Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод усреднения КБМ, применяемый для решения уравнений состояния ИСН 15
1.1 Математическая основа метода усреднения КБМ для систем описываемых системой ДУ с переменной во времени правой частью. Нулевое приближение 15
1.2 Построение первого приближения 23
1.3 Построение высших приближений 26
1.4 Вывод уравнений состояния для ИСН и приведение их к виду, пригодному для применения метода усреднения 28
1.5 Численная проверка сходимости метода усреднения 40
1.6 Выводы 56
Глава 2. Применение метода усреднения для решения уравнений состояния ИСН 57
2.1 Решение уравнений состояния ИСН с параллельным ключом (ИСН-2) 58
2.2 Решение уравнений состояния ИСН с параллельным дросселем (ИСН-3) 81
2.3 Решение уравнений состояния ИСН понижающего типа (ИСН-1) 95
2.4 Сравнение решений уравнений состояния ИСН различных типов 108
2.5 Выводы 109
Глава 3. Детерминированный хаос 110
3.1 Основные принципы построения бифуркационных диаграмм... 110
3.2 Показатель Ляпунова 111
3.3 Перемежаемость первого рода 112
3.4 Кризисы 115
3.5 Экспериментальные исследования динамического хаоса 117
3.6 Выводы .' 127
Глава 4. Детерминированный хаос в ИСН 128
4.1 Математическая модель повышающего ИСН в режиме управления по току 128
4.2 Хаос в повышающем ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению 138
4.3 Хаос в ИСН понижающего типа 153
4.4 Выводы 161
Заключение 162
Список использованных источников
- Вывод уравнений состояния для ИСН и приведение их к виду, пригодному для применения метода усреднения
- Решение уравнений состояния ИСН с параллельным дросселем (ИСН-3)
- Перемежаемость первого рода
- Хаос в повышающем ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению
Введение к работе
В современных промышленных разработках всех типов радиоэлектронного оборудования, например, в вычислительной технике, ЭВМ и периферии, в бытовой радиоаппаратуре (телевизорах, магнитофонах и т.д.), электронных и квазиэлектронных АТС (Квант, Евроквант, EWSD, АХЕ-10 , SI-2000 и т.д.) импульсные стабилизаторы напряжения (ИСН) занимают ключевое место. Большинство ИСН строятся на базе современных микроконтроллеров UC1825, UC2825, UC3825, UC1823, UC2823, UC3823 фирмы Unitrode, AN1542 фирмы Motorola, LT1640 фирмы Linear Technology, МАХ732, МАХ733, МАХ752, МАХ632, МАХ633, МАХ642, МАХ643 фирмы MAXIM, SGI524 фирмы Silicon General, и .т.д., и их отечественные аналоги КР1156ЕУ2 и КР1156ЕУЗ НТЦ СИТ. К последнему поколению этих контроллеров следует отнести микросхемы UC3823 и UC3825 и недавно разработанные отечественные микросхемы КР1033ЕУ15 и КР1033ЕУ16, работающие в режиме управления по току.
На данный момент, для анализа импульсных источников электропитания получил чрезвычайно широкое применение метод переменных состояния по усредненным параметрам /1,2/ ввиду простоты его методического изложения и практической целесообразности. Однако этот метод имеет существенные недостатки:
этот метод основан на аппроксимации приращений переменных состояния и возмущающих воздействий в «малом», т.е. использует малосигнальную модель широтно-импульсной модуляции (ШИМ) и применяется в области частот, расположенных существенно ниже частоты коммутации ключевого элемента ИВЭ.
данным методом нельзя оценить скачки напряжения в емкостях и скачки тока в индуктивностях, т.е. пульсации в ИВЭ, а также учесть влияние нелинейности характеристики ШИМ на устойчивость работы ИВЭ.
Оценку пульсаций тока и напряжения в ИСН с параллельным ключом (ИСН-2), как и для ИСН с параллельным дросселем (ИСН-3) на настоящее время в основной литературе по источникам электропитания проводят упрощенным методом, который не учитывает влияние индуктивности сглаживающего фильтра, а учитывает только его емкость. Лишь в /3/ была сделана попытка исправить это положение, но она проведена на основании полуэмпирических формул. Потому строгая оценка пульсаций на выходе ИСН-2 и ИСН-3 весьма актуальная задача, давно уже требующая решения. В математической литературе уже достаточно давно рассматривались и были проведены многочисленные теоретические исследования дифференциальных уравнений с разрывной во времени правой частью /4,5/ и асимптотические методы их решения, которыми описываются процессы в ИВЭ. Для решения данных проблем в работе был использован метод Крылова-Боголюбова-Митропольского (КБМ) /4,6-9/. Однако применить данный метод к ИСН позволил новый подход к обоснованию метода КБМ для весьма общего класса разностных уравнений с малым параметром є. Сам этот метод /5/ заключается в замене исходного уравнения так называемым усредненным. Усредненное уравнение оказывается обычно значительно проще исходного и свойства его решений удается исследовать достаточно полно. В основе метода лежит принцип усреднения, представляющий собой теорему о достаточных условиях, гарантирующих близость решений исходного и усредненного уравнений с одинаковыми начальными данными на
асимптотически большом промежутке времени порядка е~ , при всех достаточно малых значениях є .
Исследование хаотических процессов в детерминированных нелинейных системах — одна из фундаментальных проблем современного естествознания /10-22/. Наиболее распространенным способом получения хаоса в нелинейной детерминированной системе является переход от периодического движения к хаотическим колебаниям посредством изменения ее параметров /23/. Приведем классический пример. Пусть в
начальном состоянии система совершает периодические колебания с частотой /0, затем, по мере изменения какого-либо параметра (назовем его
первичным параметром бифуркации) в эксперименте происходит бифуркация удвоения периода и движение системы скачком ^изменяется на периодическое с частотой /0 / 2. С дальнейшим изменением первичного
параметра система подвергается последовательным бифуркациям, при каждой из которых период колебаний удваивается. Данное явление наблюдалось в ряде физических систем, а также при численном моделировании физических систем.
В данной работе также рассматривается нелинейная система — повышающий ИСН в режиме управления по току дросселя с дополнительной обратной связью по напряжению. По сравнению с преобладавшим ранее режимом управления по напряжению, режим управления по току обладает рядом неоспоримых преимуществ, вследствие чего за последнее десятилетие контроллеры, работающие в режиме управления по току, практически полностью вытеснили устройства с управлением по напряжению /24/. Однако в отечественной литературе новый режим управления слабо освещен. Это не справедливо по отношении к микросхемам, созданным на базе токовых режимов. Кроме того, в последнее время нашли широкое применение зарубежные микросхемы-контроллеры, работающие в режиме управления по току, и позволяющие подключать встроенные дополнительные цепи по контролю входного и выходного напряжений, а также в случае необходимости перейти на режим управления по напряжению.
Актуальность темы. К настоящему моменту, в импульсной силовой электронике сложилась такая ситуация, когда отсутствие эффективных методов вычисления динамических характеристик затрудняет проектирование ИСН. В частности, необходим математический аппарат, позволяющий получить функциональные зависимости пусковых характеристик ИСН от времени с учетом пульсаций, вызванных импульсным характером работы стабилизаторов. Это обстоятельство затрудняет
оптимизацию динамических характеристик импульсных стабилизаторов, т.к. существующие на данный момент методы усреднения не позволяют учесть дискретный характер их работы /1/. В этой связи представляется разумным применение для анализа пусковых характеристик ИСН метода усреднения (КБМ) /25,5/.
Доказано /23/, что в динамических системах с более чем двумя степенями свободы, к коим относятся и ИСН, причина генерирования сложных колебательных процессов кроется не в большом числе степеней свободы и не в наличии флуктуации, а в экспоненциальной неустойчивости режимов. То есть, для получения хаотических процессов в импульсных стабилизаторах напряжения, требуется изучение динамики их работы в районе границы устойчивости. Ранее исследований в этой области не имелось, что не позволяло ни получить, ни тем более изучить и классифицировать хаотические проявления этих устройств. Новые открытия нелинейной динамики принесли новые идеи и методы регистрации и количественного анализа хаотических колебаний в физических системах. В частности, была введена новая мера — показатель Ляпунова /26/. Новые результаты, идеи и теории нелинейной динамики позволяют провести достаточно полное и всестороннее исследование хаотических процессов в импульсных стабилизаторах, закрывая тем самым брешь в исследовании динамики их работы. То, что на момент начала исследования, хаос в импульсной силовой электронике явление малоизученное и неисследованное, подтверждается полным отсутствием публикаций по данной проблеме в отечественной литературе. Также не существует и всестороннего исследования данного вопроса и в зарубежной литературе. Необходимость исследования детерминированного хаоса в импульсных стабилизаторах, прежде всего связана с информационной безопасностью компьютерных систем, поскольку импульсные стабилизаторы являются неотъемлемой их частью.
Детерминированный хаос — неисследованная на текущий момент область динамики любых систем автоматического управления. Тем более, на данный момент, в области систем автоматического управления отсутствует проблема энергетической безопасности ИСН, как таковая. В частности, отсутствует математический аппарат, позволяющий исследовать хаотические процессы в ИСН.
Целью работы является применение новых математических теорий (метода усреднения КБМ и методов исследования хаоса в детерминированных системах) для исследования пусковых характеристик и детерминированного хаоса в ИСН, а также вьщача рекомендаций по их стабилизации. В соответствии с этой целью решаются следующие задачи:
- получение в первом и втором приближениях метода усреднения КБМ
замкнутых систем из 2п дифференциальных уравнений (п — число степеней
свободы системы), описывающих поведение ИСН на любом временном
интервале и анализ на их основе пусковых характеристик;
разработка математических моделей ИСН для исследования их бифуркационных диаграмм;
исследование хаотических процессов в ИСН с применением современных понятий и терминов детерминированного хаоса.
Объектом исследования данной работы являются пусковые характеристики и хаотические процессы протекающие в ИСН.
В данной работе рассматриваются импульсные стабилизаторы напряжения различных типов: повышающие, понижающие и инвертирующие с различными типами управления. На их примере рассмотрены хаотические процессы систем автоматического регулирования вместе с их качественным анализом, а также к ним применен метод усреднения КБМ для получения их пусковых характеристик.
В качестве предмета исследования в данной работе выступают ИСН различных типов: повышающие, понижающие и инвертирующие с различными типами управления. Именно на их примере и будут
рассматриваться хаотические процессы систем автоматического регулирования вместе с их качественным анализом, а также будет применен математически обоснованный метод усреднения КБМ для получения пусковых характеристик всех вышеперечисленных типов стабилизаторов.
В качестве методологической основы исследования данной работы выступает упомянутый ранее метод усреднения КБМ; он был впервые применен для получения пусковых характеристик ИСН.
Теоретической основой метода КБМ явилась работа /5/. Применение этого метода к стабилизаторам напряжения и позволило провести исследование их пусковые характеристики с учетом пульсаций, вызванных импульсным характером их работы. Теоретической основой исследования хаотических явлений, протекающих в ИСН с различным типом управления, явились работы по детерминированному хаосу /12-14,23,27-29/. Для получения наглядных практических результатов по детерминированному хаосу в ИСН был применен метод математического моделирования с учетом специфики их работы. Математические модели импульсных стабилизаторов различных типов были построены на ПЭВМ с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных в среде Matematica 5.0.
Научная новизна диссертации:
впервые применен метод усреднения КБМ для исследования пусковых характеристик ИСН;
проведено исследование бифуркационных диаграмм для четырех типов ИСН;
впервые получены временные бифуркационные диаграммы для импульсного стабилизатора напряжения повышающего типа в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению;
для оценки детерминированного хаоса в ИСН впервые был использован критерий локального хаоса — показатель Ляпунова;
доказано, что введение пилообразного сигнала в цепь обратной связи повышающего ИСН в режиме управления по току с дополнительной
обратной связью по напряжению увеличивает его стабильность с точки зрения возникновения хаоса;
— доказано, что появление даже малых по величине пульсаций в цепи опорного источника питания (которые могут быть вызваны электромагнитными помехами) может привести к хаотическим колебаниям выходного напряжения ИСН.
Положения, выносимые на защиту:
Применение метода усреднения КБМ к анализу пусковых характеристик ИСН;
Замкнутые системы приближенных дифференциальных уравнений и результаты исследований на их основе пусковых характеристик ИСН трех различных типов во втором приближении метода усреднения КБМ;
Математические модели ИСН с различными режимами управления для исследования их бифуркационных диаграмм;
Использование показателя Ляпунова как критерия локального хаоса при моделировании ИСН для предсказания хаотичности протекающих в них процессов;
Анализ бифуркационных диаграмм ИСН: удвоение периода, турбулентные окна, нечетные окна, фракталы и кризисы;
Анализ временных бифуркационных диаграмм для ИСН повышающего типа в режиме управления по току дросселя с дополнительной обратной связью по напряжению выхода;
Обоснованность и достоверность результатов работы
Пусковые характеристики, полученные методом усреднения КБМ были проверены строгим математическим моделированием исследуемых систем на основе численного решения дифференциальных уравнений, описывающих состояние ИСН. При исследовании детерминированного хаоса в импульсных стабилизаторах напряжения хаотичность протекающих процессов
подтверждена при помощи критерия локального хаоса — показателя Ляпунова. Правильность построения математических моделей проверялась сравнением результатов моделирования в ряде случаев с результатами моделирования других авторов при использовании в моделях значений параметров ИСН, взятых из их работ. Наличие детерминированного хаоса в ИСН было качественно подтверждено проведенным нами экспериментом, для чего была создана модель повышающего ИСН на базе современного контроллера.
Практическая ценность работы заключается в следующем:
- примененный в работе метод усреднения КБМ позволяет получить
упрощенные дифференциальные уравнения (уравнения состояния) ИСН
позволяющие исследовать их пусковые характеристики в виде единой
функциональной зависимости от времени;
разработанные математические модели ИСН различных типов с различными режимами управления позволяют предсказать появление в них неконтролируемых хаотических процессов, т.е. оценить энергетическую безопасность ИСН;
при исследовании ИСН на электромагнитную совместимость в компьютерных системах необходимо в них учитывать возможность появления хаотических процессов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались:
на IX российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов — (ПГАТИ, Самара, март 2002 г.);
на X российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов — (ПГАТИ, Самара, март 2003 г.);
на IX международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2003 г.);
на II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2003 г.);
на XI российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов — (ПГАТИ, Самара, февраль 2004 г.);
на III международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Волгоград, сентябрь 2004 г.).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 2 статьи и 12 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях и семинарах.
Содержание работы
Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание.
В первой главе описан метод усреднения КБМ применительно к ИСН, описываемым системой дифференциальных уравнений содержащей разрывные функции в правой части. Были получены уравнения состояния в виде дифференциальных уравнений для трех основных типов импульсных стабилизаторов напряжения (понижающего, повышающего и инвертирующего) с последующей их записью в матричной форме с малым параметром в правой части для применимости к ним метода усреднения. В главе проведено исследование внутренней сходимости метода КБМ. Показано, что численные результаты по второму приближению метода отличаются от результатов, полученных в первом приближении не более чем на 10%.
Во второй главе метод усреднения КБМ был применен к анализу пусковых характеристик трех типов ИСН. Было показано, что в случае нулевого приближения, метод сводится, по сути, к обычному методу усреднения /25/. В первом приближении были получены пусковые характеристики, отражающие импульсный характер работы стабилизатора /30/. Однако форма пульсаций в первом приближении линейна, что не совсем соответствует физическим процессам, протекающим в реактивных элементах ИСН. Поэтому пусковые характеристики ИСН анализировались во втором приближении метода КБМ. Как показал анализ, полученные пусковые характеристики, позволяют оценить пульсации в установившемся режиме с достаточно большой степенью точности.
В третьей главе рассмотрен алгоритм исследования
детерминированного хаоса в сложных динамических системах. Дано
описание метода построения бифуркационных диаграмм для изучения
поведения систем при потере устойчивости. Также описан метод расчета
показателя Ляпунова при численном моделировании динамических систем
ИСН. Приведены определения некоторых новых понятий
детерминированного хаоса, таких как турбулентные окна, кризис,
перемежаемость, перемежаемость первого рода, ползучий хаос и т.д. Особый
интерес представляет приведенное в главе описание проведенного нами
эксперимента по исследованию динамического хаоса, для чего нами была
разработана и создана экспериментальная установка моделирующая
повышающий ИСН, работающий в режиме управления по току с
дополнительной обратной связью по выходному напряжению. Получены
осциллограммы, отражающие характерные бифуркационные изменения
выходного напряжения ИСН. В главе приведена бифуркационная диаграмма,
построенная по экспериментальным осциллограммам, по
последовательности переходов ИСН из одного состояния в другое. Этот
эксперимент качественно подтверждает теоретические расчеты проведенные в следующей главе.
В четвертой главе приведены результаты численного моделирования хаотических процессов в виде бифуркационных диаграмм для стабилизаторов различных типов с различными режимами управления.
Также, в главе была исследована такая форма нерегулярных движений как перемежаемость. В случае перемежаемости всплески хаотического движения, или шума, чередуются с периодами регулярного движения. Это явление носит название «ползучий» хаос /29/.
Было показано, что даже при наличии малых по амплитуде пульсаций в цепи опорного источника ток в цепи дросселя ИСН будет периодически выходить в квазипериодический или хаотический режим в зависимости от величины амплитуды пульсаций.
В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.
Автор глубоко признателен научному руководителю проф. В.А. Неганову за постановку интересных задач, интеллектуальную поддержку и постоянную помощь в проведении научных исследований. Автор также выражает признательность научному консультанту доц. О.А. Коржавину за предоставленные материалы по решаемым задачам и консультации по вопросам силовой электроники.
Вывод уравнений состояния для ИСН и приведение их к виду, пригодному для применения метода усреднения
Вывод уравнения состояния для ИСН-2. Рассмотрим ИСН с параллельным ключевым элементом (ИСН-2), упрощенная функциональная схема которого изображена на рис. 1.1.
Силовая часть стабилизатора имеет два основных режима, определяемых состоянием транзистора VT. Первое — когда регулирующий транзистор VT, работающий в режиме ключа, открыт, и второе — когда ток через него не проходит. Работающий в импульсном режиме VT периодически меняет структуру самого стабилизатора. Именно поэтому стабилизаторы повышающего типа, называются также стабилизаторами с переменной структурой. Далее Далее, для рассмотрим работу стабилизатора в каждом состоянии отдельно. На рис. 1.2 представлена эквивалентная схема ИСН-2 при закрытом транзисторе. Согласно законам Кирхгофа запишем уравнения для напряжений и токов U=L dt +„(О (1.54) i(0 = CfM0+IM(0 . dt R W Неизвестными функциями в этих уравнений являются ток i(t) в катушке индуктивности и напряжение u(t) на обкладке конденсатора. Дифференциальные уравнения (1.54) удобно переписать в матричном виде:того, чтобы описать работу всей системы в целом, объединим системы уравнений (1.55) и (1.57) при помощи единичной функции Хевисайда, так называемой функции включения. В качестве аргумента функции Хевисайда выберем функцию зависящую от периода, длительность которого определяется частотой задающего генератора пилообразного напряжения. На рис. 1.1 в виде прямоугольника схематично показано устройство, управляющее режимом работы транзистора, которое, в свою очередь управляется выходом компаратора, обозначенного на схеме треугольником. Компаратор управляется двумя сигналами с двух входов. В качестве первого сигнала выступает пилообразное напряжение задающего генератора, а в качестве второго — усиленный сигнал ошибки. В установившемся режиме, условимся брать в качестве временной характеристики константу, равную D, которая определяет режим работы стабилизатора, т.е. время его работы в каждом из состояний. В качестве периодического аргумента функции Хевисайда, будет выступать следующая функция R(t,T) = t mod Т, (1.58) график которой показан на рис. 1.4. Теперь функцию Хевисайда можно записать в следующей форме: h(t,T) = o[DT-R(t,T)]. (1.59) 32 В функции (1.59) о(х)—функция Хевисайда, которая равна 0 при л: 0, и 1 при л: 2=0; D —рабочий коэффициент заполнения, значение которого лежит в пределах от 0 до 1. График функции h(t,T) представлен на рис. 1.4. Временной отрезок [nT,D + пТ] характеризует работу стабилизатора в состоянии, описываемое системой уравнений (1.57), (см. рис. 1.3); вне этого временного отрезка, стабилизатор находится в состоянии описываемом системой уравнений (1.55). (см. рис. 1.2).
Используя функции (1.58) и (1.59) нетрудно записать и объединенную систему уравнений, описывающую работу всего стабилизатора в целом:
Таким образом, работа ИСН-2 описывается одним матричным уравнением (1.60), учитывающим характер ШИМ стабилизатора. Ранее в литературе встречалась запись в виде двух уравнений, описывающих работу стабилизатора в каждом из состояний отдельно. С математической точки зрения соотношение (1.60) — есть система из двух ДУ с разрывными коэффициентами, записанная в матричном виде.
Далее приведем уравнение состояния (1.60) к виду системы дифференциальных уравнений с малым параметром, для чего введем следующие переменные:
Как и в ИСН-2, силовая часть стабилизатора ИСН-3 имеет два основных состояния, в зависимости от состояния транзистора VT. Первое, когда регулирующий транзистор VT, работающий в режиме ключа, открыт, и второе, когда ток через него не проходит. Далее рассмотрим работу стабилизатора в каждом состоянии отдельно.
Как и для ИСН-2 приведем уравнение состояния (1.71) к виду системы дифференциального уравнения с малым параметром. Для чего также введем переменные (1.61). С учетом этих переменных перепишем уравнение состояния (1.71) в следующем виде:
Решение уравнений состояния ИСН с параллельным дросселем (ИСН-3)
Получение усредненной системы уравнений для ИСН-3. Поскольку уравнение состояния (1.71) для ИСН-3 было приведено к стандартному виду (2.1), то применяя к правой части уравнения (1.71) оператор усреднения (2.2), получим P) = [A1+DA2)i + Db. (2.49)
Переходя к первоначальному временному масштабу, как и в случае с ИСН-2, и учитывая при этом, что теперь в качестве неизвестной функции будет выступать , а не х, усредненная модель может быть записана как - 1(0 = MA, + DA2]U0 + Db). (2.50) at 1Q Таким образом, мы получили усредненную систему ДУ, решение которой в виде "%(t) = будет являться нулевым приближением общего Г(г) u{t) решения.
Общая формула усреднения записывается как х{х) = (т) + е і(т,І) + 2F2(T,) +... + 2nFn(x,l), (2.51) где F{ являются нулевыми усредненными функциями (усредненными функциями при нулевых начальных условиях), а Ц,(і) — решением усредненного уравнения І = гРг(1) + г2Р2Ц) +... + Е"РЯ(1). (2.52) Для нормированного времени т уравнение (2.52) принимает вид: Учитывая, что функция Р1 () уже получена для нулевого приближения, подставим её в (2.59) из формулы (2.49) SI = [Ах + h{%)A2 (т) + ВД6 - [4 + ГМ2 ](т) - Db. (2.60) Отсюда Щ(гЛ) = [A2l(r) + b][h(T)-Dl (2.61) at
Поскольку в выражении (2.61) присутствует частная производная по т, а функция F\(T) зависит как от т, так и от , то для нахождения функции і(т?Ю нужно взять интеграл от правой части выражения (2.61), приняв функцию (т) константой, невзирая на то, что она также является функцией т. Поэтому выносим (т) за знак интеграла F, (т,) = [А2Щт) + b]j[Kx) - D]dx + С(). о
Так как подобный интеграл был взят при нахождении пульсаций ИСН-2 можно записать его окончательное решение: (т,) = [А(т) + Ь][Л(т) - 1 ]К(тД) + [1 - Л(т)]о + (D2 - D)l. (2.62)
Решение системы уравнений (1.49), будет складываться из усредненного значения и пульсаций, вызванных импульсным режимом работы стабилизатора основанного на ШИМ. Можно получать решение системы (1.71), сколь угодно приближаясь к реальному его значению, последовательно решая уравнения, полученные из соответствия между членами степенных рядов выражений (2.54) и (2.55) (выражения (2.56)-(2.58) и далее по аналогии). Значения Ц, находятся путем решения обычной неоднородной линейной системы ДУ второго порядка (2.50). Функцию, описывающую пульсации выразим из (2.62) путем перехода к оригинальному временному масштабу і( ,) = [A21(0 + b]l[h(t,T) - D]p(t,T) + [і - h(t,T)]p + ±(Z)2 - D)l .(2.63) Теперь, обозначив решение системы (2.50), как "E,(t) = 40 u(t) и беря в формуле (2.63) лишь два первых слагаемых, в оригинальном масштабе времени (f)-i(0 + eFi(M), (2.64) с учетом обозначений (1.38) и (1.110) получим После преобразования системы (2.65) получаем пусковое выражение для тока индуктивности і(0 = /(0 +(й(0 + U)l[h(t,T) -D]fl(t,T) + [і-h(t,T)]p + (D2- D)\, (2.66) и напряжения конденсатора w(/) = u{t)--J(t)l[h(t,T)-D]R(t,T) + [l-h(t,T)]p + -{D2 -D)\. (2.67)
Для получения аналитических выражений пусковых характеристик в первом приближении надо сначала найти аналитическое выражение решения нулевого приближения и подставить в выражения (2.66) и (2.67).
Перемежаемость первого рода
Важная особенность хаотического движения — чрезвычайная чувствительность к малым изменениям начальных условий. В случае хаотического движения близко расположенные траектории движения системы в фазовом пространстве расходятся во времени экспоненциально, в отличие от траекторий для систем без хаоса, которые расходятся линейно. Однако такое "разбегание" траекторий во времени не может, продолжаться в ограниченном фазовом пространстве бесконечно. Если взять набор начальных условий, заполняющий в фазовом пространстве сферу радиуса є, то траектории хаотического движения, начинающиеся в этой сфере, во времени t будут отображаться на эллипсоид, большая полуось которого растет как d - є є , где постоянная X известна как показатель Ляпунова (ТТЛ). Очевидно, что для регулярных движений A, s 0, а в хаотических режимах А, 0. Таким образом, знак А. является критерием хаоса, а сам ПЛ служит мерой средней скорости экспоненциального разбегания соседних траекторий /28/. Алгоритм применения ПЛ для анализа динамических систем изложен в /26/.
В /33/ описан метод вычисления ПЛ (предложенный Экманом и Рюэлем), основанный на оценивании изменения расстояния между соседними траекториями в фазовом пространстве системы. Ниже рассмотрим метод предложенный Вольфом, Свифтом, Свинни и Вастано /34/ и улучшенный Ландой и Четвериковым /35/. В соответствии с этим методом произвольная точка траектории x(t0) в момент времени t0 принимается за начальную и ищется соседняя ближайшая к ней точка у0( о)- Далее определяется расстояние L0(t0) между этими двумя точками, и оценивается его динамика во времени (рис. 3.1). Если при tx t0 L0( ) Z,0(f0), то точка траектории .Уо( і) отбрасывается, и ищется другая точка _yj (/j) (лежащая по возможности в том же направлении, что и Уо(/і)) Для которой расстояние Lx(t{) между точками x{tx) и y\(t{) будет меньше расстояния Z,0(fj): L1(fi) L0(f1). Такая процедура последовательно проделывается для дискретного набора значений tt (і = 0, л) времени (рис. 3.1).
Так как значения Ц( ) должны описывать поведение малых возмущений, то они должны быть по возможности малыми, чтобы линеаризованная вдоль траектории система хорошо описывала эволюцию. С другой стороны значения ,(/,) не должны быть настолько малыми, чтобы стать сравнимыми с уровнем шумов. Кроме этого, очевидно, что точки x(t0) и y(tQ) должны принадлежать разным траекториям. Если вышеуказанные условия выполняются, то показатель Ляпунова X определяется из выражения /26/: і М-\ fJ.(t. л\ 1М 0 1-0 (3.1) где (М -1) — число смен соседних траекторий.
Рассмотрим теперь явление возникновения в бифуркационных диаграммах окон с нечетным числом периодов, которое носит название перемежаемости первого рода /29/. Их возникновение можно объяснить на примере разностного уравнения, носящего название логистического отображения: где хп — вектор состояния системы в данный момент времени, хп+1 — вектор состояния в последующий момент времени, fr — фазовый поток, а г — первичный параметр бифуркации /29/. Здесь следует отметить, что в качестве нижнего индекса фазового потока принято использовать первичный параметр бифуркации, однако в дальнейшем мы его будем опускать. В качестве же верхнего индекса фазового потока принято использовать количество итераций, необходимых для получения вектора состояния через соответствующее количество итераций. Например, для получения вектора состояния через две итерации получим вторую степень хп+2 - / (хп), через три итерации получим третью степень хп+3 = /3(жЛ), и т.д. Численный анализ показывает, что при определенном значении бифуркационного параметра r = rc=l + v8 соотношение (3.2) порождает цикл периода три с последующими бифуркациями. Таким образом, при хаотическом режиме в бифуркационной диаграмме может существовать окно периода 3, как показано на рис. 3.2. При значениях г, несколько больших гс существует регулярный цикл периода 3, а при г гс ламинарные области прерываются хаосом. В этом случае существуют три неподвижные точки, которые при г гс становятся неустойчивыми, что приводит к перемежаемости первого рода. Явление, когда два решения соотношения (3.2), из которых одно неустойчиво, а другое устойчиво, при увеличении значения бифуркационного параметра сливаются одно периодическое носит название обратной касательной бифуркации. На рис. 3.3 изображено логистическое отображение после третьей итерации, соответствующее значению бифуркационного параметра при котором на бифуркационной диаграмме появляется окно периода 3. Здесь устойчивые решения находятся на пересечении функций / (х) и х, и, как видно из рисунка, их всего три. Необходимо отметить, что обратная касательная бифуркация, в противоположность бифуркации удвоения, объясняет механизм появления в логистическом отображении (3.2) нечетного числа неподвижных точек. По-видимому, подобный механизм возникновения турбулентных окон с нечетным количеством периодов присутствует и в более сложных детерминированных системах, к которым относится и исследуемый здесь стабилизатор.
Следует также отметить, что в настоящее время существует целый ряд неустоявшихся терминов, применяемых для описания «обогащенной» структуры бифуркационной диаграммы /36/. Например, резкое сужение хаотической полосы называется субдукцией (subduction), а ее резкое уширение - внутренним кризисом.
Хаос в повышающем ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению
Для построения бифуркационных диаграмм, целесообразно находить величину dn исходя из следующих соображений. Пусть, например, в момент времени Ц линейно нарастающий ток дросселя ix(t) равен величине опорного тока /ref: Тогда считая момент переключения силового ключа t0 началом периода, с учетом выражения для постоянной Cj і получаем, что h =—(7ref- o(«r)) + «7\ где п —номер периода. Поскольку коэффициент заполнения dn определяется на л периоде из соотношения dn = — - п, то d _ЦІтеТ-і0(пТ)) UT
Для случая переходного процесса, когда i0(nT) /ref, следует ввести ограничение: если dn 0 то dn=0. Если момент времени tx находится за границами рассматриваемого периода и dn Dmax, где Dmax - максимальный коэффициент заполнения (Dmax = 0.9), то очевидно dn = DmaK .
Для построения бифуркационных диаграмм фиксировались значения тока дросселя і(пТ) в установившемся режиме, в начале каждого из 256 периодов установившегося режима, которые откладывались по оси ординат при соответствующем значении опорного тока /ref. Чтобы не принять переходные колебания неустановившегося режима за хаотическое поведение, было установлено, что импульсный стабилизатор напряжения повышающего типа полностью переходит в установившееся состояние за 200-300 периодов. Для надежности, фиксация значений тока дросселя і(пТ) в моменты поступления синхроимпульса на вход триггера для построения бифуркационных диаграмм начиналась с 3000 периода. Таким образом, например, для получения 1000 отсчетов по оси абсцисс необходимо 1000 раз промоделировать систему на протяжении времени примерно соответствующему 3256 периодам управляющего сигнала. Однако для того, чтобы определить действительно ли система находится в хаотичном режиме работы, одного визуального контроля за состоянием бифуркационной диаграммы недостаточно. Для ответа на этот вопрос можно использовать критерии локального и глобального хаоса /28/.
На основе описанных выше уравнений и соображений была составлена математическая модель стабилизатора в программе Mathematica 5.0. Достоверность работы модели оценивалась по форме и значениям выходного напряжения и тока дросселя, а так же по фазовому портрету, рассчитанных при значениях параметров элементов схемы ИСН-2, приведенных в /37/. Ниже, используя ПЛ, проведен анализ бифуркационных диаграмм стабилизатора. Значения основных параметров стабилизатора были выбраны как в /38,39/: емкость конденсатора С = 4 мкФ, индуктивность дросселя = 1.5мГн, частота переключения задающего генератора / = 10 кГц, напряжение питания U =5 В, максимальный коэффициент заполнения тах=0.9. В качестве основного параметра бифуркации был выбран опорный ток /ref, величина которого напрямую влияет на значение коэффициента заполнения d.
На рис. 4.2а и 4.26 показаны временные диаграммы напряжения u(t) на конденсаторе и тока /(f) в дросселе при значении опорного тока /ref = 0.2 А; на рис. Зв для этого значения опорного тока приведен фазовый портрет системы, характеризующий траекторию значений переменных состояния за последние 256 периодов работы стабилизатора в установившемся режиме. Число фиксирующихся периодов выбрано не случайно: именно 256 кратное увеличение периода происходит после того, как система 8 раз претерпит бифуркацию удвоения периода. Заметим, что визуально воспринять разницу между даже пятикратной бифуркацией и хаосом в реальной системе очень трудно /28/.
При увеличении опорного тока до величины /ref=0.4A система претерпевает бифуркацию удвоения, что наглядно показывают временные диаграммы и фазовый портрет, показанные на рис. 4.3. При /ref =0.8 А у стабилизатора проявляется хаотическое поведение, которое показано на рис. 4.4. Заметим, что для более наглядного отображения качественного изменения функционирования системы необходимо фиксировать бифуркационную диаграмму во всем диапазоне значений параметра бифуркации.
Для определения хаотичности режима работы стабилизатора находился показатель Ляпунова, по методу разработанному согласно /26/. Бифуркационная диафамма системы совместно со значениями К в соответствии с формулой (3.1) при С = 4мкФ представлена на рис. 4.5; для С = 1.6 мкФ — на рис. 4.6. Из рис. 4.5 видно, что при /ref = Ix происходит первая бифуркация удвоения, при этом А, = 0, что соответствует квазипериодическому движению. Последующие бифуркации удвоения наблюдаются при /ref =/2,/3,/4- При /ref /4 наступает хаотический режим, что соответствует положительным значениям К. В интервале /5 /ref /6 расположено так называемое «окно» периода три, т.е. «окно» нечетного периода. Теоретическое обоснование, объясняющее подобное поведение системы изложено в /28,29/. При моделировании системы было обнаружено, что с уменьшением емкости выходного конденсатора с происходит не только уменьшение значения предельного /ref, и соответственно коэффициента заполнения d, позволяющего системе работать в устойчивом режиме, но и обогащение структуры бифуркационной диафаммы. На рис. 4.6
