Введение к работе
Актуальность работы
Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости и колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы, находящихся под действием как потенциальных, так и непотенциальных (неконсервативных) сил. Под неконсервативными силами мы подразумеваем диссипативные силы, а также позиционные силы, не допускающие потенциала. Последние силы часто называют следящими, циркуляционными или силами радиальной коррекции 1. К неконсервативным силам относят также гироскопические силы.
Интерес к неконсервативным задачам со следящими силами появился, как известно, после работ Эйлера, в которых он исследовал устойчивость форм равновесия упругой балки. Последующее изучение области применимости метода Эйлера в задачах устойчивости упругих систем показало, что если внешние силы неконсервативны, то метод Эйлера становится, вообще говоря, непригодным. Основными методоми исследования таких задач является методы теории устойчивости и колебаний.
Приближенное исследование поведения упругих систем на основе конечномерных моделей получило широкое распространение и выявило ряд удивительных свойств упругих систем: «негативизм», когда совместное влияние следящей силы и внешнего момента ведет к эффекту «отрицательной» жесткости; «парадокс» Циглера, когда сколь угодно малые по модулю силы вязкого трения дестабилизируют равновесие системы, устойчивое в отсутствие сил трения.
Проблемы устойчивости и колебаний неконсервативных систем возникают при проектировании конструкций в машиностроении, авиации, ракетной технике и т.д. Большое количество работ по устойчивости неконсервативных
1 Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, Гостехиздат. 1974.
систем относится к аэроупругости 23. Неконсервативные задачи возникают в теории двуногой ходьбы 4.
Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил парадокс дестабилизации (или эффект Циглера в настоящей работе). Это явление изучалось в работах В.В.Болотина, Я.Г Пановко, Г.Циглера, С.А. Агафонова, А.П Сейраняна, О.Н. Кириллова и других ученых. Отсутствие критерия существования эффекта Циглера объясняется алгебраической сложностью задачи. Так как характеристический полином содержит все коэффициенты при степенях А, то неравенства, отвечающие критерию Рауса-Гурвица, имеют весьма сложный вид. Их сложно исследовать на совместность.
Моделирование динамики ракетоносителей (РН) напрямую связано с исследованием колебаний неконсервативных систем. К примеру, одной из важных и мало изученных задач в динамике РН является задача о влиянии диссипативных сил на устойчивость движения РН 5, когда система находится под воздействием следящих сил. Известно, что в некоторых случаях малые силы трения усиливают динамическую неустойчивость системы (из-за наличия дополнительных позиционных неконсервативных сил). Так, совокупное влияние сил аэродинамического сопротивления и реактивной силы тяги двигателя может привети к усилению поперечных колебаний РН; сила сопротивления и реактивная сила истечения жидкого топлива из конца заправочного шланга, соединяющего летательные аппараты во время дозаправки их в полете, может также привести к сильным поперечным колебаниям шланга.
Диссертация посвящена получению условий устойчивости движений ме-
2 Гроссман Е.П. Флаттер // Труды ЦАГИ. 1937. Вып. 284. 248 с.
3 Bisplinghoff R.L., Ashley Н. Principles of aeroelasticity. 1975. New York. Dover.
4 Белецкий В.В., Голубицкая М.Д. Стабилизация и экстремальные свойства резонансных режимов
двуногой ходьбы // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 193-200.
5 Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов М.,
"Машиностроение 1975, 416 с.
ханической системы с конечным числом степеней свободы при наличии позиционных неконсервативных сил и анализу колебаний в зонах Циглера. Исследуются области устойчивости и неустойчивости равновесных конфигураций двухзвенного механизма, находящегося под действием сосредоточенной следящей силы, составляющей фиксированный угол с осью стержня. В простейшем случае эта модель описывает динамику заправочного шланга, находящегося под действием реактивной силы истечения жидкости. Исследуются его автоколебания в зонах Циглера.
Цель диссертационной работы Цель работы - исследование устойчивости положений равновесия и колебаний механической системы с голономными стационарными связями, имеющей конечное число степеней свободы и находящейся под действием потенциальных, следящих сил и сил вязкого трения, линейных по скоростям. Поскольку малые силы трения могут дестабилизировать равновесие системы, устойчивое в их отсутствие (эффект Циглера), то одной из важных целей диссертации является задача получения необходимых и достаточных условий существования эффекта Циглера. Она решается в рамках более общей проблемы построения критериев устойчивости равновесий механической системы по первому приближению.
Проблема исследования колебаний в зонах Циглера также является одной из целей диссертации. Поскольку неустойчивость равновесия в зонах Циглера имеет мягкий характер, исследуется задача существования глобально устойчивого предельного цикла, «запирающего» фазовые кривые системы в малой окрестности равновесия в системе с двумя степенями свободы.
Одной из задач диссертации является задача исследования устойчивости и колебаний двухзвенного механизма, нагруженного следящей силой. Эта система представляет собой дискретную модель упругого шланга, находящегося под действием реактивной силы истечения жидкости.
Научная новизна
Диссертационная работа содержит несколько новых научных результатов. Во-первых, впервые решена задача построения критериев устойчивости равновесия по первому приближению для механической системы с двумя степенями свободы со следящими, потенциальными силами и силами трения с произвольным коэффициентом трения. Как следствие, впервые получены необходимые и достаточные условия существования эффекта Циглера. Для случая малых сил трения, критерий устойчивости равновесия получены для системы с п степенями свободы.
Во-вторых, впервые получены достаточные условия существования устойчивого предельного цикла в малой окрестности неустойчивого равновесия в зонах Циглера при резонансах 1:2 и 1:3. Получены оценки области притяжения предельного цикла при резонансе 1:2 в виде неравенств, накладываемых на параметры системы. Для резонанса 1:3 получены условия устойчивости предельного цикла в нормализованных с помощью метода Хори-Кэмила уравнениях движения.
Наконец, впервые построены области устойчивости двухзвенного механизма, находящегося под действием следящей силы и сил трения. Показано, что силы трения мало деформируют бесконечно связную область устойчивости, построенную в их отсутствие: появляются узкие зоны Циглера, которые превращаются в области асимптотической устойчивости при больших силах трения, области неустойчивости (за исключением зон Циглера) сохраняются при любых значениях коэффициента трения. Впервые построены предельные устойчивые циклы колебаний двухзвенного механизма, находящегося под действием следящей силы и линейных сил трения.
Практическая значимость Практическая значимость исследований заключается в получении новых результатов по устойчивости равновесия механических систем с конечным чис-
лом степеней свободы, находящихся под действием сил трения, потенциальных и следящих сил. Показано при каких условиях сколь угодно малые силы трения дестабилизируют положение равновесия. Показано также, что при определенных условиях взаимодействия сил трения и следящих сил появляются устойчивые автоколебания дискретных моделей упругих систем, приближенно описывающих развитие динамической неустойчивости сложных упругих конструкций.
Диссертация посвящена решению одной из приоритетных задач (по классификации Рабиновича Б.И.) в ракетно-космической технике: изучению на основе дискретных моделей влияний диссипативных сил на динамическую неустойчивость РН при наличии дополнительных позиционных неконсервативных сил.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
Получен критерий устойчивости по первому приближению положения равновесия механической системы с двумя степенями свободы с голо-номными и стационарными связями, находящейся под действием потенциальных, следящих сил и линейных сил вязкого трения, произвольных по модулю.
Получен критерий устойчивости положения равновесия такой системы с п степенями свободы, когда силы трения малы.
Получены достаточные условия существования в зонах Циглера устойчивых предельных циклов механической системы с двумя степенями свободы при резонансах 1:2 и 1:3. Получена оценка области притяжения предельного цикла при резонансе 1:2 в виде неравенств на параметры задачи. Предельный цикл при резонансе 1:3 исследован на асимптотическую устойчивость.
4. Исследована динамика механической системы, расположенной на горизонтальной плоскости, состоящей из двух стержней, соединенных с помощью спиральных пружин. На свободный конец второго стержня действует следящая сила. Построены бесконечно связные области устойчивости положений равновесия системы, зоны Циглера. Исследованы автоколебания системы при резонансах 1:2 и 1:3.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на 10 Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк,
г.) [1], на Симбирской молодежной научной школе по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами (Ульяновск,
г.) [2], на Всероссийском Семинаре «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Ульяновск, 2010 г.) [5]. Также результаты докладывались на семинаре им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ и на семинаре «Динамические системы и механика» в МАИ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ [1-6], из них две статьи в журнале, рекомендованном ВАК [4, 6], одна статья в другом журнале [3], тезисы научных конференций [1, 2, 5]. Опубликованные в данных журналах статьи полностью отражают содержвание всех глав диссертации.
Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с Красильни-ковым П.С. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации
