Введение к работе
Актуальность работы. При анализе и проектировании промышленных объектов и технологических процессов используются их математические модели. После определения структуры математической модели системы необходимо найти значения неизвестных параметров модели, при которых ее характеристики во временной или частотной области будут удовлетворять заданным требованиям. Классическим подходом к выбору параметров является использование численных методов безусловной оптимизации, которые минимизируют функционал ошибки между заданной и реальной характеристикой.
Методы безусловной оптимизации функций приведены в работах зарубежных ученых: Р. Флетчера, М. Пауэлла, У. Дэвидона, Д. Шанно, Дж. Дэнни-са, С. Бройдена, Д. Гольдфарба, Ф. Гилла, У. Мюррея, М. Райта, Б. Банди, Г. Мак-Кормика, А. Фиакко, Дж. Нойсдейла - и отечественных: Н.С. Бахвалова, Н.П. Жидкова, И.С. Березина, В.И. Крылова, А.А. Самарского, А.В. Пантелеева и др. Как правило, методы оптимизации требуют, чтобы начальные приближения параметров были достаточно близки к истинным значениям.
Предлагается в качестве основных методов безусловной оптимизации рассматривать итерационные процедуры поиска решений нелинейных уравнений. Такой подход позволяет использовать известные в прикладной математике итерационные методы и методики их исследования, которые приведены в работах Дж. Трауба, Дж. Ортеги, В. Рейнболдта, Ш.Е. Микеладзе и др.
Наиболее известным методом решения уравнений является метод Ньютона, использующий линейную аппроксимацию функции. Для повышения скорости сходимости в методе полиномиальной аппроксимации учитывается вторая производная ряда Тейлора.
Для функций многих переменных определение высших производных требует вычислительных затрат, поэтому в практических алгоритмах высшие производные заменяют комбинацией первых и получают градиентные методы решения уравнений, направление спуска в которых уточняется с помощью высших производных. Впервые такой подход был предложен К. Рунге и М. Кутта при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
Итерационные методы оптимизации используются при параметрической идентификации моделей систем управления и при проектировании устройств обработки информации, таких как цифровые фильтры.
Основы теории идентификации заложены в трудах отечественных ученых: ЯЗ. Цыпкина, Л.А. Растригина, В.А. Бесекерского, A.M. Корикова, А.И. Рубана, В.В. Солодовникова и зарубежных: Л. Льюинга, Р. Изермана и др.
Оптимизационные методы синтеза цифровых фильтров приведены в работах зарубежных ученых: Л. Рабинера, Б. Гоулда, А. Антонью, А. Дечки, Т. Паркса, М. МакКлеллана, К. Штейглица, С. Чараламбуса и др.
Итерационные процедуры оптимизации, используемые в классических работах, хорошо разработаны и удобны при практической реализации, но учитывают первую и вторую производную, поэтому имеют низкую скорость сходимости. При идентификации и проектировании систем в реальном времени к алгоритмам предъявляются повышенные требования по скорости сходимости. Следовательно, разработка новых методов безусловной минимизации, обладающих высокой скоростью сходимости, является актуальной задачей.
Цель диссертационной работы состоит в повышении качества идентификации автоматизированных систем управления технологическими процессами и ускорении проектирования цифровых устройств обработки информации с помощью алгоритмов оптимизации высокой скорости сходимости.
Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:
Разработаны алгоритмы безусловной оптимизации функций многих переменных, основанные на разложении в ряд Тейлора нелинейной функции, и исследованы основные свойства полученных алгоритмов.
Получены аналитические выражения для коэффициентов базовой последовательности, основанной на разложении в ряд Тейлора обратной функции.
Разработан алгоритм выбора коэффициентов аппроксимации обратной функции рекурсивной последовательностью, использующей значения функции и ее первой производной в нескольких точках. Определены аналитические выражения и проведен теоретический анализ основных показателей сходимости.
Проведены экспериментальные исследования предлагаемых методов с помощью программных средств Matlab для тестовых функций и выполнено сравнение результатов моделирования и теоретических исследований.
Разработаны рекуррентные вычислительные процедуры параметрической идентификации на основе алгоритмов высокой скорости сходимости.
6. Составлен алгоритм синтеза цифровых рекурсивных фильтров на основе метода минимизации L^-ошибки с использованием разработанных оптимизационных процедур.
Объект исследования. Объектом исследования являются математические модели автоматизированных систем управления технологическими процессами. При идентификации во временной области основными моделями являются разностные уравнения, при проектировании устройств обработки информации в частотной области рассматриваются передаточные функции, амплитудные и фазовые частотные характеристики.
Предмет исследования - методы оптимизации и решения нелинейных уравнений на основе разложения функций многих переменных в ряды Тейлора с учетом высших производных.
Методы исследования. Теоретический анализ проводился на основе методов прикладной математики при безусловной минимизации функций многих переменных и численном решении нелинейных уравнений, теории матричного и тензорного исчислений, разностных уравнений и дискретных преобразований.
Научная новизна. В ходе работы были получены следующие новые научные результаты:
найдены аналитические выражения для оценки показателей сходимости алгоритмов оптимизации, основанных на прямой интерполяции и доказано, что скорость сходимости ограничена третьим порядком;
получена оптимальная с точки зрения вычислительных затрат базовая итерационная последовательность, основанная на обратной интерполяции, в которой порядок сходимости алгоритмов равен числу учитываемых производных;
предложена рекурсивная аппроксимация высших производных значениями первых производных нелинейной функции, основанная на вычислении нескольких последовательных приближений по методу Ньютона и представлен алгоритм выбора значений коэффициентов аппроксимации, позволяющий получить методы оптимизации с заданными показателями сходимости;
разработаны методы параметрической идентификации нелинейных динамических моделей автоматизированных систем управления технологическими процессами с учетом высших производных, позволяющие увеличить скорость и область сходимости.
Значение полученных результатов для теории заключается в разработке нового подхода к построению методов решения оптимизационных задач на
основе обратной интерполяции с учетом высших производных, который позволяет синтезировать эффективные практические алгоритмы безусловной минимизации функций многих переменных.
Практическая ценность работы. Создана библиотека вычислительных процедур минимизации функции многих переменных с учетом высших производных для системы автоматизации математических вычислений Matlab. Разработаны тестовые программы для исследования основных показателей численных методов безусловной минимизации.
Представлены комплексы программ для идентификации и проектирования цифровых фильтров с использованием предлагаемых методов оптимизации. Программы функционально встроены в среду Matlab и обладают улучшенными характеристиками сходимости по сравнению со стандартными процедурами.
Реализация результатов работы. Результаты работы использованы в ЗАО «Автоматика-Э» при разработке подсистемы идентификации компьютерного тренажера для операторов исследовательского ядерного реактора на быстрых нейтронах и в ОАО «Омский приборостроительный завод им. Н.Г. Козицкого» при проектировании фильтра нижних частот для обработки потока данных демодулятора в составе цифрового радиоприемного устройства.
В работе автор защищает следующие положения:
Использование прямой интерполяции и последующей линеаризации Рунге-Кутта не позволяет получить алгоритмы безусловной оптимизации с порядком сходимости выше третьего.
Алгоритмы оптимизации на основе обратной интерполяции могут обладать более высоким порядком сходимости, который соответствует числу учитываемых высших производных.
Возможно построение рекурсивных вычислительных процедур на основе обратной интерполяции, которые используют значения только первой производной и при этом сохраняют высокую скорость сходимости.
Применение рекурсивных процедур, учитывающих высшие производные, при параметрической идентификации моделей автоматизированных систем управления технологическими процессами и синтезе цифровых фильтров позволяет увеличить скорость и область сходимости алгоритмов.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были доложены и представлены на конференциях всероссийского и международного уровня:
XV-я международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (МЭИ, Москва, 2009 г.); ХП-я и XIV-я Международные научно-практические конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (ТПУ, Томск, 2006 г., 2008 г.); Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (НГТУ, Новосибирск, 2006 г.); II Межвузовская научно-практическая конференция «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (САГМУ, Самара, 2010 г.); VII Всероссийская научно-техническая конференция «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (ЧГУ, Чебоксары, 2010 г.); Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI век» (ДвГУПС, Хабаровск, 2009 г.); Юбилейная научно-техническая конференция «Современное состояние и перспективы развития специальных систем радиосвязи и радиоуправления» (ОНИИП, Омск, 2008 г.).
Публикации результатов работы. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ: 8 материалов конференций и 3 статьи, из которых 2 - в изданиях, определенных ВАК Минобрнауки России.
Личный вклад автора. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В опубликованных автором работах лично предложены и исследованы методы оптимизации с учетом высших производных [1,2]. Разработаны алгоритмы идентификации КЛ и РКЛ третьего и четвертого порядков сходимости, программные комплексы для идентификации параметров систем автоматического регулирования и синтеза цифровых фильтров [3, 6-8, 11].
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех основных глав и заключения, выполнена на 119 страницах машинного текста, содержит 29 иллюстраций, 19 таблиц, список использованной литературы из 130 наименований и 9 страниц приложений с результатами дополнительных исследований и актами о внедрении результатов работы. Общий объем диссертации - 140 страниц.
