Содержание к диссертации
Введение
1 Движение гладкого мяча по стержневому газону 25
1.1 Моделирование механической системы "мяч-газон". Постановка задачи 25
1.2 Вычисление сил ударных реакций со стороны стержней, действующих на поверхность мяча 30
1.3 Силы, обусловленные деформацией стержней 34
1.4 Уравнения движения 38
1.5 Частные режимы движения: качение по горизонтальной плоскости, качение по наклонной плоскости, вертикальные колебания. Отыскание стационарных движений, исследование их устойчивости 39
2 Движение мяча с шероховатой поверхностью по стерж невому газону 50
2.1 Учет рассеяния энергии при скольжении концов стержней по поверхности мяча 50
2.2 Модели сил трения 55
2.3 Уравнения движения для модели линейного вязкого трения 60
2.4 Уравнения движения для модели сухого трения 65
3 Движение шероховатого мяча по газону с учетом внутренних вязких сил при деформации стержней 71
3.1 Уравнения движения с учетом вязкости стержней 71
3.2 Изменение формы пятна контакта 76
Заключение 85
Литература 86
- Вычисление сил ударных реакций со стороны стержней, действующих на поверхность мяча
- Частные режимы движения: качение по горизонтальной плоскости, качение по наклонной плоскости, вертикальные колебания. Отыскание стационарных движений, исследование их устойчивости
- Учет рассеяния энергии при скольжении концов стержней по поверхности мяча
- Уравнения движения с учетом вязкости стержней
Введение к работе
Актуальность темы. Задача о движении шара по шероховатой плоскости для случая точечного контакта была решена Л. Эйлером еще в середине XVIII века. Для изучения динамики системы в случае протяженной зоны контакта была необходима теория контактного взаимодействия, основы которой были заложены Г. Герцем в конце XIX века. Дальнейшее исследование взаимодействия твердого тела и деформируемой среды проводилось такими учеными, как Рейнольде О., Ишлинский А.Ю., Тейбор Ф.П. и др.
В данной работе деформируемая сплошная среда моделируется однородным множеством стержней, каждый из которых описывается при помощи выбранной модели деформации (рассматриваются модель линейной упругости и модель Кельвина-Фойхта). Подобный подход, при котором опорная плоскость представляется в виде набора единичных деформируемых элементов, применялся в работах Максвелла Дж., Тейбора Ф.П., Больцмана Л. и других авторов.
Рассмотрение сил, действующих не в точке, а на площадке контакта, приводит к тесной взаимосвязи между качением, скольжением и верчением мяча. Этим же свойством обладают некоторые другие модели силы трения, которым посвящены работы Александрова Е.Б., Бриллиантова Н.В., Вильке В.Г., Журавлева В.Ф., Иванова А.П., Карапетяна А.В., Киреенкова А.А., Контенсу П., Косенко И.И., Кулешова А.С, Пасейки Г., Пешеля Т., Трещева Д.В., Шваге-ра Т. и др.
Исследование динамики мяча на деформируемой поверхности актуально также в свете значительного объема накопленных различными исследователями наблюдений и экспериментальных данных, требующих своего объяснения и качественного анализа. Цель работы состоит в развитии методов изучения динамики контактного взаимодействия тел, в том числе с бесконечным числом степеней свободы, и применении этих и ранее известных методов к моделированию предложенной механической системы "мяч-газон".
Основные результаты диссертации и их научная новизна.
В работе проведено исследование динамики механической системы, состоящей из массивного шара неизменной формы и деформируемой сплошной среды — так называемого газона. Газон смоделирован непрерывным однородным множеством стержней, недеформирован-ных в отсутствие контакта с мячом. Для стержней рассмотрена модели линейной упругости, а также модель Кельвина-Фойхта.
Сформулирована постановка задачи о движении мяча с гладкой сферической поверхностью по газону, состоящему из упругих деформируемых стержней. Найдены уравнения движения стержней с помощью вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В качестве источников сил сопротивления движению рассмотрены ударное взаимодействие стержней и мяча на границе зоны контакта и упругая деформация стержней. Вычислена результирующая сила ударного воздействия, найдено условие существования ударов. Показано, что полученная сила пропорциональна квадрату скорости центра мяча и имеет две компоненты: горизонтальную, противоположную направлению движения, и вертикальную. Найдены перемещения свободных концов стержней и результирующая сила поля реакций, действующих на мяч со стороны стержней, которая направлена вверх вдоль оси ОХ^. Получены уравнения движения мяча, имеющие сложный нелинейный характер. Движение подробно исследовано для частных режимов: движения по горизонтальной плоскости, вертикальных колебаний и соскальзывания по наклонной плоскости под действием силы тяжести. В последнем случае исследовано существование стационарных движений. Показано, что в зависимости от параметров системы может существовать до двух стационарных движений, среди которых одно устойчиво, а другое неустойчиво.
Исследована динамика мяча с шероховатой сферической поверхностью на газоне. Для определения величины сил трения,
действующих в точках контакта свободных концов стержней с поверхностью мяча, использован диссипативный функционал, учитывающий зависимость этих величин от распределения нормальной нагрузки, скорости точки контакта, а также выбранной модели трения. Для произвольной модели трения уравнения движения получены в виде системы связанных интегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрены частные модели трения: линейное вязкое трение, сухое трение Кулона, вязкая аппроксимация сухого трения. Для линейного вязкого трения вычислены результирующие сила и момент трения, показано существование аттрактора в случае горизонтальной плоскости и стационарных движений в случае наклонной плоскости. Приведены выражения для силы и момента трения для двух других моделей трения и результаты численного интегрирования уравнений движения.
Рассмотрена динамика взаимодействия мяча с множеством вязкоупругих стержней, описанных при помощи модели Кельвина-Фойхта. Для определения сил сопротивления, возникающих вследствие внутренней вязкости материала стержней, сформулирован диссипативный функционал. С его помощью вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления и показана их малость относительно других сил сопротивления. Сформулированы уравнения движения мяча с учетом сил внутренней вязкости. Показано, что найденные вязкоупругие силы, вообще говоря, изменяют форму и размеры зоны контакта. Граница возмущенной зоны контакта вычислена аналитически, при этом в качестве критерия отрыва стержня от поверхности шара использовано обращение в ноль силы реакции односторонней связи. Указан вид этой границы для некоторых частных случаев движения, приведены сравнительные графики.
Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.
Методы исследования. В работе используются методы аналитической механики, методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы (Вильке В.Г. (1983)), метод малого параметра и результаты теории возмущений.
Достоверность результатов. Все результаты в диссертации получены методами аналитической механики и асимптотическими методами на основе сформулированных в ней гипотез. Качественно-аналитические результаты проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, посвященных динамике различных видов спорта (теннис, футбол, гольф), при моделировании движения техники по деформируемому грунту, а также при решении инженерных и конструкторских задач с трением между деформируемыми движущимися деталями механизмов. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН и других научно-исследовательских центрах.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011" (Москва, 14-23 ноября 2011 г.)
Седьмой международный симпозиум по классической и небесной механике ССМЕСН 7 (Москва, 17-28 октября 2011 года)
Всероссийский конкурс студентов и аспирантов в области математических наук (Ульяновск, 8-10 июля 2012 года)
Семинар "Математические методы технической механики" под
руководством проф. С.Я.Степанова и доц. А.А.Бурова (2012 г.)
Семинар "Аналитическая механика и теория устойчивости" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. А.В. Карапетяна (2012 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1, 2, 3, 4] выполнены в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н. Вильке В.Г., которому принадлежат постановки задач и методы их исследования.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 102 наименований. Работа содержит 26 рисунков. Общий объем диссертации — 97 страниц.
Вычисление сил ударных реакций со стороны стержней, действующих на поверхность мяча
Вторая глава посвящена изучению трения, возникающего при движении мяча с шероховатой поверхностью по газону. Задача нахождения результирующих силы и момента трения сводится к интегрированию по поверхности контакта элементарных сил и моментов, возникающих при скольжении свободного конца стержня по поверхности шара. При этом необходимо учитывать распределение контактных напряжений, которое принимается совпадающим с аналогичным распределением в предположении о гладкости поверхности контакта, полученным в главе 1.
В 2.1 сформулирован диссипативный функционал, описывающий рассеяние энергии механической системы вследствие трения. Компоненты силы и момента трения находятся как частные производные функционала по компонентам скорости ХІ ИЛИ угловой скорости и0{. В дальнейшем функционал и определенные на его основе сила и момент вычисляются приближенно с точностью до главных членов.
В выражение для диссипативного функционала входит функция 6(Vg), описывающая мощность трения в точке соприкосновения мяча и стержня в зависимости от относительной скорости точки контакта ve. Рассмотрению различных исследованных в литературе моделей сил трения, посвящен раздел 2.2. Для более подробного исследования выбраны три различные функции b(v ), соответствующие линейному вязкому трению, сухому трению Кулона и, наконец, вязкой аппроксимации сухого трения.
В 2.3 на основе диссипативного функционала вычисляются компоненты силы и момента трения для модели линейного вязкого трения, что дает возможность сформулировать уравнения движения мяча. Эти уравнения имеют нелинейные правые части и в случае горизонтальной плоскости описывают систему с единственным аттрактором, соответствующим положению равновесия мяча на плоскости. В случае наклонной плоскости в зависимости от параметров системы могут существовать стационарные движения, соответствующие равномерному прямолинейному качению мяча по газону. Приведены графики, соответствующие результатам численного интегрирования уравнений движения мяча, для случаев гладкой поверхности мяча и поверхности с линейным вязким трением. Показано, что пренебрежение членами младшего порядка при вычислении силы и момента трения вносит малое возмущение в траекторию мяча.
В 2.4 сформулированы интегральные выражения для компонент силы и момента трения в случае сухого трения Кулона. Вычислена сила трения для аппроксимации сухого трения, показано, что она имеет нелинейный характер. В выражения для всех компонент силы и момента трения в обоих рассмотренных случаях входят компоненты скорости и угловой скорости мяча, что приводит к взаимосвязи между движениями мяча: скольжением, верчением, качением.
В третьей главе рассматривается влияние сил внутренней вязкости стержней на динамику шара. При деформации стержней возникают внутренние диссипативные силы, которые приводят к изменению формы стержней, зоны контакта, а также вносят вклад в уравнения движения. Силы внутренней вязкости предполагаются малыми по сравнению с остальными силами сопротивления в механической системе. Для моделирования деформаций в работе использована модель Кельвина-Фойгта.
В 3.1 сформулирован функционал внутренних диссипативных сил и внесены соответствующие добавочные члены в уравнения движения стержней. На основе этого функционала вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления, порождаемые рассеянием энергии при деформации из-за вязкости материала стержней. Записаны уравнения движения мяча с учетом этих сил.
В 3.2 исследовано изменение зоны контакта мяча и стержней. Внутренняя вязкость материала при деформации стержней вызывает эффект "запаздывания". Стержень перестает контактировать с поверхностью мяча, когда обращается в ноль сила реакции односторонней связи. С использованием этого критерия получено уравнение, описывающее границу возмущенного пятна контакта. Показано, что на некотором протяжении она может совпадать с невозмущенной границей. Для частных случаев движения дано качественное описание, дополненное графиками.
В заключении сформулированы основные результаты работы. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы [13], [14], [98], [99]. Основные результаты были доложены на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011" (Москва, 14-23 ноября 2011 года), Седьмом международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН 7) (Москва, 17-28 октября 2011 года), Всероссийском конкурсе студентов и аспирантов в области математических наук (Ульяновск, 8-10 июля 2012 года).
Частные режимы движения: качение по горизонтальной плоскости, качение по наклонной плоскости, вертикальные колебания. Отыскание стационарных движений, исследование их устойчивости
При движении мяча по горизонтальной плоскости pv = щ = О, Р2, = — 9- В этом случае центр масс мяча движется по прямой, поскольку угол ф постоянен. Не нарушая общности, примем эту прямую за ось ОХ\. Выражая переменную X?, через малую безразмерную переменную 5, определенную в (1.21), и пренебрегая малыми высшего порядка, запишем первое и третье уравнения системы (1.22) в виде
Уравнения (1-24) справедливы, если v\/—25 3 r5. В этом случае удары происходят на части границы области контакта, близкой к полуокружности, и угол о — 7г/2. Квадратичные формы, стоящие в скобках в правых частях уравнений (1.24), положительно определены по скоростям vy/—2S и гб. Ускорение v отрицательно, и величина скорости стремится к нулю согласно первому уравнению (1.24). Заметим, что при больших значениях горизонтальной скорости v возникает вертикальная сила, и шар "всплывает" по сравнению с его перемещением в положении равновесия. По мере уменьшения горизонтальной скорости шар "продавливает" газон, перемещаясь в отрицательном направлении оси ОХ3. В момент остановки мяча он погружается в газон на величину 5 = — yjrng/ nkr ).
Наряду с качественным описанием можно получить количественную характеристику взаимосвязи между v и 5, воспользовавшись вторым уравнением системы (1.24). На рис. 1.6 эта зависимость изображена в графическом виде. С ростом скорости v глубина погружения 5 уменьшается монотонно и нелинейно, асимптотически стремясь к нулю снизу.
Возникновение вертикальной силы, связанной с большой горизонтальной скоростью движения твердого тела в деформируемой среде, можно пронаблюдать и в реальной жизни. Например, виндсерфингисты успешно используют эту вертикальную силу, чтобы компенсировать вес доски и спортсмена при движении по гребню волны с высокой скоростью. Когда эта скорость падает, доска тонет.
Аналогичный результат был получен в работе [90]. В задаче о движении твердого цилиндра по вязкоупругой плоскости Пёшель, Швагер и Бриллиантов получили монотонное нелинейное убывание глубины погружения цилиндра с ростом скорости его качения.
Рассмотрим движение центра мяча по вертикали, когда v = 0. В этом случае Fv — 0, так как согласно (1.12) при Х$ 0 угол щ = 7г, а при Л"з 0 угол о = 0. Третье уравнение системы (1.22) с точностью до малых высшего порядка по 5 принимает вид. Уравнение (1.25) справедливо при 5 0, когда мяч не отрывается от газона, и описывает затухающие колебания. Рассеяние энергии происходит только в нижней полуплоскости фазовой плоскости при 6 0. Устойчивому положению равновесия мяча на газоне соответствует 5 = — /тд/(тгкг3). Фазовый портрет вертикального движения мяча на стержневом га зоне имеет вид: Серая линия на рис. 1.7 соответствует траектории центра мяча с начальным условием 5 = 0, т.е. в момент начала движения стержни недеформированы, погружение мяча в газон отсутствует, а зона контакта представляется единственной точкой, в которой мяч соприкасается с "центральным" стержнем. В силу устойчивости положения равновесия 5 фокус траекторий с начальными условиями 5(0) 5 будет совпадать с изображенным на рис. 1.7 Согласно теореме об изменении момента количества движения угловая скорость вращения мяча относительно центра масс не меняется в процессе движения, если момент внешних сил относительно центра масс равен нулю. В случае гладкой поверхности мяча момент поля реакций в точках контакта стержней с поверхностью мяча равен нулю, так как все реакции направлены по радиусам сферы. В этом случае второе уравнение (1.26) имеет частные решения ф = О или ф = 7г. Оставшиеся два уравнения системы (1.22) представляются в виде уравнений (1.24) с добавлением в правой части первого уравнения постоянного члена ±т 7о и заменой в правой части третьего уравнения члена тд на тд\ тд. Решение ф = 7г, соответствующее движению вверх по наклонной плоскости, неустойчиво, поскольку производная ([ф — тг]2) 0 в возмущенном движении. В случае ф = О центр масс шара движется по прямой вниз по наклонной плоскости. Это движение является аттрактором системы, так как в возмущенном движении (ф2) 0.
Учет рассеяния энергии при скольжении концов стержней по поверхности мяча
Механика контактного взаимодействия изучает различные модели трения. При решении исследуемой в главе 2 задачи нас интересуют математические модели, описывающие трение при точечном контакте двух твердых тел, в качестве которых выступают единичный стержень и мяч. Мы можем рассматривать как сухое, так и вязкое трение в точке контакта, а также различные их аппроксимации.
Закон сухого трения означает, что величина касательных сил определяется только величиной нормальных напряжений ап. В качестве примера математического моделирования процесса сухого трения можно привести закон постоянной силы трения / = const. При своей простоте этот закон достаточно хорошо описывает закономерности силы трения для высоких нормальных напряжений, однако дает погрешности в противном случае.
Классический закон трения Амонтона-Кулона описывается формулой / = kansign(y), где к 1 — коэффициент сухого трения, v — скорость точки контакта. Эта модель применима с малой погрешностью при малых значениях нормального давления. Сила Кулоновского трения имеет еще один недостаток: она разрывна в нуле, где ее значение и знак меняются скачкообразно.
Модель кулоновского трения может быть обобщена для анизотропного случая, когда величина коэффициента трения различна при движении в разных направлениях. В этом случае коэффициент трения к = к(щ) зависит от направления вектора скорости точки контакта.
Приведенные выше модели сухого трения объединяет двухпарамет-рический закон Ильюшина-Прандтля, которому соответствует кусочно-линейная функция / = !(ап+1 — \ Jn— l\)sign(v). Для малых нормальных напряжений ап 1 он соответствует трению Амонтона-Кулона, а с ростом напряжений ап 1 переходит в закон постоянной силы.
В ходе посткулоновских экспериментов было замечено, что в реальности есть зависимость величины силы сухого трения от скорости проскальзывания точки контакта. В частности, было обнаружено, что сила трения покоя, т.е. сила, необходимая для того, чтобы сдвинуть с места покоящееся тело, превосходит по величине силу трения скольжения, преодоление которой необходимо для того, чтобы тело продолжало движение. Одной из первых попыток описать это явление математическим языком было введение различных коэффициентов трения к\ кї- больший к\ соответствовал трению покоя, меньший к% — трению скольжения.
Еще одним способом аналитически описать убывание величины силы трения с ростом скорости является формула / = j —,ansign{w). На рис. 2.4 приведены сравнительные графики удельной силы трения, монотонно убывающей с ростом скорости согласно приведенной выше формуле, и классического кулоновского трения (пунктирная линия). Впрочем, упомянутые выше модели описывают не все наблюдаемые в реальном мире явления. Экспериментально было показано, что с дальнейшим ростом скорости величина коэффициента трения увеличивается, в том числе превосходя изначальную, соответствующую трению покоя. Эта зависимость может быть приближенно описана функцией следующего вида: / = kan(sign(v) — fi\v + /лг 3), где /J,\ и /и,2 — положительные коэффициенты, определяемые из опытов. На рис. 2.3 изображен график зависимости силы трения от скорости проскальзывания точки контакта для случая классического трения Амонтона-Кулона (пунктир) и посткулоновского обобщения (сплошная линия). Отметим, что для небольших скоростей проскальзывания точки контакта сила трения покоя превосходит силу трения скольжения. С ростом скорости величина силы трения начинает возрастать, и в итоге может превосходить трение покоя.
Наряду с различными моделями сухого трения механика рассматривает вязкое трение в качестве источника сопротивления движению. В выражение для силы вязкого трения может входить как сама скорость точки проскальзывания, так и более высокие ее степени.
Наиболее характерным отличием вязкого трения является отсутствие трения покоя. Это означает, что движение из состояния равновесия начинается при любой величине внешней силы, без порогового значения, характерного для сухого трения. Аналогичным образом, если тело с ненулевой скоростью подвергается действию силы вязкого трения в отсутствие иных внешних сил и моментов, оно никогда не остановится (иными словами, его остановка произойдет за бесконечное время).
В данной работе для определения модели силы трения используется функция 6(Vg), входящая в состав диссипативного функционала трения (2.1). Физический смысл b состоит в количественном выражении мощности касательной силы сопротивления в зависимости от относительной скорости точки контакта ve. Приведем ряд примеров функции 6(Vg), определяющей разные модели сил трения:
Первый пример соответствует линейному вязкому трению. Второй пример задает модель сухого трения, а третий — непрерывную аппроксимацию сил сухого трения. Модель сухого трения имеет существенный недостаток, связанный с отсутствием производной функции y/z в
Движение мяча с шероховатой поверхностью по стержневому газону нуле, который приводит к появлению зон застоя при нулевых значениях относительной скорости, к потере единственности решений возникающих дифференциальных уравнений и к появлению в ряде случаев зависимости движений от предыстории движений. Этих недостатков лишена третья модель, определяющая при ограниченных значениях переменной z (при ограниченных относительных скоростях) нелинейное вязкое трение, аппроксимирующее сухое трение с трением покоя, превосходящим трение скольжения. В ряде случаев используются другие модели для описания полей касательных сил [35], [54], [89-91].
Уравнения движения с учетом вязкости стержней
Для определения сил сопротивления, возникающих вследствие внутренней вязкости материала стержней, сформулирован диссипативный функционал. С его помощью вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления и показана их малость относительно сил, найденных в главах 1,2. Сформулированы уравнения движения мяча с учетом сил
Найденные вязкоупругие силы, вообще говоря, изменяют форму и размеры зоны контакта. Граница возмущенной зоны контакта вычислена аналитически, при этом в качестве критерия отрыва стержня от поверхности шара использовано обращение в ноль силы реакции односторонней связи. Указан вид этой границы для некоторых частных случаев движения, приведены сравнительные графики.
В работе построена модель механической системы, состоящей из массивного твердого мяча неизменной шаровой формы и газона, описываемого как множество вязкоупругих стержней с нижними концами, жестко прикрепленными к опорной плоскости, и свободными верхними концами. В сущности, рассмотрена система переменного состава, так как в процессе движения мяча происходит как вовлечение стержней во взаимодействие с мячом, так и их выход из зоны контакта.
Описаны причины возникновения сил реакции: удары при соприкосновении мяча со стержнями, упругие продольно-изгибные деформации стержней, трение свободных концов стержней о поверхность мяча на протяжении контакта, внутренняя вязкость при деформации стержней. Перечисленные силы вычислены (в качестве модели трения было использовано вязкое трение, пропорциональное скорости движения мяча), описан характер их зависимости от переменных задачи.
Исследована диссипация энергии при ударах стержней о поверхность мяча и найдена результирующая сила сопротивления, возникающая вследствие ударных воздействий, сопровождающих наложение связей. Показано, что эта сила имеет квадратичный характер зависимости от скорости центра мяча.
Показан нелинейный характер результирующей силы вязкого трения между свободными концами стержней и поверхностью мяча, даны указания относительно общего вида результирующей силы в случае моделей трения, отличных от вязкого.
Получены силы внутренней вязкости при деформациях стержней в предположении об их малости по сравнению с упругими силами, определен их нелинейный характер. Показано, что эти силы, вообще говоря, меняют пятно контакта, но на малую величину.
С учетом полученных сил были сформулированы уравнения движения, проведен их качественный анализ. Подробно исследованы частные режимы движения гладкого мяча: движение по горизонтальной плоскости, вертикальные колебания мяча на газоне, движение мяча по наклонной плоскости в отсутствие внешних сил и моментов. Выявлен характер взаимосвязи между погружением мяча в газон и его горизонтальной скоростью. Для вертикальных колебаний найдено положение устойчивого равновесия и построен фазовый портрет. Для случая движения мяча по наклонной плоскости найдены условия существования стационарных движений, показана их устойчивость или неустойчивость.
Для случая шероховатой поверхности мяча найдено положение равновесия и показано, что оно является единственным аттрактором системы. Дано качественное описание характера движения мяча под воздействием сил вязкого трения между свободными концами стержней и поверхностью мяча.
Показано, что силы, возникающие из-за внутренней вязкости стержней, изменяют зону контакта мяча и стержней. Получен критерий отрыва стержня от поверхности мяча в виде условия на величину силы реакции односторонней связи. На основе этого критерия аналитически вычислена форма границы возмущенной зоны контакта, приведены примеры для простых частных случаев движения мяча.
