Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные методы решения оптимизационных электротехнических задач
1.1 Специфика задач оптимизации в электротехнике 3
1.2 Классические и эволюционные методы оптимизации 6
1.3 Описание работы классического генетического алгоритма 11
1.4 Модификации генетического алгоритма 1 б
1.5 Решение тестовых задач с помощью генетического алгоритма 22
1.6 Прикладные задачи, рассмотренные в данной работе 24
1.7 Выводы 38
Глава 2. Оптимизация схем замещения длинных линий
2.1 Оптимизация схем замещения длинных линий во временной области 41
2.2 Результаты оптимизации схем замещения длинных линий во временной области 48
2.3 Оптимизация схем замещения длинных линий в частотной области 52
2.4 Результаты оптимизации схем замещения длинных линий в частотной области
2.5 Выводы 66
Глава 3. Параметрический синтез искусственных формирующих линий
3.1 Оптимизация искусственных формирующих линий 67
3.2 Результаты оптимизации искусственных формирующих линий 77
3.3 Оптимизация двойных формирующих линий через длины участков 83
3.4 Поэлементный параметрический синтез двойных формирующих линий 90
3.5 Выводы 95
Глава 4. Оптимизация ЭМС-своиств симметричного многожильного трехфазного кабеля
4.1 Постановка задачи оптимизации трехфазного многожильного кабеля по минимуму внешнего магнитного поля 97
4.2 Результаты оптимизации трехфазного многожильного кабеля по минимуму внешнего магнитного поля 103
4.3 Оптимизация трехфазного многожильного кабеля по минимуму активных потерь в жилах 108
4.4 Оптимизация формы жил трехфазного кабеля по минимуму активных потерь 113
4.5 Выводы 119
Заключение 120
Список литературы 122
- Классические и эволюционные методы оптимизации
- Результаты оптимизации схем замещения длинных линий во временной области
- Результаты оптимизации искусственных формирующих линий
- Результаты оптимизации трехфазного многожильного кабеля по минимуму внешнего магнитного поля
Введение к работе
Актуальность работы. Класс оптимизационных задач в электротехнике, которые также называют обратными задачами, обширен и разнообразен. Это и задачи параметрического синтеза электрических цепей, когда параметры элементов схемы цепи подбираются из условия минимума некоторого функционала, а результатом оптимизации являются оптимальные в том или ином смысле характеристики цепи (переходные, частотные и т.д.), минимизация потерь, лучшая помехозащищенность и пр. К задачам оптимизации относится также и структурный синтез электротехнических объектов, понимаемый здесь как поиск пространственного распределения, геометрических размеров, взаиморасположения частей и элементов оптимизируемого устройства. В этом случае понятие оптимальности может иметь самый широкий смысл, от минимума энергетических потерь и улучшения электрических характеристик объекта до минимума габаритов, веса конструкции или экономических затрат. При решении оптимизационных задач в электротехнике приходится сталкиваться с трудностями, обусловленными рядом особенностей, усложняющих их решение. В первую очередь это обычное наличие многих локальных экстремумов у минимизируемого функционала, его недифференцируемость в ряде случаев, а также вероятная жесткость оптимизационной задачи. Эти особенности усложняют процесс оптимизации. Следует отметить также быстрое усложнение процесса решения с увеличением числа переменных оптимизации и, которое в современных задачах оптимизации исчисляется десятками. Классические методы, основанные на вычислении антиградиента по всем оптимизируемым переменным часто несостоятельны при решении подобных задач. Поэтому представляется актуальным исследование возможности использования для решения оптимизационных задач в электротехнике альтернативных эволюционных методов, активно развивающихся в последние десятилетия и в первую очередь генетического алгоритма (ГА), как наиболее известного эволюционного метода оптимизации.
Решение ряда актуальных задач, таких как синтез оптимальных искусственных формирующих линий, оптимизация ЭМС-свойств трехфазных токове-
дущих систем фадиентнь/К^^етЩамй встречает вначительные трудности, вы-
Б' .% -ОТЕКА С. Петербург 200ёРК
званные их перечисленными выше особенностями. В то же время, проблемы применения для решения этих и подобных задач ГА мало исследованы к настоящему времени. Указанные задачи обладают всеми типичными свойствами обратных электротехнических задач, поэтому результаты и выводы, полученные при их решении, могут иметь не только прикладное, но и общетеоретическое значение для развития вычислительных методов теоретической электротехники, что также делает актуальным их исследование.
Целью работы является разработка и исследование современных методов оптимизации, основанных на ГА, методики применения ГА для решения обратных электротехнических задач, применительно к задачам параметрического синтеза схем замещения длинных линий, искусственных формирующих линий во временной и частотной областях, а также оптимизации трехфазного кабеля из условий минимума внешнего магнитного поля и минимума потерь. Для достижения поставленной цели необходимо
исследовать возможность использования ГА оптимизации для решения электротехнических задач, определить характерные признаки задач, для решения которых градиентные методы не эффективны, реализовать идеи эволюционных методов оптимизации, определить список настроечных параметров ГА и решить ряд классических тестовых задач для определения оптимальных значений параметров ГА при решении практических электротехнических задач;
разработать и реализовать методики оптимизации с помощью ГА схем замещения длинных линий по переходной и частотной характеристике, а также методы параметрического синтеза искусственных формирующих линий для получения импульса, близкого к прямоугольному, с учетом основных конструктивных особенностей практического исполнения формирующих линий;
разработать методы оптимизации двойных формирующих линий на основе неравномерного разбиения линии на участки и на основе поэлементного параметрического синтеза;
выполнить оптимизацию структуры трехфазного многожильного кабеля, ис
ходя из условий минимума внешнего магнитного поля, создаваемого кабелем и
минимума потерь в жилах кабеля, а также оптимизацию формы жил трехфазно-
го кабеля из условия минимума потерь в жилах кабеля.
Методика проведения исследований. Использовались эволюционные методы оптимизации, метод секущих (метод Пауэлла), методы переменных состояния и синтетических схем, а также математические пакеты и разработанные автором программы для проведения аналитических преобразований.
Научная новизна работы заключается в следующем:
показана возможность успешного использования ГА при решении оптими
зационных задач в электротехнике, обоснованы преимущества ГА по сравне
нию с градиентными методами оптимизации, а также предложены модифика
ции ГА, повышающие эффективность его применения;
" предложен и исследован новый подход к оптимизации схем замещения длинных линий и двойных формирующих линий, основанный на неравномерном разбиении линии на участки, эквивалентируемые каждьш звеном схемы замещения;
разработана методика оптимизации структуры трехфазного многожильного
кабеля с помощью ГА, для различных критериев оптимальности.
Практическое значение работы заключается в: " разработке методов и создании основанных на ГА программ оптимизации формирующих линий расщепленных трехфазных токоведущих систем;
создании методики определения наилучших параметров метода ГА из
свойств конкретной задачи.
Апробация работы выполнена на: межд. симп. по ЭМС (PIERS-94, Нор-двик.), 12-м межд. н.-т. конф. ИЭЭ по имп. технике (IEEE Int. Symp. РРС-99, Монтерей), 11-м межд. симп. по высоковольтной технике (Int. Symp. ISH-99, Лондон), 4-м между, симп. по ЭМС, (ЭМС-01, СПб.), а также на научных семинарах каф. ТОЭ СПбГПУ и в 10 печатных работах.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из четырех глав, заключения и библиографии. Содержание изложено на 127 с, из них машинописного текста 121 с, включая рисунков 48 шт., таблиц 24 шт., библиографический список из 58 наименований - 6 с.
Классические и эволюционные методы оптимизации
Существующие в настоящее время методы оптимизации, при всем их многообразии, можно разделить на два типа: т.н. классические (или как они часто будут называться в данной работе, градиентные) методы и эволюционные (также их называют «мягкие») методы оптимизации.
К классическим методам оптимизации [1] относятся такие широко известные и повсеместно используемые методы, как метод градиентного спуска (самый простой), метод наискорейшего спуска, метод Ньютона, метод секущих и др. методы второго порядка и т.п. При большом разнообразии алгоритмов этих методов общим для них всех является необходимость вычисления градиента по всем оптимизируемым переменным в окрестности текущей, рабочей точки. На основе анализа вычисленных градиентов по тому или иному алгоритму составляется прогноз поведения функционала в окрестности рабочей точки и производится перемещение рабочей точки в точку, соответствующую прогнозируемому минимуму. После этого цикл повторяется, и так до тех пор, пока шаг приращения не станет меньше заданной точности. Необходимость вычисления градиента является «родовым признаком» всех классических методов оптимизации, это и дает основание называть их термином градиентные. Еще одной особенностью, присущей всем классическим методам, является наличие на каждом шаге оптимизации единственной рабочей точки, которая и есть решение задачи на текущий момент. В этом смысле можно сказать, что градиентные методы в каждый момент времени работают только с некоторой локальной областью во всем пространстве оптимизации.
Подход к решению задач оптимизации, реализованный в градиентных методах, накладывает определенные условия на минимизируемый функционал. Он должен существовать и быть непрерывным во всех точках области оптимизации, также он должен быть хорошо дифференцируем (для методов второго порядка - дважды дифференцируем). В качестве вектора переменных должны использоваться переменные вещественного типа. При оптимизации «жестких» функционалов градиентными методами возникают значительные вычислительные трудности при попадании рабочей точки в «сложные» участки пространства оптимизации - «пологие склоны» и «узкие овраги». Процесс оптимизации в таком случае может надолго затормозиться, так как рабочая точка на каждом шаге будет иметь очень маленькие приращения, и в худшем случае процесс оптимизации может прерваться вообще не достигнув точки минимума. Однако наибольшей проблемой при использовании градиентных методов остается нахождение глобального минимума в многоэкстремальных задачах. Чтобы можно было с уверенностью считать найденный локальный минимум глобальным, необходимо многократно повторять процесс поиска минимума, меняя вектор начальных значений переменных. В этом случае может помочь предполагаемый априори характер поведения функционала или соотношения между переменными оптимизации, и, как будет показано в данной работе, в ряде задач «умелым» выбором начального приближения удается преодолеть многоэкстремаль-ность минимизируемого функционала. Однако зачастую это сделать не удается, что приводит к значительному увеличению количества вычислений. Неустойчивый поиск глобального минимума в случае многоэкстремальных задач следует отнести к главным недостаткам градиентных методов. К их достоинствам относятся быстрая сходимость вблизи локального минимума, универсальность, простота и высокая отлаженность алгоритмов, а также простота в формализации постановки задачи для большого ряда технических задач.
Последние десятилетия все более активно в различных областях науки используются альтернативные эволюционные методы оптимизации [16-23], не основанные на вычислении градиента, а использующие принципиально иные способы нахождения минимума функционала. Эволюционные методы — это обобщенное название компьютерных алгоритмов решения, использующих математические модели механизмов естественной эволюции в качестве ключевых структурных элементов. Существуют множество разновидностей подобного рода алгоритмов, отличающихся использованием или не использованием конкретных механизмов, а также различиями трактовки этих механизмов и представлением индивидов.
Эволюционные методы работают не с отдельными особями (объектами), а с популяциями этих объектов. Каждый алгоритм вначале создает некоторым способом популяцию объектов. Дальнейший процесс представляет собой генерацию последовательности поколений или циклов. Внутри каждого поколения все индивиды оцениваются, и в зависимости от оценки участвуют в размножении - создании новой популяции. Процесс эволюции останавливается когда построенная в данной эпохе новая популяция удовлетворяет критерию завершения. Обычно все эволюционные методы довольно условно разделяют на 4 группы [23]: Генетические алгоритмы Генетическое программирование Эволюционное программирование Эволюционные стратегии
Результаты оптимизации схем замещения длинных линий во временной области
Проанализируем результаты оптимизации для схем замещения с числом звеньев от 3 до 10. В табл. 2.1 приведены значения функционала (2.3) для традиционного и оптимального разбиения линии при различном числе звеньев Т-образной схемы замещения.
В следующей таблице приведены полученные в результате оптимизации относительные длины участков линии для Т-образных схем замещения с различным числом звеньев.
Результаты сравнительного анализа этих характеристик сведены в таблице 2.3. Здесь числа в числителе и знаменателе - соответствующие различным экстремумам отличия от 1 переходных характеристик оптимизированной и традиционной схем соответственно. Число справа - относительное уменьшение этих отклонений для оптимизированной схемы (в процентах).
Переходная характеристика а) 5-ти и б) 10-звенных Т-образных схем замещения, оптимизированных во временной области длинная линия, —ш— традиционная линия, —о— - оптимизированная линия
Как видно из этой таблицы, величина первого максимума у оптимизированных схем уменьшена в среднем на 20% (33% для трехзвенной схемы замещения), величина второго максимума - на 60%, а для схем с числом звеньев больше пяти в дальнейшем колебания практически отсутствуют. Для схем с различным числом звеньев удалось добиться примерно одинакового улучшения характеристик.
Анализ полученного в результате оптимизации распределения длин звеньев позволяет делать прогноз оптимального распределения для схем с большим числом звеньев [16,45]. Можно предположить, что и при большем числе варьируемых переменных распределение длин звеньев будет носить осциллирующий характер. 2.3 Оптимизация схем замещения длинных линий в частотной области
Коэффициент передачи по напряжению Матрицы А-параметров T- и П-образных звеньев Получение А-параметров всей схемы замещения Вычислительные трудности Пути их решения + Алгоритм нахождения максимального вещественного корня полинома Метод Гаусса для вычисления интеграла.
Задача оптимизации схемы замещения длинной линии может решаться не только во временной, но и в частотной области [8,29,42]. Получив в результате оптимизации частотную характеристику схемы замещения, в наибольшей степени соответствующую частотной характеристике длинной линии, мы получим наиболее универсальные результаты, не привязанные к какой-либо конкретной задаче.
Кривые, изображенные на рис. 2.7 построены для m-звенных схем замещения с разбиением на равные участки. Сравнение этих кривых с единичной прямой показывает, что при частотах, больших чем частота среза одного звена ».-;rar (г11) где m - число звеньев, кривая модуля коэффициента передачи по напряжению схемы замещения стремится к нулю, т.е. частоты, превышающие частоту среза практически отсутствуют на выходе схемы замещения. При со со0 кривые имеют максимумы, величина которых растет с ростом частоты, а их число равно числу звеньев схемы замещения. Наличие максимумов у частотной характеристики коэффициента передачи схемы замещения свидетельствует о том, что часть спектра частот, соответствующая им, усиливается на выходе. Как видно из графиков, величины соответствующих (например, последних) максимумов кривых для различного числа звеньев п почти линейно зависят от частоты. Это, с учетом того, что в спектре разложения единичной ступеньчатой функции U0-l(t) амплитуды гармоник убывают пропорционально j , - показывает, что гармоники, соответствующие максимумам кривых на рис. 2.7 будут усиливаться на выходе одинаково для любого числа звеньев. Это еще раз подтверждает то, что величина максимумов колебаний на переходной характеристике (рис. 1.9) практически не зависит от числа звеньев схемы замещения. В качестве объекта исследования, аналогично п.2.1, будем рассматривать схему замещения неискажающей длинной линии без потерь, имеющей единичные параметры замкнутую на волновое сопротивление.
Результаты оптимизации искусственных формирующих линий
Были получены оптимальные значения емкостей и индуктивностеи ячеек для искусственных формирующих линий с числом ячеек 3... 10 при соединении «фольгой секций» и значением А:п=0.25. На рис. 3.6 показан формируемый на нагрузке импульс для 5-ти и 8-миячеечных схем. В таблицах 3.1 и 3.2 приведены значения емкостей и индуктивностеи, приведенные, по аналогии с задачами в п.2, к значениям однородных (с равными значениями Ся и Ья для всех ячеек) линий с тем же числом ячеек [53-55].
Сравнивая кривые на рис. 3.2 и рис. 3.6а) можно убедиться, что в результате оптимизации было практически полностью уничтожено отрицательное влияние поперечной индуктивности и активного сопротивления ячеек на форму импульса.
Значения емкостей и индуктивностей ячеек монотонно возрастают с ростом номера ячейки, причем резкое увеличение значений Ся и Ья происходит на последних ячейках линии. Волновые сопротивления же напротив уменьшаются с ростом номера ячейки, однако для любого числа ячеек лежат в одном и том же диапазоне ( 1.0...0.688 .
Также можно заметить, что для схем с числом ячеек т 5 параметры нескольких первых ячеек практически не отличаются друг от друга, т.е. на улучшения формы импульса (по сравнению с формой импульса в однородной линии) влияют параметры только последних 3-4-х ячеек. Поэтому часть неоднородной линии (ближайшая к нагрузке) может быть выполнена из одинаковых ячеек, т.е. как однородная. Исходя из экономических соображений, выгоднее использовать линию с наименьшим количеством ячеек, обеспечивающую приемлемую форму импульса. Поэтому в дальнейшем расчеты будут проводиться для 5-тиячеечной линии. К слову, на практике в большинстве случаев используют формирующие линии именно с таким числом ячеек.
При оптимизации параметров 5-тиячеечной формирующей линии в случае соединения секций «выводами по торцам» удовлетворительную форму импульса удалось получить при значении Ln не более, чем 5/3 от основной индуктивности соответствующей однородной линии Ья-одн- При значениях поперечной индуктивности в несколько раз превосходящих значения основных индуктивностеи ячеек соответствующих однородных линий не удается получить достаточно удовлетворительную форму импульса, однако, даже если бы это было возможно, значения индуктивностеи и емкостей первых ячеек получаются столь малыми, что практическая реализация такой линии не представляется возможной. В некоторых областях мощной импульсной техники (например, в технике ЭМИ) требуются импульсы с предельно крутыми фронтами. Поэтому можно выделить следующую подзадачу оптимизации параметров неоднородных формирующих линий получение на нагрузке неоднородной линии импульса с возможно более крутым фронтом при допущении некоторого ухудшения формы импульса на плато и спаде. Эту задачу можно реализовать, введя под знак интеграла в выражении для минимизируемого функционала (3.10) весовой множитель, зависящий от времени и имеющий вид где коэффициент А определяет насколько степень влияния на величину функционала кривой UH(t) в первые моменты времени формирования импульса на нагрузке по сравнению с последующими.
Расчеты показали, что увеличения крутизны фронта удается добиться лишь для схем с малым числом ячеек, для т 4 крутизна фронта практически не изменилась при ухудшении воспроизведения горизонтального участка и спада импульса. Таким образом, можно сделать вывод о том, что добиться большей крутизны фронта можно только путем увеличения числа ячеек в линии.
Волновые процессы в двойной формирующей линии Расчетная схема для оптимизации двойной формирующей линии Параметры генетического алгоритма оптимизации Оптимальные разбиения 2x3...2x10 двойных линий Анализ полученных результатов.
При использовании простой формирующей линии, амплитуда импульса, получаемого на нагрузке, составляет половину от зарядного напряжения. Поэтому для формирования на нагрузке импульса высокого напряжения применяют чаще всего двойную формирующую линию (см. рис. 1.12). Формируемый импульс в этом случае имеет амплитуду, равную зарядному напряжению.
Рассмотрим подробнее волновой процесс, возникающий в такой системе при замыкании одной из линий на примере эпюр напряжения вдоль линии (рис. 3.10). В момент замыкания ключа обе линии заряжены до напряжения UQ. После замыкания ключа вдоль левой линии побежит отраженная от закороченного конца волна. В соответствии с коэффициентом отражения (3.16) (в нашем случае ZmiPI,=0 и Кцотр=-\) ее величина будет равна -ZJQ. Когда эта волна дойдет до конца линии, то половина ее отразится (так как Z,lcli,p в этом случае будет равна сумме R„ и zw, т.е. Zlia,v=3zw и Кц1тр=М2), а вторая половина начнет распространяться вдоль правой линии. При этом на R,, возникнет напряжение равное UQ. ЭТО напряжение будет на R„ в течение времени двойного пробега волны вдоль линии, до тех под пока волны не пробегут вдоль линий и не отразятся от противоположных концов (закороченного слева и холостого хода справа). Сравнивая импульсы, формируемые простой (рис. 1.11) и двойной (рис. 1.13) линиями можно видеть, что двойная линия формирует импульс худшей формы при одинаковом количестве ячеек (звеньев). Тем не менее, возможность получить импульс вдвое большей амплитуды является определяющим фактором при выборе этой схемы для реализации на практике. Поэтому оптимизация параметров двойных формирующих линий задача современная и актуальная.
В постановке задачи, рассматриваемой в данном параграфе, при оптимизации двойных формирующих линий был использован тот же подход, что и для оптимизации схемы замещения длинной линии (п.2.1). Каждая линия разбивалась на т участков, каждый участок заменялся Т- или П-образным звеном [3,56]. При этом на схему замещения линии не накладывалось условие симметричности. В данной задаче длинная линия используется как элемент конкретной схемы и данное ограничение необоснованно. С учетом того, что длину последнего участка можно вычислить через длины остальных и общую длину линии, число оптимизируемых переменных будет равно п=2(т-\). Также, поскольку условия работы линий неодинаковы, левая (закорачиваемая) линия набиралась из Т-образных звеньев, а правая (холостой ход) из П-образных звеньев. Расчетная схема для оптимизации двойной линии показана на рис. 3.11.
По аналогии с п.2.1, переходные процессы в этой схеме рассчитывались методом переменных состояния. Система дифференциальных уравнений подобна (2.5) со своими граничными условиями для крайних реактивных элементов каждой линии.
Результаты оптимизации трехфазного многожильного кабеля по минимуму внешнего магнитного поля
В результате оптимизации распределения фаз по жилам трехфазного многожильного кабеля по описанному выше критерию были получены оптимальные распределения для кабеля с числом жил п 12, 20,30 и 42.
В таблице 4.1 показаны значения минимизируемого функционала (4.1) для традиционного распределения (каждая фаза занимает целиком одну треть сечения кабеля, см. рис. 4.1) и оптимального распределения фаз. Там же показаны относительное увеличение суммарных токов фаз, которые после оптимизации увеличились в среднем в 1.9 раза. На рис. 4.4 представлены оптимальные распределения фаз по жилам кабеля при различном числе жил п. Там же показаны графики распределения действующего значения напряженности магнитного поля Н вдоль дуги [0, 2тг/3] на радиусе R0 для традиционного и оптимального распределения жил по фазам кабеля. Из табл. 4.1 и графиков на рис. 4.4 видно, что относительное уменьшение минимизируемого функционала составило в среднем 90%, что соответствует уменьшению внешнего поля в результате проведенной минимизации в среднем в 10 раз. Можно говорить о том, что при полученном оптимальном подключении жил кабеля к трехфазной системе его помехозащищенность увеличится в 10 раз. При наличии оплетки (проводящего экрана) кабеля, величина токов, наводимых в ней, уменьшится в то же число раз.
Исходя из вышеизложенного эквивалентные индуктивности фаз можно получить из матрицы собственных и взаимных индуктивностей жил М (4.7, 4.8) и вектора {Х Ъп, элементы которого принимают значения 1, 2 или 3, что соответствует тому, к какой фазе подключена данная жила. Этот вектор строится на основе вектора варьируемых переменных.
Индуктивность Leq-Meq можно рассматривать как эквивалентную индуктивность одной фазы симметричного трехфазного кабеля [27]. Как можно видеть, оптимальный кабель имеет в десятки раз меньшую эквивалентную индуктивность фаз, чем неоптимизированный. Это свойство может использоваться при необходимости варьирования в широких пределах этого параметра кабеля.
Представляет также интерес анализ устойчивости полученных результатов к возникающей случайной несимметрии трехфазной системы. Рассматривались два случая: несимметрия, возникающая из-за обрыва одной жилы в кабеле и несимметричность трехфазного источника э.д.с. В табл. 4.3 приведены значения минимизируемого функционала (4.1) для указанных случаев несимметрии при использовании полученных в результате оптимизации распределении фаз по жилам для 20-ти и 30-тижильного кабеля. Для случая обрыва одной жилы в таблице приведены минимальное и максимальное значения функционала.
Как показали расчеты из-за неравномерного в общем распределения тока по слоям, обрыв жилы в последнем, внешнем слое в наибольшей степени ухудшает функционал (в среднем в 1.5...5.5 раза), тогда как для жилы из внутренних слоев функционал увеличивается в среднем в 1.1...4 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что случайный обрыв одной жилы в кабеле достаточно сильно ухудшит качество полученных результатов. Однако, если сравнить приведенные значения функционала со значением функционала неоп-тимизированного кабеля, видно, что и в этом случае оптимальное распределение фаз дает выигрыш в 2.7...3.3 раза по сравнению с традиционным.
Для случая несимметричности источника э.д.с. ухудшение функционала составило в среднем 10%, что соответствует степени заданной несимметричности. Минимуму потерь соответствует равномерное распределение тока Постановка задачи оптимизации Результаты оптимизации по минимуму потерь Анализ полученных результатов. Структуру трехфазного многожильного кабеля можно оптимизировать, основываясь и на других критериях оптимальности. В данном параграфе рассмотрена оптимизация кабеля, обеспечивающая минимум активных потерь в жилах кабеля [58]. Минимум активных потерь достигается, при заданном суммарном токе фазы, когда ток распределен по жилам фаз равномерно. Поэтому в процессе оптимизации необходимо минимизировать не сами токи, а отклонение их от среднего. В противном случае результатом оптимизации будет просто кабель с максимально большим реактивным сопротивлением жил.
Как видно из графиков распределения токов в жилах фазы оптимизация привела к заметному выравниванию значений токов, функционал уменьшился примерно в 5 раз для всех значений п. Для оценки уменьшения активных потерь примем суммарный ток фазы за 1 и рассчитаем отношение мощность как сумму квадратов токов. В таблице 4.5 приведены значения активных потерь в оптимизированном кабеле по отношению к традиционному кабелю для различного числа жил в фазе. Из этой таблице видно, что уменьшение потерь в жилах соответствует степени уменьшения минимизируемого функционала.
