Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние методов проектирования реакторов и силовых трансформаторов 17
1.1. Введение 17
1.2. Обзор методов исследования электромагнитных полей 17
1.3. Выводы и постановка задачи 34
2. Расчет трехмерных стационарных магнитных полей шунтирующих реакторов 37
2.1. Введение 37
2.2. Состояние вопроса 38
2.3. Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений 39
2.4. Методика численного решения системы интегральных уравнений 43
2.5. Исследование вычислительных свойств полученных матриц СЛАУ 47
2.6. Итерационное решение полученных СЛАУ 50
2.7. Расчет индуктивности, реактивной мощности и энергии магнитного поля шунтирующего реактора 54
2.8. Исследование магнитных полей броневых и бронестержневых реакторов с С-образными ярмами 56
3. Расчет трехмерных квазистационарных полей в массивных деталях конструкции реакторов 74
3.1. Введение 74
3.2. Состояние вопроса 74
3.3. Постановка краевой задачи и вывод исходных интегральных уравнений 78
3.4. Снижение объема вычислений при расчете полей в массивных элементах 83
3.5. Трудности численного решения ГИУ минимальной размерности при расчете полей в массивных проводниках 84
3.6. Усовершенствование ГИУ минимальной размерности 86
3.7. Последовательное вычисление вторичных источников 89
3.8. Методики использования усовершенствованной и приближенной полевых моделей 92
3.9. Исследование вычислительных свойств полученных матриц СЛАУ 98
3.10. Итерационное решение полученных СЛАУ 107
3.11. Распространение моделей на случай наличия в пространстве непроводящих анизотропных ферромагнитных тел 111
3.12. Методика расчета потерь в массивных проводниках 115
3.13. Примеры анализа методических погрешностей расчета потерь, возникающих при использовании приближения плоской волны 120
3.14. Выводы 128
4. Расчет трехмерных квазиста ционарных электромагнитных полей в линейных анизотропных средах 130
4.1. Введение 130
4.2. Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений 131
4.3. Методика численного решения системы интегральных уравнений 144
4.4. Исследование вычислительных свойств полученных матриц СЛАУ 153
4.5. Выводы 159
5. Заключение 161
6. Литература 163
7. Приложение 1
- Обзор методов исследования электромагнитных полей
- Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений
- Постановка краевой задачи и вывод исходных интегральных уравнений
- Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время при проектировании электротехнических устройств, в частности, реакторов, до сих пор широко используются полуэмпирические методики, основанные на применении приближенных аналитических методов расчета поля в сочетании с результатами экспериментов. Такой подход связан с большими экономическими затратами и не может обеспечить оптимальных проекционных решений. Поэтому необходимо расширить внедрение в практику проектирования современных численных методов расчета полей, основанных на применении ЭВМ и современных информационных технологий. Такой подход дает возможность использовать математические модели, адекватно отражающие основные характеристики процессов в реальных устройствах и достаточно точно определять их главные функциональные параметры (индуктивности, мощности, потокосцепления, потери и т.д.) и, следовательно, оптимизировать конструкции по этим параметрам. Кроме того, использование численных методов позволяет определять характристики поля в ряде важных областей реакторов, недоступных для экспериментальных исследований, что упрощает выявление различного рода негативных явлений (повышенных местных нагревов, вибраций и т.д.). Все это обуславливает практическую актуальность использования численных методов для исследований полей электрических реакторов.
Однако современные численные методы расчета трехмерных электромагнитных полей, универсальные по форме, все еще остаются недостаточно эффективными для расчетов полей реакторов. Основные проблемы, возникающие при численном расчете полей реакторов, вызваны следующими факторами: наличием большого числа разномасштабных деталей (от нескольких миллиметров до нескольких метров); резко-различными мате- риальными характеристиками деталей («массивные» и магнитно-прозрачные проводники; детали с резко-выраженной анизотропией магнитных и электрических свойств и т.д.); существенной трехмерностью электромагнитного поля. Использование современных, формально универсальных численных методов для расчета полей в таких устройствах возможно лишь при принятии существенных упрощений. В противном случае, их использование приводит к чрезмерно большому (недоступному для современных ЭВМ) порядку матриц алгебраических уравнений, к решению которых сводится расчет поля, их плохой обусловленности и вырождению (см., например, [65, 66]). В связи с этим, актуальной является разработка специализированных методов и методик расчета полей, учитывающих особенности электромагнитных процессов, протекающих в реакторах. Разработка таких методик позволит, используя максимум известной информации об искомом решении, улучшить вычислительные свойства математических моделей, снизить объемы требуемых вычислений и, в конечном итоге, повысить значимость численных методов для проектирования реакторов.
Цель работы - разработка специализированных методов численного моделирования трехмерных электромагнитных полей шунтирующих реакторов и методик их численной реализации. В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи:
1. Разработать методику расчета трехмерных стационарных магнитных полей в линейных анизотропных средах, адаптированную к расчетам полей в магнитопроводах шунтирующих реакторов. Используя полученную методику для броневых и бронестержневых реакторов с Сообразными ярмами выполнить оптимизацию конструкций магнито-провода, сопоставить численные и аналитические результаты расче- тов индуктивностей, исследовать влияние анизотропии магнитных свойств магнитопроводов на величину индуктивности, рассмотреть влияние шунтов на величину индуктивности и распределение индукции в стали..
Разработать экономные методы расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в линейных изотропных проводниках. Предложить методики их численной реализации, адаптированные к расчетам полей в стальных деталях конструкций реакторов. Разработать методику расчета распределения удельных потерь в массивных деталях конструкций реакторов. Исследовать влияние приближения плоской волны на точность расчета удельных потерь.
Разработать метод расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в линейных анизотропных средах. Предложить методику его численной реализации.
В первой главе диссертационной работы произведен анализ современного состояния и перспективы развития методов численного моделирования трехмерных электромагнитных полей применительно к расчетам полей шунтирующих реакторов. В результате анализа сделан вывод о необходимости развития методов расчета трехмерных электромагнитных полей и разработки специализированных методик их численной реализации, позволяющих за счет учета особенностей электромагнитных процессов в шунтирующих реакторах снизить объемы вычислений и повысить точность решения. Наиболее пригодным для этого признан метод интегральных уравнений, поскольку в случае линейных задач расчета поля (что характерно для шунтирующих реакторов) данный метод позволяет получить более экономные полевые модели, чем другие численные методы, в том числе и метод конечных элементов.
Во второй главе рассмотрена задача определения основных функциональных характеристик шунтирующих реакторов (индуктивности, реактивной мощности и энергии магнитного поля). Показано, что решение данной задачи может быть сведено к задаче расчета трехмерных стационарных магнитных полей в линейных анизотропных средах. Обосновано, что для решения полевой задачи следует использовать метод граничных интегральных уравнений.
Целью данной главы являлось: во-первых, разработка соответствующей методики расчета поля, адаптированной к расчетам полей реакторов и, во-вторых, исследование картины магнитного поля броневых и бро-нестержневых реакторов с С-образными ярмами.
Предложенная методика расчета поля основывалась на решении системы граничных сингулярных интегральных уравнений, записанных относительно тока намагниченности и заряда, методом конечных сумм с кусочно-постоянной аппроксимацией вторичных источников. В рамках методики предложено использовать местные системы координат граничных элементов, что позволяет снизить число скалярных неизвестных на 'Л, получены аналитические выражения для вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ, исследованные ее вычислительные свойства, а также возможность итерационного решения.
В рамках исследования картины магнитного поля выполнено: оптимизация конструкции магнитопровода реактора. Для броне-стержневых реакторов оптимизируемыми параметрами являлись число вставок стрежня и суммарная длина немагнитных зазоров, для броневых - высота обмотки и ширина магнитопровода. сопоставление численных и аналитических результатов расчета ин-дуктивностей.
3. исследование влияния анизотропии магнитных свойств магнитопро-вода на индуктивность. Кроме того, было рассмотрено влияния шунта, расположенного над и под обмоткой, бронестержневого реактора на его индуктивность и распределение индукции в объеме стали.
В главе также рассмотрено вычисление интегральных параметров поля, которые могут быть использованы для построения эквивалентных схем замещения реакторов.
В третьей главе рассмотрена задача расчета потерь в стальных деталях конструкции реакторов (бак и т.д.). Показано, что решение данной задачи может быть сведено к задаче расчета трехмерных квазистационарных магнитных полей в линейных анизотропных средах и массивных изотропных проводниках.
Проведенный анализ показал, что существующие методики расчета трехмерных полей в массивных проводниках принимают в той или иной форме (граничные условия Леонтовича, поверхностный импеданс и т.д.) приближение плоской волны для снижения объемов вычислений до приемлемого уровня. Это приводит к возникновению дополнительной неустранимой погрешности расчета поля, которая особенно велика вблизи ребер и углов проводников. В тоже время расчет поля вблизи ребер и углов имеет большую практическую значимость, поскольку именно в этих областях часто имеет место локальное усиление поля, приводящее к различным нежелательным эффектам (например, повышенным местным нагревам). В связи с этим целью главы являлась разработка новых методов расчета поля в массивных проводниках, достаточно экономных, чтобы не требовать использования каких-либо приближений для снижения объемов вычислений, а также разработка на базе этих методов более точной методики расчета удельных потерь в массивных проводниках.
Разработка новых экономных методов расчета поля проводилась за счет усовершенствования известной системы граничных интегральных уравнений минимальной размерности [75]. Усовершенствование основывалось на том факте, что при наличии у поверхности массивного проводника достаточно больших плоских участков, что характерно для массивных деталей реакторов, область определения одного из вторичных источников, а именно поверхностного тока, может быть сужена. Показано, что в случае массивных проводников реакторов такое сужение области определения вторичных источников часто позволяет уменьшить число скалярных неизвестных СЛАУ в десятки раз. В итоге была получена новая, более экономная, система сингулярных граничных интегральных уравнений для расчета полей в массивных проводниках. Также получено новое скалярное граничное интегральное уравнение для приближенного расчета полей в массивных проводниках, имеющее преимущества над известными скалярными граничными интегральными уравнениями, основанными на приближенных граничных условиях (Леонтовича и идеальной проводимости). Кроме того, в данной главе предложены методики численного решения полученных систем граничных интегральных уравнений. Новшество данных методик заключается в разработке метода расчета нестандартного двойного интеграла с несобственным внутренним и сингулярным внешним интегралами. В рамках методики исследованы вычислительные свойства матриц СЛАУ и возможность их итерационного решения.
Разработка новой системы граничных интегральных уравнений, достаточно экономной, чтобы не требовать принятия каких-либо приближений для снижения объемов вычислений, позволила предложить уточненную методику расчета потерь в массивных проводниках, не принимающую в отличие от остальных методик приближение плоской волны для поля в массивном проводнике. Это впервые позволило получить достаточно точное распределение удельных потерь вблизи ребер и улов массивных проводников, а также провести количественное исследование влияния приближения плоской волны на распределение удельных потерь.
В четвертой главе рассматривается задача исследования распределения вихревых токов в магнитопроводах шунтирующих реакторов. Результаты решения этой задачи являются начальными данными для задач расчета шумов, вибраций реакторов, для выявления повышенных местных нагревов, приводящих к разрушению изоляции пластин (так называемые «пожары в стали»).
В главе показано, что решение данной задачи может быть сведено к задаче расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в средах с анизотропными магнитными и электрическими свойствами. Однако, как показал проведенный анализ, математические модели для расчета таких полей в рамках метода интегральных уравнений не разработаны. Существующие модели охватывают лишь случай квазистационарных полей в средах с анизотропией только магнитных свойств1. Все вышесказанное обуславливает актуальность основной задачи, решаемой в данной главе, а именно разработки математической модели трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств. В конечном итоге для решения поставленной задачи была получена новая система сингулярных интегральных уравнений смешанного типа, записанная относительно двух пространственных векторных (напряженности вторичного магнитного и электриче- 1 Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 167 с; Кадников СИ. Метод интегральных уравнений для расчета электромагнитною поля/Иван, гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2003. -340 с. ского поля в анизотропной среде) и одного граничного скалярного (электрический заряд, наведенный на границе раздела сред) вторичного источника. В главе предлагается также методика численного решения полученной системы интегральных уравнений. В рамках методики получены аналитические выражения для вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ, исследованные ее вычислительные свойства. Методика применена для расчета упрощенных моделей шунтирующих реакторов.
Научная новизна работы. І.Впервьіе получена система смешанных интегральных уравнений для расчета трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в линейных безгистерезисных средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств.
Н.Для расчета трехмерного квазистационарного магнитного поля в линейных изотропных безгистерезисных ферромагнитных средах получена система граничных интегральных уравнений более экономная, чем известная система граничных интегральных уравнений минимальной размерности. ІІІ.Получено новое скалярное граничное интегральное уравнение для приближенного расчета трехмерного квазистационарного магнитного поля в линейных изотропных безгистерезисных ферромагнитных средах, имеющее преимущества над известными скалярными граничными интегральными уравнениями, основанными на приближенных граничных условиях (Леонтовича и идеальной проводимости).
IV. Впервые предложена методика численного решения системы сингулярных граничных интегральных уравнений, записанных относительно тока намагниченности и заряда, для расчета трехмерных стационарных магнитных полей в линейных безгистерезисных анизотропных средах. С ис- пользованием данной методики показано, что принятие условия пространственной изотропии магнитопровода броневого или бронестержне-вого реактора с С-образными ярмами не приводит к существенной погрешности при расчете индуктивности. У.Впервые предложена методика расчета удельных потерь в массивных проводниках, не использующая приближение плоской волны. Показано, что использование приближения плоской волны может существенно искажать величину удельных потерь вблизи ребер и углов массивных проводников.
Теоретическая значимость работы состоит в следующем. Впервые предложен метод расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств. Разработаны новые более экономичные методы расчета трехмерных квазистационарных полей в изотропных ферромагнитных средах. Сделаны теоретически значимые выводы о возможности использования моделей магнитных полей в изотропных средах для расчета индуктивностей реакторов, о влиянии приближения плоской волны на распределение удельных потерь в массивных де-талях конструкции.
Практическая значимость результатов состоит в следующем. Разработаны новые методики и численные алгоритмы расчета трехмерных стационарных и квазистационарных электромагнитных полей в линейных изотропных и анизотропных средах. Данные методики реализованы в виде программного комплекса для персональных компьютеров IBM PC. Использование созданного программного комплекса для оптимизаций конструкций магнитопроводов реакторов позволило сделать практически значимый вывод о влиянии числа вставок стержня на индуктивность реактора и распре- деление индукции в стали. Разработанное программное обеспечение внедрено на предприятии г. Иваново ГУП ИвНИИЭлектропривод.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на
7-й международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2001 г.);
Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития электротехнологии» (X Бенардосовские чтения) (г. Иваново, 2001 г.);
8-й международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2002 г.);
Международной научно-технической конференции «Проблемы сварки и электротехники» (XI Бенардосовские чтения) (г. Иваново, 2003 г.);
9-й международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2003 г.); научных семинарах кафедры ТОЭЭ Ивановского государственного энергетического университета. научных семинарах кафедры «Электрические аппараты» Московского Энергетического Института.
На 7-й и 8-й международных научно-технических конференциях «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» доклады были удостоены дипломами второй степени.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, общим объемом 163 страницы, списка литературы из 151 наименования источников, включая отечественных и зарубежных авторов, пяти приложений, общим объемом 82 страницы, и акта внедрения.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах:
С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Методика расчета потерь в баке шунтирующего реактора. - Электротехника, 2004, № 1, с. 33-39. Denis V. Chindilov, «Three-Dimensional Eddy-Current Calculation for Small Skin Depths» IEEE Trans. Magn., Vol 39, No 2, Mar. 2003, pp. 968-972.
С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Оценка краевого эффекта при расчете трехмерного магнитного поля методом интегральных уравне-ний//Сборник докладов научного семинара по электротехнике и прикладной математике. Иваново 2001. С. 6-9.
С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Интегральные уравнения смешанного типа для расчета квазистационарного электромагнитного поля в анизотропных средахЮлектротехника и прикладная математика: Сборник докладов научного семинара, посвященного 200-летию открытия электрической дуги В.В. Петровым и 160-летию со дня рождения Н.Н. Бе-нардоса, ИГЭУ 2003. С. 5-8.
С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Расчет потерь в массивных элементах шунтирующего реактора//Электротехника и прикладная математика: Сборник докладов научного семинара, посвященного 200-летию открытия электрической дуги В.В. Петровым и 160-летию со дня рождения Н.Н. Бенардоса, ИГЭУ 2003. С.8-12.
Чиндилов Д.В. Расчет индуктивности и реактивной мощности броневого реактора//Проблемы сварки и прикладной электротехники: Материа- лы Международной научно-технической конференции «XI Бенардосов-ские чтения», ИГЭУ 2003, С. 39-41
С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Расчет трехмерного квазистационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде методом интегральных уравнений//Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. Седьмой Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3-х т. - М: Издательство МЭИ, 2001. Т.2., С. 36-37.
С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Методика расчета магнитного поля и тепловых потерь в баке реактора/УРадиоэлектроника, электротехника и Энергетика: Тез. докл. Восьмой Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3-х т. - М.: Издательство МЭИ, 2002. Т.2. С. 76-77.
С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Расчет трехмерного квазистационарного поля в случае малых глубин проникновения//Радиоэлектроника, электротехника и Энергетика: Тез. докл. Девятой Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3-х т. - М.: Издательство МЭИ, 2003. Т.2. С. 82-83.
10.С.Н. Кадников, Д.В. Чиндилов Расчет квазистационарного магнитного поля методом интегральных уравнений//Состояние и перспективы развития электротехнологии: Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. «X Бенардосовские чтения». В 2-х т. ИГЭУ 2001. Т.2. С. 187.
Обзор методов исследования электромагнитных полей
В настоящее время известен ряд методов расчета электромагнитных полей, которые применяются при проектировании и проверочных расчетах трансформаторов и реакторов. Анализ этих методов достаточно подробно изложен в работах [9, 10, 11] и более поздних [12, 13, 7, 14]. Однако методологии (обобщение и систематизация методов), предлагаемые в этих работах в значительной степени устарели, т.к. основываются на обобщении работ, опубликованных до 1980 г. Так, численные методы расчета полей охарактеризованы очень кратко, а некоторые из них не рассмотрены вообще (например, метод конечных элементов). В настоящем разделе предлагается обзор основных методов с точки зрения возможности и целесообразности их применения к расчетам полей в трансформаторах и реакторах.
Существующие методы исследований электромагнитных процессов можно разделить на 4 основные группы:1. Методы физического моделирования.2. Методы математического оделирования полем токов проводимости.3. Аналитические методы.4. Численные методы.
Физическое моделирование представляет собой изучение таких же по своей физической природе процессов, что и исследуемые, но не в оригинале, а в подобных ему специально изготовленных моделях. Основные понятия, теоремы и дополнительные положения теории подобия, методы определения критериев подобия из анализа исходных уравнений или анализа размерностей рассмотрены в работах А.В. Иванова-Смоленского, В.А. Веникова и др. [15,16].
Метод физического моделирования является основным методом исследования электромагнитных процессов, протекающих в трансформаторах и реакторах. Это связано с тем, что только данный метод в настоящее время позволяет достаточно точно учесть реальные формы границ сред, законы изменения возбуждающей силы, реальные свойства материалов и другие факторы, иногда даже технологические особенности. Этот метод является основным для разработки инженерных способов расчета явлений, связанных с перемагничиванием стали. Его применяют также для исследования трехмерного магнитного поля [141] и добавочных потерь [142, 143].
Однако физическое моделирование сопряжено с рядом принципиальных технологических трудностей. Во-первых, требование подобия модели трансформатора или реактора оригиналу накладывает на выбор параметров модели достаточно жесткие условия. Так в [7] показано, что при пренебрежении влиянием электрического поля, предположении линейности магнитных характеристик стали и использовании тех же материалов, что и в оригинале, можно произвольно выбирать лишь два масштаба модели: 1) линейные размеры или частота; 2) одна из электромагнитных нагрузок или параметров поля. При необходимости моделировать нелинейность свойств стали необходимо также соблюдать дополнительное требование совпадения относительных характеристик оригинала и модели. На практике такое требование означает сохранение напряженности и индукции магнитного поля в стали, что приводит к повышению плотности тока и тепловых нагрузок в малой модели. Во-вторых, невозможно полностью соблюсти геометрическое подобие малой модели оригиналу: трудности с получением провода для малой модели обмотки, зависимость свойств конструкционной стали от ее толщины, погрешность из-за округления малых линейных размеров, невозможность моделировать толщину электротехнической стали, т.к. ее магнитные свойства существенно зависят от толщины листа и частоты и т.д.
В связи с вышеуказанными трудностями при физическом моделировании реакторов и трансформаторов приходится выделять наиболее важные явления и пренебрегать второстепенными. Так, при моделировании добавочных потерь в обмотке или элементах конструкции обеспечивают учет вихревых токов в этих элементах, но, как правило, пренебрегают искажением вихревых токов в магнитопроводе; при моделировании процессов в ненасыщенном магнитопроводе часто обеспечивают учет нелинейности активной стали, но пренебрегают искажением вихревых токов в обмотках, магнитопроводе и элементах конструкции.
Основными недостатками метода физического моделирования являются: высокая стоимость физических моделей, сравнительно большое количество времени, необходимое на их изготовление и проведение измерений, а также невозможность измерения характеристик поля в ряде важных для проектировщика областей (например, внутри магнитной системы и конструкционных элементов). Все эти факторы заставляют исследователей все чаще обращаться к методам математического моделирования электромагнитных полей и, в частности, к численным методам.
Математическое моделирование полем токов проводимостиосновано на принципе, что различные по физической природе поля могут описываться однотипными математическими уравнениями [9]. Это дает возможность вместо искомого поля исследовать поле другой природы, которое легче изучать в лабораторных условиях. Наибольшее распространение получило моделирование различных двухмерных статических безвихревых полей стационарным электрическим полем в электропроводящей бумаге [17, 18]. Для моделирования трехмерных и сложных двухмерных полей используют электролитические ванны [10].
Метод моделирования на электропроводящей бумаге является наиболее простым и наглядным. Он позволяет учесть сложные двухмерные формы границ сред и распределение возбуждающих сил. Однако широко распространено моделирование только плоскопараллельного безвихревого поля, так как моделирование в непрерывной среде даже осесимметричного поля при большом отношении граничных радиусов связано с существенными техническими затруднениями. Кроме того,
Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений
Основным частями реактора, влияющими на распределение его магнитного поля, являются: провода обмоток, плотность токов проводимости в которых обычно задана; магнитная система и стальные детали конструкции (бак, стяжные шпильки и т.д.). При пренебрежении магнитным полем стальных деталей конструкции, а также полем вихревых токов, индуктируемых в стали магнитопровода, расчет магнитного поля реактора можно основывать на решении следующей общей задачи:
Однородная линейная анизотропная средаV+, с тензором магнитной проницаемости ju, окруженная однородным в магнитном отношениипространством V с проницаемостью juQ, поме S щена во внешнее стационарное поле токов про Рис. 2.1 водимости, распределенных в области V с за данной плотностью 5 (рис. 2.1). Требуется найти вектор напряженности магнитного поля Н во всем пространстве.
Чтобы свести решение поставленной задачи к решению системы граничных интегральных уравнений, используем метод разделения областей, в соответствии с которым введем различные интегральные представления поля Я+ и И в областях V и V соответственно.
В результате краевая задача примет вид: Найти векторы Н+ и Н , удовлетворяющие уравнениям:а на границе раздела сред S краевым условиям:
Краевая задача (1),(2) является известной краевой задачей, единственность решения которой доказана в [78].
В зависимости от выбора интегральных представлений поля Н+ и Н краевая задача (1),(2) может быть редуцирована к различным системам граничных интегральных уравнений. Наиболее экономная система уравнений, состоящая из двух скалярных интегральных уравнений, получается при введении в областях V+ и V потенциалов простого и двойного слоя магнитных зарядов [78]. Однако данная система интегральных уравнений обладает целым рядом недостатков (сложности вычисления потенциала внешнего источника поля, громоздкие выражения для коэффициентов матриц СЛАУ, трудности с распространением полевой модели на более широкие классы задач и т.д.), делающих ее практическое использование не целесообразным.
В связи с этим редуцируем краевую задачу (1),(2) к несколько менее экономной системе граничных интегральных уравнений, состоящей из одного скалярного и одного векторного уравнения, являющейся, тем не менее, более пригодной для численной реализации, поскольку она лишена указанных выше недостатков. Для этого в областях V и V введем соответственно векторный А и скалярный ср магнитные потенциалы. Потенциалы определим по формулам:
Потенциалы разыскиваем в виде:Уравнения (9) и (10) являются сингулярными, так как вторые интегралыв них существуют только в смысле главного значения Коши. В [114, С. 53]показано, что, если iQ и JQ - какие-либо решения системы (9), (10), то iQ и (jQ + СТд также будет решением этой системы при любом СТд, удовлетворяющем однородному уравнению
Чтобы устранить эту многозначность наложим на (10) условие Q 7udSAf =0, вытекающее из принципа непрерывности магнитногопотока, и преобразуем с учетом этого уравнение (10) к виду:
Замечание: Система (9),(11) была приведена И.Д. Маергойзом в работе [114]. Однако в данной работе при записи интегрального уравнения (9) была допущена ошибка, заключающаяся в потере знака «-» перед интегралом относительно тока.
Несмотря на то, что система интегральных уравнений (9),(11) известна, примеры ее численной реализации в литературе не обнаружены. В следующем параграфе будет предложена одна из возможных методик решения данной системы.
Численное решение системы интегральных уравнений (9),(11) будем производить сведением к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом конечных сумм с кусочно-постоянной аппроксимацией вторичных источников. Выбор в пользу данного метода сделан в связи с его простотой и универсальностью. Под простотой здесь в первую очередь понимается простота его программной реализации, а под универсальностью - возможность смены задачи с минимальными затратами времени и переделкой программного кода (методы Ритца, моментов, Галеркина, наименьших квадратов и д.р. методы, требующие предварительного подбора системы базисных функций, являются, как правило, менее универсальными). Сведение системы (9),(11) к СЛАУ осуществляем в три этапа:
На первом этапе выполним дискретизацию областей, занятых вторичными источниками. Для этого разобьем границу раздела сред S на достаточно малые плоские фаничные элементы Sk. В результате дискретизации система (9),(11) примет вид:
На втором этапе произведем кусочно-постоянную аппроксимацию искомых плотностей. Для этого примем плотности вторичных источников т и / постоянными в пределах граничных элементов Sk. После аппроксимации вторичных источников имеем:
Здесь точка (9 - это центр граничного элемента 5/5 Я, - единичный вектор, нормальный к плоскому граничному элементу 5,.
Чтобы система (16),(17) стала пригодной для численного решения, векторное уравнение (15) необходимо заменить скалярными уравнениями относительно составляющих вектора іj в каком-либо базисе. В глобальной системе координат вектор і. имеет в общем случае три ненулевых составляющих и уравнение (16) может быть заменено тремя скалярными уравнениями. Чтобы уменьшить
Постановка краевой задачи и вывод исходных интегральных уравнений
Как было сказано ранее, основным частямиреактора, влияющими на распределение егмагнитного поля, являются провода обмоток,плотность токов проводимости в которых обчноS задана, магнитная система и стальные детали
Рис. 3.1 конструкции (бак, стяжные шпильки и т.д.).Полагая вначале, что магнитная системаотсутствует, расчет магнитного поля реактора можно основывать нарешении следующей общей задачи:
Однородная линейная изотропная среда V+, с магнитной проницаемостью ц и удельной проводимостью у, окруженнаяоднородным непроводящим пространством V с проницаемостью ju0, помещена во внешнее поле токов проводимости, распределенных вобласти V0 с заданной плотностью S0 (рис. 3.1). Характеристики поля меняются синусоидально с течением времени. Требуется найти вектора напряженностей магнитного Н и электрического Е полей.
Чтобы свести решение поставленной задачи к решению ГИУ минимальной размерности, используем метод разделения областей, в соответствии с которым введем различные интегральные представления магнитного и электрического полей в областях V+ и V . Обозначим эти представления как Н+, Ё+ для области Vу и Н , Ё для области V . В результате краевая задача расчета электромагнитного поля может быть
Доказательство единственности решения системы уравнений (1)-(8) приводится в [86, с.186-188].
Решение краевой задачи (1)-(8) можно свести к последовательному решению двух значительно более простых краевых задач: для вектора Н во всем пространстве и для вектора Е в области V. Такое расщепление целесообразно по следующим причинам: во-первых, область всех массивных элементов реактора (бак, ярмовые балки и т.д.) часто является односвязной, а значит, поле Н имеет простую потенциальную структуру [125, с. 248-250], во-вторых, поле Ё не требуется для расчета потерь в массивном проводнике, и решение краевой задачи для Ё можно не проводить.
Сформулируем краевую задачу для поля Н. Из уравнений (2) и (5) получаем:Рассмотрим решение краевой задачи (14)-(19) методом граничных интегральных уравнений. Учитывая, что \lrQMi где rQX1 - расстояние междуточкой поля Q и точкой источника М, является функцией Гринауравнения Лапласа V2 p = 0, разыскиваем Н в виде:где KQM =\/{Аїї-ГдКІ), a - плотность магнитных зарядов, распределенныхпо поверхности S, А8 - известный векторный магнитный потенциал внешнего источника поля. Легко проверить, что интегральное представление (20), удовлетворяет уравнениям (14) и (15).
Учитывая, что exp[-(l +j)k-rQU]/rQxn где к = yfcojlyll является функцией Грина уравнения Гельмгольца Аср = jcojuycp, разыскиваем Н+ в виде: где GQSf =ехр[-(1 + У)-г(?д/]/(4;Г Грд/), Ju - плотность тока, распределенного по поверхности S. Очевидно, что интегральное представление (21) удовлетворяет уравнению (17). Проверим, что оно удовлетворяет также и уравнению (16). Для этого, учитывая, что АН+ = -rot rot Н+ + grad div Н+ и divrot а = 0, Уа, находим АН+ =-rot rot Н+. Возьмём ротор от обеих частей выражения (21) и, учитывая, что rot rot a = grad div а - V2a, получим: Учитывая, что VQGQM = (1 + j)2k2GQM, находим т.е. интегральное представление (21) удовлетворяет уравнению (16). Таким образом, осталось лишь гарантировать выполнение граничных условий (18) и (19), из которых и будут получены интегральные уравнения, относительно вторичных источников. Подставляя интегральные представления (20) и (21) в граничное условие (19) и учитывая предельные свойства нормальной составляющей градиента потенциала простого слоя зарядов [114, с. 12], находим: Подставляя интегральные представления (20) и (21) в граничное условие (18) и учитывая предельные свойства тангенциальной составляющей потенциала rotQ 4iMGQMdShl [86, с. 226-228], находим: Таким образом, краевая задача (14)-(19) свелась к полевой модели, состоящей из двух интегральных представлений поля (20) и (21) и двух сингулярных интегральных уравнений (25) и (26). В уравнении (25) сингулярным является интеграл, содержащий /, а в уравнении (26) -интеграл, содержащий ст. Полевая модель (20),(21), (25),(26) впервые была
Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений
В настоящей главе решается следующая задача: неоднородная анизотропная среда V, с тензором относительной магнитной Рис. 4.1 проницаемости ft и тензором удельной проводимости у, окруженная воздушным пространством Ve, помещена в известное частотой О) внешнее синусоидальное поле с круговой (рис.4.1). Предполагается, что характеристики электромагнитного поля меняются синусоидально с течением времени. Требуется найти векторы напряженности электрического Е и магнитного Н полей во всем пространстве. Решение поставленной задачи сводится к решению следующей краевой задачи: Найти векторы Е и Н удовлетворяющие уравнениям: Здесь индексы е и і означают, что величина берется соответственно на внешней и внутренней стороне поверхности анизотропной среды, п() вектор, нормальный к границе раздела сред в точке Q, j = V. Единственность решения краевой задачи (1)-(6) доказана в работе [86, СІ86-188]. Преобразуем уравнение (2) к виду: где 1 - тензор второй валентности с единичной диагональной матрицей. Введем магнитный ток Sg =-jcoju0(jug-\)HQ. Тогда формулу (7) можно переписать в виде: Обозначим Sg = YQEQ - ток проводимости. Беря ротор от обеих частей (1) и учитывая формулу векторного анализа находим: Беря дивергенцию от обеих частей (8) и учитывая, что divrota = 0, получаем: Подставляя (11) в (10) и записывая выражение относительно точки наблюдения М, находим: J Wo Решение векторного уравнения Пуассона (12) имеет вид: где Учитывая, что 8Q - -J COJLI0(JUQ - \)HQ и 8 = fQ -EQ, перепишем (17) в следующей форме: где Нд и Ед - составляющие напряженности магнитного и электрического поля, созданные анизотропной средой V, Нд и Ед - известные составляющие напряженности магнитного и электрического поля, созданные первичным источником поля. Раскладывая векторы Я и на составляющие, получаем: Ц + Перенося известные слагаемые в правую часть, получаем интегральное уравнение относительно составляющих напряженности вторичного поля в анизотропной среде: Уравнение относительно Е+ найдем из формулы (8). Беря ротор от обеих частей выражения (8) и учитывая формулу векторного анализа (9), находим: Перепишем (24) в виде: Решение векторного уравнения Пуассона (25) имеет вид: EQ = Взятие ротора от обеих частей выражения (8) при выводе формулы (25) могло привести к потере градиента скалярной функции, что в свою очередь ведет к нарушению граничного условия на равенство нормальных составляющих индукции электрического поля. Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегральное представление (26) не удовлетворяет данному граничному условию. Поэтому в правую часть уравнения (26) должно быть добавлено слагаемое - gradQ(pQ, где ср0 - это скалярный электрический потенциал, определяемый формулой: Учитывая формулу (15), перепишем (27) в виде: Учитывая, что divM {ysl ESI) = divht ((/u - 1 )Ehl) + divXf Eu = 0, получаем: Откуда, имеем: \GQu8radMdivMEKldVKI =-\GQslgradhldivKI(yhl Уравнение (31) так же, как и уравнение (18), записано относительно полных напряженностей магнитного и электрического поля. Чтобы выделить известную правую часть уравнения (31), разложим векторы Н и Е в соответствии с формулами (19), (20). В результате разложения получаем: У Перенося известные слагаемые в правую часть, а неизвестные в левую, получаем интегральное уравнение относительно составляющих напряженности вторичного поля в анизотропной среде: У У На поверхности анизотропной среды S должно выполняться условие: где nQ - единичный вектор, нормальный к поверхности анизотропной среды и направленный в воздух (см. рис. 4.1), Е - напряженность электрического поля на внутренней стороне поверхности анизотропной среды. Учитывая, что у - тензор второй валентности с диагональной матрицей, причем все диагональные элементы отличны от нуля, и полагая, что вектор nQ всегда коллинеарен одному из направлений анизотропии, получаем эквивалентность условия (35) следующему условию:
