Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ фильтров сопровождения траекторий воздушных целей .
1.1. Фильтр Калмана. 13
1.2. Применение фильтра Калмана для сопровождения траекторий ВЦ по данным обзорной РЛС. 17
1.3. «Альфа - бета» и «Альфа - бета - гамма» фильтры. 26
1.4. Статистическое моделирование. 35
1.5. Выводы. 39
Глава 2. Анализ адаптивных методов сопровождения траекторий маневрирующих воздушных целей на основе обнаружителей маневра .
2.1. Введение. 41
2.2. Совместное обнаружение и оценивание маневра цели на основе обновляющего процесса . 45
2.3. Адаптивные алгоритмы сопровождения маневрирующих ВЦ с использованием обнаружителей маневра. 55
2.4. Выводы. 68
Глава 3. Исследование известных многомодельных алгоритмов . 69
3.1. Введение. 69
3.2. Адаптивный подход БаЙеса. 73
3.3. Исследование известного ММА сопровождения траектории ВЦ для обзорной РЛС . 75
3.4. Выводы. 83
Глава 4. Разработка многомодельного алгоритма сопровождения траекторий маневрирующих воздушных целей . 84
4.1. Введение. 84
4.2. Оценивание вектора состояния движения ВЦ . 85
4.2.1. Постановка задачи. 85
4.2.1. Общий подход к решению задачи. 86
4.2.3. Линейный алгоритм. 90
4.3. Сравнение ММА с другими алгоритмами. 97
54.4. Выводы. 103
Заключение. 104
Список литературы.
- Применение фильтра Калмана для сопровождения траекторий ВЦ по данным обзорной РЛС.
- Совместное обнаружение и оценивание маневра цели на основе обновляющего процесса
- Исследование известного ММА сопровождения траектории ВЦ для обзорной РЛС
- Оценивание вектора состояния движения ВЦ
Введение к работе
Одной из важнейших задач гражданской авиации является повышение безопасности полётов, особенно на этапах взлёта и посадки. Для достижения этой цели, автоматизированные системы управления воздушным движением (АС УВД) должны иметь необходимые показатели качества, которые в определяющей степени зависят от качества поступающей радиолокационной информации. В системе УВД радиолокационная информация от трассовых и аэродромных РЛС используется для управления движением воздушных целей (ВЦ), предупреждения столкновений и управления заходом на посадку. При управлении движением ВЦ необходимо вычислять текущие координаты каждой ВЦ для исключения опасных сближений ВЦ. В противном случае летчикам выдаются команды по коррекции траекторий. В режиме предотвращения столкновений формируется оценка экстраполированных координат, на основе которых определяются зоны опасного сближения. Тем более, что за последние годы возрастает и плотность воздушного движения. Рост плотности воздушного движения приводит к увеличению числа опасных сближений. Предупреждение опасных сближений ВЦ является частью важнейиіей задачи гражданской авиации -обеспечения безопасности полётов. При управлении движением ВЦ на этапе захода на посадку РЛС проверяет правильность движения ВЦ по заданным траекториям.
Поэтому вопросы повышения качества радиолокационной информации постоянно привлекают большое внимание. Известно, что после первичной обработки радиолокационной информации процесс вторичной обработки радиолокационной информации (ВОРИ) обычно выполняются программированными алгоритмами цифровой обработки на ЦВМ, и качеспю потока радиолокационной информации сильно зависит от надежности и точносги алгоритмов обработки. Это задача тем более актуальна, если учитываются маневрирования ВЦ на этапах взлёта и посадки, связанные со сменой эшелона, изменением курса и выполнением типовых схем захода на посадку и т.д.
Рассмотрим расположение элементов воздушного пространства района УВД и типовую схему захода на посадку. В гражданской авиации, воздушное пространство разделяется на воздушную трассу - установленное воздушное пространство над поверхностью земли в виде коридора с шириной (10-20) км, по которому выполняются регулярные полёты, район аэродрома - воздушное пространство над аэродромом и прилегающей к нему местностью и запретную зону - воздушное пространство, в котором полёты авиации всех ведомств запрещены.
При обработке радиолокационной информации особенно актуальной задачей является исследование алгоритмов обработки на участках манёвра ВЦ, которые приводят к несоответствию между реальным движением ВЦ и используемой моделью движения в алгоритме. В результате этого точность результатов оценивания ухудшается, а полученная радиолокационная информация становится ненадежной. Известные подходы к повышению точности сопровождения траектории ВЦ на участках манёвра, в основном, базируются на решении задачи обнаружения начала и окончания манёвра и соответствующем изменении параметров фильтра сопровождения. Это подходы приводят к схеме «альфа - бета» и «альфа - бета — гамма» [29, 34, 35, 46, 82] фильтров, либо фильтра Калмана (ФК) [21-23, 28, 43-45] в сочетании с обнаружителем манёвра.
Известно, что в теории обнаружения и оценивания для решения априорной неопределенности может также использоваться адаптивный подход Байеса. При фильтрации в пространстве состояния этот подход заключается в том, что учитываются все возможные варианты моделей состояния, с каждым вариантом вычисляется её апостериорная вероятность. Применение его к решению задачи сопровождения траекторий маневрирующих ВЦ было развито за последние годы. При этом траектория ВЦ описывается одновременно несколькими моделями и предполагается, что процесс перехода между моделями описывается односвязной цепью Маркова. В литературе [36-40] предложен один вариант к созданию такого алгоритма на основе гауссовской аппроксимации для априорной плотности вероятностен вектора состояния. Его сущность состоит в объединении возможных гипотез моделей, и полученный алгоритм назван «многомодельным алгоритмом» (ММА).
В диссертации проанализированы выше упомянутые подходы, показаны их преимущества и недостатки, и разработан новый ММА. В отличие от известных ММА предложенный алгоритм создан на основе гауссовской аппроксимации для апостериорной плотности вероятностей вектора состояния ВЦ, согласно этому полученный алгоритм обладает преимуществами по сравнению с известными адаптивными алгоритмами. Результат статистического моделирования показал, что исследуемый алгоритм позволяет повысить точность оценивания местоположения ВЦ по сравнению с адаптивным ФК и известным ММА при сопровождении траектории маневрирующей ВЦ. Результаты исследования показали, что затраты на вычисления первого упрощенного ФК уменьшаются по сравнению со вторым упрощенным и расширенным ФК, одновременно его точность оценивания как координат, так и скорости ВЦ повышается на (30-50)% по сравнению с «альфа - бета» и «альфа - бета - гамма» фильтрами. Поэтому использование первого упрощенного ФК для сопровождения траектории неманеврирующих ВЦ является более предпочтительным.
Цель и задачи работы
Целью диссертационной работы являются исследование и анализ алгоритмов сопровождения траекторий ВЦ, разработка нового ММА и сравнение полученного ММА с известными адаптивными алгоритмами. В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решены следующие задачи: • Исследование общей теории оценивания в пространстве состояния, и её
применение к фильтрации траекторий движения ВЦ. • Анализ «альфа — бета» и «альфа — бета — гамма» фильтров и метод выбора их коэффициентов усиления на участках манёвра и отсутствия манёвра.
• Исследование адаптивных ФК сопровождения траекторий маневрирующих ВЦ с обнаружителем момента времени начала манёвра.
• Оптимальное оценивание в пространстве состояния с расширенным вектором состояния, включающим кроме вектора параметров состояния, еще неизвестный параметр, определяющий все возможные варианты модели состояния.
• Исследование известных ММ А и разработка нового ММ А сопровождения маневрирующих ВЦ на основе описания траектории движения ВЦ одновременно несколькими моделями, являющимися состояниями односвязной цепи Маркова.
Методы исследования
Теоретическое исследование и создание алгоритмов сопровождения траекторий ВЦ выполнены на основе теории фильтрации условных процессов Маркова в дискретное время. Проанализированы полученные алгоритмы па основе статистического моделирования.
Научная новизна работы заключается в следующем
Разработан ММА при описании траектории ВЦ одновременно несколькими моделями для односвязной цепи Маркова.
Достоверность полученных результатов работы подтверждается результатами статистического моделирования.
Практическая значимость результатов работы
Разработан и исследован алгоритм сопровождения траектории маневрирующей ВЦ, улучшающий точность сопровождения на участках манёвра.
Апробация результатов работы и публикации
Основные научные результаты работы опубликованы в статьях журналов «Радиотехника», «Электронный журнал Труды МАИ» и «Авиакосмическое
И приборостроение», и докладывались на 5-ой международной конференции «Цифровая обработка и ее применение» (Москва, 2003), на международной конференции и выставке «Авиация и космонавтика 2003» (МЛИ 2003).
Объем и структура работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 106 страниц текста. Список литературы включает 93 наименований. В первой главе рассмотрены и проанализированы некоторые существующие методы сопровождения траекторий немаиеврирующих и слабомапеврирующих ВЦ в задаче УВД. Во второй главе проведен анализ известных адаптивных алгоритмов сопровождения маневрирующих целей, которые основаны на использовании обнаружителей манёвра и коррекции либо параметров, либо структуры фильтра. В третьей главе проанализировано состояние ММ А в АС УВД. В четвертой главе предложен общий подход к построению многомодельных алгоритмов для задачи УВД при описании возможных моделей движения ВЦ односвязной цепью Маркова.
Основные положения, выносимые на защиту
• Для правильного предупреждения опасных сближений ВЦ на трассах использование первого упрошенного ФК является более предпочтительным, потому, что этот фильтр обеспечивает точность оценивания координат и скорости ВЦ больше, чем «альфа — бета» и «альфа - бета - гамма» фильтры на (30-50)%.
• Использование точечной оценки ускорения а в качестве элемента модели состояния второго порядка приводит к повышению точности оценок координат и скорости на участках манёвра, при значительном ухудшении точности оценок на участках без манёвра, поэтому применение адаптивного фильтра с изменением параметра является предпочтительным. Применение двухмодельного алгоритма позволяет повысить точность сопровождения на участке манёвра до 60 % по сравнению с адаптивными ФК и до 30 % по сравнению с известным ММА. На участках траектории без манёвра по сравнению с известным ММА ошибка определения местоположения исследуемого ММА уменьшается на 5 %.
Применение фильтра Калмана для сопровождения траекторий ВЦ по данным обзорной РЛС.
В предыдущем подразделе рассмотрен оптимальный линейный фильтр Калмана, имеющий следующие свойства: его структура является линейной; все рассматриваемые переменные и процессы (состояние, шум, измерения, оценки, ошибки) — гауссовские, поэтому средние значения и ковариации достаточны для их статистического описания (представляют собой достаточную статистику); как параметры фильтра, так и показатели его эффективности могут быть вычислены независимо от оценки состояния, т.е. вне реального времени. Однако непосредственное применение этого фильтра при обработке радиолокационной информации в задачах УВД связано с трудностями, обуславливаемыми следующими причинами: во-первых, ВЦ движутся в пространстве, и обзорная РЛС определяет их местоположение с помощью трех координат: наклонной дальности р, азимута Р и угол места е (рис 1.1); во-вторых, чтобы обеспечить необходимую простоту алгоритмов сопровождения, траектория движения ВЦ обычно записывается в декартовой системе координат через х, у и z.
Известно, что в декартовой системе координат траектория цели, движущейся равномерно и прямолинейно, описывается полиномом первого порядка (линейного), а в полярной системе координат та же траектория описывается нелинейными функциями. Кроме того, в алгоритмах сопровождении в той или иной мере решаются задачи обнаружения манёвра цели или определения вероятности его наличия. Обнаруживают манёвр цели обычно по отклонению ее траекторий от прямолинейной по каждой из фильтруемых координат.
До сих пор для решения задачи нелинейной фильтрации в двухмерных или трехмерных пространствах можем применить один из двух методов [1,2, 4, 38, 48, 50, 81]. Первый метод состоит в том, чтобы сохранять линейное свойство процесса фильтрации, преобразуя полярные координаты в декартовые. Второй метод основан на использовании расширенного фильтра ЬСалмана, который является нелинейным. В дальнейшем подробнее рассмотрим эти методы.
Оценим ошибки измерения координат xmi ym и z, обусловленные ошибками измерений дальности рт, азимута рт и угла места ст. В связи с нелинейностью преобразования (1.19) ошибки измерений в декартовых координатах имеют негауссовское распределение, следовательно, оптимальный фильтр сопровождения будет нелинейным. Чтобы избежать усложнения задачи, будем принимать метод приближения с предположением, что ошибки измерения в полярной системе малы по сравнению с истинными значениями.
Видно, что ошибки измерения есть случайные нестационарно взаимозависимые величины и зависят от местоположения цели. На рисунках (1.2) и (1.3) показаны среднеквадратические ошибки (СКО) измерения в декартовой системе координат РЛС, имеющей aR = 100м и ар= 0.5 град., в двухмерном пространстве с дальностью р = 0-=-300 км и азимутом (3 = 0-=-360 град.
На рисунках (1.4) и (1.5) показана зависимость коэффициентов усиления от дальности, азимута, направления полета и числа циклов обзора. Видно, что при увеличении дальности коэффициент усиления стремится к постоянному значению в установившемся режиме, потому, что в этом случае СКО измерения стремится к бесконечности (см. рис. 1.2 и 1.3).
Рассмотрим метод, называемый расширенным фильтром Калмана, который представляет собой нелинейный субоптимальный алгоритм, основанный на том, что если нелинейная функция h[x(A)] достаточно гладкая, то эта функция может быть разложена в ряд Тейлора и аппроксимирована членами ряда невысоких порядков [1, 2, 4, 13, 48, 50].
Совместное обнаружение и оценивание маневра цели на основе обновляющего процесса
Известно, что (см. первую главу) в линейном оптимальном фильтре обновляющий процесс $(к) представляет собой нормальный процесс типа белого гауссовского шума с нулевым математическим ожиданием при отсутствии манёвра и с ненулевым математическим ожиданием при наличии манёвра [24, 33]. [ 0 при отсутствии манёвра \f(k-ka,a) 0 при наличии маневра где f - детерминированная функция двух аргументов: (k +l) — момент начала манёвра, и а - вектор интенсивности манёвра. Таким образом, задача обнаружения момента начала манёвра ко и оценивание его интенсивности а является задачей обнаружения «полезного сигнала» f(k-k0, а) на фоне белого шума и оценивания его параметров. Известно, что при решении задачи обнаружения разные критерии оптимальности (байесовские или небайесовские) приводят к общему решающему правилу - формированию отношения правдоподобия и сравнению с порогом. Разница заключается в выборе порога обнаружения. Здесь будем считать интенсивность манёвра а неслучайным процессом. Для синтеза измерителя интенсивности манёвра целесообразно воспользоваться критерием максимального правдоподобия. В данном подразделе будет рассмотрен общий подход к синтезу алгоритма совместного обнаружения момента начала и оценивания ускорения манёвра.
Предполагается, что цель начинает манёвр в течение времени между моментами к0 и (А:0+1), поэтому момент времени, который считается началом манёвра (Ло+1).
Обозначим Э(А) и В](к) - обновляющие процессы, соответствующие отсутствию и наличию манёвра, тогда задача обнаружения манёвра состоит в выборе одной из двух альтернативных гипотез Н: 9(A) = \к) - 9() + І{к-ко, а) - при наличии манёвра, Н0: 9() = \к) - при отсутствии манёвра, где f(k-ko,a) - полезный сигнал, который должен обнаруживаться, представляет собой «смещение» обновляющего процесса при наличии манёвра в течение времени (к-кц) циклов обзора. Как сказано выше 9 (к) — случайный процесс типа белого шума с нулевым математическим ожиданием и ковариацией (1.15), а 9\к) - смесь полезного сигнала и белого шума с математическим ожиданием f(k-k0, а). Таким образом, это задача обнаружения векторного детерминированного сигнала f(k-ko,a) с неизвестными параметрами (ускорением цели а и моментом начала манёвра ко+1) на фоне белого шума &(к). Оптимальная процедура обнаружения манёвра сводится к формированию отношения правдоподобия и сравнению с заданным порогом X. Зх(кй+т) - обновляющий процесс в момент времени к=(к0+т) при условии соответствия между реальным состоянием (наличие манёвра) цели и использованной моделью движения маневрирующей цели (модель 2.2), &а(к0+т) - обновляющий процесс в момент времени к=(ко+т) при условии несоответствия между реальным состоянием (наличие манёвра) цели и использованной моделью движения цели .
Каждому значению т соответствует оценка ага. Поэтому, устройство совместного обнаружения момента начала манёвра и оценивания ускорения является многоканальным по ускорению {М каналов). Оптимальная процедура обнаружения момента начала манёвра принимает вид maxJnA(,am)im , (2.17) т=\М и момент начала манёвра является разностью (к-т+\), где т - индекс канала, в котором 1пЛ(,ат) принимает максимальное значение, и к — текущий момент времени.
Из уравнений (2.16) - (2.17) следует, что оптимальная процедура обнаружения момента начала манёвра сводится к линейному накоплению значений квадратичных форм (2.16) обновляющего процесса в т соседних циклах от (0+1)-го до к=(ко+т)-го моментов времени. Затем выбирается максимум из совокупности М разных значений, и сравнивается с заданным порогом Лт.
Обратим внимание на то, что у разных каналов накапливаются разные значения, поэтому чтобы стабилизировать вероятность ложной тревоги, необходимо сравнивать максимальное значение отношения правдоподобия (уравнение. 2.17) с разными порогами Яст, выбираемыми по заданной вероятности ложной тревоги Р/у. Используя решающее правило (2.17) можно обнаружить и оценить, как ускорение, так и момент начала манёвра.
Для вычисления вероятности ложной тревоги необходимо знать закон распределения квадратичной формы 1пЛ(,ат) при отсутствии манёвра.
Известно, что [8, 25] если $(п) есть /-мерный вектор с независимыми нормально распределенными компонентами, каждый из которых имеет дисперсию a]q ( ?=1, 2,..., /) и математическое ожидание Е[8(п)] = 0, тогда плотность распределения вероятностей квадратичной формы 1пА(к,й„) есть центральное х -распределение с Ыт степенями свободы.
Рассмотренная процедура представляет собой общий подход, позволяющий одновременно обнаруживать момент начала манёвра и оценивать проекции ускорения цели на оси X и У.
Исследование известного ММА сопровождения траектории ВЦ для обзорной РЛС
Пусть задача рассматривается в дискретное время, уравнения состояния (3.1) и наблюдения системы (3.2) являются линейными, и неизвестный параметр описывается дискретно-случайным процессом а и принимает конечную совокупность М дискретных значений. Обозначим совокупность возможных значений а через Пк={а к}, (3.9) здесь верхний индекс / = 0,Л/ — I - область значений; нижний индекс к дискретные моменты времени. Совокупность возможных значений Qk представлена на рис. 3.1. Видно, что с увеличением индекса времени к число возможных гипотез относительно возможных значений совокупности Qk неограниченно возрастает по экспоненциальному закону т. В частности, если в исходный момент времени совокупность П[ = {а{} имеет Мзначений, то переход из исходного момента времени ко второму каждое значение а может переходить М разными способами, т.е. а\ = {а }.
Уравнения (3.13) — (3.16) вместе с набором h/t параллельных фильтров Калмана формируют оптимальный ММА по критерию Байеса для случая неизвестного параметра а , являющего дискретно-случайным процессом. К сожалению, реализовать этот алгоритм сложно, так как при увеличении значения к, число фильтров Л/ и затрат на вычисления возрастают. Отсюда следует, что поиск приблизительных методов, построенных на основе ограничения увеличения числа возможных гипотез, является актуальной задачей. Этот алгоритм выполняется, когда заданны начальные условия: їІ(0),Р5(0)и P(asQ\z). Схема устройства, реализующего алгоритм, приведена на рис. 3.2. Анализируя полученный алгоритм, сделаем некоторые выводы: алгоритм является субоптимальным, и это обуславливается гауссовской аппроксимацией для априорной плотности вероятностей p[x( )a ,Z _1].
Рассматривается задача сопровождения траектории маневрирующей ВЦ. Учитывая, что период обзора аэродромной РЛС составляет около (5-6)сек., а для трассовой РЛС он составляет (10-20)сек., то участки маневрирования, связанные со сменой эшелона, изменением курса, выполнением типовых схем захода на посадку и т.д., являются кратковременными, от нескольких обзоров (3-6), до нескольких десятков обзоров. В тоже время, ошибки в определении координат ВЦ и ее вектора скорости именно на этих участках в значительной степени отрицательно сказываются на предсказании потенциально конфликтных ситуаций, связанных с недопустимым сближением летательных аппаратов.
Известные подходы к повышению точности сопровождения траектории ВЦ на участках манёвра, в основном, базируются на решении задачи обнаружения начала и окончания манёвра и соответствующем изменении параметров фильтра сопровождения, и они были проанализированы в предыдущих главах. Подход на основе описания траектории ВЦ одновременно несколькими моделями в третьей главе можно рассматривать как частный случай адаптивной фильтрации. В нем, в явном виде, отсутствует обнаружитель начала и окончания манёвра, а текущая оценка координат ВЦ формируется как весовая сумма оценок нескольких фильтров с перекрестными связями, в соответствии с оценками их апостериорных вероятностей. Это позволяет алгоритму сопровождения среагировать на манёвр сразу после его начала.
Будем считать, что вектор состояния движения ВЦ описывается в виде X(k) = [x(k)tak], где вектор непрерывных параметров х(к)еА описывает положение и параметры движения ВЦ в выбранной системе координат, а ак є{0,М-1} - дискретный параметр, определяющий одну из М возможных моделей движения ВЦ между (&-1)-м и к-и моментами времени. А - область возможных значений вектора а;. Например, при описании движения ВЦ в декартовой системе координат вектор х{к) обычно состоит из координат ВЦ, проекций ее вектора скорости на оси координат, а возможно и проекций вектора ускорения. Таким образом, Х(к)еАх{0,Л/-1} = Х, X — область возможных значений вектора состояния. Будем считать, что вектор х(к) является односвязным марковским случайным процессом, a at представляет собой односвязную цепь маркова.
Оценивание вектора состояния движения ВЦ
Уравнения (4.17), (4.20) - (4.23) определяют алгоритм фильтрации вектора х(к) в условиях, когда процесс его изменения описывается несколькими возможными моделями. В к-й момент времени состояние системы описывается М апостериорными плотностями вероятностей p[x(k)\ak,Zk] вектора х(к) при условии, что его модель движения в этот момент описывается моделью ati и М апостериорными вероятностями Р(аА\2.к), соответствующими этим моделям. Уравнения (4.17), (4.20) - (4.23) позволяют получить аналогичные характеристики для (/гН)-го шага, с учетом текущих измерений и возможного изменения модели движения. Ясно, что уравнение (4.22) определяет общий алгоритм рекуррентной фильтрации для вектора состояния х(к+\) при заданных совокупности наблюдения Z +1 и значениях цепи Маркова {a+l,a t}. Уравнение (4.23) определяет гауссовскую аппроксимацию для плотности распределения вероятностей p[x( + l) +),Z +l]. 4.2.3. Линейный алгоритм
В общем случае, задача сопровождения траектории ВЦ по данным обзорной РЛС является нелинейной. Но на практике часто задачу траекторной обработки рассматривают в декартовой системе координат. В этих условиях, прямолинейное и равномерное движение ВЦ со слабыми возмущениями описывается линейной моделью. Пересчет РЛ координат цели, обычно это дальность и азимут, в декартову систему координат приводит к негауссовскому характеру шумов наблюдения и зависимости их статистических характеристик от местоположения ВЦ относительно РЛС [см. 1.2]. Обычно, можно пренебречь негауссовским характером шумов наблюдения в декартовой системе координат, так как отношение сигнал/шум в обзорной РЛС АС УВД обычно достаточно велико. Кроме того, область действия РЛС по дальности и по азимуту разбивается на более мелкие зоны, внутри которых можно пренебречь и зависимостью статистических характеристик шумов наблюдения от координат ВЦ. Таким образом, удается линеаризовать и уравнение измерений.
При использовании обычного одно-модельного подхода, решение задачи в описанных условиях приводит к фильтру Калмана. Внутри отдельных зон, уравнение, описывающее изменение корреляционной матрицы оценивания вектора состояния, не зависит от текущих измерений. Это позволяет заранее вычислить массивы коэффициентов усиления фильтра по координате и скорости для каждой из зон, что значительно сокращает вычислительные затраты. Далее, рассмотрим многомодельный подход применительно к линеаризованной задаче сопровождения траектории ВЦ.
Здесь, v()eJV[v();0,I] - гауссовский случайный вектор, с независимыми отсчетами, нулевым вектором математических ожиданий и единичной корреляционной матрицей, N[m(k);m,R] - нормальная плотность распределения вероятностей с вектором математических ожиданий т и корреляционной матрицей R случайного вектора т(к). Аналогично, w()eiV[w(&);0,R()] - гауссовский случайный вектор с независимыми отсчетами, нулевым вектором математических ожиданий и корреляционной матрицей Щк).
Считаем все плотности распределения вероятностей, входящие в (4.17), (4.20) - (4.23) гауссовскими функциями. Таким образом, уравнения (4.26), (4.27), далее (4.30) - (4.36) позволяют по М апостериорным вероятностям моделей движения и соответствующим им векторам математических ожиданий и корреляционных матриц для А-го момента времени получить аналогичные величины для (А+1)-го момента.
В этом разделе проведено сравнение исследуемого ММА с адаптивным фильтром Калмана (во второй главе 2) и известным ММА (во второй главе). В ММА траектория движения ВЦ описывается двумя моделями. Первая, основная, модель соответствует прямолинейному и равномерному движению со слабыми возмущениями. Большую часть полета траектория движения ВЦ адекватно описывается именно этой моделью. Вторая, альтернативная, модель должна соответствовать движению ВЦ на участке манёвра. Для описания движения на участке манёвра можно либо увеличивать порядок модели, например, переходя к модели равноускоренного движения, либо значительно увеличивая интенсивность возмущения при сохранении порядка модели, как подробнее анализ этого вопроса предложен в главе 2. Там показало, что второй подход является более предпочтительным.
Исследуемый двухмодельный алгоритм сравнивался с адаптивным фильтром Калмана (в главе 2) и известным двухмодельным алгоритмом (в главе 3). Как показано в подраз. 1.4, критерием для сравнения являются СКО оценивания координат и скорости ВЦ, и коэффициент уменьшения СКО. Результаты моделирования представлены на рис. (4.3-4.6): на рис. 4.3 показаны СКО оценивания координат (рис. 4.3а, в) и проекций вектора скорости (рис. 4.36, г) на оси X, и Y соответственно, в зависимости от номера цикла обзоров к. на рис. 4.4 представлен коэффициент уменьшения СКО К определения местоположения ВЦ. на рис. 4.5 представлена разность коэффициентов уменьшения СКО (на рис. 4,4) при сравнении исследуемого ММ А с известным ММ А, а на рис. 4.6 - при сравнении исследуемого ММ А с адаптивным фильтром Калмана. Здесь обозначено: 1 - адаптивный фильтр Калмана, 2 - известный ММА, 3 — исследуемый ММА.
