Содержание к диссертации
Введение
Глава І.Аналитический обзор методов обработки результатов физического эксперимента и задачи исследования 9
1.1. Типы неопределенности физической информации 9
1.2. Статистические методы построения эмпирических зависимостей 11
1.3. Робастные методы оценивания параметров 15
1.4. Построение доверительных интервалов и областей при обработке экспериментальных данных 17
1.5. Основы интервального подхода к оцениванию параметров экспериментальных зависимостей 21
1.6. Математические постановки задач оценивания параметров линейной функции методом центра неопределенности (МЦН). Достоинства и недостатки метода 36
1.7. Обоснование и направления исследования 44
Глава 2. Оценивание параметров линейных аппроксимирующих функции обобщенным методом центра неопределенности 46
2.1. Общая постановка задачи оценивания параметров аппроксимирующих функций обобщенным методом центра неопределенности 46
2.2. Алгоритмы решения задач оценивания параметров линейных функций прямоугольником в ОМЦН при абсолютно точном измерении входных и интервальном значении выходных переменных 48
2.2.1. Постановка задач оценивания параметров однопараметрических функций 48
2.2.2. Решение задач 2.2.1 49
2.1.1. Постановка задач оценивания параметров линейных двухпараметрических функций 50
2.2.1. Решение задач 2.2.3 50
2.2.2. Рекуррентный алгоритм решения задач оценивания параметров двухпараметрических функций 52
2.3. Алгоритм решения задач оценивания параметров линейных функций при интервальном задании входных и выходных переменных прямоугольником в ОМЦН 54
2.3.1. Постановка задач оценивания параметров однопараметрических функций 54
2.3.2. Решение задач 2.3.1 54
2.3.3. Постановка задач оценивания параметров двухпараметрических функций ОМЦН 56
2.3.4. Решение интервальных задач 2.3.3 56
2.3.5. Рекуррентный алгоритм решения задач оценивания параметров двухпараметрических функций 58
2.4. Алгоритм решения задач оценивания параметров линейных функций эллипсом неопределенности в ОМЦН 61
2.4.1. Определение параметров эллипса неопределенности при двух измерениях 61
2.4.1.1. Определение параметров эллипса неопределенности при двух измерениях методом хорд эллипса 62
2.4.1.,2. Алгоритм построения параллелограмма неопределенности при двух измерениях и погружение его в эллипс минимальной площади 66
2.4.2. Уточнение параметров эллипса неопределенности при поступлении новой информации 71
2.5. Оценивание параметров эмпирических зависимостей вида z = ах + by ОМЦН 79
Глава 3. Применение алгоритмов ОМЦН для обработки экспериментальных физических зависимостей 81
3.1. Оценивание параметров линейной функции прямоугольником в ОМЦН 81
3.2. Оценивание параметров линейной функции эллипсами неопределенности в ОМЦН 82
3.3. Сравнительный анализ оценок параметров прямоугольника и эллипса в ОМЦН 83
3.4. Оценивание параметров зависимости вязкости глицерина от температуры прямоугольником в ОМЦН и МНК 84
3.4.1. Оценивание параметров линеаризованной зависимости вязкости глицерина от температуры прямоугольником в ОМЦН 86
3.4.2. Оценивание параметров линеаризованной зависимости вязкости глицерина от температуры МНК 88
3.4.3. Сравнительный анализ оценок параметров, полученных по алгоритмам прямоугольника в ОМЦН и МНК 90
3.5. Оценивание параметров линеаризованной зависимости вязкости нитробензола от температуры 93
3.5.1. Оценивание параметров линеаризованной зависимости вязкости нитробензола от температуры эллипсом в ОМЦН и МНК 93
3.5.2. Точечные и интервальные оценки параметров линеаризованной зависимости вязкости нитробензола от температуры прямоугольником и рекуррентным прямоугольником в ОМЦН 96
3.5.3. Сравнительный анализ оценок параметров зависимости вязкости нитробензола от температуры прямоугольником, рекуррентным прямоугольником, эллипсом в ОМЦН и МНК 97
3.6. Определение энтальпии парообразования пропана по экспериментальной зависимости давления насыщенного пара пропана от температуры 100
3.6.1. Оценивание параметров зависимости давления насыщенного пара пропана от температуры прямоугольником в ОМЦН 101
3.6.2. Сравнительный анализ оценок параметров прямоугольника в ОМЦН с оценками прямоугольника в МЦН 105
3.7. Определение по методикам ОМЦН энергии активации при СВ-синтезе системы Ti-Al 107
3.7.1. Методика проведения эксперимента по СВ-синтезу системы Ti-Al 107
3.7.2. Определение энергии активации СВ-синтеза алюминидов титана прямоугольником в ОМЦН 108
Глава 4. Программное обеспечение алгоритмов прямоугольника и эллипса в ОМЦН 113
4.1. Программное обеспечение алгоритмов прямоугольника в ОМЦН 113
4.1.1. Характеристика задачи 115
4.1.2. Выходная информация 115
4.1.3. Входная информация 116
4.2. Технология решения задачи 119
4.3. Руководство по эксплуатации программы 126
4.3.1. Руководство пользователя 126
4.3.2. Руководство системного программиста 129
4.4. Программное обеспечение алгоритмов эллипса в ОМЦН 134
4.4.1. Характеристика задачи 134
4.4.2. Выходная информация 135
4.4.3. Входная информация 136
4.4.4. Технология решения задачи 136
4.5. Руководство по эксплуатации программы 138
4.5.1. Руководство пользователя 138
4.5.2. Руководство системного программиста 142
Заключение 146
Список литературы 148
Приложения 160
- Робастные методы оценивания параметров
- Алгоритмы решения задач оценивания параметров линейных функций прямоугольником в ОМЦН при абсолютно точном измерении входных и интервальном значении выходных переменных
- Алгоритм решения задач оценивания параметров линейных функций эллипсом неопределенности в ОМЦН
- Оценивание параметров зависимости вязкости глицерина от температуры прямоугольником в ОМЦН и МНК
Введение к работе
Актуальность проблемы
Для установления закономерностей каких-либо явлений проводятся экспериментальные исследования, в ходе которых измеряют значение тех или иных физико-химических величин. При проведении любого физического эксперимента используются приборы различной степени точности. Поэтому результаты любого измерения всегда содержат ошибки и возникает необходимость оценить погрешности результатов проведенного эксперимента.
Обработка результатов измерений невозможна без использования математических методов, которые позволяют выбрать оптимальное направление исследований. При обработке физического эксперимента часто используются эмпирические модели или формулы, которые включают экспериментально неточно измеренные величины, как правило, неточность учитывается в выходных переменных. Однако, существующая реальность предполагает неточные измерения как выходных, так и входных переменных и соответствующих параметров эмпирических зависимостей. Ситуация, когда выходные переменные заданы интервально, а входная информация измеряется абсолютно точно, достаточно хорошо обсуждена в работах СИ. Спивака, А.П. Вощинина, В.М. Белова и других. Случай, когда выходные и входные переменные модели измеряются интервально, особенно в плане разработки конкретных методик анализа данных физического эксперимента, в литературе отражен недостаточно и является актуальным. Именно последний случай обработки экспериментальной информации дает возможность получать эффективные и надежные оценки, учитывать более полно весь массив измеряемых физических величин.
Целью диссертационной работы является разработка интервально-статистических методик обобщенного метода центра неопределенности (ОМЦН) для анализа данных в экспериментальной физике.
Задачи исследования
1. Разработать методики ОМЦН для оценивания параметров экспериментальных зависимостей, включая постановку задачи ОМЦН, алгоритмы прямоугольника и эллипса в ОМЦН, программное обеспечение;
2. Используя методики в ОМЦН, оценить параметры модельных физических зависимостей: вязкости глицерина и нитробензола от температуры, определить энтальпию парообразования пропана по экспериментальной зависимости давления насыщенного пара пропана от температуры;
3. Используя методики в ОМЦН, выделить линейные участки на экспериментальных СВС-термограммах системы Ті-Al и определить энергию активации данного процесса;
4. Провести сравнительный анализ эффективности методик ОМЦН с методом наименьших квадратов (МНК).
На защиту выносятся
1. ОМЦН в виде алгоритмов прямоугольника и эллипса для определения параметров линейных функций при неточном измерении как входных, так и выходных величин; программное обеспечение ОМЦН для случаев, когда только выходные переменные измерены с некоторой погрешностью и когда входные и выходные переменные представлены в интервальном виде.
2. Методики определения параметров линейных зависимостей вязкости глицерина и нитробензола от температуры ОМЦН, энтальпии парообразования пропана по экспериментальной зависимости давления насыщенного пара пропана от температуры.
3. Методики обработки экспериментальных СВС-термограмм системы Ті-Al ОМЦН.
4. Сравнительный анализ оценок параметров линейных функций в ОМЦН с оценками МНК. Научная новизна диссертационной работы
Впервые разработан и обоснован приборно-ориентированный ОМЦН, который по своей сути является синтетическим интервально-статистическим методом обработки результатов физического эксперимента. На основе ОМЦН разработано оригинальное программное обеспечение. С помощью ОМЦН определены вид функции и параметры экспериментальных зависимостей вязкости глицерина и нитробензола от температуры; энтальпии парообразования пропана по экспериментальной зависимости насыщенного пара пропана от температуры. Впервые алгоритмы в ОМЦН применены для оценивания энергии активации СВ-синтеза бинарной системы Ti-Al.
Практическая значимость работы
Разработаны методики оценивания параметров экспериментальных физических зависимостей в ОМЦН. На основе ОМЦН созданы программные комплексы «ICM1» и «ICM2». Программный комплекс «ICM1» позволяет при интервальном и точном задании входной и неточном задании выходной информации оценивать параметры экспериментальных физических зависимостей алгоритмами прямоугольника в ОМЦН, выделять линейные участки физических зависимостей с заданной точностью. «ICM2» при тех же функциональных возможностях расширяет алгоритмическую базу программного комплекса: позволяет работать с алгоритмами прямоугольника, эллипса в ОМЦН и МНК одновременно. На данные программные комплексы получены свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на конференциях: 8-я Международная конференция «Физико-химические процессы в неорганических материалах» (Кемерово, 2001); 7-я Международная научно-практическая конференция «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (Сибресурс - 7 - 2001)» (Барнаул, 2001); Международная научно-практическая конференция «Валихановские чтения - 7» (Кокшетау, 2002); Региональная научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых. (Новосибирск, 2001); IV научно-техническая конференция студентов и аспирантов. (Рубцовск, 2002); 8-я Международная научно-практическая конференция «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (Сибресурс - 8 - 2001)» (Кемерово, 2002); Труды 3-й Международной научно-технической конференции (Санкт-Петербург, 2002); V Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2002).
Публикации по теме диссертационной работы
Основные результаты диссертационной работы изложены в 16 работах, опубликованных в научных журналах, препринтах РАН и сборниках материалов конференций.
Робастные методы оценивания параметров
Под робастностью [20, 29, 33, 40-44] понимают устойчивость статистических характеристик по отношению к тем или иным, обычно немногочисленным, но грубым ошибкам и к резко выделяющимся неблагонадежным. Таким образом, робастные оценки нечувствительны к малым отклонениям от предположений [40]. В [45] показано, что прежде чем переходить к оцениванию, приходится использовать процедуры исключения грубых ошибок измерений, что выливается в непростую задачу. В работе [46] показана устойчивость к аномальным изменениям оценок максимального правдоподобия параметров распределения при использовании предварительного группирования данных. Оценки МНК очень чувствительны к грубым ошибкам наблюдений и теряют оптимальность при незначительных отклонениях от нормального распределения случайной величины, поэтому робастные методы можно рассматривать как альтернативные МІЖ [47]. В [48] рассмотрен непараметрический аналог нормального распределения, которое обеспечивает устойчивое (робастное) описание данных, позволяя при этом учесть возможную асимметрию распределения. В качестве меры «простоты» распределения выбрана так называемая информация Фишера [33, 40], которая задается функционалом: где р(х) - плотность вероятности распределения, р (х) - производная от функции плотности вероятности.
Наименьшей информацией Фишера из всех распределений с заданными средним и дисперсией обладает распределение Гаусса [40]. В [49] используются так называемые непараметрические статистические характеристики: в качестве характеристики сдвига распределения взята медиана, а в качестве характеристики масштаба распределения - межквартильное расстояние. Нижняя квартиль, медиана и верхняя квартиль разбивают вещественную ось на четыре области, содержащие равное количество точек. Авторами [9] показано, что применение теории нечетких множеств дает возможность разрабатывать алгоритмы обработки экспериментальных данных различного вида, как устойчивые (робастные) к единичным отклонениям, так и с повышенной чувствительностью к ним. Один из методов восстановления плотности распределения основан на сглаживании локальных колебаний эмпирической функции распределения путем построения регрессионной зависимости в координатах Вейбулла. Другие методы определения плотности распределения: ядерные оценки [50 - 52] и метод ортогональных разложений [52 - 55]. Ядерные оценки основаны на «размазывании» каждой точки выборки внутри некоторой окрестности. Метод ортогональных разложений основан на разложении неизвестной плотности распределения в ряд Фурье с последующей оценкой коэффициентов разложения по выборке. Достоинством ядерных оценок является их заведомая положительная определенность (в случае положительности ядра), чего нет у оценок, связанных с ортогональным разложением. Ядерные оценки несут в себе определенный субъективный произвол, связанный с выбором формы и параметров ядра, и не позволяют представить информацию в компактном виде, поскольку требуют постоянного хранения всего массива исходных данных. В публикации [56] рассмотрены теоретические вопросы и представлены результаты численных экспериментов, полученные различными методами, решающими задачу нахождения «наилучшей» регрессии в классе полиномов с одним аргументом.
По двум критериям качества регрессии сравнивают пять методов построения такой регрессии путем численных экспериментов методом Монте-Карло: 1. Метод локального минимума [47]; 2. Метод минимизации эмпирического риска [57, 58]; 3. F - метод, основанный на F - распределении [47, 57, 59]; 4. Метод баз и контрольных сумм [56, 60]; 5. Метод плавающей границы [56]; П.Дж. Хубер классифицировал методы робастного оценивания [42, 43] и выделил М-оценки [42, 43, 61], L-оценки [42, 43] и R-оценки [42, 43]. Также используются следующие виды робастных оценок: ридж-оценки [42], джек-найф-оценки [42, 43, 44, 61, 62], адаптивные оценки [43], р-оценки [43]. При работе с выборками малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, то есть приводить к грубым ошибкам [28]. В этом случае следует пользоваться интервальными оценками, которые позволяют установить точность и надежность оценок. Доверительные интервалы указывают множество возможных значений параметров. Случайный интервал, полностью определенный результатами опытов и не зависящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероятностью а накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику в, называется доверительным интервалом для этой характеристики, соответствующим коэффициенту доверия а . Величина 1-а называется уровнем значимости отклонения оценки. Концы доверительного интервала называются доверительными границами [10]. Для определения доверительных интервалов и областей обычно применяют три основных метода [10]. Первый метод - на нахождение распределения отношения оценки в параметра в к самому параметру 0.
Если оценка в такова, что это распределение не зависит от неизвестных характеристик, то, зная это распределение, можно найти вероятность попадания отношения в/в в любой интервал и, наоборот, по заданной вероятности а найти интервал, вероятность попадания в/в в который равна а. Обычно стараются получить доверительный интервал, симметричный относительно оценки. Однако это не всегда возможно. Доверительный интервал для положительного параметра в определяют Второй метод состоит в том, что для каждого возможного значения неизвестного параметра в выбирают такую область, содержащую в, в которую оценка в попадает с заданной вероятностью а . Эта область в общем случае зависит от в и, конечно, от а. Ее обозначают Da (в). Тогда можно записать: Третий метод основан на нахождении скалярной функции (p(6,S,9) оценки в, некоторой другой статистики S и неизвестного параметра в, обладающей следующими свойствами: 1) При любом значении s статистики S и любом значении в неравенство (p(6,s,6) c, с 0, при возрастании с определяет монотонно возрастающее семейство вложенных одна в другую областей D(s,9,c) = {(9 : p(9,s,9) с); 2) p(9,s,9) = 0 при любых s, ви (p{6,s,0) 0 при любых в, s, в,в 0, следовательно, точка в = в принадлежит области D (s, в, с) при любых с 0, s, в ; 3) распределение случайной величины Т = p(9,S,9) не зависит от в. Зная распределение величины Т = (p{G,S,9), можно определить такое єа 0, чтобы с вероятностью а выполнялось неравенство (p(9,S,6) sa:
Алгоритмы решения задач оценивания параметров линейных функций прямоугольником в ОМЦН при абсолютно точном измерении входных и интервальном значении выходных переменных
Постановка задач оценивания параметров однопараметрических функций при точном значении входной и неточном значении выходной переменных подробно изложена в работах [65, 81, 88, 104, 105, 108, 113, 114]. Пусть в результате проведенных экспериментов получен двумерный массив данных Y с элементами уц для іе\,т, у є1,иу. Элементы массива значения линейной функции yt = bx\, измеренные щ раз в точках jtj. Известно, что ошибка измерений чисел у не превышает известной величины где Д - ошибка измерений у , є - верхняя граница оценки А. В качестве точных оценок чисел у можно использовать средние арифметические измеряемых величин: Адекватной моделью является прямая у-х = Ьх\. Числа у\ удовлетворяют следующей системе неравенств [65, 81, 88, 105, 115, 116]: Неравенства (2.8) задают на числовой прямой Ъ множество отрезков Q, называемое множеством неопределенности. Центр тяжести множества О. есть точечная оценка параметра Ъ. Для проверки гипотезы линейности зависимости между величинами ух и х\ достаточно установить справедливость выражения Q. Ф 0, то есть непротиворечивость (2.8). Если х\ 0, то систему неравенств (2.8) можно записать в виде: Если Xj 0, то систему неравенств (2.8) перепишем в виде: Таким образом, из систем неравенств (2.9) и (2.10) следует, что интервальная оценка параметра Ь где Последнее выражение означает, что Множество неопределенности Ql будет пустым, если b b+. Для определения точечной оценки параметра Ъ можно использовать приближенную формулу Абсолютные и относительные отклонения оценки параметра Ъ от истинного значения определяются соотношениями: Коридор ошибок, абсолютные и относительные погрешности у\ для искомой функциональной зависимости задаются формулами Постановка задач оценивания параметров двухпараметрических функций совпадает с постановкой задач оценивания параметров однопараметрических функций, изложенной в подразделе 2.2.1. При этом линейная функция имеет вид уі = a+bx[. Необходимо определить точечные и интервальные оценки параметров а, Ъ этой функции, если известна верхняя граница ошибок измерения -. Если экспериментальные данные заданы совокупностью интервальных значений выходных величин, при фиксированных значениях входных величин, то, согласно принципам интервально-статистического анализа, можно записать систему неравенств Неравенства (2.14) задают на плоскости (а, Ъ) многоугольник Q, называемый множеством неопределенности параметров а, Ь.
Множество Q представляет собой выпуклый симметричный многоугольник. Центр симметрии (центр тяжести) множества Q есть точечные оценки параметров а, Ь, совпадающие с МНК-оценками, вычисленными по средним интервальным значениям измеряемых величин. Проверку гипотезы линейности зависимости между величинами и х; проводили, как в подразделе 2.2.2. Для облегчения работы с многоугольником Q оказывается полезной его аппроксимация прямоугольником [115, 128]. Для этого запишем систему неравенств: где где Для определения параметра а, используя соотношения (2.20), (2.24), получим выражение Абсолютные отклонения оценок параметров линейных функций от истинных значений а, Ъ можно определить с помощью соотношений єа = 0.5(а+ - а ); єь = 0.5(Z + - Ъ ). (2.32) Относительные отклонения оценок параметров от истинных значений а, Ь определяются выражениями єат =(100- о)/а-,%; є ={Ш-єь)Ь-/о. (2.33) Соотношения (2.33) справедливы при а л О, Ь л 0. Если а л 0 или Zr,+ 0, то для определения относительных отклонений оценок параметров необходимо использовать выражения є =(100-O/(mina-, «+), %; (2.34) є =(\00-sb)/(mm\b-\, \b+\), %. Коридор ошибок для искомой функциональной зависимости задается для любого х 0 следующим образом: а +b x a + bx a+ +b+x. (2.35) Для любого х 0 коридор ошибок задается неравенством: a +b+x a + bx a+ +b x. (2.36) Абсолютные погрешности для у\ определяются соотношением Єу=а+ЬХ, (2.37) а относительные є;т=іоо(єа+єьх)/у;, %. (2.38) Необходимо отметить, что равенство (2.38) справедливо при/ + 0. Если У + 0, то относительно погрешности для у[ определяются как При поступлении новой информации об изучаемом объекте происходит уточнение вида экспериментальных зависимостей. Рекуррентные формулы позволяют уточнить точечные и интервальные оценки параметров линейных функций и оказываются удобными для случаев быстрого обновления и обработки эмпирической информации. Если известны две экспериментальные точки ,, [у ; у ] и х2, [у ; у2], то можно считать, что истинные значения параметров удовлетворяют системе двух неравенств. Выражение (2.41) справедливо для случая, когда функция у = а + Ьх является возрастающей, т.е. при х\ х2 = у у 2. Для случая, когда функция является убывающей, т.е. при х\ х2 = уї уі, справедливым будет следующее неравенство: Для определения параметра а, используя выражения (2.41) и (2.42), можно записать систему двух неравенств Из выражения (2.43) найдем, что где
При поступлении новой информации, для уточнения интервальных значений параметров, запишем рекуррентные формулы для / є \,п : b?+i). Формулы (2.46) представляют собой решение интервальных задач. Пусть получены экспериментальные данные, содержащие интервальные значения переменных [x ;xf],[y7; у ] для iel,n и известно, что истинные значения переменных лежат внутри соответствующих интервалов. Таким образом, каждому измеренному интервальному значению \у]\ соответствует интервальное значение входной величины [л:];. Известно, что ошибки измерения как входной, так и выходной переменных не превышают известных величин:
Алгоритм решения задач оценивания параметров линейных функций эллипсом неопределенности в ОМЦН
Постановка и исследование разрешимости задачи погружения множества неопределенности параметров двухмерной линейной параметрической модели при точном измерении входных переменных и неточном измерении выходных переменных подробно рассмотрены в работах [65, 81, 87, 105, 106, 113, 115]. Но при проведении любых экспериментальных исследований ошибки могут содержаться как в выходных, так и во входных переменных. Наша задача состоит в конструировании алгоритмов погружения множества неопределенности параметров двумерной линейной зависимости в эллипс неопределенности при интервальном задании входных и выходных переменных.
При двух измерениях экспериментальные точки должны удовлетворять системе интервальных уравнений Область возможного измерения параметров линейной функции имеет вид неправильного четырехугольника, угловые точки которого можно определить, используя правила интервальной арифметики. Если функция [у]=[а]+ [Ъ][х] является возрастающей, т.е. при хх х2= ух у2, то угловые точки четырехугольника неопределенности определяем как Для определения центра тяжести четырехугольника неопределенности можно воспользоваться методом наименьших квадратов. Тогда, для определения координат центра тяжести, имеем соотношения где xi, Х2, ух, у2 - средние значения измеряемых входных и выходных переменных соответственно. Центр тяжести исходного четырехугольника неопределенности можно определить и другим способом. Любая комбинация из трех угловых точек, определяемых соотношениями (2.109) и (2.110), образует треугольник неопределенности. Очевидно, что таких треугольников будет четыре: А\А2Аъ, А\А2А$, А\Ауід, А2АТ4А. Известно, что центр тяжести любого треугольника находится на пересечении его медиан. Таким образом, для координат центров тяжести треугольников, имеем соотношения В итоге получим четыре точки В\, В2, Вт,, Ви,, которые определяют новый четырехугольник неопределенности. Полагаем А\=В\, А2=В2, А3=В2, Ад,=ВА. Далее процедуру определения центров тяжести новых четырехугольников неопределенности повторяем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность определения центра тяжести исходного четырехугольника неопределенности.
Обозначим центр тяжести четырехугольника через а0, bo. Для погружения множества неопределенности параметров линейной параметрической функции в эллипс неопределенности считаем, что центр тяжести исходного четырехугольника неопределенности совпадает с центром описанного вокруг него эллипса неопределенности. Далее расположим угловые точки четырехугольника неопределенности в порядке возрастания параметра Ъ, Отрезок Ауіь является хордой эллипса [124] неопределенности. Тогда параметры прямой Ayi Необходимо провести прямую А\А\, параллельную A3A4. Для этого определим координаты середины отрезка АуАл Параметры прямой а = kb + а, проходящей через середину отрезка А3А4 и центр эллипса (т.е. являющейся диаметром, сопряженным хорде А3А4), определим как 60 634 bo bu Далее определим расстояние от середины хорды А А4 до центра эллипса неопределенности В (2.115) приняты обозначения Хорда эллипса А\А\ параллельна хорде А А4 и симметрична ей относительно центра эллипса [122]. Середина хорды А\А\ лежит на прямой с параметрами (2.114), и ее координаты определяются соотношениями: Так как хорды А\А\ ИА АЛ симметричны относительно центра эллипса, то для определения координат точек А и А\ определим вспомогательные величины Тогда, используя соотношения (2.117) и (2.118), координаты точки А определим как а координаты точки Л Таким образом, параллелограмм А\А\ АгАА описывает четырехугольник неопределенности параметров а, Ъ. Центр тяжести параллелограмма А\А\ АгАл совпадает с центром содержащего его эллипса. Эллипс неопределенности, описанный около параллелограмма А[А2АгАА, будем искать в виде где а0, bo - координаты центра эллипса неопределенности параметров. Для определения параметров эллипса неопределенности запишем систему уравнений
Оценивание параметров зависимости вязкости глицерина от температуры прямоугольником в ОМЦН и МНК
Коэффициент вязкости - величина, численно равная силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев жидкости или газа, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направлении, перпендикулярном к границе, на единицу длины. С ростом температуры текучесть жидкости возрастает, а вязкость падает. Поэтому вязкость жидкости обратно пропорциональна коэффициенту диффузии (Дж): При нагревании жидкость расширяется и возрастает ее свободный объем V-b (где b - постоянная в уравнении Ван-дер-Ваальса, которая характеризует недоступную для молекул долю полного объема системы V). Учитывая это, А.И. Бачинский предложил очень простую формулу, описывающую зависимость вязкости от температуры: константа, различная для разных жидкостей. Формула Бачинского хорошо оправдывается на опыте, но не показывает явной зависимости вязкости жидкости от температуры. Я.И. Френкель вывел формулу, непосредственно связывающую вязкость жидкости с абсолютной температурой: где с -постоянная величина, различная для разных жидкостей; к - постоянная Больцмана; со - энергия, которую нужно сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перескочить из одного положения равновесия в соседнее. Величина со обычно имеет порядок (2 + 3)-1(Г20Дж.
Вязкость жидкости определяет силу сопротивления жидкости движению в ней тел. С ростом температуры вязкость жидкости быстро падает, а вязкость пара медленно возрастает, и при критической температуре Ткр они сравниваются. Зависимость вязкости жидкости от температуры можно представить в виде В (3.10) приняты следующие обозначения: В данном подразделе определим точечные и интервальные оценки параметров линейной функции прямоугольником в ОМЦН и МНК, а затем произведем сравнение полученных результатов. В таблице 3.5 приведена экспериментальная зависимость вязкости глицерина от температуры. Данные взяты из работ [126, 127]. Исходные данные для выполнения расчетов по соответствующим алгоритмам сведены в таблицу 3.6. В данном подразделе произведем точечную и интервальную оценку параметров зависимости вязкости глицерина от температуры по алгоритмам, подробно изложенным в главе 2. Результаты расчетов сведем в таблицу 3.7 и проследим динамику изменения точечных и интервальных оценок параметров линейной функции (3.10) в зависимости от количества экспериментальных точек. Из таблицы 3.7 следует, что появление новой экспериментальной точки приводит к уточнению точечных оценок параметров зависимости вязкости глицерина от температуры и сокращению площади неопределенности (доверительных областей) параметров зависимости вязкости от температуры. Площади прямоугольников в ОМЦН зависят от количества экспериментальных точек и от точности измерения в каждом случае. С увеличением объема эмпирической информации происходит равномерное уменьшение длин сторон прямоугольника неопределенности параметров. График линеаризованной зависимости вязкости глицерина от температуры представлен на рисунке 3.1.
При оценке параметров линейной функции (ЗЛО) МНК считаем, что ошибка измерения распределена по нормальному закону. Но необходимо подчеркнуть, что в нашем случае случайная ошибка измерений не может быть распределена по нормальному закону, так как в качестве выходной переменной используется ln(r/i). Динамика изменения точечных оценок параметров и площади неопределенности параметров от количества экспериментальной информации представлена в таблице 3.8. О том, насколько точно результирующее уравнение регрессии согласуется с экспериментальными данными, можно судить по рисунку 3.2. Анализ таблицы 3.8 показывает, что при двух измерениях площадь доверительной области параметров минимальна, но это обстоятельство не позволяет сделать вывод о том, что МНК дает наилучший результат при небольших выборках. Скорее всего, это случайность. При поступлении новой информации доверительные области параметров линейной функции изменяются неравномерно, скачками. Из таблицы 3.8 видно, что при любом количестве экспериментальных точек параметр Ъ определяется с большей точностью, чем параметр а. Следовательно, параметр а вносит больший вклад в неопределенность величины ,, чем параметр Ь.
