Содержание к диссертации
Введение
1 Алгоритмы оценивания вектора параметров объекта по вектору измеренных фаз 11
1.1 Состояние вопроса 11
1.2 Алгоритм оценивания вектора параметров объекта, учитывающий модель наблюдаемого объекта 29
1.3 Выводы к разделу 1 . 36
2 Область однозначного оценивания 37
2.1 Состояние вопроса.. 37
2.2 Область однозначного оценивания при многомерном пространстве векторов параметров объекта 39
2.3 Выводы к разделу 2 53
3 Потенциальная точность и помехоустойчивость 54
3.1 Состояние вопроса 54
3.2 Общее условие однозначного восстановления вектора полных фаз 57
3.3 Выводы к разделу 3 62
4 Оптимальные алгоритмы восстановления вектора полных фаз по вектору измеренных фаз ..63
4.1 Состояние вопроса 63
4.2.1 Алгоритм с полным перебором и понижением размерности пространства.. 66
4.2.2 Алгоритм с полным перебором, понижением размерности пространства и модифицированной структурой данных 69
4.2.3 Алгоритме сокращенным перебором 70
4.3 Выводы к разделу 4 76
5 Алгоритмы вычисления множества векторов утерянных фаз 78
5.1 Состояние вопроса 78
5.2 Алгоритм, учитывающий структуру множества векторов полных фаз 80
5.3 Процедура уточнения множества векторов утерянных фаз 82
5.4 Выводы к разделу 5 85
6 Экспериментальное исследование полученных алгоритмов и соотношений 86
6.1 Область однозначного оценивания 86
6.1.1 Решеточные системы с различными видами области однозначного оценивания 86
6.1.2 Нерешеточные системы 93
6.1.3 Полурешеточные системы 94
6.2 Использование условия однозначного восстановления вектора полных фаз для нахождения максимально допустимых погрешностей измерений 96
6.3 Экспериментальное исследование разработанных алгоритмов восстановления вектора полных фаз 98
6.4 Экспериментальное исследование разработанного алгоритма вычисления множества векторов утерянных фаз 103
6.5 Выводы к разделу 6 105
Заключение 106
Список литературы 107
Приложение А 116
- Алгоритм оценивания вектора параметров объекта, учитывающий модель наблюдаемого объекта
- Область однозначного оценивания при многомерном пространстве векторов параметров объекта
- Общее условие однозначного восстановления вектора полных фаз
- Решеточные системы с различными видами области однозначного оценивания
Введение к работе
Актуальность темы. Многоканальная фазовая измерительная система (МФИС) предназначена для косвенного измерения вектора параметров некоторого наблюдаемого (контролируемого) объекта по совокупности разностей фаз сигналов, присутствующих на входе системы. При этом известно, что эти сигналы определенным образом взаимодействуют с наблюдаемым объектом и содержат информацию об его состоянии. Аппаратная часть такой системы представляет собой многоканальный фазометр и цифровое вычислительное устройство (ЦВУ), предназначе.нное для обработки измерении. МФИС используются в радиолокации, радионавигации, неразрушающем контроле, метеорологии, радиоастрономии и могут использоваться во многих других прикладных областях. В качестве конкретных примеров применения можно привести активные и пассивные фазовые радиопеленгаторы, радиодальномеры, радиочастотомеры, интерферометрнческис системы посадки летательных аппаратов (ЛА), датчики уровня жидкости и др. При этом вектор параметров объекта может включать в себя такие параметры, как координаты объекта (РЛС, ЛА), расстояние до объекта, частота источника радиоизлучения (ИРИ) и др. Особо следует отметить применение МФИС в аппаратуре целеуказания, головках самонаведения (ҐСН) ракет и комплексах радиоразведки, имеющих важное оборонное значение.
Современные приложения МФИС требуют с одной стороны высокой точности оценки вектора параметров объекта при высокой помехоустойчивости, а именно; относительной погрешности оценки параметров объекта 0,5 % и менее при уровне фазовых погрешностей в измерительных каналах 30 и более, а с другой стороны высокого быстродействия системы, то есть обработки измерений в режиме реального времени с периодом следования отсчетов измеренных разностей фаз 2 мкс и менее. Для выполнения этих требований необходимы эффективные алгоритмы оценивания вектора параметров объекта по вектору измеренных фаз, поскольку именно применяемые алгоритмы, в конечном счете, определяют реальные характеристики точности, помехоустойчивости и быстродействия.
В литературе освещены многие вопросы построения алгоритмов для МФИС. Основные результаты в данной области получены Беловым В.И., Денисовым В.П„ Дубининым, Пензиным К.В., Поваляевым А.А.", Сластионом, Собцовым Н.В., Шебакпольским М.Ф. и другими авторами. Но следует отметить, что известные эффективные алгоритмы предназначены для МФИС с рациональной или сводимой к ней структурной матрицей. В то же время эффективные алгоритмы для систем с действительной структурной матрицей до сих пор не были предложены. Многие результаты относятся к системам с так называемыми однозначными шкалами. В то же время в данной области техники давно наметилась тенденция использования систем, в которых однозначные шкалы отсутствуют, поскольку во многих приложениях это позволяет снизить требования к аппаратной части системы. Так, для фазового пеленгатора это позволяет значительно уменьшить размер апертуры антенной ре-
щетки и тем самым снизить общую массу и габариты измерительной системы или комплекса.
МФИС с действительной структурной матрицей имеют свои преимущества. Но до настоящего момента использование таких систем было ограничено, поскольку отсутствовали оптимальные по точности алгоритмы, которые бы обеспечивали быстродействие системы, отвечающее современным требованиям. Известный оптимальный по точности алгоритм для таких МФИС с цепью повышения быстродействия использует специальную структуру данных, которая вычисляется на этапе проектирования и размещается в памяти системы. Тем не менее, этот алгоритм неэффективен, поскольку при наличии в системе четырех и более измерительных каналов, не обеспечивает достаточного для современных приложений быстродействия.
Таким образом, в настоящее время актуальна разработка эффективных алгоритмов оценивания вектора параметров объекта для системы без однозначных шкал и с действительной структурной матрицей.
Цель работы — разработка эффективных по точности, помехоустойчи
вости и быстродействию алгоритмов оценивания вектора параметров объек
та. .
Для достижения згой цели были поставлены и решены следующие задачи:
-
разработать алгоритмы оценивания вектора параметров объекта по вектору измеренных фаз, которые полностью реализуют потенциальную точность и помехоустойчивость системы н в то же время обеспечивают высокое быстродействие;
-
создать математическую модель, предоставляющую необходимые средства для анализа эффективности алгоритмов оценивания вектора параметров объекта.
Методы исследования, В диссертационной работе приведены результаты теоретического исследования, полученные с использованием методов статистической радиотехники, теории вероятностей и математической статистики, теории множеств, теории евклидовых пространств, линейной, выпуклой и универсальной алгебры, теории векторных решеток, теории оптимальных алгоритмов и математической логики. Результаты экспериментального исследования получены на основе имитационного моделирования на ЭВМ с использованием методов вычислительной математики, программирования и математической статистики.
Научная новизна работы следует из того, что все полученные теоретические результаты применимы к МФИС с действительной структурной матрицей и неоднозначными шкалами. Новыми являются следующие результаты диссертации:
а) предложены оптимальные по точности алгоритмы восстановления
вектора полных фаз по вектору измеренных фаз с малой сложностью по времени;
б) создан алгоритм вычисления множества векторов утерянных фаз,
обладающий высокой точностью и малой сложностью по времени;
в) разработан оптимальный по точности алгоритм оценивания вектора
параметров объекта по вектору полных фаз, учитывающий модель наблю
даемого объекта;
г) разработана математическая модель МФИС, а также методики нахо
ждения класса областей однозначного оценивания и оценки потенциальной
помехоустойчивости.
Практическая ценность диссертационной работы заключается в следующем:
-
Разработанные алгоритмы восстановления вектора полных фаз по вектору измеренных фаз повышают быстродействие системы и позволяют веста обработку измерений в режиме реального времени с периодом следования отсчетов измеренных разностей фаз менее 2 мке, обеспечивая при этом оптимальную помехоустойчивость системы,
-
Разработанный алгоритм вычисления множества векторов утерянных фаз сокращает объем структур данных, хранимых в памяти системы, что понижает требования к аппаратной части.
-
Предложенные на основе разработанной модели МФИС методики нахождения класса областей однозначного оценивания и оценки потенциальной помехоустойчивости позволяют сократить сроки на этапе проектирования системы.
Реализация и внедрение результатов исследования. Разработанный алгоритм восстановления вектора полных фаз с сокращенным перебором реализован в опытном образце изделия 9-И-814 и внедрен в ФГУП «Центральное конструкторское бюро автоматики».
Основные положения-, выносимые на защиту:
-
Алгоритмы восстановления вектора полных фаз с разработанными структурами данных обеспечивают оптимальную помехоустойчивость и позволяют вести обработку измерений в режиме реального времени с периодом следования отсчетов измеренных разностей фаз менее 2 мкс.
-
Алгоритм вычисления множества векторов утерянных фаз сокращает объем структур данных в памяти системы! что понижает требования к аппаратной части системы.
-
Оптимальный по точности алгоритм оценивания вектора параметров объекта по вектору полных фаз учитывает модель наблюдаемого объекта.
-
Разработанная модель, методики нахождения класса областей однозначного оценивания и оценки потенциальной помехоустойчивости при-
годны для системы с действительной структурной матрицей и неоднозначными шкалами.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались и получили положительную оценку на XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Воронеж, 2006), региональной научно-практической конференции ученых, преподавателей, аспирантов, студентов, специалистов промышленности и связи «Наука, образование, бизнес» (Омск, 2006), Общероссийской научно-технической конференции «Обмен опытом в области создания сверхширокополосных РЭС» (Омск, 2006).
Публикации. По теме диссертации опубликовано S научных работ, из них 5 — в научно-технических сборниках, 3 — в трудах научно-технических конференций.
Структура н объем диссертации. Работа состоит из списка основных сокращений, списка условных обозначений, введения, шести разделов основного текста, заключения, списка литературы, двух приложений. Общий объем диссертации - 128 страниц. Основной текст изложен на 95 страницах, содержит 2 таблицы и 21 рисунок. В приложении Л представлена программная реализация разработанной модели и алгоритмов на языке Mathematica. В приложении Б представлен акт внедрения результатов исследования.
Алгоритм оценивания вектора параметров объекта, учитывающий модель наблюдаемого объекта
Точность алгоритма оценивания вектора параметров объекта по вектору полных фаз обуславливает точность МФИС и определяется эллипсоидом рассеяния оценки вектора параметров объекта. Она может быть задана в виде ковариационной матрицы погрешностей оценки вектора параметров объекта или с помощью таких частных характеристик как обобщенная дисперсия (детерминант ковариационной матрицы - величина, пропорциональная квадрату объема эллипсоида рассеяния), полная дисперсия (след ковариационной матрицы) и др.
В итоге точность МФИС как точность реализуемого ей алгоритма оценивания вектора параметров объекта по вектору измеренных фаз чаще всего задается набором из двух числовых величин, характеризующих собственно точность и помехоустойчивость МФИС, и хотя эти две величины могут быть тем или иным образом сведены к одной числовой характеристике, обычно они используются совместно. Это гораздо удобней, и при синтезе МФИС обычно ведется оптимизация одной из этих характеристик при фиксированной другой [19, 20, 32, 66-68].
С одной стороны, для конкретной системы КМП позволяет найти оптимальные по точности алгоритмы. С другой стороны, когда речь идет о синтезе оптимальных систем, то возникает вопрос о том, как сравнивать системы по точностным характеристикам, то есть по существу как определить отношение порядка на множестве всех МФИС, Это отношение порядка также должно следовать из выбранного критерия качества. Если исходить из КМП и для простоты говорить только о точности, то мы можем утверждать, что система №1 лучше системы №2, если эллипсоид рассеяния оценки для системы №1 целиком содержится в эллипсоиде рассеяния оценки для системы №2. Можно также считать лучше ту из двух систем, для которой эллипсоид рассеяния оценки обладает меньшим объемом или квадратом объема, то есть меньшей обобщенной дисперсией (ОД) оценки вектора параметров объекта. Но в то же время утверждение, что лучшей является МФИС с наименьшей ОД далеко не всегда оправдано практически. Так, например, одна система может иметь крайне большую дисперсию оценки по первому параметру, но в тоже время, за счет малой дисперсии по второму параметру, обладать практически нулевой ОД. В то же время такая характеристика эллипсоида рассеяния оценки как полная дисперсия (ПД) не может быть меньше наибольшей из дисперсий параметров, поскольку является следом ковариационной матрицы, а не ее детерминантом как ОД. Другими словами ОД является мультипликативной функцией от дисперсий параметров, в то время как ПД является аддитивной функцией от этих дисперсий. Поэтому более адекватным критерием качества системы может оказаться ПД оценки вектора параметров объекта. В то же время оптимальный по КМП алгоритм для оптимальной системы по критерию минимума полной дисперсии (КМПД), не обязательно окажется оптимальным по КМПД. В этом случае происходит нарушение логики построения алгоритма, то есть потенциальная точность системы оптимизируется по одному критерию, и в то же время точность алгоритма, которая должна стремиться к потенциальной, оптимизируется по другому критерию. Помимо сказанного выше КМП не учитывает, что пространство параметров объекта чаще всего является метрическим пространством, - то есть не учитывает естественную меру близости (1.7) для векторов этого пространства, отражающую действительные свойства наблюдаемого объекта. Это наталкивает на мысль о более глубоком анализе построения оптимальных по точности алгоритмов для МФИС. Далее делается попытка найти алгоритм оценивания вектора параметров объекта по вектору полных фаз, более полно учитывающий модель объекта, и сравнить его с алгоритмом (1.43), оптимальным по КМП.
Воспользуемся техникой, принятой в теории оптимальных алгоритмов. Сделаем некоторые предположения, которые были использованы и при построении оптимального алгоритма по КМП. Предположим, что множества 0 и Е не ограничены, а именно @- Rm, Е = R 1. Предположим также, что Е является вероятностным пространством на R" с произвольным непрерывным распределением Р, а вектор ЁЕ является случайным вектором на вероятностном пространстве Е с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной матрицей.
Найдем такой алгоритм Woe: Ф — 0, чтобы для всех 9 є @ и є є Е оценки 9" Woe(#?) = W(S9 + e) были «в целом лучше» соответствующих оценок, которые дают все остальные алгоритмы W (ое - англ. «optimal error», смотрите [93]). Прежде чем дать формальное определение оптимального по точности алгоритма, напомним, какие оценки 6 «лучше» при некотором в. Это оценки, обладающие наименьшей погрешностью в смысле (1.8). Погрешность, заданная в виде (1.8) правомерна, когда: - dim6-m, то есть, когда параметры 9 9 ...9т функционально независимы; - важны лишь отклонения 9І - 9- оценок от соответствующих параметров, но не комбинации этих отклонений (корреляция); - оцениваемые параметры одинаково значимы. При этом естественный базис Rm с учетом (1.7) становится ортонормированным, а &(9",9) обладает свойством инвариантности по отношению к любому одновременному повороту векторов 9,6 . Такая мера близости годится для большинства практических случаев и возникает, например, когда Rn - пространство направлений для двухкоординатного фазового пеленгатора. При этом поворот антенной системы пеленгатора вокруг своей оси не приводит к возрастанию или убыванию ошибки направления. Ясно, что при некотором векторе 9 мы можем получать различные векторы ф = S 9 + є в качестве результата измерения, а, следовательно, и различные векторы и - W( )G 0 , поскольку в процессе измерения вектор еєЕ может быть любым. При этом величина е(6 ,6) будет принимать различные значения, в том числе, сколько угодно большие в случае произвольного множества Е. Поэтому в качестве характеристики качества работы алгоритма при некотором векторе в нужно использовать величину, характеризующую погрешность оценок «в среднем». Известно, что характеристикой рассеяния некоторой случайной величины относительно заданной постоянной величины является второй момент относительно этой постоянной. Поскольку е(#\#) является случайной величиной, то второй момент &(в ,6) по сути представляет собой среднеквадратическую погрешность, возведенную в квадрат.
Область однозначного оценивания при многомерном пространстве векторов параметров объекта
Для простоты мы до сих пор в явном виде не учитывали погрешности измерения фаз. При выборе области однозначного оценивания, обеспечивающей нормальную работу системы для заданного множества Э нужно учитывать погрешности измерения, а именно составляющую множества Pr Emax. Обычно учет этой составляющей вводится путем замены исходного множества Э множеством где yeR - некоторый масштабный коэффициент, jol, обычно 7є[1;1,5].
Если учесть наличие погрешностей измерения фаз в системе, то становится понятным, что никакая система, даже нерешеточная, не может вести однозначное оценивание в пределах неограниченной области. Тем не менее, введенные классы не избыточны и имеют практическое значение. На основе результатов раздела 3, а именно согласно (3.30), можно утверждать для нерешеточной системы имеется зависимость между объемом множества векторов параметров объекта и радиусом максимального эллипсоида погрешностей измерений. На практике это значит, что нерешеточная система может выдавать однозначную оценку при сколько угодно большом множестве векторов параметров объекта, но чем оно больше (по объему), тем меньше будет помехоустойчивость системы и наоборот. Для решеточной системы область однозначного оценивания ограничена и эта ограниченность обусловлена структурой системы. Такая система не может выдавать однозначную оценку при сколько угодно большом множестве векторов параметров объекта даже в отсутствие погрешностей измерений. Однозначность оценки обеспечивается только в случае, когда множество векторов параметров объекта целиком умещается в ограниченной области однозначного оценивания.
Можно предложить следующую методику нахождения класса областей однозначного оценивания: 2 В алгоритм приведения вводится ограничение на число итераций. 3 На вход алгоритма приведения подается структурная матрица S. 4 Алгоритм приведения выдает предполагаемый базис решетки Л ". 5 Если алгоритм закончил работу нормалыгым образом, то система является решеточной, и вычисленный базис является действительным базисом решетки Л . 6 Если алгоритм закончил работу с превышением ограничения на число итераций, и длины всех векторов вычисленного базиса близки к 0, то система является нерешеточной. 7 Если алгоритм закончил работу с превышением ограничения на число итераций, и длины некоторых векторов вычисленного базиса близки к 0, то система является полурешеточной. Предложенная методика позволяет сократить сроки на этапе проектирования системы, поскольку позволяет аналитически найти класс областей однозначного оценивания МФИС без экспериментального исследования.
Таким образом, показано, что МФИС могут иметь различные, в том числе неограниченные, области однозначного оценивания. По виду области однозначного оценивания выделено три класса систем: решеточные, полурешеточные и нерешеточные. Рекомендуемая классификация существенна в виду различия эффективных алгоритмов восстановления вектора полных фаз для этих классов. Так известные эффективные алгоритмы для систем с рациональной структурной матрицей [19, 32] на самом деле пригодны для класса решеточно-согласованных систем. Указан способ получения различных решеточных систем. Для этого матрица S должна иметь в качестве строк векторы, принадлежащие некоторой решетке в пространстве Rm, при этом векторы необязательно должны иметь рациональные координаты. Любая решеточная система имеет целый класс ограниченных областей однозначного оценивания - это класс фундаментальных паралеллоэдров решетки А. Эти параллелоэдры могут быть получены как области Вороного решетки Л при различных матрицах билинейной формы, задающей в R"1 скалярное произведение. Вводится понятие согласованности множества векторов параметров объекта с областью однозначного оценивания решеточной системы. Согласованная система обладает важными преимуществами. Во-первых, она обладает повышенной точностью по сравнению с менее согласованными системами при той же помехоустойчивости. Во-вторых, во множестве кодов векторов утерянных фаз дыры отсутствуют или их количество минимально, что позволяет использовать субоптимальные по точности алгоритмы восстановления вектора полных фаз с малой сложностью по времени и емкости, очень близкие к оптимальным. Наглядное представление о дырах в множестве кодов векторов утерянных фаз можно получить в разделе 6.
Проанализированы свойства МФИС с различными структурными матрицами. Рекомендована классификация систем по виду области однозначного оценивания и согласованности этой области с множеством векторов параметров объекта, уточняющая границы применимости известных и разработанных алгоритмов восстановления вектора полных фаз. Предложена методика нахождения класса областей однозначного оценивания. Эта методика позволяет сократить сроки на этапе проектирования системы, поскольку для нахождения класса областей однозначного оценивания не требует экспериментального исследования.
Общее условие однозначного восстановления вектора полных фаз
Сравнивая выражения (4.32), (4.33) для алгоритма FA с выражениями (4.5), (4.6) для алгоритма F1 можно сделать вывод, что алгоритм F4 обладает малой сложностью по времени за счет повышенной сложности по емкости. Зависимость выигрыша по времени от размерности пространства Rn для алгоритма F4 при m = 2 приведена на рисунке 4.3. В отличие от алгоритмов F2 и F3 выигрыш алгоритма F4 для системы с п-А составляет приблизительно 3 порядка и экспоненциально растет с увеличением числа измерительных каналов. Тем не менее, выигрыш алгоритма F4 по времени пропорционален проигрышу по емкости. На рисунке 4.4 приведена зависимость проигрыша по емкости от размерности пространства Rn для алгоритма F4 при m-2. Несмотря на повышенные требования к аппаратной части алгоритм F4 позволяет реализовать обработку измерений в режиме реального времени с периодом следования отсчетов 2 мкс и менееные алгоритмы с уменьшенной сложностью по времени по сравнению с классическим алгоритмом, имеющие ту же сложность по емкости и сохраняющие оптимальность по точности. Кроме того, предложен новый алгоритм, позволяющий значительно сократить перебор и увеличить тем самым быстродействие МФИС на несколько порядков (2-4 порядка в зависимости от размерности системы). По сути, алгоритм переводит сложность по времени в сложность по емкости. При этом для этого алгоритма имеется возможность выбирать требуемое сочетание «сложность по времени»-«сложность по емкости», удовлетворяющее технико-экономическим требованиям к МФИС. Недостатками алгоритма является сложность создания структуры данных, лежащей в основе алгоритма, и требование большого объема оперативной памяти. Первый недостаток не столь негативен, поскольку относится к затратам предварительного этапа и в итоге не сказывается на качестве системы. Второй недостаток несуществен, поскольку емкость памяти современных ЭВМ уже давно измеряется в мегабайтах, при этом скорость операций чтения-записи только увеличивается, а стоимость модулей памяти уменьшается. Это расширяет возможности для построения МФИС с улучшенными показателями качества. Предложенные алгоритмы с уменьшенной сложностью по времени предназначены для систем, не являющихся решеточно-согласованными. В то же время алгоритм с сокращенным перебором эффективен при использовании в системе произвольного вида, поскольку при наличии достаточного объема ПЗУ позволяет практически полностью устранить перебор и обеспечить меньшую сложность по времени, чем существующие эффективные оптимальные по точности алгоритмы для решеточно-согласованных систем [16, 30, 81].
В данном разделе рассмотрен известный переборный алгоритм восстановления вектора полных фаз, использующий специально подготовленную структуру данных в памяти системы, пригодный для системы с действительной структурной матрицей и неоднозначными шкалами. Предложены алгоритмы восстановления вектора полных фаз по вектору измеренных фаз, которые позволяют в 1,5-2 раза и более уменьшить временные затраты на вычисление оценки вектора параметров объекта при неизменном объеме памяти для хранения структур данных или уменьшить временные затраты на 3 порядка и более, требуя при этом большего объема памяти для хранения структур данных по сравнению с известным алгоритмом. При этом разработанные алгоритмы обеспечивают оптимальную помехоустойчивость системы, а для алгоритма с сокращенным перебором имеется возможность выбирать требуемое сочетание «сложность по времени»- «сложность по емкости», удовлетворяющее технико-экономическим требованиям к МФИС.
МФИС вычисляет оценку вектора параметров объекта по вектору измеренных фаз. Оптимальная по точности оценка вектора параметров объекта находится по вектору полных фаз, что подразумевает прежде восстановление вектора полных фаз по вектору измеренных фаз. Процедура восстановления вектора полных фаз по вектору измеренных фаз предполагает знание множества векторов утерянных фаз, то есть тех векторов, которые могут возникнуть в ходе работы системы. Множество векторов утерянных фаз необходимо также для оценки помехоустойчивости МФИС, особенно в случае, когда МФИС не является решеточно-согласованной.
В литературе до сих пор рассматривались только лишь решеточные системы. Основные результаты по алгоритмам вычисления множества векторов утерянных фаз изложены в [19], При этом известные процедуры нахождения множества векторов утерянных фаз не лишены недостатков, а именно они носят слишком приближенный характер, так как для решеточно- согласованных систем нет необходимости точно вычислять множество К . Множество векторов утерянных фаз в этом случае может потребоваться только для нахождения приведенного базиса решетки Л", а именно базиса из векторов, чьи длины проекций на пространство Vі минимальны. В то же время для систем, не являющихся решеточно-согласованными, требуется множество К в явном виде или по возможности его хорошее приближение К , поскольку избыточность К приводит к увеличению сложности по емкости, а иногда и по времени алгоритмов восстановления вектора полных фаз.
Решеточные системы с различными видами области однозначного оценивания
В итоге можно сделать следующие выводы. Алгоритмы F2 и F3 обладают той же сложностью по емкости, что и известный переборный алгоритм F1, то есть требуют тот же объем памяти, но имеют меньшую сложность по времени, то есть меньшее время вычисления оценки вектора полных фаз. Так алгоритм .F2 обеспечивает уменьшение сложности по времени на 24,2% по сравнению с алгоритмом F1, а алгоритм F3 обеспечивает уменьшение слола-юсти по времени на 73,5% по сравнению с алгоритмом F1 в данной модели вычислений. Алгоритм F4 обладает в 41,4 раза большей сложностью по емкости по сравнению с алгоритмами Fl, F2, F3. В то же время его сложность по времени в 1288 раз меньше сложности по времени алгоритма Fl, то есть эта величина уменьшилась прибли зительно на три порядка.
Очевидно, что для сигнального процессора с заданными выше характеристиками выгодно использовать алгоритм F3 или F4 в зависимости от того, какой параметр является критичным - сложность по времени или сложность по емкости. Для многих приложений в виде систем реального времени критичным параметром является сложность по времени, в то время как повышенная сложность по емкости (повышенный требуемый объем ПЗУ) является второстепенным параметром, поскольку практически не влияет на технические показатели эффективности, а также незначительно увеличивает массо-габаритные и экономические показатели системы. Из расчетов видно, что разработанный алгоритм FA- с сокращенным перебором уменьшает затраты времени на вычисление оценки вектора параметров объекта приблизительно на три порядка, но при этом возрастает и требуемый объем ПЗУ. Выигрыш по времени вычисления можно увеличивать и далее, увеличивая доступный объем ПЗУ.
Для экспериментальной проверки утверждения об оптимальности по точности разработанных алгоритмов было проведено моделирование системы, описанной в п. 6.1.2 по методу Монте-Карло при различных сочетаниях векторов параметров объекта и векторов погрешностей измерений и сравнение результата работы алгоритма F1 и результатов работы разработанных алгоритмов F2,F3,FA. Была сформирована выборка векторов погрешностей измерений из вероятностного пространства Е = R" с нормальным распределением, нулевым МО и ковариационной матрицей из п. 6.1.1. Выборка векторов погрешностей измерений состояла из 100 векторов. Выборочное множество векторов параметров объекта состояло из 317 векторов и показано на рисунке 6.6. В итоге выборочное множество векторов измеренных фаз содержало векторы, соответствующие всем возможным сочетаниям векторов параметров объекта и векторов погрешностей измерений.
Для каждого набора векторов измеренных фаз, соответствующего некоторому вектору параметров объекта, вычислялась относительная частота правильного восстановления вектора полных фаз (ОЧПВ), то есть величина, которая стремится к ВПВ при увеличении длины выборки (иначе ее можно назвать выборочной вероятностью). В итоге были получены ОЧПВ для всех векторов из выборочного множества векторов параметров объекта при использовании алгоритма F1, а также алгоритмов F2,F3,F4. Частоты, соответствующие указанным выше алгоритмам, при одном и том же векторе параметров объекта полностью совпали. Более того, векторы полных фаз, соответствующие указанным алгоритмам, при одном и том же векторе измеренных фаз также полностью совпали, что подтверждает полную эквивалентность результатов работы алгоритмов. Эти же результаты были получены при моделировании других систем со случайным образом сформированным отображением S и матрицей CJ1. Таким образом, алгоритмы F2, F3, F4 обеспечивают ту же помехоустойчивость системы, что и алгоритм Fl.
На рисунке 6.7 показана диаграмма помехоустойчивости для моделируемой системы. Самые светлые участки соответствуют высокой помехоустойчивости, а именно им соответствует ОЧПВ р = 0,95. Темные участки соответствуют низкой помехоустойчивости системы с ОЧПВ р = 0,74. Область черного цвета - это область векторов параметров объекта, которые не могут возникнуть в ходе работы системы. Эта диаграмма одинакова для всех исследуемых алгоритмов.
Алгоритм вычисления множества векторов утерянных фаз главным образом важен для оптимизации работы алгоритмов восстановления вектора полных фаз по вектору измеренных фаз, а для также анализа потенциальной помехоустойчивости системы. Алгоритм вычисления множества векторов утерянных фаз использовался при экспериментальном исследовании различных классов МФИС и был особенно полезен для выявления свойств решеточно-согласованных и близких к ним систем, применялся при экспериментальном исследовании разработаниого общего условия однозначного восстановления вектора полных фаз и разработанных алгоритмов восстановления вектора полных фаз. Результаты экспериментального исследования невозможно было бы получить без такого достаточно качественного алгоритма вычисления множества векторов утерянных фаз.
Проверим качество алгоритма вычисления множества векторов утерянных фаз, учитывающего структуру множества векторов полных фаз, с дальнейшим уточнением множества векторов утерянных фаз. Рассмотрим решеточно-согласованиую систему, для которой кодовое пространство имеет размерность 2 и может быть показано графически. Рассмотрим систему со следующей моделью объекта и моделью погрешностей измерений: - множество векторов параметров объекта представляет собой правильный шестиугольник, описанный вокруг единичного круга и ориентированный в соответствии с рисунком 2.3;
