Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. ДИНАМИКА ОСЕСРЇММЕТРИЧНОИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 24
§ 1.1. Определение масштабного коэффициента и собственных час
тот колебаний оболочки вращения при изменении толщины в меридиа-
нальном направлении. Получение общих соотношений 26
§ 1.2. Нахождение собственных форм колебаний цилиндрического
резонатора постоянной толщины 33
§ 1.3. Влияние изменения толщины в меридианальном направлении
на динамику цилиндрического резонатора 39
§ 1.4. Динамика полусферического резонатора переменной толщины 46
§ 1.5. Влияние поступательной вибрации основания на динамику
оболочки вращения, толщина которой переменна в окружном направле
нии. Получение общих соотношений 52
§ 1.6. Влияние поступательной вибрации основания на динамику ци
линдрического и полусферического резонаторов, толщина которых пе
ременна в окружном направлении 57
§ 1.7. Влияние погрешностей изготовления резонаторов волнового
твердотельного гироскопа на его уходы 62
Глава 2. ДИНАМИКА АНИЗОТРОПНОГО РЕЗОНАТОРА ВОЛНОВО
ГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА 68
§ 2.1. Собственные частоты анизотропной оболочки вращения. Вы
вод вспомогательных соотношений 69
§ 2.2. Динамика анизотропных цилиндрического и полусферического
резонаторов, изготовленных без технологических погрешностей 74
§ 2,3, Уходы волнового твердотельного гироскопа с неидеальными
цилиндрическим и полусферическим резонаторами 80
Глава 3. ДИНАМИКА ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКО
ПА С РЕЗОНАТОРОМ, ЗАКРЕПЛЕННОМ НА НОЖКЕ 95
§ 3.1. Колебания ножки волнового твердотельного гироскопа, вы
полненной в виде стержня 96
§ 3.2. Колебания системы, состоящей из оболочки вращения, закреп
ленной на ножке 100
§ 3.3. Частоты колебаний системы в случае различных краевых усло
вий для стержня 105
§ 3.4. Динамика волнового твердотельного гироскопа при наличии
вынужденных колебаний, действующих на основание прибора 111
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 119
ЛИТЕРАТУРА 121
ПРИЛОЖЕНИЕ 128
Введение к работе
Волновой твердотельный гироскоп является инструментом, используемым для измерения угла поворота и угловой скорости вращения объектов. В
• основе его функционирования лежат инертные свойства упругих волн в твердом теле.
Явление прецессии стоячих волн в тонкой упругой цилиндрической оболочке, вращающейся с постоянной угловой скоростью со относительно инерци-ального пространства было впервые исследовано Брайаном в 1890 г [54]. Он показал, что ось стоячей волны упругих поперечных колебаний оболочки вращается с постоянной угловой скоростью Q. относительно основания, причем имеет место соотношение:
где п - номер формы колебаний.
Эффект, описанный Брайаном, был использован исследователями из General Motors при разработке гироскопа с резонатором в виде тонкой полусферической оболочки в 60-х годах прошлого века [56, 59]. Был зарегистрирован ряд патентов, описывающих множество усовершенствовании оригинальной идеи. Первоначальные патенты охватывали действие прибора как датчика угловой скорости. Более поздние патенты Лопера и Линча [62, 63] описывают его действие как интегрирующего датчика скорости. При этом колеблющаяся волна
• свободно прецессирует по всей окружности резонатора, и прибор может использоваться в качестве датчика угла поворота. Кроме того, такое функциони- рование имеет уникальное преимущество в том смысле, что прибор будет продолжать интегрировать угол поворота во время короткого прерывания электропитания.
Конструктивное исполнение волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) с
одной чувствительной осью, представленное в [57], приведено на рис. 1. При ф бор состоит из полусферического резонатора 1, кожухов 2 и 3, платформы с ва Рис. 1. Конструкция волнового твердотельного гироскопа, разработанного ФНПЦ ОАО «Раменское приборостроительное конструкторское бюро».
1 - полусферический резонатор, 2 - внешний кожух, 3 - внутренний кожух, 4 - платформа, 5,6- уплотнения, 7 - корпус, 8 - насос.
куумно соединенным блоком 4, в котором смонтированы коаксиальное 6 и одиночное 4 уплотнения, корпуса 7 и встроенного геттерного насоса 8, предназначенного для поддержания вакуума в полости прибора. На кожухе 2 расположены силовые электроды, на кожухе 3 находятся электроды для считывания информации. Металлические электроды также наносятся на внешнюю и внутреннюю поверхность резонатора вблизи от его края. Они, совместно с электродами, нанесенными на кожухи, образуют конденсаторы. Соответственно силовые конденсаторы вместе с кольцевым электродом, располагающимся на внешнем кожухе, и электронными схемами образуют систему возбуждения и поддержания постоянной амплитуды [22, 26] колебаний на частоте, совпадающей с собственной частотой колебаний оболочки. С помощью такой системы в резонаторе устанавливается рабочая вторая форма поперечных колебаний. Оболочка изготавливается из плавленого кварца, сапфира или другого материала, обладающего малым коэффициентом внутренних потерь. В настоящее время рядом компаний [34, 44, 57] достигнуты высокие значения добротности материала вплоть до 107.
В общем случае резонатор ВТГ представляет собой оболочку вращения. В литературе большинство работ посвящено рассмотрению кольцевых, цилиндрических и полусферических резонаторов. На практике в настоящее время большинство приборов имеют чувствительный элемент, выполненный в виде полусферической оболочки, находящейся на круглом стержне. Причем такой резонатор может быть полностью изготовлен из одного монокристалла или представлять собой составное изделие [34], соединение элементов которого (полусферической оболочки и ножки) осуществляется с помощью, например, клея.
Источником инерциальной информации является стоячая волна упругих колебаний. При этом измерения производятся в режиме свободных колебаний резонатора. Вращение основания, на котором установлен резонатор, вызывает поворот волны на меньший, но известный угол, то есть упругая волна, как це лое, прецессирует. Таким образом, волновые твердотельные гироскопы могут использоваться в качестве датчиков угла поворота объекта. Коэффициент пропорциональности скорости прецессии стоячей волны к проекции угловой скорости вращения основания на ось симметрии резонатора [5] - «масштабный коэффициент» - наряду с собственной частотой колебаний резонатора входит в число наиболее важных для изготовителя параметров системы.
Волновой твердотельный гироскоп (ВТГ) является одним из наиболее перспективных приборов, предназначенных для определения угловой скорости вращения объекта, с точки зрения потребительского соотношения цены к точности получаемой инерциальной информации. В основном, организации, занимающиеся активным исследованием волновых твердотельных гироскопов, сосредоточены в США (Northrop Grumman Corporation1, научный консультант -Dr. D.D. Lynch2; Delco Systems Operations; Litton Guidance & Control System), Франции (Sagem) и России (ЦНИИ «Электроприбор»; ЗАО НЛП «Медикон»; ФНПЦ ОАО «Раменское Приборостроительное Конструкторское Бюро»).
Волновой твердотельный гироскоп относится к гироскопам высоких и средних точностей - уходы 5-Ю"4—10"1 °/час [35]. Основными преимуществами волновых твердотельных гироскопов по сравнению с другими типами гироскопических приборов являются:
— хорошее соотношение цена/точность прибора.
— работоспособность в условиях относительно высоких перегрузок;
— малые требования к обслуживанию прибора вследствие отсутствия вращающихся частей;
— малое энергопотребление;
— компактность и небольшой вес;
— низкое время готовности;
— высокий ресурс.
В настоящее время в качестве относительно недорогих приборов (порядка 2000 USD) компанией Медикон предлагаются устройства гражданского навигационного назначения1 (рис. 2) со следующими характеристиками:
- случайная составляющая дрейфа 0,005 °/ч;
- систематический дрейф 2,5 °/ч;
- максимальная измеряемая скорость 300 %;
- потребляемая мощность, включая электронный блок 1,5 Вт;
- вес механической части датчика 97 г.
А ФНПЦ ОАО «РПКБ» выпустило волновой твердотельный гироскоп ТВГ-3-1 (рис. 3) с такими параметрами :
- случайный дрейф 0.005-0.01 °/час;
- систематический дрейф 3 °/час;
- потребляемая мощность 1.5 Вт;
- масса 350 г.
При этом, например, указанный прибор компании Медикон работоспособен в интервале температур от —40 до +40°С, обладает вибрационной прочностью 10g в диапазоне частот 3 - 200 Гц, время готовности составляет 5 с, а наработка на отказ - не менее 100000 часов.
Ввиду возрастающей конкуренции со стороны высокоточных систем спутниковой навигации по отношению к автономным средствам навигации вообще [30], и к системам на основе волновых твердотельных гироскопов в частности, в настоящее время внимание производителей сосредотачивается на таких новых областях применений как нефтегазовая промышленность (измерение траектории бурения скважин) и железнодорожная промышленность (система контроля деформации рельс).
Вычисление траектории бурения необходимо ввиду того, что процесс бурения достаточно длителен во времени, по ходу его следует учитывать вращение Земли. Без такого учета бур может отклониться от вертикальной оси. При
r3?arr T_, J , „,,T,.... , , . -,.-.
.
Рис. 2. ВТГ производства ЗАО НПП «Медикон»
Рис. 3. Волновой твердотельный гироскоп ТВГ-3-1 производства ФНПЦ ОАО «РПКБ»
менение гироскопа позволяет осуществлять непрерывный контроль траектории бурения без извлечения буровой колонны. Требования, вызвавшие к жизни применение именно волнового твердотельного гироскопа в составе инклинометра [2] состоят в том, что датчик должен работать в условиях относительно высоких перегрузок, температур и сильных вибраций. В отличие от магнитных датчиков, использовавшихся в этой сфере, волновой твердотельный гироскоп не чувствителен к влиянию магнитного поля Земли. Кроме того, существенными являются требования к габаритным размерам готового изделия, которое должно, например, помещаться в трубу диаметром 40 мм. Волновые твердотельные гироскопы могут удовлетворить всем этим требованиям.
Система контроля деформации рельс ставит своей целью определение угла деформации рельс и относительного положения стрелы прогиба каждой рельсовой нити. Система безопасности, призванная предотвращать аварии на железной дороге, также может быть основана на GPS1, устанавливаемой на локомотивах. Однако в данном случае система GPS не конкурирует с ВТГ, а дополняет его. Точность расчетов комбинации систем выше, чем точность измерений каждой из них по отдельности. Кроме того, волновой твердотельный гироскоп является единственным в системе источником информации о нахождении в зонах, где теряется сигнал слежения GPS.
В подавляющем большинстве применений основным преимуществом волнового твердотельного гироскопа в условиях рыночной экономики является средний класс точности по относительно низкой цене. Для дальнейшей успешной конкуренции таких приборов гражданского назначения необходимо еще более снижать стоимость изделий при одновременном повышении гарантированной точности измерений и других важных параметров таких, как, например, виброустойчивость. Подобное снижение стоимости возможно при уменьшении издержек производителей за счет серийного производства, которое эффективно, когда выполнение процедуры калибровки каждого изделия в отдельности об
легчается, благодаря заранее известным, рассчитанным требованиям к чувствительному элементу (точности обработки его поверхности, физическим свойствам материала). Решению таких вопросов посвящена данная работа. Цель работы состоит в:
- анализе влияния геометрической неоднородности резонатора на точностные характеристики ВТГ;
- анализе влияния анизотропии материала на дрейф нуля гироскопа и определении требований к технологии изготовления резонатора;
- создании подходов к выбору параметров системы «полусферический резонатор - ножка» с целью повышения ее виброустойчивости. Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и
базируются на теоремах классической механики и механики сплошных сред. В работе использовалась техническая теория оболочек. Рассматривались только изгибные колебания оболочек вращения, срединная поверхность которых предполагалась нерастяжимой. При рассмотрении анизотропного материала исследовался случай симметрии гексагонального кристалла (трансверсально-изотропный материал), который соответствует наиболее распространенному материалу, применяемому при изготовлении резонаторов ВТГ, - плавленому кварцу.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена применением современной теории тонких упругих оболочек, строго обоснованных математических методов и согласованностью новых результатов с ранее полученными другими авторами. Несмотря на то, что теория оболочек не позволяет найти абсолютное значение собственной частоты колебаний или масштабного коэффициента с точностью лучше 1.5-2%, при этом с той же точностью определяются требования к нахождению этих величин и их зависимости от различных параметров.
Активные работы по изготовлению волновых твердотельных гироскопов начались в 70-х годах прошлого столетия. Конструкция прибора, использующая
тонкостенный стальной цилиндр, один край которого жестко закреплен, а другой свободен, с дискретным пьезокерамическим возбуждением и чувствительными элементами была разработана фирмой Marconi (позднее GEC-Marconi Avionics) [60]. Первоначально эта конструкция была востребована военными приложениями. Надежность прибора была подтверждена в тестах с перегрузкой до 25g. Уникальные свойства ВТГ открыли дорогу для коммерческих приложений и этот гироскоп был использован в 1987 году в системе активной подвески команды Lotus для гоночных машин из класса формула 1. В наше время такой гироскоп используется в качестве датчика скорости поворота вокруг вертикальной оси в системе VDCS (система контроля динамики транспортных средств), серийно производимой компанией Robert Bosch GmbH [66].
Вместо прикрепления пьезокерамических элементов к стальному цилиндру можно изготовить из пьезокерамического материала весь цилиндр. Техническое обоснование использования такого прибора было проведено Бурдессом [55]. Компания BASE (British Aerospace Systems & Equipment) разработала и выпустила вибрационный гироскоп (Vibrating Structure Gyroscope), основанный на таком резонаторе [61].
В работах В.Ф. Журавлева [19, 21] приведены основные математические модели гироскопа и рассмотрены методы их анализа. Построена теория принципиального функционирования идеального гироскопа. Изучены способы возбуждения незатухающих колебаний резонатора с учетом различных инструментальных погрешностей прибора. Найдено влияние некоторых погрешностей на точность снимаемой с прибора инерциальной информации. Рассмотрены способы обработки информации, а также нелинейные явления, связанные с распространением волн вдоль резонатора. В работе [21] сделан вывод о том, что резонатор ВТГ можно рассматривать как тонкое упругое кольцо, имеющее возможность совершать изгибные колебания в своей плоскости. Это связано с тем, что поведение полусферической оболочки в краевой области весьма близко к поведению кольца. Поэтому для многих задач, связанных с изучением динами ки такой оболочки, решение было выполнено с использованием в качестве модели упругого кольца.
В работе Н.Е. Егармина [16] была получена общая формула, определяющая скорость прецессии стоячей волны колебаний произвольной идеальной осесимметричной оболочки, установленной на вращающемся основании. Полученная формула применялась к вращению сферического купола, сферического сегмента на «ножке», к цилиндрической оболочке при различных граничных условиях. Статья [10] посвящена определению скорости прецессии в оболочках, имеющих форму поверхностей второго порядка положительной кривизны (эллипсоид, двухполостный гиперболоид, эллиптический параболоид), и в оболочках, меридианы которых представляют собой параболы произвольной степени. В работе А.А. Киреенкова [25] была предпринята попытка анализа частотного спектра сложной упругой системы, представляющей собой комбинацию идеальной упругой полусферической оболочки и упругого стержня.
В реальных резонаторах механические и геометрические характеристики не являются постоянными вдоль рабочей поверхности. Это приводит [21] к зависимости поведения стоячей волны от ее ориентации в резонаторе. Этот эффект, называемый динамической неоднородностью резонатора, влечет распад стоячей волны на бегущие волны, что обуславливает рост погрешности прибора. Н.Е. Егармин в работе [18] показал, что основной вклад в формирование динамической неоднородности вносит четвертая гармоника разложения механической или геометрической неоднородности параметра резонатора в ряд Фурье по окружному углу. Тем не менее в данной диссертации показано, что и низшие гармоники также имеют существенное влияние на динамику ВТГ. Влияние отклонений от идеальной схемы, обусловленных неравномерной плотностью материала, зависящей от окружного угла, на динамику осесимметричного упругого тела анализировалось в работах [21], [28]. В них были получены соотношения, описывающие поправки к частотам собственных колебаний идеальных оболочек.
Достижение высоких точностей измерений с помощью волновых твердотельных гироскопов ограничивается прежде всего наличием динамической неоднородности резонатора. Для ее устранения используются два пути. Первый -это статическая балансировка резонатора, позволяющая уменьшить его динамическую неоднородность до заданного предела. Для этой цели необходимо знать зависимость динамической неоднородности от различных технологических погрешностей изготовления резонатора, что исследовалось в работах [1, 18, 26]. Способ выполнения балансировки обсуждался в работе [3], [67], устройство для автоматической балансировки резонаторов ВТГ лучом лазера защищено патентом [7].
Второй способ - это динамическая балансировка резонатора. В работе [21] показано, что в динамически неоднородном резонаторе существуют два направления, называемые осями нормальных колебаний, при ориентации вдоль которых стоячая волна не распадается. Если в начальный момент стоячая волна ориентирована вдоль одного из этих направлений, то при отсутствии вращения основания она будет сохранять свою ориентацию, но, как только основание придет во вращение, стоячая волна начнет прецессировать и отстроится от оси нормальных колебаний, что в конечном счете приведет к распаду волновой картины. Однако, можно специальной системой управляющих электродов воздействовать на резонатор таким образом, чтобы изменить ориентацию осей нормальных колебаний, повернув их вслед за волной.
Вообще же, изучение влияния различных технологических погрешностей изготовления ВТГ на его точность является одной из ключевых задач. Этой проблеме на примере кольца уделяется внимание в работах [1, 6, 23], на примере полусферической оболочки - в работе [42], ряд задач решен Н.Е. Егарминым [15-18]. Влияние асимметрии демпфирования и параметрического возбуждения на работу прибора рассматривалось в [24].
При выборе материала для изготовления чувствительного элемента ВТГ существенным критерием является добротность. Помимо широко используемо искусственно созданные материалы [44] типа лейко-сапфиров, обладающие довольно высокой добротностью. Однако такие материалы, равно как и плавленый кварц, обладают анизотропными свойствами. Вследствие этого немаловажное значение имеет изучение вопросов, посвященных влиянию анизотропии материала на динамику чувствительных элементов ВТГ. Задачи о погрешностях резонатора, изготовленного из анизотропного материала и вязкоупругого анизотропного материала на примере кольца были рассмотрены в работах [37, 39, 40]. Влияние анизотропии на собственные частоты кольца, изготовленного из кристаллического кремния изучалось в работе [65], где было установлено, что при малом отклонении фактической плоскости среза кольца от главной плоскости кристалла кремния, имеющего кубическую структуру, возникает раздвоение частот колебаний и стоячая волна начинает прецессировать при неподвижном основании прибора, вызывая тем самым дрейф нуля гироскопа. Аналогичные выводы сделаны в работе А.А. Унтилова [48].
Применение кольцевого электрода, создающего пульсирующую нагрузку специального вида с целью компенсации потерь энергии вследствие вязкого трения в материале, анализировалось в статье [29]. В первом приближении использованного метода усреднения было получено, что подобная специального вида нагрузка при выполнении поставленной задачи не повлияет на прецессию волны.
Ряд работ посвящен изучению влияния вибрации на динамику волнового твердотельного гироскопа. В статье [27] на примере кольцевого резонатора качественно показано, что вибрация может существенным образом менять волновую картину чувствительного элемента ВТГ, обуславливая необходимость создания специальных систем защиты гироскопа от вибраций. В работах [4, 31, 33, 43, 45] исследовалась динамика ВТГ с неидеальным полусферическим резонатором при наличии вибраций основания. Неидеальность оболочки моделировалась путем введения возмущений дифференциального оператора. В качестве
дов приводится необходимость балансировки дефектов резонатора и разработки системы виброзащиты прибора.
Вопросы, связанные с технологическими аспектами изготовления резонаторов, рассматривались в работах [34, 51, 52]. В работе [52] аналитически исследуется проблема влияния внутренних напряжений, появляющихся в резонаторах вибрационных гироскопов из-за напряжений структуры материала в процессе производства, на динамику ВТГ. На основе анализа нелинейной геометрии полусферы в выражение энергии деформации резонатора вводятся члены, ответственные за внутренние начальные напряжения, и задача решается в линейном приближении. Рассматривается пример важного случая распределения локальных напряжений. Исследуется особый случай влияния центробежных сил на динамику вращающегося гироскопа. В работах В.В. Подалкова решены задачи о влиянии геометрической нелинейности на работу ВТГ [36] и о погрешностях ВТГ, вызванных нелинейными деформациями резонатора [37]. Влиянию нелинейных факторов на динамику оболочек вращения уделено внимание в [32]. В работе [34] представлены результаты разработки дешевого составного резонатора для волнового твердотельного гироскопа. При выборе конструктивных и технологических параметров резонатора учитывались в основном добротность и качество поверхности ножки и полусферы. Приведены расчетная зависимость уровня поверхностных потерь от размера неоднородности и профилограмма неровностей поверхности изготовленной полусферы. В статье [51] представлены характеристики первой партии коммерческих вариантов ВТГ с металлическим цилиндрическим резонатором, разработанных и освоенных в производстве в Украинском технологическом центре оптического приборостроения. Анализ основных параметров первой партии приборов показал, что они несколько уступают по габаритам, массе, и уровню случайного шума гироскопам аналогичного класса (включая волоконно-оптические и микромеханические) ведущих в этой области стран мира, однако по дрейфу нуля, темпера турной чувствительности, стабильности и нелинейности масштабного коэффициента не уступают им.
Ряд работ посвящен анализу электрической части прибора, системам управления силовыми электродами и обработке снимаемой информации. В статье [22] изучается влияние электрических процессов в резонаторе и электродах управления, съема информации и возбуждения на эволюцию стоячих волн в гироскопе. При этом электрические и механические колебания рассматриваются во взаимосвязанной форме. Алгоритмы управления квадратурой в ВТГ путем регулирования электростатических сил, прикладываемых к резонатору, и электростатической компоненты жесткости обсуждаются в работе В.Ф. Журавлева [20]. Устойчивость колебаний ВТГ анализировалась в статье В.Е. Юрина [53]. При этом была сформулирована задача управления колебаниями ВТГ, имеющая своей целью поддержание колебаний в виде стоячей волны, показано, что требуемый режим работы прибора обладает необходимыми свойствами устойчивости. В работе [64] был выполнен анализ влияния обратной связи по деформации и скорости на динамику цилиндрического резонатора ВТГ. Были рассмотрены вопросы подбора параметров контура управления с целью минимизации вредного влияния дефектов изготовления резонатора.
Из приведенного обзора следует, что к настоящему времени фундаментальные вопросы функционирования ВТГ, в основном, можно считать решенными. Однако такие вопросы, как влияние геометрической неоднородности в виде разнотолщинности как по окружной, так и по меридианальной координате на динамику осесимметричных резонаторов ВТГ, в частности, цилиндрического и полусферического, исследованы недостаточно. Кроме того, не исследовано влияние анизотропии материала, из которого изготовлен резонатор, на точностные характеристики прибора. Не достаточно полно освещены вопросы динамики системы «стержень - полусферическая оболочка», в частности, такие аспекты, как спектральные характеристики системы и ее виброустойчивость.
В работе получены следующие результаты:
- выполнен анализ влияния толщины резонатора, изменяющейся по окружной и меридианальной координатам, на точность измерений ВТГ; получены формулы для расчета собственной частоты колебаний и масштабного коэффициента с учетом закона изменения толщины;
- исследовано влияние геометрической неоднородности по окружной координате на виброустойчивость цилиндрического и полусферического резонаторов;
- выполнен анализ влияния анизотропии материала и технологии изготовления резонатора на величину собственной частоты колебаний и погрешность измерений гироскопа;
- найден спектр частот системы «стержень - полусферическая оболочка» для набора краевых условий закрепления стержня; проведено исследование виброустойчивости такой системы при наличии поперечных вынужденных колебаний основания.
Практическая ценность работы заключается в разработке методики определения:
- требований к разнотолщинности резонатора и соосности оси симметрии резонатора и оси симметрии траснверсально-изотропного материала на примере цилиндрической и полусферической оболочек, представляющих собой необходимое условие соответствия серийно выпущенного изделия заявленной точности прибора;
- отношения длины цилиндрической оболочки к ее радиусу, при котором влияние геометрической неоднородности по окружной координате на уход гироскопа минимизируется;
- положения на стержне полусферической оболочки, при котором минимизируется амплитуда колебаний ее свободного края при воздействии поперечных вибраций основания.
Полученные результаты выносятся на защиту. Результаты работы докладывались и обсуждались на:
- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2003 г.);
- XXIV конференции памяти Н.Н. Острякова (Санкт-Петербург, октябрь 2004 г.);
- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2004 г.);
- XII Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, май 2005 г.);
- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2005 г.);
- научном семинаре в МГУ «Динамика относительного движения» под руководством чл.-корр. РАН проф. В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимова, доц. Е.В. Мелкуновой (Москва, февраль 2006 г.);
- научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (Москва, 2003-2006 г.г.).
Основные результаты опубликованы в [8,11 - 14, 38, 58].
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы 131 стр., включая 19 страниц с рисунками, 7 стр. списка литературы, насчитывающего 67 наименований, и 4 стр. приложения.
В первой главе рассматриваются вопросы нахождения собственной частоты колебаний оболочки вращения и масштабного коэффициента. Интерес представляет учет переменной толщины резонатора, которая может быть реализована изготовителем намеренно, но всегда присутствует «в малом» в реальных изделиях из-за погрешностей изготовления. В рамках технической теории оболочек при использовании условий нерастяжимости срединной поверхности оболочки вращения, получены общие формулы, позволяющие найти собственные частоты колебаний резонатора и масштабный коэффициент ВТГ с учетом произвольного изменения толщины по меридианальной координате. Получены
соотношения для определения собственной частоты колебаний, масштабного коэффициента цилиндрической оболочки переменной толщины, а также выполнены расчеты с их использованием в различных случаях: 1) наличия существенных утолщений на свободном или заделанном краю резонатора; 2) малой погрешности его изготовления, присутствующей в виде разнотолщинности по меридианальной координате; 3) различных отношениях длины образующей цилиндра к его радиусу. В последнем случае результаты вычислений представлены в виде графических зависимостей масштабного коэффициента и частоты собственных колебаний от указанного отношения для постоянной толщины резонатора и различных краевых условий. Ряд аналогичных вопросов рассмотрен в применении к полусферическому резонатору.
Изучено влияние вибраций основания на волновую картину резонатора, выполненного в виде оболочки вращения. При этом рассматривались продольные и поперечные колебания, оказывающие влияние на динамику прибора при наличии малых отклонений геометрии резонатора от идеального тела вращения, описываемых функциональной зависимостью, представляющей собой сумму первых трех гармоник по окружной координате. Результаты подсчета амплитуд колебаний цилиндрического и полусферического резонаторов, возникающих при наличии продольных и поперечных колебаний основания прибора, представлены в числах и в виде графических зависимостей.
Рассмотрен вопрос влияния разнотолщинности, представляемой в виде суммы четных гармоник по окружной координате в разложении соответствующего закона изменения толщины, на величину ухода гироскопа.
Во второй главе рассматривается динамика резонатора ВТГ на неподвижном основании, изготовленного из анизотропного материала. Рассматривается анизотропный материал типа гексагонального кристалла (трансверсально-изотропный материал). При этом ось симметрии материала на практике, вообще говоря, может не совпадать с осью симметрии самого резонатора, что приводит к возникновению прецессии стоячей волны, возбужденной на резонаторе,
даже при неподвижном основании и характеризует дрейф гироскопа. Выведены вспомогательные соотношения для анизотропной оболочки вращения с постоянной толщиной. В результате получена формула, позволяющая найти частоту собственных колебаний такого резонатора. Общие формулы применены к цилиндрическому и полусферическому резонаторам в предположении о том, что ось симметрии материала и оболочки совпадают. Рассмотрены цилиндрический и полусферический резонаторы, имеющие несоосность оси симметрии материала и самой оболочки. Получены дифференциальные уравнения, описывающие динамику резонатора. Показано, что в этом случае возникает раздвоение частот, которое приводит к прецессии стоячей волны колебаний оболочки, находящейся на неподвижном основании. Величина дрейфа гироскопа найдена как в одномодовом приближении, так и с учетом нескольких мод колебаний. Показано, что одномодовое приближение может быть успешно использовано для нахождения дрейфа ВТГ, вызванного несоосностью осей симметрии материала и резонатора.
В третьей главе рассматривается волновой твердотельный гироскоп, выполненный в виде оболочки вращения, полюс которой закреплен на упругой ножке. Первая частота колебаний такой системы в целом в зависимости от конкретных физико-геометрических параметров, включая такой, как высота расположения оболочки на стержне, может оказаться близкой или даже равной частоте вынуждающих колебаний, возбуждаемых электродами прибора. Ввиду неравномерных воздушных зазоров между электродами и оболочкой, имеющихся вследствие погрешностей изготовления прибора [41], в этом случае возможно непредвиденное увеличение амплитуды колебаний сверх нормально допустимой, что, естественно, крайне негативно сказывается на работе ВТГ.
Изучена динамика всей системы «ножка-резонатор». В результате получено уравнение, позволяющее определить собственную частоту колебаний системы при любом числе мод. Это соотношение используется для определения частот колебаний системы в случае различных краевых условий для стержня,
на котором закреплен полусферический резонатор. Подсчет проводился в одно-, двух- и трехмодовом приближении при различных положениях оболочки на стержне, результат представлен в виде таблиц и графических зависимостей.
Рассмотрены вопросы динамики системы «ножка-резонатор» при наличии поперечных вынужденных колебаний основания. Интерес представляет амплитуда колебаний точки на свободном краю полусферической оболочки, где расположены датчики съема информации о движении стоячей волны. При возрастании амплитуды свыше некоторого критического уровня происходит нарушение нормальной работы прибора из-за разрушения волновой картины резонатора. Найдено соотношение частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний ножки прибора, при котором наблюдается резонанс и нарастание амплитуды колебаний вплоть до ударов свободного края оболочки об электроды. Показано, что амплитуда колебаний как в состоянии резонанса, так и вдали от него определенным образом зависит от координаты полюса оболочки и существуют такие положения резонатора на ножке, при которых влияние вынужденных колебаний основания на динамику свободного края резонатора ВТГ минимально.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
В приложении приведен текст программы получения компонент тензора упругих модулей на языке аналитических вычислений Maple 6.
Научные исследования по теме диссертации выполнялись при поддержке научной школы акад. РАН Д.Е. Охоцимского и проф. Ю.Г. Мартыненко (код проекта НШ-1835.2003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03-01-00637).
Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники Московского энергетического института под руководством проф. Подалкова В.В., которому автор глубоко признателен за неизменное доброжелательное отношение и помощь в работе.
Автор благодарен коллективу кафедры теоретической механики и меха-троники МЭИ и, в особенности, доц. Меркурьеву И.В. за неоднократные полезные советы и обсуждения результатов работы.
