Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели дискретных СФС при комбинированных воздействиях 14
1.1. Модель цифровой СФС с равномерной дискретизацией 14
1.2. Модель цифровой СФС с неравномерной дискретизацией 27
1.3. Выводы 34
Глава 2. Статистические характеристики фазового рассогласования дискретной СФС 2-го порядка в условиях комбинированных воздействий .. 35
2.1. Построение марковских моделей 36
2.1.1. Анализ инвариантных движений на фазовой плоскости 36
2.1.2. Вид уравнения Колмогорова-Чепмена для случая гармонического воздействия 39
2.1.3. Вид уравнения Колмогорова-Чепмена для случая комбинированного воздействия 54
2.1.4. Сравнение зависимостей ПРВ, полученных различными методами 58
2.2. Анализ квазипериодических режимов СФС 2-го порядка при наличии на входе шумовой помехи 64
2.3. Статистические характеристики при наличии на входе сигнала постоянной частоты 77
2.3.1. Случай гармонической помехи на частоте входного сигнала78
2.3.2. Расстроенная по частоте гармоническая помеха 85
2.3.3. Помеха в виде ряда гармонических составляющих 90
2.4. Статистические характеристики при наличии на входе сигнала с угловой модуляцией 94
2.4.1. Случай отсутствия помехи 97
2.4.2. Гармоническая помеха 107
2.4.3. Помеха с угловой модуляцией 109
2.5. Выводы 111
Глава 3. Срыв слежения в дискретных СФС в условиях комбинированных воздействий 113
3.1. Методика анализа статистических характеристик времени срыва слежения в СФС 2-го порядка для фиксированных поглощающих границ 114
3.2. Методика анализа временных параметров срыва слежения в в условиях нестационарных границ 122
3.3. Обсуждение результатов анализа временных характеристик 133
3.3.1. Срыв слежения при действии на входе сигнала постоянной частоты 133
3.3.2. Срыв слежения при действии на входе ФМ-колебания 138
3.3.3. Срыв слежения в условиях действия детерминированной помехи 146
Глава 4. Экспериментальное исследование статистических характеристик дискретных СФС при комбинированных воздействиях 149
4.1. Постановка задачи 149
4.2. Компьютерное моделирование СФС с квадратурным аналого-цифровым преобразованием на входе 150
4.2.1. Структурная схема исследуемой СФС 150
4.2.2. Анализ спектра на выходе СФС при наличии на входе ЧМ-колебания и гармонической помехи 153
4.3. Реализация и исследование СФС на базе цифрового сигнального процессора ADSP-2181 158
4.3.1. Реализация цифровой СФС с квадратурным аналого-цифровым преобразователем на входе 162
4.3.2. Сравнительный анализ статистических характеристик СФС в условиях комбинированного воздействия 163
4.4. Выводы 177
Заключение 179
Список литературы 183
Приложения 191
- Модель цифровой СФС с неравномерной дискретизацией
- Анализ квазипериодических режимов СФС 2-го порядка при наличии на входе шумовой помехи
- Методика анализа временных параметров срыва слежения в в условиях нестационарных границ
- Компьютерное моделирование СФС с квадратурным аналого-цифровым преобразованием на входе
Введение к работе
Актуальность работы
Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационно-измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем фазовой синхронизации (СФС). Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов [1-10, 15, 31].
В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Выбором структуры колец и входящих в них узлов появилась возможность создавать варианты систем, обладающих требуемыми характеристиками по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения режимов работы колец стало реальностью создание гибких алгоритмов обработки информации, оптимизации параметров и характеристик [7-10, 15, 19, 32, 37].
Большой интерес последнее время вызывает поведение систем в условиях помеховых воздействий. Анализ реакции на действие помех достаточно важен для практики [1-5, 8-19]. Во многом именно помеховая обстановка определяет точностные характеристики системы. При этом статистические моменты фазовой и частотной ошибок слежения не дают полной информации о поведении СФС. Поскольку СФС - существенно нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния. Особенностью СФС с рядом других систем (не фазовых) является существование множества устойчивых состояний равновесия, а в отдельных предельных случаях и устойчивых периодических движений 1-го и 2-го рода, что еще более усложняет картину при действии шумов. Ситуация становится еще более сложной, если на вход системы кроме шумового воздействия поступает и узкополосная негауссовская помеха в виде детерминированного сигнала. В качестве последнего может выступать помеховый сигнал, по структуре повторяющий полезный [15-18].
Учет комбинированного воздействия позволяет ответить на вопрос об эффективности функционирования СФС в условиях сосредоточенной по частоте помехи, что становится крайне актуальным, например, в условиях непрерывно расширяющегося числа одновременно работающих радиосредств. Примером могут служить помехи по основному каналу приема, характерные для систем подвижной связи, повторно использующих одни и те же частоты при формировании сотового частотного режима (соканальные помехи) [15].
Как и для любой следящей системы, для СФС важным вопросом является анализ срыва слежения. Под срывом слежения в СФС следовало бы понимать переход траектории движения из области притяжения одного устойчивого состояния равновесия в область притяжения другого устойчивого состояния равновесия или устойчивого периодического движения. Однако традиционно решается задача о достижении марковским случайным процессом, описывающим траекторию движения системы, некоторой заданной границы. Это связано с тем, что в исходной постановке сталкиваются с трудностями, вызванными необходимостью рассматривать решение соответствующих уравнений на всей плоскости переменных состояния, что с использованием численных методов возможно лишь для систем 1-го порядка [12-13, 31].
Следует отметить, что явление срыва слежения может оказать существенное влияние на работоспособность СФС, приводит к резкому увеличению ошибок по частоте. Это особенно важно в доплеровских фазовых системах [18, 19]. Это особенно становится актуальным в условиях комбинированных воздействий. Даже, если отсутствует узкополосная помеха, но входной полезный сигнал изменяется по частоте (например, случай ЧМ-колебания), вероятность срыва слежения может существенно возрасти.
Основы теории исследования статистических характеристик СФС с использованием их марковских моделей заложили Р.Л.Стратонович [26] и В.И.Тихонов [27,28]. Значительный вклад в теорию синхронизацию при наличии шумов внесли Б.И. Шахтарин, В. Линдсей, А. Витерби, Дж. Холмс,
В.Д. Шалфеев, Н.Н. Удалов, В.Н. Белых, В.Н. Кулешов, В.Д. Разевиг, В.В. Шахгильдян, А. Вайнберг и другие. Если теория аналоговых стохастических систем сегодня достаточно развита, то теория дискретных систем, несмотря на повышенное внимание к ней, развита существенно в меньшей степени. Применительно к аналоговым системам можно говорить о законченных исследованиях как систем 1-го так 2-го порядков, то в случае систем дискретного времени речь может идти лишь о законченных исследованиях в лучшем случае для систем 1-го порядка. Хотя этой теме посвящено немало работ. Среди них исследования, выполненные М.И. Жодзишским, В.Н. Кулешовым, В.В. Шахгильдяном, Б.И. Шахтариным, В.Н. Белыхом, В.П. Сизовым, Дж. Холмсом, Д. Джиллой, X. Осборном, С. Гуптой.
Исследованиям дискретных СФС в условиях даже простейших узкополосных помех посвящено ограниченное число работ, среди которых следует отметить работы Б.И. Шахтарина и его учеников [16, 17]. К числу этих работ следует отнести исследования, выполненные автором диссертации.
Подобную ситуацию можно объяснить следующими причинами. Во-первых, представляет собой достаточно серьезную проблему переход от исходных стохастических уравнений 2-го и выше порядков к марковским моделям, не существует общей методики перехода; ситуация значительно усложняется в условиях узкополосных воздействий. Во-вторых, необходимо обеспечить строгий переход от марковской модели к векторному уравнению Колмогорова-Чепмена, корректно построив условную плотность вероятности перехода; сложность вызвана периодическим характером фазового пространства по фазовой координате и, соответственно, необходимостью отыскания инвариантных движений в пространстве. До сих пор корректно данную задачу даже в случае простейших воздействий решить в большинстве случаев не удавалось. В-третьих, задача о среднем времени до срыва слежения имеет особенную постановку, что вызвано необходимостью использования подвижных границ, относительно которых рассматривается срыв слежения. В традиционной постановке эти границы фиксированы. Даже наличие простого сигнала без помехи, но с изменяющейся частотой, существенно усложняет решение задачи о срыве. Наконец, в-четвертых, необходимость анализа двумерной плотности распределения вероятности, особенно в задаче о срыве слежения с подвижными границами приводит к значительным вычислительным трудностям, что требует разработки новых эффективных численных методов решения уравнений Колмогорова-Чепмена, так и новых алгоритмов определения статистических характеристик времени срыва.
Таким образом, критический анализ работ, претендующих на достаточно строгие и полные исследования статистических характеристик дискретных СФС 2-го порядка, показал, что число таких работ достаточно ограничено. Отсутствие эффективных методов исследования, а, следовательно, и методик расчета статистических характеристик, особенно в условиях сложных комбинированных воздействий, сдерживает широкое распространение их на практике. С одной стороны, большая практическая потребность в высокоэффективных системах синхронизации, с другой стороны, отсутствие достаточно полной информации о поведении таких систем в реальной помеховой обстановке, отсутствие информации об их потенциальных возможностях. Это приводит к необходимости разработки как прикладных методов анализа статистических характеристик дискретных СФС, так и проведения исследований с помощью этих методов конкретных моделей СФС для технических приложений.
В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная разработке методов и анализу статистических характеристик дискретных систем фазовой синхронизации с применением этих методов, является актуальной.
Цели и задачи диссертации
Целью диссертационной работы является разработка методов анализа дискретных систем фазовой синхронизации, позволяющих проводить расчет статистических характеристик импульсных и цифровых СФС с учетом комбинированных воздействий в виде аддитивной смеси полезного сигнала, узкополосной помехи и гауссовского шума.
Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:
1. Построение математических моделей ряда дискретных СФС с многоуровневым квантованием в форме марковских моделей.
2. Разработка методики перехода к векторному уравнению Колмогорова Чепмена, учитывающего периодический характер фазовой координаты.
3. Разработка алгоритмов отыскания инвариантных движений в пространстве с целью построения условной плотности вероятности перехода.
-8 4. Разработка методики определения характеристик среднего времени до срыва слежения в условиях переменных границ.
5. Разработка эффективных алгоритмов численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена и поиска оценки среднего времени до срыва.
6. Получение и анализ одномерной и двумерной плотности распределения вероятности, характеристик среднего времени до срыва слежения ряда дискретных СФС 1-го и 2-го порядка с различными фильтрами в канале управления (пропорционально-интегрирующий и астатический) для различных полезных и помеховых воздействий.
7. Разработка модуля цифровой СФС с квадратурным преобразователем на входе на основе сигнального процессора ADSP-2181 с целью проверки полученных теоретических результатов и определения предельных возможностей процессора для реализации синхронно-фазовых демодуляторов.
Общая методика исследований
Разрабатываемые в диссертации методы анализа статистических характеристик дискретных СФС базируются на общих положениях качественных методов теории дискретных систем с периодическими нелинейностями, теории точечных отображений и разностных уравнений, теории марковских процессов и цепей.
Для решения поставленных задач используются также компьютерное моделирование, численное решение нелинейных стохастических разностных уравнений.
Разработанные методы и алгоритмы анализа статистических характеристик дискретных, в том числе цифровых, СФС ориентированы на использование персональных компьютеров.
Научная новизна результатов
1. Получены эквивалентные функциональные схемы и марковские модели ряда дискретных СФС для случая комбинированных воздействий в виде смеси полезного колебания, детерминированной помехи и широкополосного гауссовского шума.
2. На основе общих положений качественных методов исследования дискретных СФС в фазовом пространстве разработана методика определения инвариантных движений, необходимых для построения условной плотности вероятности.
3. Предложена методика численного решения векторного уравнения Колмогорова-Чепмена с учетом комбинированных воздействий.
4. Разработана методика определения среднего времени до срыва слежения для случая подвижных границ для различных типов входных полезных и помеховых воздействий.
5. С учетом разработанных методов получены алгоритмы анализа статистических характеристик ряда дискретных систем в условиях комбинированных воздействий: плотности распределения вероятности, дисперсии фазовой ошибки слежения, пороговых кривых, среднего времени до срыва и его дисперсии.
6. На основе разработанных методик и алгоритмов создано оригинальное программное обеспечение для анализа статистических характеристик различных дискретных систем фазовой синхронизации.
7. С помощью разработанных методик и алгоритмов выполнено исследование ряда дискретных СФС. В отношении ряда систем получены уточняющие по сравнению с известными результаты (за счет применения более эффективных методик). Ряд систем исследован впервые, это касается в первую очередь СФС 2-го порядка с комбинированным воздействием. В процессе исследований установлен ряд новых качественных особенностей дискретных СФС, обусловленных характером воздействия.
Практическая ценность
1. В диссертации разработаны методики исследования, позволяющие определить основные статистические характеристики различных дискретных СФС. Разработаны алгоритмы для расчета статистических характеристик; созданные автором пакеты программ апробированы на ряде предприятий: МГТУ им. Баумана г. Москва, Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, ЯрГУ г. Ярославль.
2. Разработанные программы позволяют оптимизировать параметры фильтра в цепи управления с целью обеспечения заданных статистических свойств дискретных СФС в условиях комбинированных воздействий.
3. Полученные в диссертации результаты позволили сформулировать предложения по повышению эффективности разрабатываемых дискретных СФС, включая цифровые, функционирующие в условиях сложной помеховой обстановки.
4. Предложенные и развитые в диссертации методики и разработанные на их основе алгоритмы и программы можно использовать в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах для анализа статистических свойств дискретных систем синхронизации и синтеза дискретных систем синхронизации различного назначения.
5. Разработанный в диссертации модуль цифрового синхронно-фазового демодулятора на основе сигнального процессора ADSP-2181, созданное программное обеспечение по управлению модулем в комплексе с персональным компьютером позволили реализовать ряд алгоритмов, оптимизирующих поведение системы при наличии анализа текущего состояния и возможности корректировки параметров системы. Подобный подход перспективен для создания адаптивных цифровых систем на основе сигнальных процессоров.
Часть материалов, включая разработанное программное обеспечение, используется в учебном процессе Института криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, МГТУ им. Баумана г. Москва, ЯрГУ г. Ярославль.
Положения, выносимые на защиту
1. Эквивалентные функциональные схемы и марковские модели ряда дискретных СФС для случая комбинированных воздействий в виде смеси полезного колебания, детерминированной помехи и широкополосного гауссовского шума.
2. Методика определения инвариантных движений, необходимых для построения условной плотности вероятности, полученная на основе общих положений качественных методов исследования дискретных СФС в фазовом пространстве.
3. Методика численного решения векторного уравнения Колмогорова-Чепмена с учетом комбинированных воздействий.
4. Методика определения среднего времени до срыва слежения для случая подвижных границ для различных типов входных полезных и помеховых воздействий.
5. Алгоритмы анализа статистических характеристик ряда дискретных систем в условиях комбинированных воздействий: плотности распределения вероятности, дисперсии фазовой ошибки слежения, пороговых кривых, среднего времени до срыва и его дисперсии.
6. Оригинальное программное обеспечение для анализа статистических характеристик различных дискретных систем фазовой синхронизации, созданное на основе языка программирования высокого уровня C++.
7. Результаты исследования статистических характеристик ряда дискретных СФС 2-го порядка с различными фильтрами в цепи управления для различных полезных и помеховых воздействий.
8. Модуль цифрового синхронно-фазового демодулятора с квадратурным преобразованием на входе на основе сигнального процессора ADSP-2181 и результаты исследования статистических характеристик модуля.
Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.
Во введении обоснована актуальность темы и ее практическая значимость, сформулированы цели и задачи исследования, дан критический анализ работ в области исследования динамических характеристик различных классов дискретных систем фазовой синхронизации.
В первой главе построены математические модели в форме разностных стохастических уравнений для трех типов дискретных СФС в условиях комбинированных входных воздействий. К числу их относятся цифровые СФС с равномерной и неравномерной дискретизацией и системы с фазовой обработкой входного сигнала. Для каждого типа предложены эквивалентные функциональные схемы, послужившие основой для стохастических уравнений. Анализ схем позволил свести математическое описание рассматриваемых систем к общему уравнению.
Вторая глава посвящена разработке методики исследования статистических характеристик фазовой ошибки дискретных СФС 2-го порядка в условиях комбинированных воздействий и анализу полученных на основе применения этой методики результатов для конкретных воздействий и типов фильтра в цепи управления. Разработка методики вызвана особенностями поведения дискретных систем с периодической нелинейностью на фазовом цилиндре и, соответственно, особенностями построения уравнения Колмогорова-Чепмена в случае интегрирования в конечных интервалах переменных. Для предложенного преобразования переменных при переходе к марковской модели получены необходимые выражения для плотностей вероятности для комбинированных воздействия. В главе предлагается также численный метод решения уравнения Колмогорова-Чепмена, учитывающий характер входных воздействий и особенности свертывания плотностей вероятности. С применением разработанной методики получены одномерные и двумерные плотности вероятности фазовой ошибки дискретной СФС 2-го порядка для различных воздействий в виде аддитивной смеси полезного сигнала, помехи и широкополосного гауссового шума. Полезный сигнал представляет собой колебание постоянной частоты либо колебание с угловой модуляцией, помеха расстроена по частоте относительно полезного сигнала и в общем случае повторяет его по структуре.
В третьей главе исследуется срыв слежения в дискретных СФС 1-го и 2-го порядков. Особенность решения данной задачи вызвана характером входных воздействий. Наличие изменяющейся во времени входной частоты, вызванной угловой модуляцией или наличием помех, приводит к двум факторам, которые не рассматриваются при традиционном решении данной задачи. Во-первых, становится нестационарной условная плотность вероятности, во-вторых, положение поглощающих границ, относительно которых рассматривается срыв слежения, также постоянно меняется во времени. Это вынуждает отказаться от стандартного подхода при расчете вероятности срыва. В главе предлагается методика, основанная на предположении кратности периода изменения частоты и интервала дискретизации системы. В результате удается получить рекуррентное выражение для вероятности срыва и в конечном итоге перейти к интегральному уравнению Фредгольма для моментов времени срыва. Также предлагается модифицированная методика расчета моментов времени срыва для СФС 2-го порядка в случае фиксированных поглощающих границ, учитывающая результаты 2-ой главы. Особенность связана с выбором переменных при переходе к марковской модели, обеспечивающих корректность и эффективность численных процедур при поиске решений. В главе приводятся результаты анализа статистических характеристик времени срыва для различных входных воздействий.
Четвертая глава посвящена проверки основных результатов теоретических исследований, полученных в предыдущих главах диссертационной работы, и уточнению ряда результатов, вызванных учетом допущений, сделанных при выводе математических моделей исследованных типов СФС. С этой целью разработан аппаратно-программный комплекс, в состав комплекса входит персональный компьютер со специальным двухканальным устройством ввода-вывода информации, модуль цифровой СФС на основе сигнального процессора ADSP-2181, узел сопряжения компьютера с цифровым модулем. Аппаратно-программный комплекс может функционировать в различных режимах: в режиме компьютерной модели заданной структуры СФС, работающей в реальном или "модельном" времени; в режиме цифрового модуля, реализующего структуру конкретного типа СФС; режиме совместного функционирования цифрового модуля и контрольно-измерительного блока, реализованного на основе компьютера. Последний режим предполагает оптимизацию программного обеспечения процессора ADSP 2181 и контрольно-измерительного блока. В главе выполнен комплекс экспериментальных исследований для различных входных воздействий. Получены экспериментальные статистические характеристики фазовой и частотной ошибок, в частности плотности распределения, оценки статистических моментов, пороговые кривые, для различных типов помех и их параметров. По результатам экспериментальных исследований сформулированы предложения по реализации цифровых СФС на основе сигнальных процессор серии ADSP 2100, включая вопросы оптимизации программного обеспечения. Для практического использования предлагаются рекомендации по улучшению статистических характеристик дискретных СФС, функционирующих в условиях помех, за счет выбора параметров систем, и формулируются требования к входным помехам, в условиях которых система обеспечивает заданное качество.
В заключении подведены итоги диссертации и показаны направления дальнейшего развития идей, предложенных в работе.
Модель цифровой СФС с неравномерной дискретизацией
Большую популярность в системах слежения получили цифровые СФС, в которых аналого-цифровой преобразователь огибающей одновременно выполняет функцию фазового детектора. При этом стробирование в АЦП осуществляется нерегулярными следующими импульсами с выхода синтезатора частоты. Подобные схемы отличаются простотой и достаточно высокими характеристиками слежения.
Структурная схема цифровой СФС с неравномерной дискретизацией представлена на рис.1.5. Сигнал sex(t), пройдя через полосовой фильтр (ПФ),поступает на аналого-цифровой преобразователь, где осуществляется дискретизация тактовыми импульсами и (к). Частота импульсов определяетсясигналом управления иу(к), поступающим с выхода цифрового фильтра навход управления цифрового синтезатора частот (ЦСЧ). Пусть сигнал на входе АЦП имет видгде 6(t) - фаза полезного сигнала, содержащая информацию о передаваемом сообщении, со0 - несущая частота полезного сигнала, n{t) - ограниченный в полосе частот гауссовскии шум с постоянной спектральной плотностью, полоса шума достаточно велика, чтобы считать отстоящие друг от друга на конечное время отсчеты n{t) независимыми.
Последовательность {ид(к)} поступает на вход цифрового фильтра, выход которого {Y(k)} используется для управления периодом цифрового генератора по закону Выражение (1.2.10) представляет собой символическое разностное уравнение цифровой СФС с неравномерной дискретизацией. Задавая конкретный вид Кф(і), можно получить соответствующие стохастические уравнения для конкретных фильтров системы. Задавая закон изменения входной фазы в (к), можно получить уравнения для конкретных воздействий.
Для общего фильтра 1-го порядка вида (1.1.14) символическое уравнение приводится к вдуЕсли несущая частота входного воздействия не совпадает с частотой со0,то в уравнении (1.2.11) дополнительно появится член, отвечающий за частотную растройку, который можно определить по аналогии с (1.1.5). С учетом данного замечания (1.2.11) преобразуется к виду
Отметим, что с точностью до обозначений общие уравнения (1.2.11), (1.2.12) совпали с уравнениями цифровой системы с равномерной дискретизацией.Для бесфильтровой СФС уравнение (1.2.12) примет вид Совпадение уравнений цифровых СФС с равномерной и неравномерной дискретизацией позволяет утверждать, что схемы можно свести к единой эквивалентной функциональной схеме и для более общего случая входного воздействия. В свою очередь, это говорит о том, что и для комбинированного , детерминированной помехи и шума, уравнения будут схожими. Для доказательства можно рассмотреть входной сигнал в видегде Аъ 6 i(t) - амплитуда и закон изменения фазы z-ой составляющей помехи, и получить выражение на выходе АЦП, выполняющего роль фазового детектора. где ри ві(к) - нормированная частотная расстройка и закон изменения фазы /-ой составляющей помехи. Проделав рассуждения, аналогичные случаю отсутствия детерминированной помехи, с учетом (1.2.22) можно получить стохастическое разностное уравнение, совпадающее с (1.1.24).
Анализ выражений (1.2.22) и (1.2.8), а также структурной схемы, приведенной на рис. 1.5, позволяет получить эквивалентную функциональную схему системы с неравномерной дискретизацией в безразмерном времени. Ее вид представлен на рис. 1.6. Сравнение рис. 1.6 и рис. 1.4 позволяет говорить о подобии функциональных схем, полученных для цифровых СФС с равномерной и неравномерной дискретизацией. Соответственно поведение систем в безразмерном времени совпадут. Отличие в поведении двух систем появятся при переходе к размерному времени. 1. В главе получены математические модели в форме стохастических разностных уравнений для двух классов дискретных систем фазовой синхронизации для случая комбинированных воздействий, представляющих собой аддитивную смесь полезного колебания с угловой модуляцией, детерминированной помехи в виде ряда из N гармонических составляющих с произвольным законом изменения фазы и гауссовского шума. Уравнения написаны в терминах разности полной фазы входного полезного колебания и полной фазы выходного колебания. К первому классу относятся СФС с равномерной дискретизацией, их характерной особенностью является наличие аналого-цифрового преобразования на входе кольца, ко второму - системы с неравномерной дискретизацией, для них аналого-цифровой преобразователь, как правило, реализуется непосредственно в фазовом детекторе.2. Для СФС с равномерной дискретизацией получена эквивалентная функциональная схема, согласно которой шумовое воздействие пересчитывается на выход фазового детектора в виде аддитивной широкополосной гауссовской составляющей, учет гармонических составляющих помехи эквивалентен введению параллельно основному N фазовых детекторов, на выходе вычитателей которых дополнительно подсуммируются разности полных фаз полезного колебания и соответствующей составляющей ряда (рис. 1.4).3. Эквивалентную функциональную схему для СФС с неравномерной дискретизацией в рамках сделанных допущений удалось свести к схеме с равномерной дискретизацией. Это означает, что записанные в безразмерном времени стохастические уравнения двух классов СФС аналогичны с точностью до физического смысла коэффициентов, что в свою очередь позволяет свести исследование двух классов систем к изучению обобщенной математической модели. Отличие в результатах появляется при переходе во временных зависимостях от безразмерного времени к размерному.
Анализ квазипериодических режимов СФС 2-го порядка при наличии на входе шумовой помехи
В разделе обсуждаются результаты расчета ПРВ фазовой ошибки, полученные с помощью предложенной выше методики решения уравнения Колмогорова-Чепмена для дискретной СФС 2-го порядка при наличии на входе суммы постоянного по частоте сигнала и широкополосной шумовой помехи. Интерес к подобной задаче связан с отработкой самой методики. С другой стороны динамические режимы дискретных СФС, находящихся под шумовым воздействием, практически не изучены. Речь идет о режимах с несколькими устойчивыми движениями. Например, у системы может быть устойчивое состояние равновесия и одно или несколько устойчивых предельных циклов. При отсутствии шума подобные режимы исследованы во многих работах, посвященных нелинейной динамике дискретных систем, к числу их относятся [37, 48-52]. При наличии шумового воздействия сложная динамика исследовалась в ограниченном числе работ, включая работы автора диссертации, где рассмотрены некоторые частные случаи [53, 71].
На рис. 2.12-2.19 приведены характерные изменения одномерных и двумерных ПРВ во времени в зависимости от начального распределения фазовой ошибки в системе и дисперсии входного шумового воздействия. Динамика автономной системы во всех случаях выбиралась одной и той же и характеризовалась состоянием синхронизма и двумя устойчивыми предельными циклами 2-го рода с периодами 2 и 3. Таким образом состояние синхронизма не обладает глобальной устойчивостью. При этом предполагалось, что области притяжения циклов значительно меньше областей притяжения состояния синхронизма.
На рис. 2.12,2.14 приведено изменение одномерной и двумерной ПРВ для начального распределения вблизи состояния синхронизма. Как видно из рисунков, система быстро приходит к установившемуся состоянию. Процесс перехода сопровождается количественным изменением плотности распределения в соответствии с параметрами СФС и интенсивности шумового воздействия. При большой интенсивности шума наблюдается размывание ПРВ около состояния синхронизма, и, наоборот, при малой интенсивности шума распределение с каждой итерацией принимает более локализованный вид. Рассматриваемый случай имеет место, когда основная доля начальной ПРВ сосредоточена в области притяжения состояния синхронизма, причем движения происходят без проскальзывания фазы.
На рис. 2.15, 2.16 демонстрируется эволюция двумерных ПРВ фазовой ошибки для случая начальной ПРВ вдалеке от состояния синхронизма. Соответствующие одномерные ПРВ приводятся на рис. 2.13. При этом некоторая часть начальной ПРВ находится в области притяжения состояния синхронизма, откуда движение изображающих точек происходит без проскальзывания фазы, а часть в области, где движение сопровождается переходом фазы на следующий период. Видно, что во время переходного процесса одномерное распределение фазовой ошибки приобретает близкий к равномерному характер, а двумерная ПРВ вытягивается вдоль щ. Данное явление объясняется непрерывностью преобразования ПРВ, что с учетом выбора начальных условий приводит к растягиванию двумерного распределения вдоль одной из координат. Как видно из рис. 2.15, 2.16, время до установившегося режима слабо зависит от интенсивности шумового воздействия на входе, т.е. количество итераций, после которых основная доля ПРВ будет перейдет в окрестность установившегося состояния, будет практически одинаковым. При этом, безусловно, для больших интенсивностей шума установившаяся ПРВ размазана в большей степени. Данный факт можно объяснить случайностью и независимостью шумовых отсчетов, а также значительными размерами области притяжения состояния синхронизма. Поэтому влияние шума сводится лишь к размыванию ПРВ и в среднем не приводит к какому-либо качественному изменению характера движений изображающих точек.
На рис. 2.17, 2.18 приведены изменения двумерной ПРВ во времени для случая, когда начальное распределение выбрано в точке предельного цикла 2 го рода с периодом 3. Прежде всего отметим, что, несмотря на устойчивость данного цикла, ПРВ по истечению некоторого времени перемещается в окрестность состояния синхронизма. Причина такого поведения заключена в значительно больших размерах области притяжения состояния синхронизма по сравнению с областью притяжения цикла. Поэтому под воздействием шума ПРВ преимущественно перетекает из окрестности цикла в область синхронизма. Очевидно, что разрушение цикла будет происходить быстрее при увеличении интенсивности шума, в чем можно убедиться, сопоставив рис. 2.17 и 2.18. Сравнение результатов рис. 2.15, построенного для произвольно начального распределения, и рис. 2.17, где начальная ПРВ выбрана в окрестности точки цикла, указывает на значительное увеличение времени установления ПРВ в последнем случае.
Результаты для начальной ПРВ, взятой в окрестности предельного цикла периода 2, приведены на рис. 2.19. Данный цикл, как и рассматриваемый ранее цикл периода 3, под воздействием шума разрушается. Но в отличие от предыдущего случая время жизни цикла периода 2 значительно больше. Причина состоит в большой области притяжения.
Таким образом, шумовое воздействие может эффективно разрушать нежелательные на практике устойчивые циклические движения. Время существования подобных движений уменьшается с ростом интенсивности шума, особенно это характерно для циклов сложной структуры с малой областью притяжения. В то же время существование простейших предельных циклов может значительно затянуть переходные процессы.
Можно заметить, что на рис. 2.19 приведена двумерная ПРВ для нескольких периодов по координате щ, откуда видно, что в установившемся режиме ПРВ локализуется не только около состояния синхронизма, но и около состояния кратного захвата. Это связано с тем, что при наличии астатического фильтра в цепи управления движения в окрестности кратных захватов и в окрестности состояния синхронизма отличаются друг от друга лишь дополнительным проскальзыванием фазы на 2жк. Следовательно, при наличии астатического фильтра в цепи управления области притяжения у всех кратных захватов одинаковые. Кроме того точки рассматриваемого цикла периода 2 располагаются симметрично относительно состояния синхронизма и близлежащего кратного захвата. Поэтому выбор начальной ПРВ в окрестности --одной из точек приводит к равновероятному ее перетеканию как в область состояния синхронизма, так в область кратного захвата.
Более того, при наличии астатического фильтра в цепи управления даже при локализованном начальном распределении со временем будет наблюдаться постепенное перетекание ПРВ в области кратных захватов. Таким образом в строгом смысле время установления двумерной ПРВ для случая астатического фильтра бесконечно. Но при этом можно говорить о конечном времени установления одномерной ПРВ фазовой ошибки, приведенной к интервалу (-ж, ж). Как показывают расчеты, двумерная ПРВ сравнительно быстро локализуется в окрестностях состояния синхронизма и кратных захватов, расположенных вблизи начального распределения. Полученное распределение определяет одномерную ПРВ, которая уже практически не меняется со временем. Данное явление легко объяснить, учитывая идентичность с позиции значений фазовой ошибки, приведенной к интервалу {-ж, ж), движений системы около состояния синхронизма или любого кратного захвата. Следует заметить, что на практике по причине ограниченности значений на выходе астатического фильтра (случай нелинейного фильтра), приводящей к невозможности существования кратных захватов высокого порядка, подобного явления не наблюдается.
Методика анализа временных параметров срыва слежения в в условиях нестационарных границ
Когда на входе СФС присутствует детерминированная помеха, или если полезное колебание модулировано, задача определения среднего времени до срыва слежения резко усложняется. Связано это с тем, что условная ПРВ фазовой ошибки в данных условиях является нестационарной величиной. Кроме того, в установившемся режиме отсчеты фазовой ошибки изменяются во времени, а значит границы, достижение которых можно рассматривать как срыв слежения, уже не являются фиксированными. где Xo\(k) - отсчеты фазовой ошибки в установившемся режиме при отсутствии шума. Нижняя граница х (к) интервала (3.2.1) соответствует установившемуся состоянию фазовой ошибки в к-ът момент времени на предыдущем периоде фазового пространства, а верхняя граница х (к) интервала (3.2.1) - на следующем периоде.
Таким образом предлагаемый критерий срыва слежения является обобщением критерия, используемого при анализе среднего времени до срыва слежения в дискретных СФС при гармоническом воздействии на входе. На рис. 3.1 представлена типичная диаграмма работы дискретной СФС в отсутствии шума. Рис. 3.1а построен для случая наличия на входе гармонического сигнала с некоторой начальной частотной расстройкой. Рисунок демонстрирует стационарность установившейся фазовой ошибки и поглощающих границ х . Рис. 3.16 построен для случая наличия ФМ-колебания на входе. На рисунке показаны верхняя и нижняя границы интервала (3.2.1), которые являются нестационарными. Полагается, что в системе происходит срыв слежения, если под воздействием шума состояние системы оказывается в заштрихованной области.
Уравнение дискретной СФС 1-го порядка при наличии на входе полезного модулированного колебания единичной амплитуды, шума и детерминированной помехи можно получить из выражений, приведенных в главе, посвященной математическим моделям:і
Для случая ФМ-колебания и отсутствия детерминированной помехи:где К - полоса удержания, /? - нормированная частотная расстройка, fiM, сом, вм - индекс, частота и начальная фаза модуляции, пк - гауссовы шумовые отсчетыС ДИСПерСИеЙ (7 . - -Для определения статистических моментов /и/, времени до срыва слежения, включая среднее значение, следует найти вероятности срыва слежения djlxo) на к-х шагах работы системы при начальном условии х0. Затем, используяможно определить любой начальный момент /г-ro порядка.
Для определения вероятности срыва удобнее решать обратную задачу, а именно определять вероятность отсутствия срыва слежения. При этом под отсутствием срыва на к-ом шаге будем понимать отсутствие срыва на каждом шаге до к-то включительно.
Вероятность отсутствия срыва слежения на первом шаге Р\(х0), если начальное состояние системы Хо, можно определить как вероятность того, что система на первом шаге будет находиться в интервале R\ (см. рис. 3.2):где qk(z Хо) - ПРВ перехода фазовой ошибки из состояния Хо в состояние z, которую для случая комбинированного входного воздействия можно определить из (3.2.3):
Отсутствие срыва слежения на втором шаге означает, что система на первом шаге оказалась в интервале R\, а на втором - в интервале R2 Данная последовательность переходов схематично изображена на рис. 3.2. Таким образом вероятность этого события можно записать в виде:
Вероятность срыва на втором шаге можно определить как разницу вероятности отсутствия срыва на первом шаге и вероятности отсутствия срыва на втором шаге: Можно заметить, что из-за нестационарности условной ПРВ q{), а также нестационарности пределов интегрирования выражение (3.2.11) не удается записать в итерационном виде, выразив / через Рк-\. Поэтому для вычисления вероятности срыва на к-ш шаге требуется вычислять -мерный интеграл, что делает это выражение непригодным для практического использования для вычисления среднего значения времени до срыва слежения по (3.2.4).
Задачу удается решить для частного случая, когда отношение 2п и нормированной частоты модуляции полезного колебания представляется рациональной дробью, кроме того аналогичному условию должны подчиняться нормированные частотные расстройки и частоты модуляции отдельных составляющих детерминированной помехи. При выполнении данного ограничения выражения для условных ПРВ (3.2.6) или (3.2.7), а также границы интервала (3.2.1), определяемые с помощью (3.2.2) или (3.2.3) при отсутствии шума, носят периодический характер. При этом период повторения один и тот же. Описанное свойство позволяет преобразовать (3.2.11) к рекуррентному виду pk(x0) = F(pk_1(x0)). Как было сказано выше, периодичность во времени условной вероятности и положения поглощающих границ имеет место, когда отношения 2 л" к нормированной частоте модуляции полезного сигнала, нормированной частоте модуляции и частотным расстройкам составляющих детерминированной помехи, являются рациональными дробями. Например, In т т пусть - - =——, где —— - несократимая дробь. В случае отсутствия помехи мм м период повторения равняется L = тм. Если дополнительно присутствует 2 Г 771 гармоническая помеха, причем — = —-, то общий период будет определяться - -наименыпим общим кратным чисел тм и wi\. Если присутствуют другие составляющие помехи, а также если имеет место модуляция составляющих помехи, то период повторения будет определяется выражением - -2/-м шаге. Данный факт не приводит к большой погрешности, если период (в данном случае 2) много меньше среднего времени до срыва. В дальнейших рассуждениях основное внимание будет уделяться среднему значению времени до срыва, поэтому в (3.2.21) будет положено h = \. В то же время при необходимости можно провести выкладки, аналогичные нижеследующим, и получить выражения для статистических моментов более высокого порядка, например, для дисперсии времени до срыва. Используя (3.2.20), можно переписать (3.2.21 - -дискретной СФС 1-го порядка при наличии на входе полезного модулированного сигнала и детерминированной помехи, период которых равен 2. Выражения для среднего времени до срыва для произвольного периода L у входного воздействия можно получить, проделав выкладки, аналогичные (3.2.13)-(3.2.25). Таким образом выражение для вероятности отсутствия срыва на (Ьк)-ом шаге
Компьютерное моделирование СФС с квадратурным аналого-цифровым преобразованием на входе
В данном разделе выполняется компьютерное моделирование цифровой СФС с квадратурным преобразованием входного сигнала [8], рассматриваемая ранее в главе 1. Моделирование выполнялось на программном пакете «Цифровые системы», разработанном автором диссертации. Фрагмент программы с загруженной исследуемой схемой цифровой СФС 2-го порядка с квадратурным преобразованием на входе приведен на рис. 4.1. Данный программный пакет позволяет моделировать широкий диапазон цифровых систем, включая цифровые СФС. При исследовании разрядность цифровых элементов выбрана равной 16, расчеты ведутся в целочисленной арифметике в дополнительном коде. Данный выбор связан с доступностью и дешевизной 16 азрядных микроконтроллеров и сигнальных процессоров с фиксированной точкой, применение которых для реализации цифровых устройств сегодня является перспективной альтернативой использованию жесткой логики.
Моделируемая система представляет собой цифровую СФС 2-го порядка с астатическим фильтром в цепи управления. Структурная схема системы приведена на рис. 4.2. На вход системы подаются отсчеты квадратурных составляющих ис{к) и us(k), формируемые из входного радиосигнала амплитуды Авх с помощью квадратурного формирователя (на рис. 4.2 не показан), выполненного по схеме «двух фазовых детекторов» [9] и подробно рассмотренного в первой главе.
В квадратурном фазовом детекторе (ФД) формируется сигнал разности фаз входной последовательности и последовательности с выхода цифрового синтезатора отсчетов (ЦСО). Особенностью работы данного узла является то, что результат на выходах перемножителей, входящих в состав ФД, включает в себя старшие 16 бит 32-разрядного произведения. Данное замечание будет учтено в дальнейшем при расчете коэффициента усиления схемы. Отсчеты с выхода ФД после умножения на Scx пропускаются через цифровой ФНЧ, состоящего из двух ветвей: накопительного сумматора и пропорционального элемента. Сигнал с выхода фильтра управляет частотой цифрового синтезатора отсчетов квадратур. Основу данного элемента составляют накопительный сумматор и два функциональных преобразователя. Входящий в состав ЦСО накопительный сумматор играет роль преобразователя частота-фаза. Изменение значений на его выходе в пределах от 0 до 2 соответствует изменению фазы от 0 до 2п, что необходимо учитывать при расчете коэффициента усиления кольца. Функциональные преобразователи sin() и cos() необходимы для преобразования отсчетов фазы в отсчеты квадратур. Амплитуда значений на выходе этих преобразователей одинакова и равна Афп.где S - коэффициент усиления системы, используемый в математической модели, Авх - амплитуда входного колебания, Афп - максимальное значение на выходах функциональных преобразователей, который при реализации схемы на 16-разрядных элементах удобно выбрать равным 2 , Scx - параметр реализуемой схемы.
В данном разделе исследован спектр на выходе СФС при наличии на входе ЧМ-сигнала и гармонической помехи. Сделана попытка оценить спектр на выходе СФС аналитически. Затем выполнено сравнение с результатами, полученными с использованием моделирующей программы. В качестве входного воздействия рассмотрим аддитивную смесь полезного ЧМ-колебания s(t) и гармонической помехи sn{t):где о)0 = 2ж/0 - частота несущей ЧМ-колебания, соп = 2ж/п - частота помехи, Q.M,PM - частота и индекс модуляции соответственно, г/ - отношение амплитуды помехи к амплитуде сигналу.
С учетом особенностей работы цифровой СФС, приведенной на рис. 4.3, необходимо от входного воздействия (4.2.2) перейти к фазе, либо мгновенной частоте входной смеси системы. Воспользуемся понятием сопряженного поГильберту сигнала S\(f), в соответствии с которым выражение длямгновенной входной частоты будет иметь вид [97]:2.3) где Aco = 2nAf - частотная расстройка помехи относительно несущей частоты ЧМ-колебания. Выражение (4.2.4) представляет собой бесконечный ряд по степеням rj. Поэтому для случая малой интенсивности помехи, можно ограничиться лишь несколькими членами ряда. Выражение (4.2.4) дает представление о структуре спектра мгновенной частоты входной смеси ЧМ-сигнала и гармонической помехи. Как показывает анализ, спектр входной частоты содержит следующие основные группы составляющих:1) постоянную составляющую, уровень которой определяется частотами со0 И о)п, их разностью (расстройкой) Асо = 2л Af и интенсивностью помехи г/;2) полезную (информационную) составляющую на частоте модуляции Q , уровень ее определяется девиацией входного ЧМ-сигнала.3) группу составляющих, определяемую частотно-модулированным колебанием
Похожие диссертации на Статистические характеристики дискретных СФС в условиях комбинированных воздействий
