Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений 17
1.1. Интегрируемые в замкнутой форме системы 17
1.1.1. Интегрируемость в замкнутой форме 17
1.1.2. Системы специального класса, тип 1 (основной) 19
1.1.3. Системы специального класса, тип 2 20
1.1.4. Системы специального класса, тип 3 20
1.1.5. Системы специального класса, тип 4 21
1.1.6. Системы коммутативного класса 23
1.1.7. Системы, одновременно относящиеся к специальному и коммутативному классам 27
1.1.8. Приводимость и интегрируемость в замкнутой форме 32
1.2. Системы с периодическими коэффициентами 33
1.2.1. Основные свойства систем с периодическими коэффициентами... 33
1.2.2. Конструктивная приводимость систем специального и функционально-коммутативного классов 34
1.2.3. Области устойчивости в пространстве параметров системы 37
1.3. Метод исследования устойчивости ЛНС 46
Глава 2. Нестационарные механические системы (системы 2-го порядка) ... 52
2.1. Системы специального класса 2-го порядка 52
2.1.1. Приводимость систем специального класса 2-го порядка 52
2.1.2. Устойчивость систем специального класса 2-го порядка 54
2.1.3. Почти приводимые системы специального класса 2-го порядка... 65
2.2. Системы коммутативного класса 2-го порядка 68
Глава 3. Механические задачи 70
3.1. Задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала) 70
3.2. Задача об устойчивости стационарного движения космического аппарата с двойным вращением 77
3.2.1. Расчет поправок к характеристическим показателям 87
3.3. Задача о гироскопической следящей системе 92
3.4. Задача о пространственном гирогоризонткомпасе 94
Заключение 100
Литература 105
- Системы с периодическими коэффициентами
- Метод исследования устойчивости ЛНС
- Системы коммутативного класса 2-го порядка
- Задача об устойчивости стационарного движения космического аппарата с двойным вращением
Введение к работе
Многие задачи механики приводят к необходимости исследования линеаризованных моделей нестационарных нелинейных систем. Для успешного решения этих задач необходимы эффективные, удобные в применении методы исследования процессов, протекающих в линейных нестационарных системах (далее - ЛНС).
В диссертационной работе объектом исследования являются динамические системы, поведение которых описывается ЛНС вида: ^ = А(0х, t>tQ>0; (0.1) а также многомерные ЛНС второго порядка: N1(0^ + N2(0^ + N3(0x = 0, г>г0>0, (0.2)
В (0.1), (0.2) х(/) = (х,(ґ),...,х„(0) — действительный вектор состояний системы; А(ґ), NA(?) - квадратные матрицы с действительными непрерывными элементами на интервале времени / = [/0,со), обладающие определенными свойствами.
Целью работы является разработка новых методов исследования ЛНС, позволяющих продвинуться в решении этого вопроса; а также применение этих методов к решению механических задач.
В случае, если матрицы А(ґ), Nk(t) постоянны, системы (0.1) и (0.2) являются стационарными, что дает возможность полного их исследования.
5 Разработанная теория стационарных линейных систем, изложена в обширной литературе (см., например, [3, 7, 16, 17, 36, 37, 50, 53, 55, 56, 68, 80, 85]), и удобна в применении. Обзор журнальных публикаций по различным аспектам исследования стационарных линейных систем и соответствующую библиографию можно найти в [18, 19, 70, 71, 102].
Если рассматривается нестационарный линейный объект, то зависимость коэффициентов системы от времени обуславливает принципиальные трудности при поиске решения ЛНС и исследовании его устойчивости. В общем случае такая задача на текущий момент не решена.
Для построения стационарных моделей нестационарных систем используются различные приближенные приемы приведения, к которым относятся методы осреднения, методы «замораживания», метод гармонической стационаризации и т.д. [9, 14, 22, 55, 56, 59, 65, 93, 94]. Эти приемы отличаются по степени строгости и областям применимости.
Разрабатываемым в диссертационной работе направлением в анализе ЛНС является выделение таких их классов, которые, во-первых, допускают более глубокое исследование, во-вторых, имеют практическое значение, то есть встречаются в механических задачах, моделирующих реальные динамические объекты. Существенное развитие это направление получило в работах В.М. Морозова и В.И. Каленовой [59, 96], в том числе распространяющих идею приводимости на нестационарные системы с управлением и наблюдением.
Термин «приводимость» был введен впервые А.М.Ляпуновым в связи с задачей об устойчивости линейных однородных систем с периодическими коэффициентами [47]. Свойство приводимости нестационарных линейных систем позволяет применять для их исследования простые и хорошо разработанные методы систем с постоянными параметрами, в том числе классические частотные и временные методы теории устойчивости.
С проблемой приводимости тесно связана задача нахождения решения линейной нестационарной системы в замкнутой форме [2, 10, 20, 26, 27, 44, 58, 59, 93, 98, 107, 108, 109, 111, 112, 113]. Эта задача давно привлекала внимание исследователей и до сих пор является актуальной, очень трудной и далеко еще не решенной.
Методы анализа ЛНС можно условно разделить на две группы: временные методы (методы пространства состояний) и методы функциональных преобразований. К первой группе относятся первый и второй методы Ляпунова, качественные и асимптотические методы исследования дифференциальных уравнений. Этим методам посвящена обширная литература, например [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17, 20, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 39, 40, 43, 45, 47, 50, 52, 53, 57, 67, 72, 73, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 88]. В настоящей работе исследование устойчивости ЛНС проводится методами первой группы.
Работа состоит из 3-х глав. В первой из них излагаются теоретические результаты, связанные с вопросами интегрируемости, приводимости и
7 устойчивости ЛЫС (0.1) определенных видов. Во второй Главе такие же вопросы рассмотрены применительно к некоторым типам ЛНС 2-го порядка (0.2). На примерах механических задач, рассмотренных в 3-й Главе, демонстрируется эффективность применения изложенных в первых двух главах теоретических результатов. Среди представленных задач как новые, так и ранее известные задачи в расширенной постановке. Для задачи о колебаниях опоры вала (раздел 1 Главы 3), для которой ранее была приближенными методами построена зона неустойчивости [83], получены необходимые и достаточные условия устойчивости. При этом новый подход к исследованию позволил показать, что точная область неустойчивости не совпадает с полученной ранее [83]; численное моделирование подтвердило корректность полученных в работе результатов.
Ниже предлагается подробное описание диссертационной работы.
В разделе 1.1 Главы 1 описаны основные классы систем, интегрируемых в замкнутой форме. Определяются основные виды исследуемых в диссертационной работе ЛНС (0.1) х(ґ) = A(t)x(t): специальный и коммутативный (а также функционально-коммутативный) классы. Системы специального класса обладают свойством: ^ = DA(0-A(0D, J) = const (0.3)
Матрица коэффициентов системы коммутативного класса перестановочна со своим интегралом: A(OB(0 = B(/)A(0, ^ = A(0 (0.4)
Для функционально-коммутативных матриц дополнительно требуется В(/0) = 0.
Эти классы характерны тем, что допускают решение в замкнутой форме, то есть его можно представить в виде элементарных функций и/или квадратур от коэффициентов.
Проблеме интегрирования ЛНС посвящено большое количество работ. Случай интегрируемости систем с матрицей, коммутирующей со своим интегралом впервые рассмотрел И.А. Лаппо-Данилевский [44]. Критерий принадлежности матриц к функционально-коммутативным матрицам установлен В.В. Морозовым [58], исследование структуры таких матриц проведено Ю.С. Богдановым и Г.Н. Чеботаревым [10]. Интегрируемые в замкнутой форме системы специального класса впервые были рассмотрены WuM.-Y. [106, 107, 108, 109, ПО, 111].
В связи с интегрируемостью такие виды систем имеют существенное значение для приложений, а также могут быть использованы в качестве базовых моделей при построении приближенных решений ЛНС более сложного вида. В работе (см. п.п. 1.1.3-1.1.5) приведены обобщения специального класса; рассмотрены примеры и механические задачи (п. 1.2.3).
Обсуждается (п 1.1.7) вопрос принадлежности системы одновременно к специальному и коммутативному классам, приведены примеры таких систем
9 размерности больше 2-х. Для одного известного типа коммутативных матриц доказана его принадлежность к специальному классу.
В разделе 1.2 Главы 1 исследуются ЛНС с периодическими коэффициентами специального и функционально-коммутативного классов. Факт принципиальной приводимости для систем с периодическими коэффициентами общего вида установлен A.M. Ляпуновым [47]. Основы общей теории приводимых систем изложены в работах Н.П. Еругина [26]. Разнообразные вопросы исследования систем с периодическими коэффициентами изложены в монографии В.А. Якубовича и Е.М. Старжинского [82].
Показано (п. 1.2.2), что замены координат, приводящие ЛНС специального и функционально-коммутативного классов к стационарным системам, являются преобразованиями Ляпунова. Это дает возможность делать заключения об устойчивости этих ЛНС, основываясь на выводах для стационарных систем. Сформулированы и доказаны (п. 1.2.3) принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров таких ЛНС число областей устойчивости и неустойчивости конечно; рассмотрены методические примеры. dx Традиционно при исследовании устойчивости ЛНС —j- = A(t)x матрица коэффициентов представляется в виде двух слагаемых:
А(/) = А0+А1(0,||А1(0|<^, (0.5)
10 одно из которых постоянное, а другое - малое. Из свойств устойчивости dx невозмущенной системы ^-т- = А0х при выполнении определенных условии можно сделать выводы об устойчивости исходной ЛНС, воспользовавшись рядом теорем об устойчивости линейных систем с постоянной и почти постоянной матрицей см. [2, 8, 23, 59, 79, 93, 94]. В разделе 1.3 Главы 1 предлагается модификация этого метода, состоящая в следующем: предположим, что матрица A(J) допускает представление
А(0 = А0(0 + А,(/), (0.6) dx ~ причем ЛНС -77 = А0(7)х является интегрируемой в замкнутой форме, а матрица А}(7) по-прежнему мала. В таком случае при помощи известного преобразования х = L(7)y можно перейти к другой ЛНС -^- = (В0 + В, (/)) у.
При этом если матрицы L(7) и L_1(7) ограничены (что верно для систем с периодическими коэффициентами), то и матрица Вх(ґ) мала. Матрицу А(/) при этом можно считать «почти приводимой» [13]. При исследовании устойчивости ЛНС с матрицей А(/), допускающей указанную декомпозицию, применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным. Это демонстрируется на примерах и при решении механических задач в Главе 3.
В Главе 2 рассматриваются нестационарные системы второго порядка (0.2): Nl(t)x + N2(t)± + N3(t)x = 0. Исследованию таких систем посвящен ряд современных работ [84, 90, 99, 100, 101, 103, 104]. В виде (0.2) можно представить уравнения движения голономной механической системы, линеаризованные в окрестности некоторого программного движения. Дополнительно предполагается принадлежность матриц коэффициентов к специальному классу: —L = [D,N;], D = const, / = 1,2,3. Показано, что в этом случае ЛНС при помощи замены х = ехр(Ш)у преобразуется к стационарной системе My + Gy + Ky = 0 (0.7)
Этот класс ЛНС (0.2) имеет прикладное значение (см. задачи о колебаниях опоры вала и о гироскопической следящей системе в Главе 3).
В п. 2.1.1 определены условия, при которых замена x = exp(D/)y будет преобразованием Ляпунова. В этом случае исследование устойчивости ЛНС (0.2) можно проводить на основании характеристического уравнения стационарной системы (0.7) или при помощи теорем Кельвина-Четаева и их обобщений [38, 46, 49, 54, 80, 89]. Эти теоремы позволяют исследовать влияние сил различной структуры (гироскопических, диссипативных, консервативных, циркуляционных) на устойчивость положения равновесия системы (0.7).
В п. 2.1.2 рассматривается случай Nj (/) = Е, N2 (/) = N20 = -N20, [D, N20] = 0 и N3(?) = N3(0 для которого определены достаточные условия устойчивости. Также в п. 2.1.2 показано, что для линейных нестационарных систем утверждения теорем Кельвина-Четаева, установленные для стационарных систем, в общем случае места не имеют.
В п. 2.1.3 рассмотрены «почти приводимые» системы 2-го порядка (0.2) Nj(/)x + N2(/)x + N3(/)x = 0, в которых N,(0 = N,(0+ **,(',*), (0-8) где є —мало, K.(t,) -ограничены, а система Nf (ґ)х + N2(0x + Nj(0x = 0 приводима к системе (0.7). Для таких «почти приводимых» систем сформулированы и доказаны утверждения в духе известных теорем [8], определяющих достаточные условия устойчивости для ЛНС с почти постоянной матрицей — = (А0 +А,(0)х. А именно, ЛНС (0.2) будет устойчива, если устойчива стационарная система (0.7) и сходятся интегралы R((T,^)||t/r
В 3-ей Главе рассматриваются механические задачи, математическими моделями которых являются линейные нестационарные однородные
13 системы, интегрируемые в замкнутой форме или близкие к интегрируемым. При решении этих задач применяется методика исследования ЛНС, изложенная в двух первых главах.
В разделе 3.1 рассматривается задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала). Электроверетено представляет собой неуравновешенный вал, вращающийся на 2-х подшипниках внутри корпуса опоры. Опора стоит на 3-х упругих амортизаторах, закрепленных на неподвижном основании. При вращении вала с большой угловой скоростью корпус опоры колеблется и принимает наклонное положение. При некоторых частотах вращения имеет место неустойчивость колебаний корпуса.
Этот объект моделируется нестационарной линейной системой относительно углов отклонения от вертикали оси симметрии корпуса опоры. ЛНС представляет собой систему с периодическими коэффициентами 2-го порядка вида (0.2). Задача ранее исследовалась в работах [76, 83] на основе теории параметрического резонанса. В предположении малости некоторых параметров были построены области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров задачи.
В то же время исходная ЛНС принадлежит к специальному классу (0.3) и для нее установлено преобразование Ляпунова, приводящее систему к стационарной, в связи с этим исследование ее устойчивости существенно упрощается.
14 Во втором разделе 3-ей Главы исследуется устойчивость стационарного движения космического аппарата с двойным вращением. Задачи такого типа актуальны в настоящее время, так как стабилизация вращением характерна для многих типов сложных космических систем. При этом, как правило, считают, что влияние внешних сил пренебрежимо мало. Библиографии работ в этом направлении можно найти в [4, 64, 91, 92].
Космический аппарат с двойным вращением представляет собой свободную систему, состоящую из двух несимметричных тел, вращающихся вокруг общей оси с постоянной относительной скоростью. Составлены уравнения движения относительно компонент угловой скорости одного из тел, считающегося основным. Эти уравнения допускают частное решение, представляющее собой вращение обоих тел вокруг общей оси с разными угловыми скоростями. В линеаризованных в окрестности этого решения уравнениях возмущенного движения выделяется система уравнений относительно возмущений по компонентам угловой скорости, перпендикулярным оси совместного вращения. Эта система представляет собой «почти приводимую» ЛНС с периодическими коэффициентами. Малым параметром є будет мера несимметричности одного из тел, характеризуемая приведенной разностью моментов инерции относительно осей, перпендикулярных оси вращения. Невозмущенная (є = 0) система принадлежит к специальному классу (0.3), следовательно, интегрируема и допускает строгое исследование ее устойчивости. При f>0 в окрестности
15 некоторых значений частоты относительного вращения двух тел возможен параметрический резонанс. В этом случае найдены поправки к характеристическим показателям ЛНС (п. 3.2.1) с точностью до членов первого порядка малости по є и определены области неустойчивости в пространстве параметров системы. Полученные результаты соответствуют ранее известным результатам, полученным при помощи численного моделирования для некоторых фиксированных значений параметров задачи [92].
В третьем разделе Главы 3 рассмотрена двухканальная гироскопическая следящая система с модуляцией и одним безынерционным каналом переменного тока. Уравнения движения такой системы, полученные в работе [11, 12], при отсутствии случайных воздействий представляют собой ЛНС 2-го порядка специального класса (0.3) вида (0.2) Nj(?)x + N2(f)x + N3(0X — 0 Для этих уравнений установлено преобразование Ляпунова, приводящее их к стационарной системе; исследована устойчивость этой системы.
В четвертом разделе Главы 3 рассматривается задача о пространственном гирогоризонткомпасе, уравнения малых колебаний которого в рамках прецессионной теории гироскопов представляют собой ЛНС размерности 4. Эти уравнения были получены в работе А.Ю. Ишлинского [33] и решены при помощи метода «комплексной компрессии», а их приводимость была исследована в работе
В.Н. Кошлякова [41]. Такая ЛНС является функционально-коммутативной системой (0.4), которая преобразуется к постоянной и может быть таким образом проинтегрирована. Рассмотрено влияние на ЛНС диссипативных сил, которые всегда присутствуют в реальной системе. В этом случае система не является функционально-коммутативной, но может быть рассмотрена как «почти приводимая». Устойчивость этой ЛНС исследована методами, изложенными во 2-й Главе, а также при помощи функции Ляпунова, построенной для нестационарной системы.
В настоящей работе приняты следующие сокращения и обозначения: ЛНС - линейные нестационарные системы; — окончание формулировки, доказательства.
Скалярные величины обозначаются строчными или прописными буквами курсивом, например: x(t), р, а>, ... ; векторные величины -строчными буквами полужирным шрифтом: х(7), а, е,, ... ; матрицы -прописными буквами полужирным шрифтом: А, В0, M(t), ... ; множества-прописными буквами полужирным курсивом: I, R3, Ак, ... ; квадратными скобками обозначается коммутатор матриц: [P,Q] = PQ - QP.
Теоретические результаты, полученные в настоящей работе, сформулированы в виде Утверждений.
Системы с периодическими коэффициентами
Интегрируемые в замкнутой форме системы с периодическими коэффициентами специального класса Asl (1.3) —— = [D,A(/)], /0 = 0 приводимы по Ляпунову при помощи замены переменных (1.5) х = L(/)y, Ь(ґ) = ехр(Ш). Доказательство. Требуется показать, что замена типа (1.5) является преобразованием Ляпунова (1.29). Рассмотрим А(ґ + Т) с учетом (1.4) А(ґ + Т) = eD(t+T)AQe D{1+T) = eDt {eDTA0e-DT )e m, где А0 = А(0) С другой стороны, A(t + T) = A(t) = eDtA0e Dt, следовательно, имеет место соотношение A0=eDrA0e_Dr или A0eDr=eDrA0, то есть не нулевая матрица еш коммутирует с произвольной постоянной матрицей А0, а это возможно только для единичной матрицы: eDT = Е. Переходя к жордановой форме D, E = exp(Dr) = exp((Q_1JDQ)r)=Q_1exp(JDT)Q или exp(jDr) = E. (Вообще говоря, можно считать, что D приведена к жордановой форме: JD = D; в противном случае замена переменных х = Qx в исходной ЛНС х = A(t)x преобразует ее к нужному виду.) Отсюда можно сделать следующие выводы: во-первых, комплексная форма JD имеет диагональный вид, то есть все ее элементарные делители — простые; во-вторых, для ее собственных чисел Лк справедливо: еХкТ = 1. Решениями этого уравнения, по определению логарифма, будут комплексного ЯкТ = ln l + 2ml, / = 0, ±1, ±2,... . Таким образом, если Як - собственное число D, то существует такое целое 1к, что Хк = ±ilkco, со = 2лIT: JD = diag О,...,О, ilxco, — Пхсо, il2co, — И2со,... V m \ (1.32) или, в действительной форме, JD = diag ( ( О -Leo) ( О -Leo) л К12со О У 1хсо О у Так как собственные числа D — нулевые или чисто мнимые, то матрица L(f) имеет следующий вид: L(0 = ехр (Ш) = diag ( \ 1 1 РП - Са о11 р-,1Т-Ш V /и У Действительная форма L(/) L(/) = diag К, rcos(lxcot) -sin jft ) fcos(l2cot) -sm(l2coty\ sm(lxcot) cos(lxcot)j sm(l2cot) cos(l2cot)J (1.33) Следовательно, L(/) вместе с L(7) = DL(0 ограничена и det(L(?)) = l 0, то есть L(t) -замена Ляпунова (1.29). В обозначениях теоремы Флоке (1.31) P = exp(Dt), K = A(0)-D. Построим приводящее преобразование Ляпунова для функционально-коммутативных систем с периодическими коэффициентами. Пусть А є А , rrt согласно (1.22) А(0 = «,(0А;, or, (0 — линейно независимые скалярные i=i функции, А,. - постоянные попарно коммутативные матрицы ГА,.,А Л = 0, i,j = l,...,m. Так как A(t + T) = A(t), то a t + T) = at{t). Вместо функций І г a;(t) рассмотрим другой набор yi{t) = ai{t)-ai, где or,. =— \a.{r)dT - о среднее значение a{(t) на периоде; существенно, что у)(t + Т) = у\(J) и r;=-JV,00 = 0. Тогда А(О = 2 (ОА/+А0,где А0 =Х«Л . Так как [A0,AJ = 0, то, согласно(1.23), фундаментальная система решений для ЛНС (1.30) имеет вид Ф(М0) = ехр ft \A(z)dr = П[ехр(А,. Д(/,/о))]ехр(Ао0= Р(/)ехр(А0ґ) (1.34) V o где Д (ґ, ґ0) = J . (r)flfr - периодические, вследствие yi: = 0, функции, то есть о Р(Л-Г) = Р(/), и (1.34) является представлением Флоке. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. периодической фуНКЦИОНаЛЬНС-коммутативной матрицей A(t) = ai(t)Aj приводима по Ляпунову к стационарной системе — - = А0у, А0 = 2_iaiAj, где а{ = — Ja r dx . Многие методы аналитического исследования систем с периодическими коэффициентами основываются на выражении для фундаментальной матрицы (1.31). В частности, пусть матрица коэффициентов представляется в виде суммы постоянной и периодической составляющей, в некотором смысле малой
Метод исследования устойчивости ЛНС
Исследовать устойчивость решения произвольной ЛНС (1.1) х = A(t)x, x(t0) = x0 можно при помощи следующей известной оценки (неравенство Важевского [105]): для любого решения (1.1) x(t) имеет место соотношение где min(0 и max(0 наименьшее и наибольшее собственные значения симметризованной матрицы коэффициентов AH(t) = j(A(t) + AT(t)). Отсюда система (1.1) будет асимптотически устойчива, если выполняется если lim ГЯ І (z)dv = 00 . Традиционным способом при исследовании устойчивости ЛНС (1.1) общего вида является дополнительное предположение о характере ее нестационарности - представление матрицы коэффициентов в виде двух слагаемых: одно из которых постоянно, а другое в некотором смысле мало. Из свойств устойчивости невозмущенной системы (1.41) х = А0х при выполнении — определенных условий- можно сделать выводы об устойчивости исходной ЛНС [8, 13]. Ниже приведены известные достаточные условия, при помощи которых можно исследовать устойчивость систем вида (1.41), близких к стационарным. Теорема 1.3.[8] Если невозмущенная система х = А0х устойчива, матрица At(0 непрерывна и сходится несобственный интеграл от ее нормы Теорема 1.4.[8] Пусть невозмущенная система х = А0х асимптотически устойчива и Aj(/) непрерывна. Тогда для асимптотической устойчивости (1.41) х = (А0 + А,(0)Х требуется, чтобы Ax(t) — 0 при t —» оо. Замечание 1.4. Теорема остается верна при более слабых ограничениях: вместо условия Aj(?) -0 начиная с некоторого момента времени tx для любого t tx должно быть выполнено: - максимальное собственное число матрицы А0; се — зависящая от є постоянная из известной оценки ехр(А0Щ се{Л +є) ; є 0 таково, что Суть предлагаемого метода исследования состоит в следующем. Предположим, что в нестационарной матрице А(7) можно выделить нестационарную часть А0(7) причем такую, что ЛНС х = А0(Ох является интегрируемой в замкнутой форме, а матрица A t) по-прежнему мала. В таком случае при помощи известного преобразования x = L(/)y можно перейти к другой ЛНС У = (80+8,(0) У в которой В0 = const, а В, (t) = L_1 (t)Al (t)L(t). При этом если матрицы L,(f) и L_1(/) ограничены, то матрица В,(/) мала. В частности, в силу их приводимости, это будет выполняться для систем с периодическими коэффициентами специального класса A0(t)eAs. Таким образом, при исследовании устойчивости системы (1.1) с матрицей А(/), допускающей указанную декомпозицию, применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в матрице, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным.
Системы коммутативного класса 2-го порядка
Рассмотрим еще один специальный класс механических систем, соответствующий коммутативному классу линейных нестационарных систем первого порядка (1.20) А(/), JA(r)dT = 0, и который также при помощи невырожденного преобразования приводится к стационарному виду. Найдем условия, которым должны удовлетворять матрицы коэффициентов системы x + 2P(0x + Q(0x = (2.21) для того, чтобы матрица соответствующей ей системы Коши относилась к коммутативному классу. Система (2.21) может быть приведена к системе Коши гдеЩ0 = Р2(0 + Р(0-О(0 Для того чтобы система (2.22) принадлежала функционально-коммутативному классу, определяемому соотношением (1.20) А(0, А(г /г = 0, необходимо и достаточно, чтобы матрицы Р(ґ) и Q(t) удовлетворяли следующим условиям: Q(0 = P2(0 + P(0 + Qo Q0= const, [P(/),Q0] = 0 При этом матрица R(0 = -Q. Тогда исходная система (2.21) приводится к стационарной системе y + Q0y = 0 (2.24) при помощи преобразования J Устойчивость системы (2.21) определяется свойствами преобразования (2.25) и условиями устойчивости стационарной системы (2.24). Предположим, в частности, что Р(ґ) представляется в виде P(/) = En +Pj(?), Ъ const 0, где матрица Pt(0 удовлетворяет условию (2.23). Тогда преобразование х = ехр -\Рх(т)с1т у приводит систему (2.21) к У стационарному виду В этом случае устойчивость исходной системы (2.21) определяется свойствами стационарной системы (2.26) при условии ограниченности
Задача об устойчивости стационарного движения космического аппарата с двойным вращением
Рассмотрим задачу об устойчивости стационарного движения космического аппарата с двойным вращением - свободной системы, состоящей из двух несимметричных тел (В и В ), вращающихся вокруг общей оси с постоянной относительной скоростью (7 . Ось совпадает с одной из главных осей инерции для каждого из тел. Уравнения движения получим [92] при помощи теоремы об изменении кинетического момента системы относительно ее центра масс О: Пусть Ое,е2Єз и 9е[е2Єз - системы координат с началом в точке О и осями, параллельными главным для тел В и В , соответственно; 1Х, 12, 13 и /, , Г2, Гъ - главные моменты инерции обоих тел. Производную кинетического момента запишем как (3.9) д „ где — — локальная производная в Ое}е2еэ, угловая скорость этой системы dt координат (о = f e, + Q2e2 + Q3e3 Кинетический момент системы будет суммой моментов тел В и В : h0 = h + h , причем h = Qjej + І20.2г2 + I3Q.3e3. Так как система координат Oeje вращается относительно Oeje2e3 вокруг оси Ое3 = Ое3, то ее угловая скорость со = со + ае3 базисные вектора связаны как ґ \ , е , ( cos 9 sin# O i -sin# cos# 0 0 0 еЛ \eiJ (где 0 — at\vs. кинетический момент тела В будет следующим: h =[/;(Q,cos2 9 + Q2cos 9sin#) + /2( lxs\n2 в - Q2cos 9sin 9)]e, + + ["//(Ц cos 6sm.6 + Q2 sin2 в) + I2 (-П, cos#sin# + Q2 cos2# Yle2 + + [Ц(П3 + ст)]е3, Подставляя h0 = h + h в (3.9), получим [/1+/1 -(7;-/2)sin26 ]Q1+[(/1 - )sin 9cos(9]Q2 + +[_{Г2 -I[) о sin 2в\ Q, +[(/;- Г2) a cos 26 + I3cr] Q2 + + [/j +1[ -I2-I2- (/; -12) sin2 в] Q2Q3 + [(/2 - /;) sin в cos 6 ] Q,Q3 = 0 [(/;-/ )sin6 cos6 ]Q1+[/2 + +(/;- )sin2 9]Q2 + + [(/1 + /2)(7Cos26 -/3 cr]Q1+[(/;- )asin26 ]Q2+ (3.10) +[(/1 -/2)sin cos6 ]Q2n3+[/1+/;-/3-/3 -(/;- )sin26 ]niQ3=0 [Г3 - Г3 ] tl3 + [(/; - Г2) sin в cos 9\ Cl] +[(I2- A ) sin a cos в] Q2 +[l2-Il + (l2- /;) cos 2в\ Qp2 - 0 Уравнения движения (3.10) допускают частное решение + Q = 0, Q = 0, Q = О. = const, (3.11) соответствующее следующему движению: одно из тел вращается относительно нее с постоянной угловой скоростью Q; другое - с постоянной угловой скоростью Q + а, то есть со скоростью а относительно первого. Исследуем устойчивость решения (3.11). Для этого положим в возмущенном движении Q{ = Q + щ, где щ - малые возмущения. Линеаризованная в окрестности решения (3.11) система уравнений (3.10) распадается на уравнение относительно третьей компоненты возмущения: (/3+/3,) =0; и ЛНС с периодическими коэффициентами М,(г) = М2(г)х, (3.12) где Х = ( У15}2) - проекции возмущения угловой скорости на оси, ортогональные общей оси вращения;
