложенному. При этом предполагается, что коэффициенты релаксации действительны и одинаковы vj=I,5 в обоих вариантах. Как видно, достигнуто значительное ускорение процесса решения системы. Приведем также еше один результат, полученный в ходе решения модельных задач. Оказалось, что целесообразно использовать различные значения коэффициента релаксации в зависимости от типа разностного уравнения системы.
Исследование решений задач расчета поля в трехмерной постановке
В данном параграфе приведены результаты расчетов поля в различных модельных задачах. При их выполнении преследовались следующие цели: анализ погрешностей, возникающих при использовании рассмотренных во второй главе методов1 и определение области применения каждого из них; исследование влияния некоторых допущений о свойствах материалов на характер распределения вихревых токов в экранах ротора.
Первоначально рассмотрим результаты расчета поля в оолас-ти, приближенно соответствующей торцевой зоне реального криотуроогенератора, методом с использованием потенциалов и иН0 в предположении отсутствия радиальном составляющей плотности вихревых токов J O . Значение параметра ШЛУ выбрано так, что эквивалентная глубина проникновения поля Л=у -г составляет &= ]) , где 3) - толщина экрана. Расчетная область изображена на рис.4.7. На рис.4.8. приведено изменение амплитуды аксиальной составляющей плотности вихревых токов Ы2гу,\ вдоль координаты ґ (кривая І) в центральном поперечном сечении машины 2-0 . Значения плотности тока, также как и координаты даны в относительных единицах. За базовые величины при этом приняты: значение \%х\ амплитуды первой гармоники плотности тока о смотки статора, а также радиус расточки статора RCT. Далее все рассматриваемые зависимости масштабированы аналогичным способом.
На рис.4.8., совместно с указанной зависимостью, приведены кривые изменения I3im\ вдоль радиуса, полученные по результатам расчета поля в этой же области методом с использованием потенциалов Аг и "U? . Кривая 2 соответствует расчету в трехмерной постановке, а кривая 3 в двухмерной. Как видно, результаты решения задачи в трехмерной постановке разными методами отличаются не более чем на )$, то есть практически совпадают. Наибольшее различие наблюдается на внешней поверхности экрана.
Кривая 3, соответствующая расчету поля в двухмерном приближении, отличается от кривой не более чем на з% и максимальное отличие также имеет место на внешней поверхности экрана.
Рассмотрим зависимости Nzmpjfr) на рис.4.9., полученные при другом соотношении между глубиной проникновения поля Д и толщиной экрана Ъ (A=D) . Здесь наблюдаются несколько большие различия в результатах, полученных разными методаїш, хотя оба метода, учитывающие трехмерность поля,по прежнему дают близкие результаты. И, наконец, на рис.4.10. приведены аналогичные кривые при значении A/J) =0,5, что для реальной электрической машины примерно соответствует экрану из титана при частоте j=50 Гц. Как видно, неучет трехмерного характера распределения поля в этом случае также приводит к незначительному отличию в определении амплитуды 13 1 Результаты расчета методами, учитывающими трехмерность поля, отличаются не более чем на 3%. Характер изменения составляющих плотности вихревых токов вдоль оси машины иллюстрируется кривыми на рис.4.II. Эти кривые соответствуют случаю Д- D ПРИ -У Как видно, зависимости Niwv\(z) и N ((2) , полученные методом, использу-ющим Аз и "ЙЭ; незначительно отличаются от аналогичных кривых, построенных по результатам расчета поля методом на основе потенциалов U и п0 . Различие в определении мопности потерь, выделяемых во всем экране, составляет при этом доли процента.
Анализ рассмотренных зависимостей позволяет заключить, что при принятых геометрических соотношениях между элементами торцевой зоны: отсутствие сердечника статора, точнее увеличение его длины до торцевого щита,и неучет отгиба лобовых частей статорной обмотки, метод, основанный на использовании Аа и и?, несмотря на допущение об отсутствии радиальной компоненты .
