Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретическое исследование сигнальных и шумовых характеристик низкотемпературных вч сквидов 33
1.1. Теория вольтамперной характеристики и собственного шума низкотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа 33
1.1.1. Теория собственного наклона плато ВАХ 39
1.1.2. Вольтамперная характеристика при больших значениях параметра ...46
1.1.3. Расчет собственного шума интерферометра .49
1.1.4. Свойства вероятностных функцийЧ>о(т), NPiCt) 52
1.1.5. Влияние тепловых флуктуации на наклон плато ВАХ „55
1.1.6. Тонкая структура ВАХ... 59
1.1.7. Влияние теплового шума контура и токового шума предусилителя на наклон плато ВАХ 61
1.1.8. Выходной шум ВЧ СКВИДа... 64
1.2. Теория сигнальных и шумовых характеристик сверхпроводникового квантового интерферометра с двумя петлями квантования 65
1.2.1. Стационарные уравнения 67
1.2.2. Динамические уравнения 69
1.2.3. Сигнальные свойства 71
1.2.4. Собственный шум Д-СКВИДа.. 77
ГЛАВА 2. Некоторые вопросы теории и применения высокотемпературного вч сквида 86
2.1. Флуктуационная теория вольтамперной характеристики высокотемпературного ВЧ СКВИДа.. 86
2.1 Л Уравнения ВТСП ВЧ СКВИДа при высоком уровне тепловых флуктуации 89
2.1.2 Квазистационарное решение уравнения Фоккера-Планка 91
2.1.3 Вычисление усредненного тока в кольце СКИ ,.92
2.1 .4 Анализ амплитудно-частотной характеристики .96
2.2 Экспериментальное определение параметров высокотемпературного ВЧ СКВИДа 101
2.2.1. Характеристики датчика 101
2.2.2. Методика измерений .102
2.2.3. Экспериментальные результаты ...105
2.3. Применение высокотемпературного ВЧ СКВИДа для исследования ток-фазового соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках ... 109
2.3.1. Фазовое детектирование второй гармоники ТФС ...112
2.3.2. Амплитудное детектирование второй гармоники ТФС 116
2.3.3. Сравнение с экспериментом .119
ГЛАВА 3. Теория вольтамперной характеристики высокотемпературного сквида постоянного тока . 123
3.1. Вольтамперная характеристика ПТ СКВИДа с малой индуктивностью... 130
3.2. Вольтамперная характеристика ПТ СКВИДа с большой индуктивностью 133
3.2.1. Решение двумерного уравнения Фоккера-Планка... 134
3.2.2. Сравнение теоретических вольтамперных характеристике известными полуэмпирическими зависимостями и результатами компьютерных расчетов 139
3.2.3. Зависимость критического тока ПТ СКВИДа от тока смещения, соответствующего максимальной глубине модуляции. 146
3.2.4. Сравнение теоретических вольтамперных характеристик с экспериментальными .148
3.3. Вольтамперная характеристика несимметричного ПТ СКВИДа. 151
3.3.1. Численные результаты 157
3.3.2. Сравнение с экспериментом 164
ГЛАВА 4. Теория вольтамперной характеристики низкотемпературного резистивного сквида постоянного тока и разработка на его основе шумового термометра для милликельвинового диапазона температур 167
4.1. Теоретическое исследование вольтамперной характеристики резистивного ПТ СКВИДа 171
4.1.1. Динамические уравнения ПТЯ-СКВИДа 173
4.1.2. Вольтамперная характеристика симметричного резистивного ПТ СКВИДа... 175
4.1.3. Поправки к токам 179
4.1.4. Влияние индуктивности интерферометра на выходное напряжение.. 180
4.1.5. Вольтамперная характеристика резистивного ПТ СКВИДа при наличии токовой асимметрии 182
4.1.6. Поправки к частоте 184
4.2. Шумовой термометр на основе тонкопленочного резистивного ПТ СКВИДа ...187
4.2.1. Принципы шумовой термометрии на основе ПТ R-СКВИДа. 187
4.2.2. Анализ погрешностей измерения . 190
4.2.3. Оценка погрешности измерения температуры 200
4.2.4. Экспериментальные результаты измерения шумовой тем пературы..204
ГЛАВА 5. Макроскопические квантовые эффекты в сквидах и сверхпроводниковых квантовых интерферометрах . 208
5.1. Влияние макроскопического квантового туннелирования магнитного потока на предельную чувствительность ВЧ СКВИДа 213
5.1.1. Вероятность перехода между потоковыми состояниями в квантовом режиме 214
5.1.2. Влияние МКТ на вероятностную функцию распределения моментов скачков потока в автономном интерферометре 216
5.1.3. Влияние МКТ на наклон плато ВАХ и на собственный шум ВЧСКВИДа... „218
5.2. Макроскопическая квантовая когерентность в сверхпроводниковых интерферометрах ..221
5.2.1. Двухуровневая квантовая динамика одноконтактного СКИ .221
5.2.2. Квантовая динамика трехконтактного СКИ ...231
5.2.3. Изучение квантовых свойств трехконтактного СКИ с помощью низкочастотного импедансного метода 237
5.2.4. Исследование возможности прямого детектирования когерентных квантовых колебаний в трехконтактном сверхпроводниковом кубите 251
Выводы к главе 5 278
ГЛАВА 6. Применение сверхпроводниковых квантовых интерферометров для детектирования ядерного магнитного резонанса . .280
6.1. Эволюция продольной компоненты вектора намагниченности Mz...284
6.2. Сравнение традиционного ЯМР спектрометра и СКВИД ЯМР спектрометра по отношению сигнал-шум 291
6.2.1. Отношение сигнал-шум традиционного ЯМР спектрометра 291
6.2.2. Отношение сигнал-шум СКВИД ЯМР спектрометра продольной компоненты намагниченности .293
6.2.3. Отношение сигнал-шум СКВИД ЯМР спектрометра поперечной компоненты намагниченности ...296
6.2.4. Отношение сигнал-шум СКВИД ЯМР спектрометра поперечной компоненты намагниченности с резистивным трансформатором потока 298
6.3. Относительная по отношению к ядрам водорода чувствительность СКВИД ЯМР спектрометра 299
6.4. СКВИД ЯМР спектрометр как измеритель абсолютного значения магнитного поля 302
6.5. Детектирование ЯМР переходов, возбуждаемых в проводниках токами проводимости 309
6.5.1. Постановка задачи ..310
6.5.2. Решение для конкретных геометрий проводников ...312
6.5.3. Низкочастотный импеданс образца 315
6.5.4. Оценка величины эффекта .316
6.5.5. Детектирование ЯМР переходов с помощью СКВИДа 320
6.6. Низкополевая Mz спектроскопия твердых и жидких тел 324
6.6.1. Введение 324
6.6.2. Гамильтониан независимых спинов > 329
6.6.3. Формализм матрицы плотности .330
6.6.4. Mz спектроскопия невзаимодействующих ядер... 331
6.6.5. Низкополевая Mz спектроскопия ядерного дипольного взаимодействия в твердых телах 340
6.6.6. Низкополевая М2 спектроскопия ядерного квадрупольного резонанса в твердых телах. 347
6.6.7. Низкополевая Mz спектроскопия ядерного магнитного резонанса в жидкостях... 366
Выводы к главе 6 379
Заключение 382
Список литературы .388
- Вольтамперная характеристика при больших значениях параметра
- Теория сигнальных и шумовых характеристик сверхпроводникового квантового интерферометра с двумя петлями квантования
- Экспериментальное определение параметров высокотемпературного ВЧ СКВИДа
- Применение высокотемпературного ВЧ СКВИДа для исследования ток-фазового соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках
Введение к работе
Открытие эффекта Джозефсона в 1962 г. [Josephson, 1962] привело к созданию целого класса уникальных по своим свойствам измерительных приборов, чувствительным элементом которых является сверхпроводниковый квантовый интерферометр (СКИ), представляющий собой сверхпроводящее кольцо с одним или двумя переходами Джозефсона. Совокупность СКИ и электронного устройства, обеспечивающего преобразование сигнала СКИ к виду, удобному для регистрации, представляет собой сверхпроводниковый квантовый интерференционный датчик (СКВИД).
В настоящее время СКВИДы являются наиболее чувствительными из известных измерителями магнитного поля. Они применяются в экспериментальной физике и в измерительной технике в качестве высокоточных приборов, с помощью которых можно измерять слабые магнитные поля, их градиенты, а также любые физические величины, которые можно преобразовать в изменение магнитного потока: токи, напряжения, электрические поля и т. д. [Бароне* Патерно, 1984; Лихарев, 1985]. Известны два типа СКВИДов- высокочастотные СКВИДы (ВЧ СКВИДы) и СКВИДы постоянного тока (ПТ СКВИДы). СКВИДы последнего типа имеют более высокое, чем ВЧ СКВИДы, разрешение по магнитному полю, однако практическое применение того или иного типа СКВИДа зависит от конкретной задачи, и в ряде случаев (например, там, где необходимо обеспечить широкий динамический диапазон и быстродействие) ВЧ СКВИДы являются более удобными приборами.
В последние годы был достигнут значительный технологический прогресс в разработке СКВИДов на основе высокотемпературных сверхпроводников, прежде всего, иттрий- бариевой керамики. В настоящее время лучшие образцы таких высокотемпературных СКВИДов (ВТСП СКВИДов) по чувствительности ненамного уступают своим низкотемпературным аналогам, что делает их уже
8 вполне адекватными для многих применений за исключением, пожалуй, магнитоэнцефалографии.
Если ранние применения СКВИДов были ориентированы исключительно на биомагнетизм, то прогресс в технологии изготовления сверхпроводниковых квантовых интерферометров (СКИ) и усовершенствование соответствующей электронной части измерительных приборов существенно расширил области применения этих приборов, как в прикладных, так и в фундаментальных областях, позволяя проводить тонкие экспериментальные исследования, недоступные другим методам.
В настоящее время СКВИДы применяются как для обычных физических исследований, например, для * измерения магнитных характеристик слабомагнитных веществ, так и для решения ряда задач фундаментальной физики, таких, например, как поиски магнитного монополя, регистрация гравитационных волн, исследование магнитных полей биологического происхождения и ряд других [Одегнал, 1985]. Применение приборов на основе СКВИДов позволило достичь заметного прогресса в метрологии, геофизике, биомагнетизме, специальных применениях (SQUID Sensors, 1997]. В области фундаментальных исследований применение СКВИДов постоянно расширяется. Перечислим лишь некоторые: проверка принципа эквивалентности; исследование динамики носителей в полупроводниковых структурах; измерение нижней границы дипольного момента нейтрона; исследование магнитных свойств наночастиц; изучение симметрии параметра порядка в высокотемпературных сверхпроводниках и т. д.
Кроме того, СКВИД сам является удобным физическим объектом для исследования таких далеких друг от друга проблем, как хаос в детерминированных системах, физика открытых квантовых систем, квантовое туннелирование и когерентность в макроскопических системах. В последние несколько лет в связи с проблемой создания квантового компьютера ведутся интенсивные исследования возможных применений СКВИДов в качестве квантовых битов и квантовых детекторов.
9 Несмотря на то, что сам СКВИД известен уже более тридцати лет, его возможности как измерительного устройства далеко не исчерпаны. Об этом свидетельствует не только многочисленные публикации по этой тематике, но также и тот факт, что в течение последних 30 лет в Западной Европе каждые три- четыре года проводится специализированная международная конференция по проблемам, связанным с физикой СКВИДов и их применениями. Это говорит о том, что проблемы изучения свойств СКВИДов и их применения в технических областях и в фундаментальной физике по-прежнему остаются актуальными.
Следует отметить, что СКВИД является сложной
многопараметрической системой, содержащей существенно нелинейный преобразователь-СКИ. Вследствие этого функциональная структура этих приборов определяется в основном конкретным применением и требует в каждом случае отдельного исследования. Иными словами, СКВИД- микроскоп совсем непохож на биомагнитометр и, хотя оба прибора измеряют слабые магнитные поля, и в качестве детектора могут иметь один и тоже СКИ, но они не являются взаимозаменяемыми.
Несмотря на то, что долгое время СКВИДы являются объектом
теоретических и экспериментальных исследований, тем не менее, имеется ряд
проблем, не нашедших достаточного отражения в научной литературе. Это
относится как к корректному расчету вольтамперных, вольтпотоковых и
флуктуационных характеристик сверхпроводниковых квантовых
интерферометров, ориентированному на оптимизацию с точки зрения отношения сигнал- шум и повышению чувствительности традиционных измерительных приборов, использующих СКИ в качестве первичного преобразователя, так и к разработке новых экспериментальных методик и приборов на основе СКВИДов [Гринберг, 2000]. Поэтому теоретическое исследование характеристик СКВИДов, направленное на совершенствование измерительных методик и поиск путей повышения чувствительности этих приборов в конкретных применениях, представляет существенный интерес.
10 В соответствии с вышесказанным предметом настоящего исследования являются:
теория вольтамперной характеристики и собственного шума низкотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа, явным образом учитывающая зависимость выходного напряжения от измеряемого магнитного потока и от амплитуды тока смещения; теория вольтамперной характеристики и собственного шума низкотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа с двумя контурами квантования;
теория вольтамперной характеристики высокотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа, работающего при высоком уровне тепловых флуктуации;
теория вольтамперной характеристики высокотемпературного СКВИДа постоянного тока;
применение СКВИДов в качестве высокоточных измерительных приборов (шумовой термометр милликельвииового диапазона, низкополевой ядерный магнитный резонанс);
применение СКВИДов для фундаментальных исследований (исследование ток-фазового соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках, исследование макроскопического квантового туннелирования и макроскопической квантовой когерентности в СКВИДах, а также возможности применения СКИ в качестве квантового бита). Диссертация состоит из 6-ти глав
Первая глава посвящена теоретическому исследованию вольтамперных характеристик и собственного шума низкотемпературных ВЧ СКВИДов. Первый раздел главы посвящен построению аналитической теории вольтамперной характеристики (ВАХ) и собственного шума гистерезисного низкотемпературного ВЧ СКВИДа. Мотивацией этого исследования явилось то, что существовавшая до этого исследования теория Куркиярве-Вебба (К-В)
неудовлетворительно описывала экспериментальную ВАХ гистерезисного СКВИДа. В частности, теория предсказывала постоянный наклон рабочего участка ВАХ и постоянный собственный шум интерферометра не зависимо от измеряемого магнитного потока и положения рабочей точки, то есть, от амплитуды тока смещения. Между тем, из эксперимента хорошо известно, что, во-первых, ВАХ имеет непостоянный, дифференциальный, наклон, характер которого определяется измеряемым магнитным потоком, и, во-вторых, собственный шум интерферометра зависит от положения рабочзй точки на ВАХ.
В результате проведенного исследования построена аналитическая теория рабочего участка вольтампернои характеристики низкотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа, учитывающая зависимость наклона ВАХ от измеряемого магнитного потока Ф* и от амплитуды тока вч возбуждения 1В. Получены аналитические выражения, позволяющие строить вольтамперную характеристику рабочего участка с учетом собственных флуктуации интерферометра, тепловых флуктуации резонансного контура и шумового тока предусилителя. Получено также выражение для собственного шума интерферометра и показано, что его величина зависит от положения рабочей точки на плато ВАХ.
Показано, что развитая в этой главе теория не противоречит экспериментальным результатам, а в ряде случаев позволяет объяснить расхождение экспериментов с теорией Куркиярве-Вебба.
Во втором разделе главы рассматривается ВЧ СКВИД с двумя контурами квантования (так называемый Д-СКВИД). Интерферометр Д-СКВИДа аналогичен интерферометру ВЧ СКВИДа с той разницей, что вместо одного джозефсоновского перехода как у ВЧ СКВИДа, у Д-СКВИДа имеется петля, содержащая два перехода Джозефсона, на которую воздействует измеряемый магнитный поток. Эта петля (мы будем называть ее ПТ петлей) гальванически связана с большой петлей (ВЧ петлей), которая непосредственно индуктивно связана с резонансным контуром. Эксперименты показывают, что у Д-СКВИДа
12 выходной сигнал и коэффициент преобразования по потоку почти на порядок больше аналогичных величин традиционного ВЧ СКВИДа [Krivoy, Koch, 1993, 1994].
В разделе детально исследуются уравнения, описывающие динамику Д-СКВИДа. Получены аналитические выражения для амплитуды выходного сигнала, коэффициента преобразования по потоку и для собственного шума Д СКВИДа. Результаты, полученные в этом разделе, позволяют вычислять выходные сигнальные и шумовые характеристики Д-СКВИДа, и в целом подтверждают проведенные ранее экспериментальные измерения. Показано, что при оптимально подобранных параметрах отношение сигнал-шум Д-СКВИДа может примерно в два-раза превышать аналогичную величину для ВЧ СКВИДа. Сделан вывод о том, что экспериментальная разработка измерительных приборов на базе Д-СКВИДа может оказаться перспективным направлением развития СКВИД-электроники.
Вторая глава посвящена исследованию высокотемпературного ВЧ СКВИДа. Основной особенностью высокотемпературных СКВИДов является то, что они работают при высоком уровне тепловых флуктуации. Это не позволяет применить для учета их влияния приближенные методы. Поэтому в данной главе для анализа влияния этих флуктуации на ВАХ применяется уравнение Фоккера- Планка, точно учитывающее вероятностный характер динамики внутреннего потока в кольце СКИ. Глава концептуально состоит из трех частей.
В первой части проведен теоретический анализ вольтамперных и амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) высокотемпературного ВЧ СКВИДа, работающего в условиях высоких тепловых флуктуации. В отличие от известного подхода [Chesca, 1998], уравнение Фокера-Планка решено в приближений, которое учитывауе высшие по Фх гармоники сверхтока и поправки по coL/R, что позволяет получить аналитические выражения для АЧХ высокотемпературного СКВИДа. Эти выражения далее используются для вывода соотношений, связывающих физические и технологические параметры
ВЧ СКВИДа (критический ток джозефсоновского перехода 1с, его нормальное сопротивления R, коэффициент индуктивной связи СКИ с резонансным контуром к) с характеристиками малосигнальной АЧХ, а именно, с экспериментально измеряемыми положениями резонансов и их ширинами при Фх=Фо и Фх=Фо/2.
Во второй части описано применение полученных теоретических результатов для экспериментального определения неразрушающим способом по малосигнальной АЧХ указанных выше физических и технологических параметров ВЧ СКВИДа по методике, предложенной украинскими физиками из ФТИНТа [Shnyrkov et al., 1980]. После определения параметров по АЧХ интерферометры разрезались, лазерным ножом, и 1с и R определялись непосредственно. Сравнение результатов показало, что указанная методика позволяет определять критток СКИ с погрешностью, не превышающей 10%, а погрешность определения нормального сопротивления не превышает 25%. Таким образом, развитая в этой главе флуктуационная теория ВАХ адекватно описывает динамическое поведение высокотемпературного ВЧ СКВИДа. В третьей части главы описывается применение высокотемпературного ВЧ СКВИДа для исследования ток-фазового соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках. В данном случае объектом исследования является сам высокотемпературный СКИ в схеме ВЧ СКВИДа, то есть, индуктивно связанный с резонансным контуром.
Известно, что в общем случае зависимость сверхпроводникового тока через джозефсоновский контакт от разности фаз на его берегах может содержать высшие гармоники: Із(ф)=Іі5Іп(с[>)+І28Іп(2ф)+„. В высокотемпературных сверхпроводниках, когда переход формируется на границе двух кристаллических зерен, величина h зависит от углов 0Ь 02 между кристаллическими плоскостями этих зерен и границей раздела. В частности, при б]=45 и 02=О компонента тока її обращается в нуль. В принципиальном плане знак компоненты 12 и величина параметра у=І2Ді зависят от типа куперовского спаривания (s, d, d+/s и др.). В частности, в s-сверхпроводниках
для всех типов джозефсоновских переходов |у|<1. Поэтому непосредственное
измерение компонент I] и Ь представляется важным с физической точки
зрения.
В главе исследовано влияние второй гармоники ток- фазового соотношения на
форму зависимости фазовой и амплитудной кривой выходного сигнала ВЧ
СКВИДа от внешнего магнитного потока. Показано, в частности, что если
|І2/Іі[>0.125, то фазопотоковая и вольтпотоковая характеристики содержат
дополнительные экстремумы, положение которых позволяет определить как
величину 12/1ь так и ее знак. Проведенные экспериментальные исследования
качественно подтверждают правильность теории.
Третья глава посвящена исследованию вольтамперной характеристики
высокотемпературного СКВИДа постоянного тока.
Особенностью высокотемпературного ПТ СКВИДа является то, что его
геометрическая индуктивность L, как правило, больше его флуктуационной
индуктивностью Ьр=(Ф(/2я) /квТ. Вследствие этого тепловые флуктуации
решающим образом влияют на структуру ВАХ и, следовательно, на величину
выходного сигнала. До настоящего времени основным способом построения
ВАХ является компьютерное моделирование стохастических
дифференциальных уравнений, описывающих динамическое поведение ПТ
СКВИДа в условиях больших тепловых флуктуации. При этом для построения
одной кривой требуется несколько часов машинных расчетов.
Надежное предсказание величины выходного сигнала высокотемпературного
ПТ СКВИДа по его технологическим параметрам (криттоку и нормальному
сопротивлению джозефсоновских переходов, степени их асимметрии,
геометрической индуктивности) является одним из факторов, определяющих
успешное применение этих устройств в измерительных приборах.
Тем не менее, теоретическое объяснение экспериментальных данных не
является вполне удовлетворительным. Несмотря на предпринимаемые усилия,
между экспериментом, с одной стороны, и компьютерными расчетами [КоеІІе
et al, 1999; Keen et al., 1995] и теорией [Chesca, 1998, 1999], с другой стороны,
существует значительное расхождение: экспериментальные значения, как правило, значительно ниже, чем значения, получаемые на компьютере или предсказываемые теорией; уровень белого шума зачастую почти в 10 раз выше рассчитанного на компьютере.
Одной из возможных причин такого расхождения является то, что известная теория вольтамперных характеристик [Chesca, 1998, 1999] ВТСП ПТ СКВИДа справедлива только для малых индуктивностей (р=2Ыо/Ф&«1) и поэтому неприменима к большинству ВТСП ПТ СКВИДов, которые используются на практике.
В настоящей главе диссертационной работы впервые построена аналитическая теория ВАХ высокотемпературного СКВИДа постоянного тока, работающего в условиях больших тепловых флуктуации, у которого геометрическая индуктивность L>LF. Теория основана на решении двумерного уравнения Фоккера-Планка, описывающего динамическое поведение ПТ СКВИДа при высоком уровне флуктуации. При этом была разработана оригинальная методика, позволившая применить для решения УФП теорию возмущений, где малым параметром является величина e=exp(-L/2LF). В результате, в первом порядке по параметру є были получены аналитические выражения для вольтамперных характеристик как для симметричного, так и для несимметричного СКИ Теория справедлива при L>LF и любых параметрах р и Г-27иквТ/1сФ(ь и, таким образом, применима к практическим ВТСП СКВИДам, у которых (3«1, L»LF и Г»0Л-1. Полученные теоретические выражения позволяют рассчитывать ВАХ и ВПХ практических СКВИДов намного быстрее (несколько минут), чем существующие программы (несколько часов). Для несимметричного СКИ получены также аналитические выражения для сдвига ВПХ по потоку при изменении направления тока смещения. Исследована зависимость этого сдвига от параметров асимметрии и показано, что эта зависимость может быть использована для экспериментального определения параметров асимметрии.
Сравнение теоретических ВАХ симметричного СКИ с известными полуэмпирическими зависимостями, а также с результатами численного решения стохастических дифференциальных уравнений показало, что теоретические ВАХ дают близкие к численным значения коэффициента преобразования и глубины модуляции. Из чего следует, что теоретические результаты являются вполне адекватными для резистивной модели перехода. Для сравнения теории с экспериментом были измерены ВАХ на 70-ти двухконтактных высокотемпературных ПТ СКВИДах из YBa2Cu307-x, выполненных по тонкопленочной технологии. Оказалось, что теория позволяет объяснить около 30% экспериментальных точек. Предполагается, что основной причиной такого расхождения может быть отклонение ВАХ джозефсоновских контактов экспериментальных СКВИДов от резистивной модели.
В четвертой главе рассматривается разработка шумового термометра милликельвинового диапазона на основе низкотемпературного резистивного СКВИДа постоянного тока.
Как известно, международная температурная шкала, принятая в 1990 году (ITS-90), определяет нижний диапазон температур от 650 мК до 5.0 К на основе эмпирической зависимости температуры от давления для паров 3Не и 4Не. Однако, потребности низкотемпературного эксперимента стимулируют исследования по расширению этой шкалы в сторону низких температур. Особенно важным в низкотемпературной области является установление температурной шкалы, основанной на первичных стандартах. Одной из возможностей, позволяющих решить указанную задачу, является применение для этой цели резистивных сверхпроводниковых квантовых интерферометров, или, как их еще называют, резистивных СКВИДов. Поскольку данная разработка явилась первым применением тонкопленочного резистивного ПТ СКВИДа для создания шумового термометра, то, в первом разделе этой главы рассмотрена теория вольтамперной характеристики резистивного ПТ СКВИДа. Подробно проанализировано влияние степени несимметрии контактов и конечной индуктивности на амплитуду выходного
сигнала и его основную частоту. Показано, что выходной сигнал содержит только четные гармоники частоты Юх^яІяК/Фо» где IR- ток, текущий через резистивный участок, сопротивление которого равно R. Получено выражение для амплитуды основной гармоники в зависимости от тока смещения. Показано, что в первом порядке по параметру 3 поправка к частоте отсутствует. Найдена поправка к основной частоте а>х> обусловленная токовой асимметрией контакта Ale- Этот результат представляется важным с метрологической точки зрения, так как необходим для правильной калибровки термометра (определения сопротивления резистивного участка). Таким образом, теоретические результаты, полученные в этой части главы обосновывают возможность применения резистивного ПТ СКВИДа для создания шумового термометра.
Во втором разделе главы подробно описаны методика измерений и характеристики шумового термометра, созданного на основе резистивного ПТ СКВИДа, выполненного по интегрированной тонкопленочной технологии. Количественно проанализированы погрешности измерения шумовой температуры, обусловленные конечной точностью АЦП частотомера, а также собственным шумом СКВИДа и электроники. В диапазоне от 12 мК до 5.9 К было проведено сравнение измеренной температуры с показаниями калиброванных референтных термометров, в качестве которых использовались: угольный резистор (12 мК-1.5 К), погрешность 0.2 мК; тонкопленочный керамический темрорезистор из оксинитрида Сегпох (280 мК-1.5 К), погрешность 2.5 мК; коммерческий резистор на основе сплава Rh-Fe (1.5 К^5.9 К), погрешность 2.5 мК. Измерения показали, что в диапазоне от 140 мК до 5.9 К шумовая температура удовлетворительно согласовывается с показаниями калиброванных референтных термометров. В этом диапазоне различие между измеренной температурой показаниями референтных термометров не превышало 1.1 мК.
Таким образом, результаты, полученные в этой главе, показывают, что шумовой термометр на базе резистивного ПТ СКВИДа может быть
использован в качестве первичного эталона температуры в диапазоне от 140 мК до 5.9 К.
В пятой главе исследуются макроскопические квантовые эффекты в СКВИДах и сверхпроводниковых квантовых интерферометрах. Вопрос о том, подчиняются ли макроскопические степени свободы квантовомеханическим законам, является одним из наиболее важных для фундаментальной физики. Особую актуальность эта проблема приобрела в последнее время в связи с исследованиями, направленными на создание базовых элементов квантовых компьютеров- квантовых битов (сокр. кубитов). Как известно, при определенных параметрах СКИ в точке Фх=Ф(/2 потенциальная энергия такого СКИ как функция внутреннего магнитного потока представляет собой две одинаковые ямы, разделенные потенциальным барьером, высота которого пропорциональна джозефсоновской энергии связи Ej=OoIc/2ti. Макроскопически состояния СКИ в правой и левой ямах различаются направлением сверхтока, текущего в кольце интерферометра. При достаточно низких температурах, когда СКИ находится в квантовом режиме, туннелирование внутреннего магнитного потока приводит к снятию вырождения между ямами и образованию двух низколежащих уровней. Волновые функции этих уровней являются суперпозициями волновых функций правой и левой ям. Благодаря этому свойству, сверхпроводниковые квантовые интерферометры являются одними из возможных кандидатов на роль кубитов. В связи с этим основное внимание экспериментаторов направлено на изучение макроскопического квантового туннелирования (МКТ) внутреннего магнитного потока между двумя метастабильными состояниями СКИ и макроскопической квантовой когерентности (МКК), когда квантовая волновая функция макроскопической системы является суперпозицией двух состояний, каждое из которых макроскопически вполне различимое Если сверхпроводниковый квантовый интерферометр действительно является квантовым объектом в строгом смысле этого слова, то оба эти эффекта должны иметь место.
Эксперименты последних лет, в которых изучалось туннелирование внутреннего магнитного потока в СКИ, однозначно показали наличие такого чисто квантового эффекта. Однако, долгое время все попытки экспериментального обнаружения эффекта МКК- Раби осцилляции волновой функции в таких структурах- были безуспешными, что объясняется по-видимому, недостаточной изоляцией исследуемых систем от влияния внешнего окружения. Только сравнительно недавно достигнутый уровень соответствующей технологии и низкотемпературного эксперимента позволили провести первые убедительные эксперименты на сверхпроводниковых квантовых интерферометрах, в которых наблюдался эффект МКК на одноконтактных [Friedman et al., 2000] и трехконтактных СКИ [van der Wal et al., 2000; Chiorescu et al., 2003].
В связи с вышесказанным в настоящей главе рассмотрены и решены следующие вопросы.
В первом разделе исследуется влияние макроскопического квантового туннелирования магнитного потока на спектральную плотность собственного шума и на наклон плато ВАХ, гистерезисного СКВИДа. Вначале рассмотрено влияние МКТ на вероятность распределения скачков в автономном интерферометре, и проведено сравнение/положения максимума функции распределения вероятности скачков и ее Ширины с аналогичными экспериментальными значениями. Результаты сравнения показывают, что принятая упрощенная модель МКТ является вполне адекватной для описания скачков внутреннего магнитного потока на плато. Затем, в рамках подхода развитого в Главе 1, получены выражения для наклона плато ВАХ ВЧ СКВИДа и спектральной плотности шумового потока, обусловленные эффектом МКТ. Эти результаты позволяют использовать ВЧКЯСВИД для изучения явления МКТ при низких температурах, когда скачки между двумя метастабильными состояниями потока обусловлены главным образом МКТ.
Второй раздел главы посвящен исследованию эффектов МКК на квантовую динамику одноконтактного и трехконтактного СКИ, и вопросам экспериментального обнаружения этих эффектов.
В рамках гармонического приближения исследована квантовая двухуровневая динамика одноконтактного и трехконтактного СКИ, и получены волновые функции правой и левой ям и их суперпозиций. Получены также выражения для расщепления уровней и для среднего тока в кольце СКИ. Показано, что величина расщепления между двумя уровнями может быть определена экспериментально по ширине пика фазового и амплитудного отклика в схеме ВЧ СКВИДа, когда исследуемый СКИ индуктивно связан с высокодобротным резонансным контуром, частота накачки которого много меньше частоты щели между квантовыми уровнями СКИ. Это является условием адиабатичности, при котором переходы между двумя квантовыми уровнями СКИ не происходят, однако, характерный вид зависимости энергии нижнего уровня от внешнего магнитного потока вблизи точки вырождения позволяет экспериментально определить ширину щели между двумя уровнями. Описаны соответствующие эксперименты, результаты которых удовлетворительно согласуются с теоретическими расчетами, и, таким образом, подтверждают адекватность этой экспериментальной методики для исследования квантовой динамики СКИ в адиабатическом режиме. Далее, в главе изучается возможность прямого детектирования Раби осцилляции в трехконтактном интерферометре, индуктивно связанном с высокодобротным резонансным контуром. Режим Раби осцилляции исследован с учетом диссипативных эффектов, которые не удается исключить полностью. Эти эффекты налагают серьезные требования к электронике с учетом величины сигнала и времени его регистрации. Тем не менее, показано, что современный уровень тонкопленочной технологии и низкотемпературного эксперимента позволяет создать систему двухуровневый СКИ + резонансный контур, с помощью которой при температуре порядка 10 мК и ниже регистрация Раби осцилляции оказывается возможной.
21.
Шестая глава посвящена исследованию некоторых вопросов, связанных с применением сверхпроводниковых квантовых интерферометров для детектирования ядерного магнитного резонанса в слабом поляризующем магнитном поле (<0,5 Тл).
Хорошо известно, что ЯМР в слабом поляризующем поле в ряде случаев может
иметь определенные преимущества. Однако, чувствительность традиционного
ЯМР спектрометра в слабом поле, принцип действия которого основан на
законе индукции Фарадея, сильно ограничена. Поэтому естественной
альтернативой традиционному прибору является применение
сверхпроводниковых квантовых интерферометров в качестве датчиков ЯМР в слабом поляризующем поле.
За последние 30 лет накоплен богатый экспериментальный материал по применению СКВИДов в качестве ЯМР спектрометров слабого поля. Большинство применений СКВИДов в ЯМР основываются на детектировании изменения продольной намагниченности AMZ. Поэтому в первом разделе главы подробно проанализирована эволюция продольной компоненты намагниченности Mz(t).
Как известно, частота колебаний Mz вблизи резонанса (колебания Раби) сильно отличается от резонансной частоты и может лежать в области от нескольких герц до десятков килогерц. СКВИДы являются единственными приборами, которые могут детектировать колебания Mz в этом частотном диапазоне. Поскольку при импульсном возбуждении частота заполнения импульса значительно отличается от частоты Раби, то детектирование Mz может быть особо привлекательным в твердых телах при низких температурах, где время спин- спиновой релаксации Т2 может быть достаточно коротким: порядка наносекунд.
Вблизи резонанса получено аналитическое выражение для зависимости Mz(t). Рассмотрен также способ получения сигнала эха продольной компоненты и получено выражение для соответствующей амплитуды сигнала.
Во втором разделе главы проведено детальное сравнение традиционного ЯМР спектрометра и СКВИД ЯМР спектрометра по отношению сигнал-шум (ОСШ). Для различных конфигураций приемного контура СКВИДа получены выражения для ОСШ СКВИД ЯМР спектрометра и проведено его сравнение с аналогичной величиной традиционного ЯМР спектрометра. Показано, что в слабых поляризующих полях СКВИД ЯМР спектрометр по этому показателю значительно превосходит традиционный прибор. При детектировании ядер водорода и одинаковой измерительной полосе приборов ОСШ СКВИД ЯМР спектрометра продольной компоненты намагниченности уже, начиная с Во«0.3 Тл, превышает ОСШ традиционного ЯМР спектрометра. Так например, в поле 1 мТл отношение двух ОСШ равно примерно двадцати, а в поле 1 мкТл это отношение достигает нескольких сотен.
В третьем разделе рассмотрена относительная чувствительность СКВИД ЯМР спектрометра исследуемых ядер по отношению к ядрам водорода. В отличие от традиционного ЯМР, где чувствительность по отношению к водороду определяется как отношение амплитуд соответствующих сигналов, здесь эта величина определена как отношение ОСШ исследуемого образца к ОСШ образца из ядер водорода при одинаковом числе ядер в образцах, одинаковом поляризующем поле и одинаковой полосе измерительного тракта. Получено выражение определенной таким образом чувствительности СКВИД ЯМР спектрометра через ядерные характеристики, и проведено сравнение с традиционным ЯМР по этому показателю, которое оказалось в пользу СКВИДа,
В четвертом разделе проанализирована возможность создания на базе СКВИДа ЯМР спектрометра для измерения абсолютного значения магнитного поля. Показана принципиальная возможность создания такого прибора, работающего на парах 3Не с оптической накачкой с разрешением ДВ^2х10~14 Тл/Гц,/2 и нижним порогом Bxmm » ЗхЮ-7 Тл, что существенно превосходит аналогичные параметры для лучших магнетометров с оптической накачкой; Вхшш « 2х 1 (Г Тл, ДВ*1.0хКГмТл/Гцш.
В пятом разделе исследуется возможность детектирования СКВИДом ЯМР переходов, вызванных текущим по проводнику переменным током. Анализ проведен для тонких пленок из меди (детектируемые ядра Си63) и из платины (детектируемые ядра Pt195). Показано, что уровень чувствительности современных СКВИДов позволяет регистрировать ЯМР сигнал от этих пленок на частоте 1 МГц, что соответствует поляризующему полю 0.088 Тл для меди и 0.11 Тл для платины.
В шестом разделе рассматривается применение СКВИДов в слабых полях для изучения дипольных и квадрупольных ЯМР спектров в твердых телах и спин-спиновых ЯМР спектров в жидкостях по регистрации продольной компоненты намагниченности (низкополевая Mz- спектроскопия). Показано, что внутренние частоты спиновой системы можно получить из характера временной эволюции Mz. Рассмотрены различные схемы получения Mz- спектров дипольных и квадрупольных ядер, а также обменных Mz ЯМР спектров в жидкостях. Для каждого из рассмотренных случаев приведены явные выражения для закона эволюции Mz.
Научная новизна представленных результатов заключается в том, что в диссертации впервые рассмотрены и решены следующие вопросы:
Построена аналитическая теория рабочего участка вольтамперной характеристики (ВАХ) низкотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа, учитывающая зависимость наклона ВАХ от измеряемого магнитного потока Фх и от амплитуды тока вч возбуждения 1В. Теория позволяет корректно рассчитывать собственный выходной шум прибора и выбирать рабочую точку на ВАХ, в которой полный выходной шум является минимальным.
Детально' исследовано динамическое поведение ВЧ СКВИДа с двумя контурами квантования (Д-СКВИДа). Получены аналитические
выражения для амплитуды выходного сигнала, коэффициента преобразования по потоку и для собственного шума Д-СКВИДа. Теория позволяет проводить технологическую и электронную оптимизацию этого прибора с точки зрения получения максимального отношения сигнал-шум, превышающего аналогичную величину традиционного ВЧ СКВИДа.
Для высокотемпературного ВЧ СКВИДа, работающего в условиях больших тепловых флуктуации, построена теория ВАХ, учитывающая высшие по Фх гармоники сверхтока и поправки по coL/R. Теория позволяет по экспериментально измеренным положениям резонансов малосигнальных АЧХ и их ширинам при Фх=ф0 и Фх=Фо/2 определить неразрушающим способом такие важные параметры СКИ, как критический ток джозефсоновского перехода, его нормальное сопротивление, коэффициент индуктивной связи СКИ с резонансным контуром. Проведены эксперименты, подтверждающие, что погрешность определения предложенным способом критического тока не превышает 10%, нормального сопротивления 25%.
Разработана теоретически и подтверждена экспериментально методика применения радиочастотного СКВИДа для изучения амплитуды второй гармоники ток- фазового соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках при соотношении амплитуд второй и первой гармоник ток-фазового соотношения более 0.125. Показано, что в этом случае на зависимостях фазовых и амплитудных кривых от магнитного потока появляются дополнительные экстремумы. Получены теоретические выражения, связывающие положения этих экстремумов с величиной амплитуды второй гармоники и ее знаком, что позволяет вычислять эти величины по экспериментально измеренным положениям дополнительных экстремумов.
Построена аналитическая теория вольтамперной характеристики высокотемпературного ПТ СКВИДа, работающего в условиях больших тепловых флуктуации. Проанализированы симметричная и несимметричная конструкция СКИ. Полученные аналитические выражения для вольтамперной и вольтпотоковой характеристик высокотемпературного ПТ СКВИДа позволяют рассчитывать ВАХ и ВПХ практических высокотемпературных ПТ СКВИДов намного быстрее (несколько минут), чем существующие компьютерные программы (несколько часов). Кроме того, теория позволяет определить критический ток перехода по легко измеряемому току смещения, которому соответствует максимальная амплитуда сигнала модуляции выходного напряжения.
Теоретически проанализирована возможность применения низкотемпературного резистивного ПТ СКВИДа для создания на его основе шумового термометра для температурного диапазона в милликельвиновой области. Осуществлена экспериментальная разработка шумового термометра на базе резистивного ПТ СКВИДа, работающего в диапазоне 40 мК-5.9 К. Показано, что в диапазоне 140 мК-5.9 К измеренные температуры удовлетворительно согласуется с показаниями калиброванных референтных термометров с погрешщностью, не превышающую 1 мК. Таким образом, проведенные экспериментальные исследования шумового термометра на базе резистивного ПТ СКВИДа показывают возможность использования его в качестве первичного стандарта для создания температурного эталона в диапазоне 140 мК-5.9 К. '
Исследовано влияние макроскопического квантового туннелирования магнитного потока (МКТ) на спектральную плотность собственного шума и на наклон плато ВАХ гистерезисного ВЧ СКВИДа при Т < 10 мК.
Полученные в этой части результаты позволяют изучать явление МКТ по наклону плато ВАХ и собственному шуму гистерезисного ВЧ СКВИДа при низких температурах.
Детально исследованы свойства сверхпроводниковых квантовых интерферометров как макроскопических квантовых объектов для создания на их основе логических элементов квантовых компьютеров-фазовых кубитов. Эти свойства СКИ изучены в схеме традиционного ВЧ СКВИДа, когда он индуктивно связан с резонансным контуром. Исследован адиабатический режим, когда отсутствуют переходы между двумя состояниями кубита. Показано, что в этом случае по ширине пика вольтамперных и фазоамперных кривых можно экспериментально определить величину энергетического расщепления между двумя низколежащими уровнями кубита. Приведены результаты экспериментальных измерений, которые подтверждают теоретические расчеты.
Впервые рассмотрена задача непосредственного детектирования Раби осцилляции с помощью классического резонансного контура, индуктивно связанного с трехконтактным кубитом. Показано, что современный уровень тонкопленочной технологии и низкотемпературного эксперимента позволяет создать систему кубит+резонансный контур, с помощью которой при температуре порядка 10 мК и ниже регистрация Раби осцилляции оказывается возможной.
В целом, полученные в этой части результаты показывают, что в практическом плане предложенная схема (кубит+резонансный контур) может быть использована как элемент считывания или записи информации в твердотельных квантовых процессорах, выполненных на основе сверхпроводниковых интерферометров.
10. Детально проанализированы новые возможности применения СКВИДов для детектирования ЯМР. В частности: 1) Показано преимущество (по сравнению с традиционным ЯМР) детектирования СКВЙДом продольной намагниченности в слабом поляризующем поле; 2) Показана возможность создания на базе СКВИДа ЯМР спектрометра для измерения абсолютного значения магнитного поля с разрешением 2х1и~,4Тл/Гц,/2 в диапазоне Зх10"7 Тл - 2х1(Г5 Тл; 3) Показана возможность применения СКВИДов для детектирования ЯМР переходов, вызванных текущим по проводнику переменным током; 4) Проведена систематизация известных экспериментальных методик ЯМР слабого поля, и в рамках каждой из этих методик предложен единый подход к расчету эволюции Mz(t), содержащей информацию о внутренних частотах ЯМР переходов. Таким образом, результаты, полученные в этой части показывают возможность создания новых чувствительных измерительных приборов на базе СКВИДов, использующих явление ядерного магнитного резонанса.
Научная и практическая значимость работы
Полученные новые научные результаты имеют важное практическое значение дая развития экспериментальных методов низкотемпературной физики. Прежде всего, это относится к разработанной теории вольтамперных и вольтпотоковых характеристик низко- и высокотемпературных СКВИДов, позволяющей проводить технологическую и электронную оптимизацию соответствующих измерительных приборов.
Несомненную ценность, с практической точки зрения, полученные результаты имеют также для:
- разработки и создания первичного эталона температуры в милликельвиновом диапазоне на основе резистивного низкотемпературного СКВИДа;
анализа новых потенциальных применений СКВИДов для детектирования ядерного магнитного резонанса в слабых магнитных полях, недоступных для традиционных ЯМР спектрометров;
для разработки новых методик применения СКВИДа для исследования ток-фазового соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках;
- для дальнейшего развития исследований, направленных на создание
квантовых процессоров на основе сверхпроводниковых квантовых
интерферометров в качестве логических элементов- фазовых квантовых битов.
На защиту выносятся
Теория наклона плато вольтамперной характеристики низкотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа, учитывающая зависимость наклона ВАХ от измеряемого магнитного потока Ф* и от амплитуды тока вч возбуждения 1в.
Теория вольтамперной характеристики и собственного шума ВЧ СКВИДа с двумя контурами квантования (Д СКВИДа).
Теория вольтамперной характеристики высокотемпературного ВЧ СКВИДа и результаты экспериментального определения неразрушающим способом параметров высокотемпературного ВЧ СКВИДа на основе анализа его амплитудно-частотной характеристики.
Методика решения двумерного уравнения Фоккера-Планка, описывающего стохастическую динамику высокотемпературного ПТ СКВИДа.
Теория вольтамперной характеристики высокотемпературного ПТ СКВИДа.
Теоретический анализ возможности применения тонкопленочного резистивного ПТ СКВИДа для шумовой термометрии и экспериментальные результаты, полученные в процессе разработки шумового термометра на базе резистивного ПТ СКВИДа.
7. Результаты, полученные при анализе применений СКВИДов для
детектирования ядерного магнитного резонанса в слабых магнитных
полях.
8. Методика определения амплитуды второй гармоники ток- фазового
"соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках по положению
экстремумов фазопотоковых и вольтпотоковых характеристик выходного
сигнала ВЧ СКВИДа и экспериментальные результаты, полученные при
применении этой методики.
9. Теория наклона плато вольтамперной характеристики
низкотемпературного гистерезисного ВЧ СКВИДа, обусловленного
макроскопическим квантовым туннелированием.
Ю.Теория взаимодействия фазового кубита (двухуровневого СКИ) с высокодобротным резонансным контуром и эксперименталные ' результаты по исследованию эффектов макроскопичекой квантовой когерентности в адиабатическом режиме.
11. Результаты, полученные при исследовании возможности прямого детектирования Раби осцилляции тока в кольце СКИ с помощью индуктивно связанного с ним высокодобротного резонансного контура.
Апробация работы
Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на следующих научных международных и отечественных конференциях:
Шестая Европейская Конференция по Прикладной Сверхпроводимости
(Сорренто,, Италия, 2003); (European Conference on Applied Superconductivity,
EUCAS'03);
Физика и применение сверхпроводниковых квантовых интерферометров
(Штенугсбаден, Швеция, 2001), (SQUID'Ol);
Международная конференция по прикладной сверхпроводимости (Палм-
Дезерт, США, 2000), (Applied Superconductivity Conference, ASC'OO);
Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП'98,
Новосибирск, 1998);
Радиоэлектроника в медицинской диагностике (оценка функций и состояния
организма) (Москва, 17-19 октября, 1995);
Европейская конференция по прикладной сверхпроводимости (Геттинген,
Германия, 1993); (European Conference on Applied Superconductivity,
EUCAS'93);
Сверхпроводниковые квантовые интерференционные приборы и их
применения (Берлин, Германия, 1991), (SQUID'91).
Отдельные результаты работы докладывались на научных семинарах в Физикотехническом государственном учреждении (РТВ) (Германия, Берлин); Институте тонкопленочной технологии (Исследовательский центр г.Юлих, Германия); Институте высоких физических технологий (IPHT) (Германия, Иена); Университете им. Фридриха Шиллера (Германия, Иена).
Основные результаты, составившие представленную диссертационную работу, были получены в ходе исследований, которые проводились в период с 1990 по 2003 гг.
Эти исследования выполнялись в Новосибирском государственном техническом университете в рамках хоздоговорных и госбюджетных НИР, федеральных целевых программ "Технические университеты России" (1993-1997 гг.), "Конверсия и высокие технологии" (1997-2000 гг.) и "Интеграция" (1997-2000 гг.), а также в рамках научного сотрудничества с Физико-техническим государственным учреждением (РТВ) (Германия, Берлин), Институтом тонкопленочной технологии (Исследовательский центр г.Юлих, Германия), Институтом высоких физических технологий (IPHT) (Германия, Йена), Университетом им. Фридриха Шиллера (Германия, Йена).
Личный вклад
Основная часть содержания диссертации основана на работах, написанных
автором лично.
В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад автора состоял в
выполнении теоретических расчетов, участии в постановке задачи, в
обсуждении и интерпретации экспериментальных результатов.
В работах, посвященных исследованию трехконтактного СКИ в качестве
фазового кубита [Greenberg et al., 2002а, 20026] основные теоретические
расчеты были выполнены А. Измалковым. Личный вклад автора в этих работах
состоял в постановке задачи* участии в выполнении теоретических расчетов, в
обсуждении и интерпретации полученных результатов.
Публикации
По результатам вошедших в диссертацию исследований имеется более 30 печатных работ, основная часть которых опубликована в ведущих отечественных и зарубежных реферируемых журналах.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Объем диссертации составляет 414 страниц, включая 118 рисунков и список литературы из 282-х наименований.
Благодарности
Исследования, нашедшие отражение в представленной диссертации, проводились в тесном сотрудничестве как с отечественными учеными (Б. М. Рогачевский, Н. В. Голышев, С. В. Моторин, Ю. М. Катрук, Г. С. Кривой, Е. Ильичев, В. И. Шнырков, И, Желяев, А. Измалков), так и в сотрудничестве с зарубежными специалистами (Н. Koch, S. Menkel, D. Drung, Th. Schurig, A. Braginski, M. Grajcar, R. Kleiner, D. Koelle, R.P.J. Usselsteijn, V. Schultze,
H.-G. Meyer, Y. Zhang, X. Zeng, K. Barthel, W. Krech, M. H. S. Amin, A. Maassen van den Brink).
Всем им автор выражает глубокую благодарность за тесное и плодотворное сотрудничество на протяжении ряда лет.
Особую признательность и благодарность автор хотел бы выразить Борису Михайловичу Рогачевскому, чья недавняя безвременная кончина явилась тяжелым ударом для всех, кто знал этого прекрасного человека и ученого. На протяжении многих лет и вплоть до самого последнего времени Борис Михайлович оказывал автору в его исследованиях неоценимую научную и моральную поддержку, без которых эта диссертация, вполне возможно, никогда бы не была написана.
Вольтамперная характеристика при больших значениях параметра
В этом разделе мы покажем, что симметричная ВАХ, которая показана на Рис. 1.2а, является пределом нашей теории при р»1. В этом случае рс : фх и (1Л 6) имеет простое решение:1 Таким образом, при большом значении [3 частота следования импульсов линейно зависит от амплитуды высокочастотного возбуждения. Подставив (1.19) в (1.14), получим вольтамперную характеристику в виде откуда легко получаются выражения для da/d(px и pd. В рассматриваемом случае длина плато непосредственно следует из (1.19): Как известно, выходной сигнал 5а=а(фх==0)-о(фх=л;) достигает своего максимального значения Ьа=п при условии є2(фх=л) Єі(фх=0) [Лихарев,Ульрих, 1978]. Используя приведенное выше выражение для Z\ и є2 из (1.21), получим откуда и получается известное условие максимальной модуляции k Q rc/4. Рассмотрим теперь, как зависит глубина модуляции, да от коэффициента индуктивной связи к. Начиная со значения к —к c MQ, при котором Є2(фх=я)=Еі(фх=0), величина да начинает уменьшаться при уменьшении к2. При этом амплитуда сигнала модуляции да определяется левым наклонным участком ВАХ a=Qs. Таким образом, для глубины модуляции получим выражение Рассмотрим теперь, как зависит глубина модуляции, 5а от параметра р. При к к с получим из (1.23) в размерных единицах: Эта величина достигает максимума при к2=\ с- Для произвольных значений р 1 величина k c=7c/4Q(l-a), где параметр а определен в (1.8). Подставив это значение в (1.24), получим Вычисления показывают, что выражение (1.25а) достигает максимального значения при р«1.85: На практике, как правило, к к с и, как видно из (1.24), глубина модуляции выходного сигнала AV увеличивается при уменьшении индуктивности петли интерферометра L. Однако, следует иметь в виду, что при уменьшении L уменьшается (при фиксированном к2) и длина плато (см. (1.2.1)). Поэтому, если величина k2Q фиксирована, то при уменьшении L величина AV будет увеличиваться до тех пор, пока не будет достигнуто равенство: l-a(P)=7c/4k Q. Таким образом, мы показали, что из построенной в этом разделе теории в пределе больших значений р следуют те же результаты, которые получаются и в полуэмпирической модели [Лихарев, Ульрих, 1978]. Во-первых, длина плато (1.21) совпадает с известным в этой модели результатом и не зависит отфх, что означает, что ВАХ при больших р имеет симметричную форму. Во-вторых, зависимость максимальной глубины модуляции от основных параметров та же, что и в модели, однако отличие полученного в (1.25а) результата от известного состоит в том, что величины AV икс выражены как явные функции параметра Р, чего не удается сделать в полуэмпирической модели. Выше мы рассмотрели только случай фх я. Если же фх я, то простые соображения показывают, что в вышеприведенных формулах необходимо провести замену фс 2я-фс и помнить, что величина а положительна по определению.
Таким образом, полученные в этом разделе результаты позволяют заключить, что построенная аналитическая модель адекватно описывает динамическое поведение ВЧ СКВИДа. В следующих При ненулевой температуре Т в кольце СКИ течет флуктуационный ток, в результате чего скачки потока между устойчивыми состояниями происходят стохастически во времени вблизи точек фс и 2я-фс. В соответствии с этим уравнения (1.9) и (1.11) нужно модифицировать следующим образом: Я=-СО где s(r) = (S(T)) + Ss(r) - стохастические временные переменные. Величины 7] п (/=0,1) не коррелированны при разных значениях п и і, поскольку переходы между состояниями потока в разные моменты времени происходят независимо друг от друга. Поэтому плотность вероятности такого случайного процесса может быть описана следующей функцией: где 4V Ч7] есть нормированные плотности вероятностей временного распределения моментов скачков магнитного потока в кольце СКИ. Таким образом, случайный процесс (1.27) можно представить в следующем виде: Из этого выражения видно, что случайный процесс скачков внутреннего потока на плато не является стационарным. Подставив (1.29) в уравнение (1.4), получим уравнение для флуктуационной компоненты 8v напряжения на контуре: Из этих выражений следует, что флуктуации выходного напряжения пропорциональны частоте следования импульсов Д. Это понятно с физической точки зрения: в начале плато скачков нет (Л=0) и поэтому вызываемое скачками шумовое напряжение отсутствует. По мере роста амплитуды возбуждения є частота следования импульсов Д также возрастает, и это приводит к возрастанию шумового напряжения, которое достигает максимума в конце плато, где Д также является максимальной. Полученный здесь результат (формулы (1.36)) отличается от известного pCurkijarvi, 1973; Jackel, Buhrman, 1975] в том отношении, что он явным образом учитывает структуру плато, поскольку выражения (1.36) зависят от є и срх В качестве примера оценим из (1.366) типичное значение шумового потока ВЧ СКВИДа, обусловленного случайным характером скачков внутреннего потока. Возьмем рабочую точку в середине плато, т. е., Д«0.5 и примем следующие параметры: k 0=3, со/2тг=20 МГц, (3=3, ЕД.вТ=100. При этих значениях /(Х «0.05 и очень слабо зависит от(рх- Подставив эти значения в (1.366), для шумового потока получим Зф2 «2.5х1(Г5Ф0//У/2. Эта величина примерно соответствует типичной чувствительности ВЧ СКВИДов, применяемых на практике.
Теория сигнальных и шумовых характеристик сверхпроводникового квантового интерферометра с двумя петлями квантования
В этом разделе рассматривается сверхпроводниковый квантовый интерферометр с двумя петлями квантования, так называемый двойной СКВИД (Д-СКВИД), который представляет собой модификацию обычного ВЧ СКВИДа. Модификация состоит в том, что джозефсоновский переход одноконтактного интерферометра заменяется сверхпроводниковой петлей, содержащей два джозефсоновских перехода, как у ПТ СКВИДа. Таким образом, интерферометр Д-СКВИДа состоит из двух сверхпроводящих петель-петли с двумя переходами Джозефсона и ВЧ петли, которая гальванически свяхзана с первой петлей и непосредственно индуктивно связана с резонансным контуром. Измеряемый магнитный поток воздействует на первую петлю, а на вторую петлю подается ВЧ смещение от резонансного контура. Принципиальная схема Д-СКВИДа показана на Рис. 1.10. История сверхпроводникового интерферометра с двумя петлями квантования началась более 30 лет назад [Bloch, 1970]. В этой работе кратко были рассмотрены свойства интерферометра с двумя петлями, меньшая из которых содержала два джозефсоновских перехода. Было показано, что критический ток в большой петле, которую мы далее будем называть ВЧ петлей, периодически зависит от магнитного потока, воздействующую на меньшую петлю (ПТ петлю). Позднее был детально проанализирован механизм передачи магнитного потока из ПТ петли в ВЧ петлю [Blackburn, Smith, 1977]. В последнее время эта структура применялась для изучения макроскопического квантового туннелирования магнитного потока между метастабильными состояниями [Han etal., 1989,1991]. Относительно недавно был проведен предварительный анализ этой структуры в качестве измерителя магнитного поля [Krivoy, Ko магнитного потока из ПТ петли в ВЧ петлю [Blackburn, Smith, 1977]. В последнее время эта структура применялась для изучения макроскопического квантового туннелирования магнитного потока между метастабильными состояниями [Han etal., 1989,1991]. Относительно недавно был проведен предварительный анализ этой структуры в качестве измерителя магнитного поля [Krivoy, Komashko, 1990]. Последующие эксперименты показали, что выходной сигнал и передаточная характеристика по потоку у Д-СКВИДа существенно выше, чем у обычного ВЧ СКВИДа [Krivoy, Koch, 1993; Krivoy, Komashko, 1991a, 19916]. Наибольшие значения этих величин, полученные экспериментально составили 1.8 мВ для размаха сигнала и 9 мВ/Фо для коэффициента преобразования по потоку [Krivoy, Koch, 1994].
Первые попытки теоретического анализа двухпетлевого интерферометра, индуктивно связанного с резонансным контуром, были проведены в пределе пренебрежимо малой индуктивности ПТ петли (Krivoy, Komashko, 1991а, 19916; Krivoy, Koch, 1993]. В этих работах было показано, что если индуктивность ВЧ петли достаточно велика по сравнению с индуктивностью ПТ петли, то выходной сигнал, снимаемый с контура, будет значительно больше выходного сигнала обычного ВЧ СКВИДа. В отличие от традиционного ВЧ СКВИДа, у которого, как известно, выходной сигнал обратно пропорционален индуктивности интерферометра, выходной сигнал Д-СКВИДа оказался прямо пропорционален индуктивности ВЧ петли [Krivoy, Koch, 1993; Chesca, 1994]. Дальнейшее развитие теории Д-СКВИДа связано с работами [Chesca, 1994; Greenberg et al., 1995; Chesca, 1995,1996, 1997]. Настоящий раздел основан на результатах полученных в работе [Greenberg et. al., 1995]. В отличие от работ Чешки [Chesca, 1994; 1995, 1996] анализ ВЧ Д-СКВИДа проведен для произвольных значений измеряемого магнитного потока и индуктивностей mashko, 1990]. Последующие эксперименты показали, что выходной сигнал и передаточная характеристика по потоку у Д-СКВИДа существенно выше, чем у обычного ВЧ СКВИДа [Krivoy, Koch, 1993; Krivoy, Komashko, 1991a, 19916]. Наибольшие значения этих величин, полученные экспериментально составили 1.8 мВ для размаха сигнала и 9 мВ/Фо для коэффициента преобразования по потоку [Krivoy, Koch, 1994]. Первые попытки теоретического анализа двухпетлевого интерферометра, индуктивно связанного с резонансным контуром, были проведены в пределе пренебрежимо малой индуктивности ПТ петли (Krivoy, Komashko, 1991а, 19916; Krivoy, Koch, 1993]. В этих работах было показано, что если индуктивность ВЧ петли достаточно велика по сравнению с индуктивностью ПТ петли, то выходной сигнал, снимаемый с контура, будет значительно больше выходного сигнала обычного ВЧ СКВИДа. В отличие от традиционного ВЧ СКВИДа, у которого, как известно, выходной сигнал обратно пропорционален индуктивности интерферометра, выходной сигнал Д-СКВИДа оказался прямо пропорционален индуктивности ВЧ петли [Krivoy, Koch, 1993; Chesca, 1994]. Дальнейшее развитие теории Д-СКВИДа связано с работами [Chesca, 1994; Greenberg et al., 1995; Chesca, 1995,1996, 1997]. Настоящий раздел основан на результатах полученных в работе [Greenberg et. al., 1995]. В отличие от работ Чешки [Chesca, 1994; 1995, 1996] анализ ВЧ Д-СКВИДа проведен для произвольных значений измеряемого магнитного потока и индуктивностей ВЧ и ПТ петель. Это позволило получить аналитические выражения для размаха выходного сигнала, коэффициента преобразования по измеряемому потоку, собственного шума Д-СКВИДа. Проведено детальное сравнение выходных характеристик Д-СКВИДа с аналогичными величинами традиционного одноконтурного ВЧ СКВИДа. Показано, что при одинаковой чувствительности по отношению к измеряемому магнитному полю отношение сигнал-шум Д-СКВИДа может быть примерно в два раза больше аналогичной величины для традиционного одноконтурного ВЧ СКВИДа.
Экспериментальное определение параметров высокотемпературного ВЧ СКВИДа
Количественное сравнение теории с экспериментом требует определения всех существенных параметров ВЧ СКВИДа, то есть, Ic, R, k2 and Q. При этом, для ВЧ СКВИДа непосредственное измерение 1с и R неразрушающим способом не представляется возможным. Для прямого измерения этих величин необходимо разорвать в каком-нибудь месте петлю СКИ, то есть, разрушить сам прибор. С другой стороны, если предположить справедливость развитой выше теории, то эти параметры можно определить из АЧХ и затем сравнить их с данными, полученными прямым измерением после разрушения петли интерферометра. Таким образом можно убедиться в справедливости теории. Конструкция датчика кроме тонкопленочного ВЧ СКВИДа, нанесенного на подложку диаметром 3.5 мм, содержала также концентратор потока, который плотно прижимался к подложке, на которой помещался сам ВЧ СКВИД. Концентратор потока был окружен копланарным сверхпроводящим резонатором, внешний диаметр которого был равен 13.4 мм, его резонансная частота составляла около 660 МГц при 77 К, а его собственная добротность (без СКВИДа) была в диапазоне 6000-8000. Были использованы три различные формы интерферометрических петель: щелевидная петля размером 1СЬ 500 мкм, квадратные петли 150x150 мкм и 100x100 мкм. Рассчитанная геометрическая индуктивность этих петель составляла, соответственно, L=260, 225, 150 пГн. Сам СКВИД, резонатор и концентратор потока были изготовлены из эпитаксиальной тонкой пленки YBa2Cu307_&, нанесенной лазерным напылением на подложку ЬаАЮз. Критическая температура тонкой пленки YBa2Cu307-s составляла Тс 90 К. После определения параметров СКВИДа по АЧХ, интерферометрические петли помещались под сильный микроскоп и разрезались острым алмазным ножом. Затем, посредством испарения золота при комнатной температуре, на них в нужных местах наносились контактные площадки. Непосредственное измерение 1с и R осуществлялось четырехконтактным методом. В качестве возбуждающей и приемной использовались две медные антенны, состоящие из одновитковых петель диаметром 13 мм. Посредством кабелей 50 Ом эти антенны были подсоединены к анализатору спектра НР8752А. Поскольку в данной методике ВЧ СКВИД требует очень низкого уровня тока возбуждения, а на анализатор, наоборот, надо подавать сигнал достаточной амплитуды, то между кабелями и выходным и входным портами анализатора помещались, соответственно, аттенюатор и предусилитель. ВЧ СКВИД вместе с резонатором помещался между антенными петлями. Для точного измерения резонансной частоты необходима высокая добротность резонатора.
Поэтому, для уменьшения влияния антенных петель на резонансную частоту и добротность, связь антенных петель с резонатором была очень слабой. Вследствие этого измерение АЧХ нельзя было проводить в режиме оптимальной связи с вч усилителем. Для точного определения параметров ВЧ СКВИДа, необходимо определить две резонансные частоты Юі и со2 при мощности вч накачки близкой к нулю. Эти частоты измерялись при значении внешнего магнитного потока Фх Фо и Фх=(п+1/2)Фо, соответственно. Поскольку индуктивная связь СКВИДа с антенной возбуждения была очень мала, то мощность возбуждения при регистрации АЧХ была намного меньше того уровня, который соответствует одному кванту магнитного потока Фо в петле СКВИДа. Все измерения проводились в сосуде Дьюара внутри трехслойного экрана из мюметалла. На дьюар была намотана медная катушка, состоявшая из 10 витков, диаметром 20 см. С помощью этой катушки на СКВИД подавалось слабое внешнее магнитное поле. Температура жидкого азота внутри дьюара контролировалась с помощью вакуумного насоса в диапазоне 65-79 К со стабильностью порядка 0.1 К. Для измерения температуры использовался платиновый резистивный термометр PtlOO. После снятия АЧХ петля интерферометра разрезалась, и на ней четырехзондовым методом проводились измерения ВАХ и дифференциального сопротивления Rd=dV/dI. Нормальное сопротивление перехода R с хорошей точностью находится при большом напряжении смещения либо по наклону ВАХ, либо из дифференциального сопротивления. Что же касается критического тока 1С, то его надежное определение по ВАХ затрудняется тем обстоятельством, что при температуре жидкого азота шумовой параметр Г оказывается большим (Г 1). Вследствие этого тепловые шумы сильно сглаживают ВАХ, что не позволяет измерить критический ток непосредственно по ВАХ. Поэтому мы использовали приближенное выражение для ВАХ, которое следует из формулы Амбегаокара-Гальперина в пределе больших флуктуации (Г » 1) [Лихарев, Ульрих, 1978]: можно определить Г и, следовательно, критический ток 1с- Вследствие дополнительных шумов электроники, определение криттока по дифференциальному сопротивлению является более точным, чем посредством интерполяции ВАХ к формуле (2.36). Для возможно более точного определения rd ток смещения должен быть много меньше критического тока 1с-Дифференциальное сопротивление измерялось при двух значениях тока смещения 0.1 мкА и 0.2 мкА.
При этом мы не обнаружили какого-либо заметного влияния величины тока смещения на Г. Поскольку выражение (2.37), строго говоря, получено при Г » 1, то мы проверили его справедливость путем интерполяции экспериментальной ВАХ к формуле Амбегаокара-Гальперина [Ambegaokar, HaJperin, 1969]: Соответствующие резонансные частоты равны а } и й, тогда как резонансная частота ненагруженного резонатора равна о%. Как видно из этих АЧХ, резонансные частоты и амплитуды сигналов модулируются внешним магнитным полем. Кроме того, добротность при Фе = (п+1/2)Ф0 ниже, чем добротность при Фе = пФ0. Эти данные были получены при очень низкой мощности вч сигнала, когда аттенюатор был установлен на уровень -95 дБ при мощности на его входе 1 мВт. Уровень мощности на самом СКВИДе был еще ниже, поскольку индуктивная связь резонатора и интерферометра с медными антеннами была очень мала. Эти АЧХ типичны для ВЧ СКВИДа, работающего в безгистерезисном режиме, когда СКВИД представляет собой нелинейную индуктивность, параметры которой модулируются внешним магнитным полем и уровнем вч возбуждения. Для низкотемпературных ВЧ СКВИДов с р 1 такой вид АЧХ был предсказан теоретически Даниловым и Лихаревым [1976] и наблюдался экспериментально [Shnyrkov et at, 1980; Dmitrenko et al., 1982]. Для того, чтобы измерить зависимость АЧХ от критического тока 1с, были проделаны измерения при нескольких температурах. При уменьшении температуры, начиная с 79.3 К, разность резонансных частот увеличивается, достигая максимума примерно при 75.3 К. При дальнейшем уменьшении температуры эта разность уменьшается, обращаясь в ноль при 65.3 К, где СКВИД переходит в гистерезисный режим. На Рис. 2.6 представлена зависимость (і-согУ ії от температуры при постоянном уровне вч накачки -95 дБм для СКВИДа с L=260 пГн.
Применение высокотемпературного ВЧ СКВИДа для исследования ток-фазового соотношения в высокотемпературных сверхпроводниках
Фундаментальным свойством джозефсоновского перехода является связь между сверхтоком Is, текущим через переход, и разностью фаз (р параметра порядка на его берегах. В общем виде эта связь имеет вид где функция/ называется ток- фазовым соотношением (ТФС). Для любых типов джозефсоновских переходов ТФС имеет период 2л и является нечетной функцией ф [Likharev, 1979]: перехода между двумя обычными сверхпроводниками ТФС имеет известный вид [Josephson, 1962]: где \с- критический ток перехода. Отклонения A/s = /s-/sr от формулы (2.42) были обнаружены экспериментально [Jackel et al., 1976] и затем теоретически подтверждены [Likharev, 1979] в слабых связях с непосредственной проводимостью (точечных контактах) и в SNS (сверхпроводник-металл-сверхпроводник) переходах. Во всех этих случаях величина AIs является отрицательной и максимальный сдвиг достигается при относительно большом значении ф. Для всех известных типов слабых связей между s- сверхпроводниками второе слагаемое в (2.41) не равно нулю, и всегда І2/Іі 1. Например, для туннельного перехода І2/Іі«І, а для SNS контакта 12/1\=-0А при Т=0 К [Кулик, Омельянчук, 1978]. В дальнейшем мы ограничимся первыми двумя членами в (2.41): В высокотемпературных сверхпроводниках ситуация оказывается более сложной. Многие эксперименты указывают на то, что в этих сверхпроводниках имеет место так называемое d- спаривание, при котором параметр порядка не является изотропным в импульсном пространстве и вдоль некоторых направлений в этом пространстве параметр порядка обращается в нуль [Annett et al., 1996; Tsuei et al., 1994; Van Harlingen, 1995; Scalapino, 1995]. Следствием такой анизотропии является возможное сильное отклонение ТФС в высокотемпературных джозефсоновских переходах от стандартной синусоидальной формы [Barash et al., 1995; Zhang, 1995; Tanaka, Kashiwaya, 1996]. В частности, для высокотемпературного YBa2Cu307-x перехода, сформированного на межзеренной границе, так, что углы между а осью кристаллов и нормалью к границе равны, соответственно, 0) и 02, (см. Рис. 2.7) амплитуда первого слагаемого в (2.41) будет иметь вид [Walker, Luettmer Strathmann, 1996] где амплитуды 1с и ID зависят от высоты барьера, температуры и некоторых других факторов, тогда как амплитуда І2 в (2.41) слабо зависит от ориентации кристаллов по отношению к межзеренной границе. Из (2.44) видно, что величина її может быть сделана произвольно малой, в частности, при 0і=45 и 02=0 амплитуда I] тождественно обращается в нуль. Таким образом, экспериментальное определение отношения Г2/Іі»1 является прямым доказательством в пользу d- спаривания в высокотемпературных сверхпроводниках. Рис. 2.7. Ориентация двух кристаллических зерен высокотемпературного сверхпроводника с d- спариванием по отношению к межзеренной границе Известная методика исследования ТФС в сверхпроводниках основана на измерении зависимости эффективного импеданса ВЧ СКВИДа от внешнего магнитного поля при малом сигнале возбуждения [Rifkin, Deaver, 1976]. При этом амплитуда а и фаза в выходного сигнала ВЧ СКВИДа являются функциями внешнего потока и при малом уровне возбуждения могут быть непосредственно связаны с ТФС [Shnyrkov et al., 1980; IPichev et al., 1998]:
В этих выражениях \ =J\/LLT коэффициент индуктивной связи СКИ с резонансным контуром; Q- добротность контура; р=2лЫс/Ф0. Безразмерная амплитуда а записана в единицах а оФ(/2лЛ ъ-2иМ1 Фй\ /rf амплитуда радиочастотного тока в контуре. ТФС ftp) связано с внешним потоком фх=27іФх/Фо посредством соотношения откуда измерение зависимости 6( px)- либо а( рх) позволяет определить зависимость fidf/dq) от внешнего потока рх, и затем с помощью численного интегрирования уравнения (2.466) восстановить ТФСу [Il ichev etal., 1998]. С помощью этой методики впервые была измерена амплитуда второй гармоники ТФС (2.41) в переходе, сформированном на межзеренной границе двух YBCO кристаллитов, оси о, которых были ориентированы под углом 45 друг к другу (9)=45 и 62=Ю) [Il ichev et al., 1999a, 6]. В настоящем разделе в дополнение к известной методике определения амплитуды второй гармоники ТФС [Il ichev et al., 1999а, б] описан способ непосредственного определения параметра у и его знака по фазопотоковым и вольтпотоковым кривым выходного сигнала [H ichev et al., 20016]. Способ основан на том, что при fy 0.125 на этих кривых появляются дополнительные экстремумы, по положениям которых можно однозначно определить величину у и ее знак. При малом уровне сигнала возбуждения в(фх)«19 и поэтому в выражениях (2.45) можно сделать замену tg0&$. При этом предполагается, что значения параметров р и у таковы, чтобы знаменатель в (2,45а) не обращался в нуль на интервале 0 фх 2я:. Вычисляя с помощью (2.46) производную в по внешнему потоку (d0/dq x), получим уравнение, дающее положение экстремумов на оси р:
