Содержание к диссертации
Введение
Элементные базисы теории линейных электрических цепей .
Понятие об элементных базисах схем замещения электрических цепей
Элементный базис математических схем замещения электрических цепей
Минимальный функционально полный элементный базис математических схем замещения
Элементный базис физических схем замещения 57
Связь между элементами математических и физических схем замещения
Выводы к главе 1 78
Синтез математических схем замещения линейных автономных многополюсников
Канонические математические схемы замещения линейных автономных многополюсников
Синтез схем замещения двухполюсников 96
Выводы к главе 2 105
Учёт начальных условий при синтезе математических схем замещения линейных электрических цепей
Выводы к главе 3 129
Синтез математических схем замещения нелинейных электрических цепей
Постановка задачи 130
Синтез математических схем замещения нелинейных резистивных двухполюсников
Синтез математических схем замещения нелинейных сопротивлений с вольт-амперными характеристиками, управляемыми напряжением
Синтез математических схем замещения нелинейных сопротивлений с вольт-амперным и характеристиками, управляемыми током
Выводы к главе 4 170
Заключение 189
Литература 192
- Элементный базис математических схем замещения электрических цепей
- Канонические математические схемы замещения линейных автономных многополюсников
- Учёт начальных условий при синтезе математических схем замещения линейных электрических цепей
- Синтез математических схем замещения нелинейных сопротивлений с вольт-амперными характеристиками, управляемыми напряжением
Введение к работе
Актуальность исследования. При решении задач синтеза предполагается, что оператор, устанавливающий связь между множеством выходных (реакций) и входных (воздействий) токов и напряжений, известен. По данному оператору восстанавливается одна из возможных схем замещения. Вид схемы замещения, количество используемых элементов и их параметры, способ соединения этих элементов между собой в существенной мере зависит от метода синтеза и использованного при синтезе элементного базиса.
Успехи в развитии электронной техники, совершенствование технологий привели к существенному расширению возможностей применения на практике результатов электронного моделирования. Количество выпускаемых промышленностью различных элементов электронной техники неуклонно возрастает. Разработчики радиоэлектронного оборудования вынуждены вводить все новые и новые типы идеализированных элементов в схемы замещения и, таким образом, элементный базис схем замещения непрерывно расширяется.
Избыточность элементного базиса создает определенные трудности при синтезе схем замещения. Их сущность заключается в том, что методы синтеза разрабатываются для какого-то одного элементного базиса и непосредственно не могут быть использованы при синтезе схем замещения в другом элементном базисе.
В связи с вышеизложенным возникает проблема исследования свойств существующего элементного базиса и выделения минимального по количеству элементов функционально полного элементного базиса схем замещения.
Традиционно задача синтеза рассматривается либо для синтеза двухполюсников с заданным операторным сопротивлением, либо многополюсников с заданными передаточными характеристиками. Вопросам синтеза схем замещения по заданным дифференциальным уравнениям, связывающих между собой напряжения и токи, уделено недостаточно внимания.
Другая проблема заключается в том, что существующие методы синтеза дают какое-то одно га бесконечного множества возможных решений. И тогда возникает проблема нахождения других схемных решений с целью выбора оптимальных вариантов. Эта задача может быть решена путем применения эквивалентных преобразований. В данной работе используется общепринятое определение эквивалентности для участков: «два участка схемы замещения называются эквивалентными, если при замене одного участка другим, токи и напряжения в части схемы, не затронутой преобразованиями, не изменяются». Эквивалентные преобразования являются достаточно универсальным инструментом синтеза и исследования свойств схем замещения электрических и электронных цепей по следующим причинам:
-
При решении задач анализа и синтеза эквивалентные преобразования не требуют формирования системы расчетных уравнений.
-
Будучи один раз доказанными приемы эквивалентных преобразований в дальнейшем применяются без доказательств.
-
Эквивалентные преобразования позволяют провести полный расчет схемы замещения (вычислить токи и напряжения ветвей).
-
С помощью эквивалентных преобразований можно получить множество схем замещения, эквивалентных исходной по заданным параметрам, но отличающихся топологией, количеством элементов, а так же параметрами элементов.
-
Эквивалентные преобразования позволяют изменить количество активных и нелинейных элементов в схемах замещения.
-
Среди множества эквивалентных схем замещения можно выбрать такую, которая имеет более высокое быстродействие, надежность, устойчивость, более низкую чувствительность к изменению параметров элементов и т.п.
Однако эквивалентные преобразования, несмотря на широкие возможности, еще не получили достаточно широкого применения в инженерной практике. Сдерживающим фактором здесь является избыточность элементного базиса. Приемы эквивалентных преобразований в одном элементном базисе не всегда могут быть использованы непосредственно в другом элементном базисе.
Таким образом, исследование свойств существующего элементного базиса в теории электрических и электронных цепей, выделение множества минимальных по количеству использованных элементов базисов, способов перехода от одного элементного базиса к другому, взаимосвязь между элементными базисами и способами эквивалентных преобразований, а также создание новых методов синтеза является актуальной задачей.
Основная цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка методов синтеза линейных и нелинейных схем замещения электрических цепей в минимальном функционально полном элементном базисе на основе декомпозиции системы уравнений Кирхгофа (или системы уравнений, которые могут быть сведены к уравнениям Кирхгофа) с использованием аппарата эквивалентных преобразований.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
-
Разграничить множество идеализированных элементов, входящих в состав математических и физических схем замещения.
-
Установить взаимосвязь между элементами физической и математической схем замещения.
-
Определить минимальные функционально полные элементные базисы схем замещения электрических цепей.
4. Разработать процедуру синтеза схем замещения по заданным уравнениям.
Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись
методы теоретических основ электротехники, методы линейной алгебры и математического анализа. При выполнении численных расчетов применялась программа Electronics Workbench.
Научная новизна. Новыми научными результатами являются:
-
Описание минимальных, функционально полных элементных базисов.
-
Совокупность методов эквивалентных преобразований, позволяющих перейти от одного минимального функционально полного элементного базиса к другому.
-
Описание совпадений и отличий в свойствах элементов физической и математической схем замещения.
-
Описание схем замещения, которые можно рассматривать как базисные схемы замещения для синтеза моделей элементов расширенного элементного базиса в функционально полном элементном базисе.
-
Канонические схемы замещения, соответствующие в общем случае системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений.
-
Методика определения независимых начальных условий в синтезируемой схеме замещения по начальным условиям исходной системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений.
-
Процедура синтеза нелинейных резистивных элементов методом кусочно-линейной аппроксимации с минимальным числом линейных участков.
Практическая ценность работы состоит в том, что изложенный в работе материал позволяет:
-
В высокой степени формализовать и упростить процедуру синтеза схем замещения электрических цепей по заданной системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений, делая ее доступной для специалистов, работающих в области проектирования радиоэлектронной аппаратуры.
-
Для известных устройств, используя эквивалентные преобразования, получать новые схемные решения. Целенаправленно изменять их топологию и параметры элементов.
-
Получать для известных устройств схемные решения задачи синтеза в других элементных базисах, что особенно актуально при производстве промышленностью новых элементов.
-
Преобразовывать имеющиеся схемы замещения к виду, удобному для реализации.
Разработанный теоретический материал может быть полезен как в научных, так и инженерных расчетах, а так же и в учебных целях.
Работа выполнялась в соответствии с научным направлением «Методы анализа и синтеза электрических цепей в задачах электроэнергетики, электротехники, радиотехники и электронного моделирования» кафедры ТОЭ (теоретические основы электротехники) Таганрогского государственного радиотехнического университета, которое относится к «Приоритетным направлениям развития науки, технологии и техники Российской Федерации», утвержденным президентом Российской Федерации 21.05.06 г. Пр-843.
Апробация работы. По основным результатам сделаны доклады на Всероссийской научно-практической конференции " Перспективные системы и задачи управления" (Домбай, 13-17 марта 2006 г.), на ХШ-ом Международном Симпозиуме по теоретической электронной инженерии ISTET 05 (г. Львов, 2005 г.), на научно-практической конференции «Экология, экономика, техника, образование» (г. Туапсе, 2002 г.), на 1 Межрегиональной научно-практической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Ростов н/Д, 2006).
Публикации. По результатам работы опубликовано 7 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти глав, введения и заключения, списка литературы. Ее содержание изложено на 197 страницах и проиллюстрировано 142 рисунками, 5 таблицами. Список использованной литературы из 71 источников.
Элементный базис математических схем замещения электрических цепей
В диссертационной работе используется общепринятое понятие электрической (или электронной) цепи как любой совокупности объектов материального мира, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны посредством двух физических понятий, - напряжения и тока [23, 25, 44]. Очевидно, что электрическая цепь может быть как естественного, так и искусственного происхождения. Понятие электронной цепи является частным случаем понятия электрической цепи, которое подчёркивает наличие в схеме замещения управляемых источников.
Приведенное определение электрической цепи носит качественный характер. Оно предусматривает использование только двух типов переменных: токов и напряжений, которые могут быть использованы для математического описания свойств электрической цепи. Приведенное понятие электрической цепи не учитывает такие важные факторы, как электромагнитные поля, которые сопутствуют каждой электрической цепи, геометрическое расположение элементов цепи друг относительно друга, тепловые процессы в электрической цепи, оказывающие влияние на её электрические свойства, и др. Поэтому изображение электрической цепи в виде схемы электрической принципиальной уже является идеализацией. Оно определяет только, какие элементы, входят в состав электрической цепи, и как эти элементы электрически соединены между собой.
В теории электрических цепей предполагается, что токи и напряжения с достаточной степенью точности описывают электромагнитные процессы. В этом случае схемы принципиальной электрической достаточно для построения схем замещения (СЗ и ФСЗ). Определение 1.1 Математической схемой замещения (МСЗ) или просто схемой замещения (СЗ), называется условное графическое изображение электрической цепи, на котором с помощью специально введённых геометрических фигур обозначены математические соотношения, связывающие напряжения и токи. Такое определение полностью соответствует точке зрения, изложенной в [1,2, 3].
Определение 1.2 Физической схемой замещения (ФСЗ) называется условное графическое изображение электрической цепи, па котором с помощью специально введённых геометрических фигур обозначены физические процессы, возникающие в отдельных участках этой цепи. [2, 3, 44].
В данной работе рассматриваются оба типа схем замещения, а так же переход от СЗ к ФСЗ. Любая схема замещения состоит из отдельных идеализированных элементов, каждый из которых представляет собой соответствующий графический символ. Каждый элемент схемы замещения обладает вполне определёнными, только ему присущими, свойствами.
Определение 1.3 Элементным базисом будем называть совокупность идеализированных элементов, используемых в схемах замещения.
Очевидно, что каждый вид схем замещения может иметь свой элементный базис. Эти базисы могут не совпадать. В теории электрических цепей для синтеза математических схем замещения, в зависимости от реализуемой функциональной зависимости, нашло применение множество операторов F как линейных, так и нелинейных. С развитием технического прогресса расширяется круг задач, решаемых средствами электронной техники. В результате количество моделируемых функций непрерывно увеличивается, а, следовательно, увеличивается и количество элементов схем замещения. Многие новые элементы схем замещения по сути дела являются макромоделями [24], и при реализации имеют достаточно сложную внутреннюю структуру.
Процесс появления новых типов элементов схем замещения, по всей видимости, не будет окончен никогда. В данной работе рассматривается элементный базис схем замещения, позволяющий строить модели как линейных, так и нелинейных электрических цепей. Наиболее распространённые из элементов схем замещения, и их графические обозначения приведены в таблице 1.1. Из таблицы 1.1 видно, что каждому идеализированному элементу схемы замещения соответствует вполне определенное математическое соотношение. Так, например, умножению на постоянное число переменной (тока или напряжения) соответствуют полюсные уравнения активного сопротивления, ИНУН, ИНУТ, ИТУН, ИТУТ, идеального трансформатора, гиратора и тиристора. Математическим операциям интегрирования и (или) дифференцирования соответствуют полюсные уравнения емкости, индуктивности и элементов высшего порядка. Неуправляемые источники тока и напряжения, а также идеальный проводник соответствующий тождественному равенству переменных величин. Полюсное уравнение тиристора соответствует также операции суммирования.
Канонические математические схемы замещения линейных автономных многополюсников
Все множество электромагнитных физических процессов, происходящих в электрических цепях, можно условно разделить на две группы: активные и пассивные. Процесс считается активным, если в результате его протекания энергия переходит из одного вида в другой. Например, преобразование электрической энергии в световую, механическую и т. п. или же преобразование какого либо вида энергии в электрическую. Если же вид энергии не меняется, то процесс является пассивным. Примерами пассивных процессов могут служить переход кинетической энергии в потенциальную при механических движениях, переход энергии магнитного поля катушки индуктивности в энергию электрического поля конденсатора в колебательном контуре и др.
Условные графические изображения физических процессов в электрических цепях будем называть идеализированными элементами физических схем замещения. Основными физическими процессами в электрических цепях являются: преобразование различных видов энергии в электрическую энергию; накопление электрической энергии в виде энергии магнитного поля; накопление электрической энергии в виде электрического поля; преобразование электрической энергии в другие виды (механическую, тепловую и т.п.); передача электрической энергии от одних участков электрической цепи в другие.
Каждому процессу ставится в соответствие свой идеализированный элемент ФСЗ. На начальном этапе развития электротехники вполне достаточно было использование следующих идеализированных элементов ФСЗ: источник напряжения, источник тока, активное сопротивление, индуктивность, ёмкость, идеальный проводник, идеальный ключ и идеальные измерительные приборы (вольтметр, амперметр, ваттметр, фазометр) [22, 23 ].
Названия многих элементов физических схем замещения совпадают с названиями соответствующих элементов математических схем замещения. Это происходит потому, что физические величины (токи, напряжения, мощности, энергии) элементов ФСЗ, связи между этими величинами определяются соответствующими математическими соотношениями. Совпадения уравнений, описывающих процессы в элементах ФСЗ с соответствующими полюсными уравнениями элементов МСЗ, являются основной причиной совпадения их названий. Более того, графические обозначения элементов ФСЗ совпадают с соответствующими графическими обозначениями МСЗ.
Свойства идеализированных элементов ФСЗ достаточно полно рассмотрены в литературе [22, 23, 25]. Ниже описываются только те определения и свойства идеализированных элементов, которые способствуют более строгому изложению материала диссертации.
Под источником напряжения в ФСЗ будем понимать идеализированный элемент с двумя полюсами, напряжение между которыми изменяется по заданному закону, независимо от того, какой ток возникает в источнике.
Учёт начальных условий при синтезе математических схем замещения линейных электрических цепей
При синтезе математических схем замещения, соответствующих заданным линейным неоднородным дифференциальным уравнениям (системе уравнений) возникает необходимость учитывать начальные условия. Учет начальных условий бывает важным как в линейном, так и нелинейном случаях. В линейных задачах, начальные условия оказывают влияние на численные значения постоянных интегрирования, то есть на ход переходного процесса. Подбором начальных условий можно добиться отсутствия переходного процесса при коммутации, или наоборот получить желаемое течение переходного процесса.
В нелинейных задачах значения начальных условий может иметь определяющее значение. При одних значениях начальных условий нелинейная электрическая цепь может иметь один режим работы, при других начальных условиях могут возникнуть совсем другие процессы (субгармонические колебания и т.п. [41]).
Рассмотренная в предыдущих разделах процедура синтеза не учитывает начальные условия. Однако известно, что в линейной электрической цепи свободная составляющая однозначно задается независимыми начальными условиями [23]. Рассмотренная во второй главе процедура синтеза приводит к схеме замещения, состоящей из двухполюсных элементов (сопротивлений и реактивных элементов, включая элементы высших порядков) и операционных усилителей. В то же время в первой главе показано, что индуктивность можно заменить эквивалентной схемой замещения, содержащей ёмкость. Тогда синтезированная схема замещения может быть сведена к схеме, в которой из реактивных элементов присутствуют одни ёмкости.
Всего система из 2п уравнений имеет 2п неизвестных - это система линейных интегро-дифференциальных уравнений. Так как полученная схема замещения состоит только из элементов с сосредоточенными параметрами, то её можно представить так, как показано на рис. 3.1. Для этого достаточно выделить "резистивную часть", состоящую из линейных резистивных элементов и управляемых источников, и вынести за её пределы все остальные элементы (ёмкости, источники напряжения и тока). Активная резистивная часть согласно табл. 1.2, может быть сведена к схеме замещения, состоящей только из управляемых источников.
Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений (3.11) и (3.12), неизвестными в которых являются значения напряжений на емкостях. Система уравнений (3.13) позволяет выразить значения тока каждой емкости в момент коммутации через значения напряжений на емкостях.
Продифференцируем теперь системы уравнений (3.4) - (3.10). Справедливость уравнений законов Кирхгофа при этом не измениться. Изменится только физический смысл слагаемых. В продифференцированных уравнениях первого закона Кирхгофа будут суммироваться первые производные токов с теми же знаками. В продифференцированных уравнениях второго Кирхгофа будут суммироваться производные напряжений с теми же знаками. Соответствующие изменения произойдут и с полюсными уравнениями элементов.
Продифференцированным системам уравнений можно поставить во взаимнооднозначное соответствие схему замещения, которая для t=0 (момент коммутации), будет иметь вид, приведенный на рис. 3.3. Переменные в этой схеме замещения не являются токами и напряжения, но тем не менее производные токов подчиняются первому закону Кирхгофа, а производные напряжений - второму закону Кирхгофа. Как для любой линейной схемы, для схемы на рис. 3.3 применим принцип наложения и можно записать уравнения, аналогичные (3.11). Если подставить в уравнение (3.14) токи, определяемые соотношениями (3.13), то получим второе уравнение для определения независимых начальных условий.
Следует иметь ввиду, что вместо емкости на рис. 3.3 изображен источник напряжения чисто условно (из формальных соображений). Если для схемы замещения на рис. 3.3. составить систему уравнений по законам Кирхгофа, то эта система в точности совпадет с продифференцированной системой уравнений при t=0.
Синтез математических схем замещения нелинейных сопротивлений с вольт-амперными характеристиками, управляемыми напряжением
Характеристика нелинейного элемента может удовлетворять условиям пассивности. (Характеристика нелинейного элемента удовлетворяет условию пассивности, если её дифференциальное сопротивление не принимает отрицательных значений).
В данной работе рассматривается только приближенное решение задачи моделирования характеристик нелинейных элементов, то есть предполагается, что заранее известна погрешность, с которой требуется синтезировать элемент с заданной вольт - амперной характеристикой. Такой подход оправдан тем, что на практике вольт - амперные характеристики элементов известны лишь приближенно из-за погрешностей измерительных приборов, методов измерения и зависимости параметров элементов от внешних условий (температура, давление, уровень радиации и т.п.).
В частном случае ik{u) может представлять собой кусочно-линейную зависимость. Очевидно, что чем меньше участков имеет аппроксимирующая кривая, тем проще решается задача синтеза схемы замещения нелинейного элемента и его реализации.
Пусть в окрестности точки О заданная ампер - вольтная характеристика нелинейного элемента является вогнутой ( / («) 0 ). Выберем на начальном этапе в окрестности точки О (рис. 4.12) точку Mi(AU; i(AU)), принадлежащую зависимости /(и), где ДП 0, и будем перемещать ее в направлении возрастания и, до тех пор пока секущая хорда ОМі не совпадет с касательной к верхней границе iB(it) в точке О, или не коснется нижней границы ін(и). В общем случае уравнение (4.38) может иметь несколько решений. При решении уравнения (4.38) для дальнейшего использования выбирается решение с положительным наименьшим значением U].
В процессе перемещения изображающей точки М вдоль заданной ампер -вольтнои характеристики возможен случай, когда секущая хорда так и не совпадет в рабочей области с касательной к верхней границе.
В первом случае выполняется исследование поведения секущей хорды ОМ, относительно нижней границы зоны аппроксимации.
Если секущая хорда OMi коснется нижней границы заданной области, то угловой коэффициент наклонной прямой (4.35) определяется из системы из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными (А, и иИ) любым из численных методов:
Здесь Vi и V2 идеальные диоды, а нелинейный элемент Ui(ii) соответствует положительному направлению тока і, а 112(12) отрицательному значению тока І. Вольт - амперные характеристики ui(ij) и 112(12), благодаря свойствам идеального диода, определены только для положительных значений токов и напряжений ii u i2 и расположены в первой четверти.
Анализируя выражения (4.48, 4.49), (4.51, 4.52) и (4.57, 4.58) нетрудно убедится, что ЭДС параллельной ветви определяется напряжением начального участка аппроксимации, а дифференциальное сопротивление определяется в соответствии с законом Ома как отношение приращения напряжения участка аппроксимирующей прямой к приращению тока. Приращение тока есть разность между конечным и начальным значением тока участка или разность между значением входного тока и суммарного тока ветви, моделирующей предыдущие функции. То есть, значение тока в конце каждого k-го линейного участка аппроксимирующей характеристики будет определяться из выражения: В последнем равенстве знак плюс (+) соответствует положительному значению дифференциального сопротивления для соответствующего участка аппроксимирующей характеристики, а знак минус (-) - отрицательному значению. Решая уравнение (4.66) можно получить численное значение Rk. Пример 1. Пусть требуется синтезировать схему замещения нелинейного сопротивления, ампер - вольтная характеристика, которого приведена на рис. 4.18. Заданная ампер - вольтная характеристика управляется напряжением и определена только для положительных значений напряжения и тока. Чтобы синтезировать двухполюсник, имеющий характеристику, приведенную на рис. 4.18, достаточно синтезировать схему замещения двухполюсника i(u), который имел бы характеристику, совпадающую с зависимостью, расположенной в первом квадранте на рис. Это уравнение в точности соответствует четвертому участку ампер -вольтной характеристики.
Таким образом, задача синтеза математической схемы замещения нелинейного резистивного элемента с ампер - вольтной характеристикой представленной на рис. 4.18 решена полностью.
Здесь, как и в предыдущем случае, задача синтеза решается приближенно. Пусть синтезируемый двухполюсник имеет вольт - амперную характеристику, отклоняющуюся от заданной (кривая 1 на рис. 4.33) с заданной степенью точности Su(i). Максимальная длина второго участка аппроксимирующей кривой получится, если из точки, с координатами (Ii, Ui) провести секущую хорду, в направлении возрастания аргумента функции u(i), до точки с координатами (I2, U2) на рис. 4.33. Координаты точки (I2, U2) зависят от координаты точки касания (iKac, u„(iKac)) секущей хорды к нижней границе заданной области. Определить координаты точки (I2,1 и угловой коэффициент второго участка аппроксимирующей кривой можно определить из системы аналогичной (4.40) Нетрудно убедиться, что данной кусочно-линейной зависимости можно поставить схему замещения, приведенную на рис. 4.35. Численные значения токов источников тока определяется координатами точек излома аппроксимирующей зависимости, а сопротивления Rk вычисляются по соотношению: Справедливость последнего соотношения вытекает из того, что динамическое сопротивление синтезируемого двухполюсника равняется сумме тех сопротивлений, через которые замыкаются ненулевые значения тока. Это возможно лишь для тех фрагментов схемы на рис. 4.35, для которых / / . Падение напряжения для всех остальных участков (/ Ik) равно нулю. В качестве примера рассмотрим определение параметров схемы замещения двухполюсника, вольт - амперная характеристика которого приведена на рис. 4.36.
