Введение к работе
В диссертации выведены уравнения, описывающие движение в идеальной жидкости а) твердого тела и точечных вихрей, б) нескольких твердых тел, в) деформируемого твердого тела. Проведено исследование полученных уравнений, представляющих собой конечномерные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с использованием теории групп и алгебр Ли, нелинейных пуассоновых структур, а также современных компьютерных методов.
Актуальность темы. Исследования, связанные с изучением движения в жидкости нескольких твердых тел, а также твердых тел, взаимодействующих с точечными вихрями, представляются исключительно важными с практической точки зрения, но вместе с тем достаточно сложными и весьма далекими от завершения. Помимо широко известных феноменологических теорий (дорожка Кармана) на сегодняшний день известно лишь очень незначительное число точных аналитических решений в этих задачах. В связи с этим становится актуальным получение точных уравнений движения (наподобие знаменитых уравнений Кирхгофа), описывающих поведение тел, взаимодействующих с вихрями, а также системы нескольких тел. Подобные системы исключительно важны не только для непосредственного вычисления гидродинамического сопротивления, испытываемого телом, движущемся в завихренном потоке, но и для исследования задач турбулентности и перемешивания. Родственная задача о самопродвижении тела в жидкости имеет важное значение для моделирования и проектирования подводных аппаратов. Интерес к ней связан с изучением механизма плавания рыб, а также явления кавитации. Дальнейшие исследования в этих областях без применения теории групп и алгебр Ли, а также компьютерных методов уже немыслимы из-за необычайной сложности и объемности аналитических выкладок. При этом применение компьютерных методов, частично основанных на системе символьных вычислений
MAPLE, не должно ограничиваться простым моделированием, а должно прежде всего базироваться на глубоком аналитическом изучении задачи.
Таким образом, вывод и исследование уравнений, описывающих взаимодействие тел и вихрей в жидкости, изучение механизмов самопродвижения тела, а также развитие новых методов анализа и редукции получающихся динамических систем, является одной из актуальных проблем в современной гидродинамике и теоретической механике.
Цель работы. Целью работы является вывод уравнений, описывающих взаимодействие одного или нескольких тел и вихревых структур в идеальной жидкости; развитие новых методов исследования и редукции получившихся уравнений; применение полученных результатов к исследованию конкретных механических систем.
Научная новизна. В диссертации впервые математически строго получены уравнения, описывающие движение твердого тела, взаимодействующего с точечными вихрями, а также уравнения описывающие движение нескольких твердых тел (двух цилиндров или двух сфер). Полученные уравнения, в сочетании с развитым в работе ли-алгебраическим подходом к исследованию подобных уравнений, позволили провести качественное исследование движения в задаче о взаимодействии тела с точечными вихрями как на плоскости, так и в простейшем случае искривленного пространства (на поверхности двумерной сферы). Предельным переходом в задаче о движении двух цилиндров получены совершенно новые гидродинамические объекты, массовые вихри, и подробно изучена задача о движении двух таких вихрей. В классической задаче о движении в идеальной жидкости двух сфер выполнена редукция к системе с двумя степенями свободы и указан новый вид частных движений. Выведены общие уравнения движения в жидкости тела с изменяющейся границей. Доказана теорема о полной управляемости тела, обеспечиваемой за счет внутреннего перераспределения масс при сохранении формы оболочки.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
-
Получены уравнения движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с п точечными вихрями в идеальной жидкости. Доказана интегрируемость данной системы при п = 1 и выполнено качественное исследование движения в этом случае.
-
Уравнения движения обобщены на случай произвольного тела, взаимодействующего с точечными вихрями. Указана неинтегрируемость задачи о взаимодействии эллиптического цилиндра и вихря.
-
Выведены уравнения движения для кругового тела на поверхности двумерной сферы, взаимодействующего с одним точечными вихрем. Доказана интегрируемость этой системы, и для нее выполнен качественный анализ движения.
-
Получены уравнения движения двух круговых цилиндров в идеальной жидкости. Предельным переходом получены новые гидродинамические объекты (массовые вихри). Для системы, состоящей из двух массовых вихрей, указана неинтегрируемость в общем случае, а также найден и исследован ряд интегрируемых случаев.
-
Используя метод цепочек подалгебр, выполнена редукция задачи о движении двух сфер в идеальной жидкости к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. С помощью редуцированных уравнений удалось обнаружить новое частное движение в ограниченной задаче.
-
Указанный алгоритм редукции распространен на случай, когда алгебра редуцированных переменных не является алгеброй Ли, и применен к задаче о движении двух сфер в идеальной жидкости на поверхности трехмерной сферы и классической задаче о движении на сфере трех точечных вихрей.
-
Исследована задача о самопродвижении твердого тела в идеальной жидкости. Выведены общие уравнения движения тела с изменяющейся границей. В отличие от традиционных подходов, связывающих са-
мопродвижение с изменением формы тела и сходом вихрей с острых кромок, доказано, что при достаточно общих предположениях, полная управляемость тела (возможность перевести тело в любое наперед заданное положение) может быть обеспечена лишь за счет перераспределения масс внутри тела, тогда как форма оболочки остается неизменной.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации уравнения, описывающие взаимодействие твердых тел и точечных вихрей, а также уравнения движения деформируемого тела могут быть использованы для строгого исследования движения механических систем достаточно широкого класса.
Разработаны эффективные алгоритмы понижения порядка и качественного исследования, позволяющие выполнять аналитическое построение и изучать свойства новых классов движений в задачах классической механики и гидродинамики.
В диссертации впервые выполнено строгое исследование ряда гидродинамических задач. Полученные результаты имеют как теоретическое значение для развития классической механики, гидродинамики и алгебраических методов исследования гамильтоновых систем, так и практическую важность для описания крупномасштабной динамики атмосферы и океана, анализа движений различных вихревых образований, таких как циклоны, торнадо, океанические вихри, анализа динамики примесей, а также конкретных задач по расчету гидродинамических реакций, вызванного сходом вихрей с острых кромок тела.
Часть результатов диссертации может быть включена в качестве дополнительных глав к общему курсу теоретической механики и гидродинамики, а также в спецкурсы по кафедре теоретической механики.
Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Удмуртского государственного университета, Мос-
ковского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Института Математики и Механики УрО РАН, а также докладывались на российских и международных конференциях:
-
IX Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела", Донецк, Украина, 5-10 сентября 2005 г.
-
Второй международной конференции "Устойчивость и управление для нелинейных трансформируемых систем", Москва, 25-28 сентября 2000 г.
-
International workshop Dynamical System Methods in Fluid Mechanics. Oberwolfach, Germany, 31 июля - 6 августа 2005 г.
-
ШТАМ 2006, ШТАМ Simposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence, August 25th-30th 2006, Moscow, Russia
-
Конференция "Классические задачи динамики твердого тела", посвященная 300-летию Эйлера (ИПММ НАНУ), Донецк, Украина, 9-13 июня 2007
-
VI международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, Россия, 1-6 августа 2007 года
-
Симпозиум Международного союза теоретической и прикладной механики (ШТАМ), 150 лет вихревой динамике, Датский Технический Университет, Копенгаген, 12-16 октября 2008 г.
Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 20 работах. В том числе 18 в научных печатных изданиях и статьях [1-18], рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, основного текста, разбитого на три главы и приложение, заключения и списка литературы из 158 наименований. Работа содержит 56 рисунков. Общий объем диссертации составляет 215 страниц.
