Введение к работе
/1237
В диссертационной работе получены необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла в ряде задач классической механики, найдены новые интегрируемые случаи, нетривиальные представления уравнений движения в виде уравнений Эйлера Пуанкаре на алгебрах Ли В качестве далеко идущих обобщений доказана классическая гипотеза об алгебрах Ли: Фоменко - Мищенко, поставленная в 1981 году.
Интегрируемые случаи и построенные на их основе теории возмущений позволяют качественно проанализировать динамику реальных систем на больших интервалах времени, что недоступно численным методам. Согласно теории Колмогорова - Арнольда - Мозера при гамильтоновом возмущении невырожденной интегрируемой гамильтоновой системы большинство нерезонансных торов не исчезает, а лишь немного деформируется. Классические системы часто оказываются модельными для возникающих в приложениях задач совершенно другой физической природы.
В рассматриваемых в диссертации задачах аналитические методы доказательства неинтегрируемости либо не применимы ввиду вырожденности системы, либо позволяют охватить лишь малые области в пространстве параметров, близкие к невозмущенным интегрируемым системам. Используемые алгебраические методы позволили установить критерии интегрируемости.
Аппарат алгебр Ли гармонично отражает скрытые симметрии идеализированных задач механики и физики и поэтому проникает во все новые области математики и других наук. Представления в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли естественно возникают в задачах теории упругости, биологии и др.
Цель исследования. Нахождение критериев существования полного набора алгебраических интегралов в задачах классической механики. Доказательство гипотезы Фоменко - Мищенко (1981).
Научная новизна. В 1.1 доказана гипотеза Фоменко -Мищенко: алгебра Пуассона полиномов от элементов произвольной конечномерной алгебры Ли содержит полный коммутативный набор.
В 1.1 доказано, что некоммутативная интегрируемость по Фоменко - Мищенко сводится к,коммутативной интегрируемости по Лиувиллю.
В 2.1 установлено новое свойство классического объек-
та - симплектической структ;
Гписг^йййШйАммЫерезина -ииптги*
ІЯКЛИбТЕКА
Костанта - Сурьо на орбитах коприсоединенного представления алгебраических алгебр Ли. А именно, эта еимплекти-ческая структура точна в комплексе рациональных дифференциальных форм на коалгебре.
В 2.2 представлен класс новых изоморфизмов локализованных алгебр Пуассона, локализованных универсальных обертывающих алгебр. Класс связан с отщеплением идеала, являющегося (2п + 1)-мерной алгеброй Гейзенберга.
В 3.1 произведена регулярная редукция пространственной задачи трех тел. Она приводит к уравнениям Эйлера -Пуанкаре на алгебре Ли sp(4). Исследован гомотопический тип редуцированных орбит.
В 3.2 установлено продолжение общих интегрируемых случаев уравнений вращения твердого тела вокруг центра инерции до интегрируемости поступательного движения при наложении постоянной в сопутствующих осях силы тя-
В 3.3 установлена интегрируемость уравновешенных центрированных равночастотных линейно упругих вибраций при свободном вращении вокруг неподвижной вертикальной оси
В 3.5 построен интегрируемый аналог осесимметрично-го гравитационного потенциала двух центров Дарбу - Гребенникова - Аксенова - Демина в трехмерном пространстве постоянной кривизны.
В 3.6 получены серии новых регулярных потенциалов на (п - 1)-мерном эллипсоиде (сфере), разделяющихся в эллиптических (сферо-конических) координатах, базис в пространстве рациональных разделяющихся потенциалов.
В 4.1 - 4.3 установлено, что все случаи существования дополнительного алгебраического интеграла исчерпываются классическими в следующих задачах:
а) Кирхгофа движения твердого тела в жидкости (в пред
положении определенной симметрии, когда не работают ана
литические методы),
б) Хилла движения Луны,
в) ограниченной круговой плоской задачи трех тел,
г) задачи Якоби движения точки по эллипсоиду в Щ"+1
в квадратичном потенциале при наличии n + 1 взаимно-
ортогональной плоскости симметрии задачи.
(В задачах б) и в) несуществование дополнительного алгебраического интеграла доказано на произвольном уровне интеграла энергии.) Пол>чено упрощение классическою \if-
тода Гюссона при наличии полного набора алгебраических оскулирующих переменных.
В разд. 4 из 4.2 в алгебраической категории ускшоилс-
на наследуемость интегрируемости по Лиувиллю па произвольные инвариантные симплектические подмногообразия размерности 4.
Методы исследования. Поскольку доказательства гипотезы Фоменко - Мищенко и результатов 2.2 опираются на единый подход, это позволяет говорить о новом методе. В нем рассматриваются пуассоновы бирациопальныс изоморфизмы сопряженных пространств к алгебрам Ли с последующей локализацией алгебр Пуассона функций на сопряженных пространствах.
При нахождении новых интегрируемых случаев используется метод цепочек подалгебр Трофимова (1979) - Thimm-a (1980), разделение эллиптических координат. В 3.3—3.4 решения находятся в ^-функциях Римана от п переменных с характеристиками.
При построении редукции пространственной задачи N+1 тел используется переход к полному набору инвариантов действия группы Ли изометрий трехмерного евклидова пространства. При вычислении гомотопического типа орбит в пространственной задаче трех тел используется полярное разложение самосопряженной линейной алгебраической
группы Sp(4) и точная гомотопическая последовательность расслоения.
Нахождение необходимых условий интегрируемости осуществляется усовершенствованным подходом Гюссона. При доказательстве наследуемости интегрируемости по Лиувил-лю использованы методы бирациональной геометрии алгебраических многообразий.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Однако полученное С.Т.Садэтовым представление пространственной задачи трех тел в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебре Ли sp(4) может быть использовано для повышения эффективности численных вычислений. Аналогично может быть использована редукция пространственной задачи N + 1 тел в окрестности относительных равновесий. Интегрируемая система, описывающая колебания твердых и линейно упругих тел при свободном вращении может быть использована для моделирования реальных явлений. Поскольку доказательство гипотезы Фоменко - Мищенко конструктивно, оно позволяет строить интегрируемые системы на алгебрах Ли. Доказательство гипотезы Мищенко Фоменко послужило основанием для приглашения для чтения лекций в Университет г. Бонна и может стать основой для спецкурса по кафедре дифференциальной геометрии и приложений мехмата МГУ. Усо-
вершенствование метода Гюссона может быть использовано для нахождения случаев существования дополнительного алгебраического интеграла в задачах механики, интегрируемый гравитационный потенциал двух комплексных центров
- при моделировании динамики в пространстве постоянной
кривизны.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на семинарах кафедры теоретической механики и меха-
троники МГУ (рук. акад. В.В.Козлов, проф С.В.Болотин,
чл.-корр. РАН Д.В.Трещев) в 1993 - 2002 гг.
- на семинаре кафедры высшей геометрии и приложений
МГУ (рук. акад. А.Т.Фоменко, проф. А.В.Болсинов) в 2003
г'>
- на семинарах кафедры высшей алгебры МГУ (рук. проф.
Э.Б.Випберг) в 2001 2004 гг.,
- на семинаре университета Маннхайма (рук. проф. Е.Бинц)
в 1997 г.,
на семинаре института Макса-Планка (Бонн) (рук. чл.-корр. РАН Ю.И.Манин) в 1997 г.,
на Международной алгебраической конференции (Москва) в 2004 г.,
на семинарах кафедры теоретической механики и меха-троники МГУ (рук. чл.-корр. РАН В.В.Белецкий) в 2004 г.,
- на семинаре университета г. Вупперталь (рук. проф.
П.Литтельманн) в 2004 г.,
-на семинаре института А.Пуанкаре (г. Париж) (рук. проф. Ж.Алев) в 2004 г.,
на семинарах кафедры динамических систем МГУ (рук. акад РАН Д.В.Аносов, проф. А.М.Степин) в 2005 г.
Объем и структура диссертации. Диссертация содержит введение, 4 главы, разбитые на 13 параграфов и список" литературы (164 источника) и занимает обьем 161 страницы, включая 5 рисунков и 1 таблицу. Формат печати текста, на странице 45 строк по 60 - 70 символов.
