Задачи доверительного оценивания и управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации Тимофеева Галина Адольфовна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Тимофеева Галина Адольфовна. Задачи доверительного оценивания и управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 05.13.01 : Екатеринбург, 2003 221 c. РГБ ОД, 71:05-1/74

Содержание к диссертации

Введение

1. Оценивание состояния статистически неопределенной многошаговой системы 48

1.1. Постановка задачи и обзор процедур оценивания состояния многошаговой системы 49

1.2.Принцип максимума правдоподобия для статистически неопределенной системы 53

1.3.Оценивание параметров линейной модели при неполной статистической информации 65

2. Обобщенные доверительные множества и линейные процедуры оценивания 74

2.1.Статистически неопределенный случайный вектор (основные определения) 75

2.2. Свойства обобщенных доверительных множеств 78

2.3.Обобщенные доверительные множества для статистически неопределенного нормального вектора 87

2.3.1. Одномерное распределение 89

2.3.2. Распределение n-мерное, множество средних значений - шар 91

2.3.3. Множество средних значений - эллипсоид. 92

2.3.4. Множество средних значений - параллелепипед. 93

2.3.5. Множество возможных средних - отрезок. 94

2.3.6. Оценки сверху обобщенных доверительных множеств . 96

2.4.Доверительные оценки фазового состояния статистически неопределенной системы без наблюдения 99

2.5. Линейные процедуры доверительного оценивания для системы с наблюдением 101

3. Задачи управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации 105

3.1. Прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной статистической информации 106

3.2.Переход к детерминированной задаче 113

3.3.Задача об оптимальной линейной оценке с квантильным критерием 116

3.4.Задача о выборе оптимальных параметров взлетно-посадочной полосы 122

3.5.Субоптимальные решения в задаче стохастической оптимизации с квантильным критерием 127

4. Доверительные оценки для статистически неопределенных систем с наблюдением 130

4.1. Основные обозначения и определения 131

4.2. Свойства множеств возможных значений случайного параметра 136

4.3. Построение доверительных множеств как задача квантильной оптимизации 140

4.4.Оптимальные доверительные множества в статистически неопределенной задаче оценивания 142

4.5. Информационные множества многошаговой системы с неслучайными возмущениями различного вида 147

4.6.Нелинейные доверительные оценки для систем с наблюдением 151

4.6.1. Случай связанных квадратичных ограничений 159

5. Сопряженные задачи линейной стохастической оптимизации . 163

5.1. Двойственные задачи стохастической оптимизации. 165

5.2. Экономическая интерпретация двойственных переменных. 170

5.3. Многошаговая задача эффективного управления. 177

5.4. Эффективные решения в линейной модели роста цен 184

5.5. Динамическая задача управления инвестиционным портфелем в условиях неполной информации 190

6. Приложение 195

6.1.Сведения из выпуклого анализа 195

6.2. Свойства монотонных функций 196

6.3. Свойства Парето оптимальных решений 201

Литература 202

Постановка задачи и обзор процедур оценивания состояния многошаговой системы
Свойства обобщенных доверительных множеств
Прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной статистической информации
Построение доверительных множеств как задача квантильной оптимизации

Введение к работе

Математическая формализация задач оценивания связана с принятыми в каждом отдельном случае информационными условиями, в которых происходит функционирование объекта и процедура измерения. Здесь возможны различные подходы: классические- статистический и детерминированный, и смешанные.

При статистическом подходе все неизвестные возмущения в системе и в измерении формализуются как случайные величины или случайные процессы с известными распределениями или по крайней мере с известными моментами распределений. Задача оценивания параметров линейной модели в таких предположениях является одной из классических задач математической статистики [95], и детально исследовалась в [1].

Основополагающим результатом решения классической задачи оценивания состояния линейной динамической системы, возмущения в которой описываются гауссовскими случайными величинами с известными параметрами распределений, являются соотношения фильтра Р. Калмана [148]. Большое число исследований посвящено задачам управления и оценивания для систем со случайными возмущениями в том числе обобщению соотношений фильтрации на случаи нелинейной системы, коррелированных возмущений, негауссовских распределений, задач с запаздыванием и т.д. Наиболее важные результаты в этой области получены в работах И.И. Гихмана, А.В.Скорохода [16], Р.Ш. Липцера, А.Н. Ширяева [66], В.С.Пугачева, И.Н. Синицина [90]; А.Д. Мышкиса, В.Б. Колманов-ского, Ф.Л. Черноусько [158, 124], Э. Сейджа, Дж. Мелза [97], У. Флеминга, Р. Ришела [119] и др.

Другой подход основан на предположении о полном отсутствии статистической информации о возмущениях. В этом случае возмущения формализуются как детерминированные величины или функции, информация о которых исчерпывается заданием ограничений на их возможные значения. Решение задач оценивания при неопределенных возмущениях основывается на минимаксном подходе к задачам управления и оценивания в условиях неопределенности, восходящем к работам академика Н.Н.Красовского [54]-[56]. Фундаментальные результаты, связанные с исследованиями информационных множеств динамических систем, получены академиком А.Б. Кур-жанским [59]-[62], [159]-[163].

Эффективные методы решения задач управления и оценивания в условиях неполной информации получены в работах Б.Ц. Бахши-яна, А.В. Кряжимского , А.А. Меликяна, P.P. Назирова, Ю.С. Оси-пова, В.С.Пацко, Б.Н.Пшеничного, В.Г. Покотило, А.И. Субботина, Н.Н. Субботиной, A.M. Тарасьева, В.Н. Ушакова, Ф.Л. Черноусько, П.Э.Эльясберга и др. [10, 78, 83, 92, 93, 101, 118, 123, 125, 129, 181].

Задача неклассического оценивания состояния стохастической динамической системы, то есть задача оценивания в условиях неполной информации о распределении случайных возмущений, изучалась с 60-х годов на основе минимаксного и робастного подходов в работах Н.Н. Красовского, М.Л. Лидова, Ф. Швеппе [53, 64, 178].

Процедуры оценивания состояния многошаговой системы на основе описания динамики множеств апостериорных средних были получены в работах И.Я. Каца и А.Б. Куржанского [35, 36, 32]. Основой для развития методов оценивания статистически неопределенных систем стали результаты теории управления и наблюдения в условиях неполной информации [59]. Развитию этого подхода посвящены исследования учеников А.Б. Куржанского: Б.И. Ананьева, М.И. Гусева, И. А. Дигайловой, Е.К. Костоусовой, А.С. Кощеева, С.Н. Круг-ликова, О.И. Никонова, И.С. Сивергиной, Т.Ф. Филипповой и др. [5, 17, 18, 21, 27, 57, 49, 50, 51, 76, 62, 61].

Параллельно в работах М.Л. Лидова, В.Б. Колмановского, А.И. Матасова развивалась теория нахождения оптимальных линейных оценок для состояния статистически неопределенных систем [65, 48, 167] и др. Работы А.Р. Панкова, К.В. Семенихина и В.Н. Соловьева [79, 80, 99] посвящены рассмотрению задачи.оптимального линейного оценивания параметров при различных видах неопределенности в задании параметров и возмущений.

Методы решения задач оценивания и оптимизации в условиях неполной статистической информации, предлагаемые Б.Т. Поляком и Я.З. Цыпкиным [89, 121, 122], базируются на робастном подходе предложенном Хьюбером [120].

Обзоры основных результатов в задаче оценивания состояния динамической системы в условиях неполной информации приведены в [60, 159, 168].

Отдельное место в теории оценивания линейных динамических систем занимают двойственные соотношения между задачами управления и наблюдения, которые позволяют решать задачи задачи управления и оценивания параллельно [54, 58, 34].

В отличии от задач оценивания для систем с детерминированными возмущениями, в которых процедуры оценивания опираются на построение информационных множеств [52], задачи оценивания со случайными возмущениями даже в случае полной информации о распределениях допускают различные подходы: байесовсое оценивание, метод минимизации дисперсии оценки, метод максимального правдоподобия, построение доверительных множеств [33].

Задачи построения доверительных оценок и задачи управления с квантильным критерием тесно связаны. Для одного и того же случайного вектора существует целое семейство доверительных множеств заданного уровня вероятности, и выбор конкретного доверительного множества основан, как правило, на использовании множеств уровня целевого функционала. Таким образом, задача доверительного оценивания приводит к задаче стохастической оптимизации с квантильным критерием. С другой стороны, эффективным методом решения задач квантильного управления является метод сведения их к обобщенным детерминированным задачам с оптимальным выбором доверительных множеств, предложенный В.В. Малышевым и А.И. Кибзуном [68].

В настоящее время задачи стохастического управления с вероятностным и квантильным критерием составляют интенсивно развивающуюся область исследований. Во многих практических задачах оптимального управления оценивания в технике и экономике, нет оснований выбирать решение, оптимизирующее среднее значение, так как решение принимается лишь однократно.. Это ведет к тому, что традиционные методы стохастического программирования [23] приводят к неудачным с практической точки зрения решениям. Задачи стохастического управления с квантильным критерием исследуются, начиная с [149]. Качественное исследование задач управления с квантильным и вероятностным критерием базируется на изучении свойств функций квантили и вероятности, таких как монотонность, непрерывность по аргументу и управлению, диффе-ренцируемость, квазивыпуклость и квазивогнутость. Эти свойства систематически исследовались российскими и зарубежными математиками [28, 29, 30, 68, 172, 94, 130, 155] и др.

Задачи выбора управлений, оптимизирующих квантиль целевого функционала в условиях неполной информации о параметрах распределений изучались в работе [10], там же была сформулирована проблема эквивалентности задач максимизации вероятности непревышения заданного уровня и задачи минимизации квантили целевого функционала. В исследованиях [68] были получены достаточные условия эквивалентности прямой и обратной задач стохастического управления в условиях полной статистической информации.

Задачи стохастической оптимизации и управления, связанные с моделями финансового анализа, в том числе с задачей управления инвестиционным портфелем, представляют в настоящее время отдельную, интенсивно развивающуюся область теории стохастического управления. Основополагающими результатами в этом направлении являются теория инвестиционного портфеля Г. Марковича [165, 166], Дж. Тобина [188], В. Шарпа[177, 126], Е. Элтона и F. Грубера [144], модель геометрического роста цен П. Самуэльсона [176] и результаты Р. Мертона [169, 170], описывающие оптимальные управления в динамической задаче реструктуризации инвестиционного портфеля. Обзоры исследований задач финансового анализа приведены, например, в [143, 164].

В соответствии с подходом F. Марковича, оптимальным является портфель, ожидаемая доходность которого фиксирована, а дисперсия реальной доходности.минимальна. Однако, в настоящее время приобрели популярность вероятностные и квантильные критерии оптимальности инвестиционного портфеля,.такие как Var (Value-at-Risk). Исследованию задачи оптимального выбора инвестиционного портфеля по квантильному критерию посвящены работы [189, 173]. Случай неполной информации о распределениях доходностей активов исследуется в работе [139].

Переход к сопряженной задаче традиционно используется при решении задач линейного оценивания и управления. Методы линейного оценивания в условиях неполной статистической информации, основанные на свойствах сопряженных задач квадратичного программирования, рассматривались в Соловьевым В.Н., Панковым А.Р., Семенихиным К.В. [99, 100, 80]. В ряде недавно опубликованных работ [81, 82] при решении задач финансового анализа, в том числе с неполной статистической информацией, используется решение сопряженной задачи.

Особенностью рассмотренного в диссертации подхода является совместное рассмотрение задач линейной стохастической оптимизации и задачи уточнения параметров рапределения. Полученные результаты аналогичны соотношениям двойственности между задачами управления и оценивания в теории управления и наблюдения в условиях неопределенности, полученных в исследованиях Н.Н. Кра-совского и А.Б. Куржанского [55, 59].

В диссертационной работе предлагаются нелинейные методы оценивания состояния статистически неопределенных систем. Для оценивания состояния статистически неопределенной системы используется метод максимального правдоподобия, приводящий к задаче миминимизации функции невязки.

В работе исследуются задачи построения доверительных оценок для случайного вектора, распределение которого точно не задано и зависит от неопределенного параметра. Введено понятие обобщенного доверительного множества для статистически неопределенного случайного вектора, исследованы свойства таких множеств. Полученные соотношения используются для построения линейных процедур доверительного оценивания состояния многошаговой системы в условиях неполной статистической информации.

Показано, что доверительные множества, полученные с помощью линейных процедур, могут быть уточнены на основе детального рассмотрения множеств возможных значений случайных возмущений, совместимых с реализовавшимся наблюдением. Оптимальные доверительные оценки находятся с помощью решения соответствующей задачи квантильной оптимизации. Следует отметить, что нелинейные процедуры оценивания дают значительное улучшение оценок лишь при относительно малых дисперсиях случайных составляющих. Получение процедуры оценивания требуют большого объема вычислений, но приводят в ряде случаев к значительному сужению доверительных областей по сравнению с рассматриваемыми ранее линейными процедурами.

Для уменьшения объема вычислений найдены более простые про цедуры оценивания, дающие достаточно точные оценки сверху для оптимальных доверительных областей. Показано, что доверительные оценки состояния многошаговой линейной системы в условиях неполной статистической информации сходятся при стремлении матриц ковариации к нулю к информационному множеству системы без случайных возмущений.

В диссертационной работе исследуются задачи стохастического управления с квантильным и вероятностным критерием в условиях неполной статистической информации. Получены достаточные условия эквивалентности прямой и обратной задач, уточняющие результаты [10]. Обобщенный минимаксный подход к задачам кван-тильного управления [68] перенесен на случай неполной статистической информации, то есть задача с квантильным критерием в условиях неполной информации сведена к эквивалентной детерминированной с оптимизацией по обобщенным доверительным множествам. Показано, что подход к решению задач квантильного управления в условиях неполной информации, основанный на объединении доверительных множеств, соответствующих различным значениям неопределенного параметра [68], приводит во многих случаях к неоптимальному значению критерия. Рассмотрены примеры решения прикладных задач стохастического управления с квантильным критерием в условиях неполной информации на основе полученных соотношений.

В работе исследуются свойства сопряженных задач линейной стохастической оптимизации, связанные с уточнением параметров распределения. Предлагается экономическая интерпретация сопряженных переменных для задачи об оптимальном выборе инвестиционного портфеля.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37]-[44], [104]- [115], [150]- [154], [182]- [187].

Результаты исследований докладывались на международных конференциях и семинарах: в Киеве на конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" в Л 992 году; в Минске на. международной конференции "Устойчивость, управление, оптими-зация"в 1993 году; на международных семинарах "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации"в Челябинске в 1993 году и в С.-Петербурге в 1995 году; на конференциях "Математическое программирование и приложения"в Екатеринбурге в 1997 и 2003 годах; на конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения"в Челябинске в 1999 году; на международной конференции "Нелинейный анализ и интегральные уравнения "в Воронеже в 2000 году, на семинарах IFAC "Control Application of Optimization Хайфе (Израиль) в 1995 году ив С.-Петербурге в 2000 году, на симпозиуме IFAC "Nonlinear Control Systems С.-Петербурге в 2001 году; в Созополе (Болгария) на международной конференции по математическим методам в исследовании операций в 1997 году; в Берлине (Германия) на Всемирном конгрессе математиков в 1998 году и на конференции по стохастическому программированию в 2001 году [37, 38, 39, 42, 104, 106, 108, 150, 151, 152, 153, 183, 154, 184, 185, 187, 115].

Диссертация состоит из 5-ти глав и Приложения, содержит 17 рисунков и 5 таблиц, список литературы содежит 194 наименования.

В первой главе диссертации рассмотрен метод максимального правдоподобия для оценивания состояния статистически неопределенной многошаговой системы. Показано, что применение метода максимального правдоподобия приводит к задаче минимизации функции невязки, а полученные оценки, построенные по методу максимального правдоподобия, совпадают с информационным множеством детерминированной системы, соответствующем реализовавшемуся наблюдению, в случае, если это множество не пусто.

В §1 первой главы описана постановка задачи оценивания фазового состояния многошаговой статистически неопределенной системы, приведен обзор основных известных методов оценивания статистически неопределенных систем. Сформулируем основную задачу оценивания, рассматриваемую в этой главе.

Задача 1. Рассмотрим линейную многошаговую систему с наблюдением:

Xi+i = АІХІ + щ + &, XQ = XQ + Co, /-,\

yi+i = Gi+ixi+i + vi+i + 77г+і, і = 1,..., к - 1.

Здесь ХІ-- неизвестный га-вектор состояния,, у; - известный т-вектор наблюдения. Помехи &, щ,Яо являются независимыми гаус-совскими случайными величинами с известными моментами распределения

Еяо = 0, Еяо ;0 = Ро, (2)

Ей = 0, Ещ = О, Е&? = Qh Erwl = Ri 0. К }

Информация о величинах хо, щ, иг- исчерпывается заданием множеств их возможных значений:

щ Є Щ, Vi Є Vt, х0 Є XQ (3)

здесь UiCRn,ViCRm,XoCRn - выпуклые компакты.

Обозначим E{xk \ yk(-),wk) условное математическое ожидание фазового состояния системы на к-том шаге при условии, что реализовалось наблюдение Ук(-) = {уи • • •, Ук} и значение неопределенных парамеров фиксированы:

wk = {XQ, щ,..., uk-i, vi,..., vk] Є Wk С Rl,

Wk = X0 x UQ x ... x Uk-iX V\ x ...xVk,l = n + nk + mk.

Для оценивания состояния системы (1) в [35] предложено использовать Хк - множество апостериорных средних значений, то есть объединение по всем возможным значениям неопределенных параметров условных математических ожиданий:

Хк = (J Е{хк yk(-),wk).

wkSWk

Множества Хк определяются из линейных рекуррентных уравнений [35].

Наряду с системой (1) будем рассматривать динамическую систему, не содержащую случайных возмущений

хг+1 = А{Х{ + Щ, XQ = XQ, ,.,

Уі+і = Gi+iXi+i + vi+i, і .= 0,..., к - 1 где информация о векторах ХО,Щ,УІ задается включениями (3).

Определение 1. [59]. Информационным множеством Х%еЪ системы (4) на к-м шаге, соответствующем наблюдению ук{-), называется множество векторов х\ Є Ш1 таких, что существуют х\ Є En; xl Є XQ, u L Є Ui} v i+l Є Vi+i, г = 0,..., fc - 1, для которых верны соотношения (4).

В §2 для оценивания состояния статистически неопределенной системы (1)-(3) используется метод максимального правдоподобия, применение которого для случая неполной статистической информации было предложено в работе [41].

Априорно неслучайные величины XQ,..., хк, XQ, Щ, ..., Uk-i, v\,...,Vk имеют к моменту і = А; вероятностные взаимосвязи, определяемые системой (1) и реализовавшимся наблюдением Ук( ) — {Уіі • • • іУк} • Эти взаимосвязи особенно ярко проявляются в случае, когда разброс случайных помех мал по сравнению с размерами областей неопределенности неслучайных возмущений. Вектор

?к = {XQ, ... art, х0, щ,..., щ-ъ vu • • • vk}

имеет усеченное нормальное распределенное с вырожденной матрицей ковариации в пространстве RZl, 1\ = пк + п + I. Ранг ковариационной матрицы составляет I = пк + тк + п 1\. Распределение усеченное, так как на часть координат вектора z\. наложены геометрические ограничения (3).

Далее будем предполагать, что ковариационные матрицы PQ, Qi, Щ невырождены. Рассмотрим функцию невязки, которая зависит от реализовавшегося наблюдения Ук{ ) Ф(хк{-),мк ук(-)) = (х0 - X0)TPQ1(X0 - х0)+

+ 2[(xi+i - АІХІ - Ui)TQ 1 х (xi+i - АІХІ - щ)+ (5)

г=0

+(уі+і - Gi+iXi - vi+i)TR 1(yi+i - Gi+iXi - vi+i)].

Здесь Xk(-) = {xo,... ,xk} Є Rn(fc+1) - вектор фазовых состояний, Wk = {%o, Щ, • • •, Uk-iyVi,..., Vk} Є Wk СІ1- вектор неопределенных параметров.

Для фиксированного значения неопределенных факторов wk Є Wk и заданного наблюдения Ук( ) выполняется соотношение

Ф(х0,...,хк,и) к ук(-)) = c-lnf(x0,...,xk ,w k\ ук(-)) где /(XQ, ..., хк, w k Ук{ )) - совместная многомерная условная плотность распределения векторов {х\,..., хк} при заданных w k, ук(-). Так как параметры XQ, Щ, V{ априорно не заданы, а известны лишь ограничения на области их возможных значений, то функция f(xk(-), Wk І Ук(-)) может рассматриваться, как функция правдоподобия для величины zk = {xk{-),wk} на множестве Rn+nk х Wk Cl 1, т.е. с учетом ограничений (3).

В качестве оценки состояния статистически неопределенной системы (1) - (3) на к-том шаге будем брать хк, доставляющее минимум функции

ф{хк) = mm (p(xk}wk І Ук{-)), (6)

Wk&Wk

где

p(xk,wk\yk(-))= min Ф(х0і...,хкігик\ук(-)). (7)

XO,...,Ifc_i

Определение 2. cmp. 55,) Множество Xk минимумов функции ф(хк), определяемой соотношениями (5)-(7) будем называть оценкой по методу максимального правдоподобия для фазового состояния статистически неопределенной системы (1)-(3):

Хк = Ащттф(хк) = {хк Є Rn : ф{хк) = ттф(хк)}.

Хк

Сформулируем основные утверждения, доказанные в §2.

Теорема 1. (стр. 57) Если информационное множество Xket детерминированной системы (4), соответствующее данному наблюдению ук(-), не пусто, то выполняется соотношение

Лк — лк .

В отличие от случая полной статистической информации, максимум функции правдоподобия (и минимум функции невязки) может быть неединственным. В следующей теореме сформулированы достаточные условия единственности оценки по методу максимального правдоподобия.

Теорема 2. (стр. 58)Пусть множества возможных значений, неопределенных параметров Хо, Uo,..., Uk-\, Vi,..., Vk строго выпуклы в пространствах соответствующих размерностей, и информационное множество детерминированной системы X et, найденное по данному наблюдению, пусто. Тогда множество минимумов функции невязки Хк состоит из одной точки.

Далее в §2 рассмотрены модельные примеры построения оценок по методу максимального правдоподобия для статистически неопределенных систем, проведено сравнение оценок, полученных различными способами.

§3 посвящен задаче идентификации параметров линейной модели на основе подхода, изложенного в §2, в нем рассматривается задача оценивания параметров линейной модели

у = ах + Ь,

где (а, Ь) Є R2 - вектор параметров, у - значение функции, х -аргумент.

Предполагается, что значения функции измеряется неточно

Уі = axi-hb-h щ + &, і = 1,..., к, (8)

а ошибка измерения состоит из неопределенной составляющей щ и случайной несмещенной гауссовской ошибки & с известной дисперсией:

Е& = О, EQ = o-l E&j = 0,i j. (9)

Относительно величин щ известно лишь, что они могут принимать произвольные значения из отрезков UІ:

щ Є Ui = {и Є Е1 : \и\ AJ. (10)

Статистически неопределенная модель (8)-(10) может рассматриваться, как частный случай задачи (1)-(3). Имеет место следующее утверждение, вытекающее определения множества наиболее вероятных значений и функции невязки (5)-(7).

Теорема 3. (стр. 67)Множество А}, наиболее вероятных значений параметров (а, Ь) совпадает с множеством минимумов функции невязки

F{a,b) = Y,fi{yi-™i-b), (И)

где

fi(z) = min (z - щ)2 of = (max{0, \z\ - A;})V - (12)

M A«

Наряду со статистически неопределенной моделью (8)-(10) рассмотрим, как и раньше, модель, не содержащую случайных возмущений:

Уі = ахі + ЬІ + щ, і = 1,...,к. (13)

В соответствии с определением информационное множество Af.et = АІЄІ(Ук(ш)) значений параметров модели (13), (10) равно

At = {(а, Ь) : \Уг - ахі - Ъ\ Д , = 1,..., к]. (14)

Из теорем 1- 2 следует следующее утверждение.

Теорема 4. (стр. 68) Если информационное множество детерминированной модели непусто, то Aj = А%еі. Если Afet = 0, то множество наиболее вероятных значений параметров состоит из единственной точки (a , b ).

Далеее рассмотрен численный метод нахождения мнжества наиболее вероятных значений параметров модели Ak, доказана его сходимость. Приведен пример построения множества Ak.

Описан также алгоритм анализа совместности набора измерений с моделью измерений, не содержащей случайной составляющей, базирующийся на статистически неопределенной модели возмущений.

Вторая глава диссертации посвящена построению доверительных множеств для статистически неопределенного случайного вектора и линейных доверительных оценок фазового состояния статистически неопределенной системы.

В §1 второй главы, для удобства рассмотрения, формализовано понятие статистически неопределенной случайного вектора, и введено понятие обобщенного доверительного множества для такого случайного вектора.

Пусть задано вероятностное пространство (Г2,Л, Р). Обозначим В сг-алгебру борелевских множеств на Rn.

Определение 3. (стр. 76) Пусть Z - замкнутое, связное, ограниченное множество из М.т, содержащее более одной точки. Статистически неопределенным случайным вектором (u},Z) будем называть семейство случайных векторов {(LJ,Z)\Z Є Z}, если выполняются следующие условия:

1) для любого z Є Z отображение (w, z) - случайный вектор, т.е. для любого В Є В множество

{и : f (w, z) Є В} Є Л.

2) для любого борелевского В Є В вероятность

ВД = Й(ц2)€В}

непрерывно зависит от z.

В случае п = 1 статистически неопределенный случайный вектор будем называть статистически неопределенной случайной величиной.

Обозначим через Т{ (ш, Z) Є X} минимальную вероятность

V{i{oJ, Z)X} = minP{(a;, z) Є X}.

Определение 4. (стр. 77) Измеримое множество Ха С В будем называть обобщенным доверительным мнооюеством уровня а для статистически неопределенного случайного вектора (tu, Z),

если Т{(и, Z) € Ха} = OL.

Как и обычные доверительные множества, обобщенные доверительные множества определяются неоднозначно, то есть фиксированному уровню вероятности а соответствует целое семейство обобщенных доверительных множеств.

В §2 второй главы рассмотрены свойства обобщенных доверительных множеств, проведено сравнение обобщенного доверительного множества и объединения обычных доверительных множеств, построенных для всех возможных значений неопределенного параметра.

Пусть (tu, Z) - статистически неопределенный случайный вектор, Х% - семейство доверительных множеств уровня а, то есть P{a z)GX-} = a. Обозначим через Ха объединение доверительных множеств:

Ха = (J X". (15)

z€Z

Теорема 5. (стр. 79) Если объединение доверительных множеств Ха измеримо, то оно является обобщенным доверительным множеством уровня ai а для статистически неопределенной случайной величины (a , Z),

причем сх\ = а тогда и только тогда, когда существует z Є Z такое, что Р{(ш, z ) Є Ха} = ос.

Из теоремы 5 следует, что во многих случаях объединение доверительных множеств не является обобщенным доверительным множеством и может быть сужено при построении доверительных оценок статистически неопределенного случайного вектора.

Следствие 1. (стр. 80) Пусть p(x,z) - непрерывная функция W xZ — К1 и распределение случайной величины г)(ш) = (/э((си, z), z) не зависит от z. Если существует z такое, что для всех х Є Шп выполняется

min(p(x,z) = (p(x,z )y

тогда множество Ха = {х : ф(х) 7а} является обобщенным доверительным множеством уровня а.. Здесь ф(х) = min ,z),

ZQ.Z

7а квантиль уровня а для случайной величины г)(ш).

Условия следствия 1 связаны прежде всего с видом доверительных множеств. Для одного и того же статистически неопределенного вектора объединение доверительных множеств может быть обобщенным доверительным множеством того же уровня или более высокого уровня доверия, в зависимости от вида доверительных множеств. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие доказанные соотношения.

Статистически неопределенный случайный вектор (о;, Z) будем называть непрерывным, если для любого z Є Z случайный вектор (w, z) имеет абсолютно-непрерывную функцию распределения, то есть у него существует плотность распределения.

Более точно соотношения между обобщенными доверительными множествами и объединением доверительных множеств отражены в следующей теореме.

Теорема 6. (стр. 81) Пусть Ха - обобщенное доверительное множество уровня а для статистически неопределенной непрерывной случайной величины (ш, Z), тогда существует семейство доверительных множеств {X (z), z Є Z} уровня а таких, что

1) P{(ujyz) Є X(z)} = а для любого z Є Z;

Ю U X (z) = Ха;

z&Z

3) существует z Є Z такое, что X (z ) = Ха.

Далее полученные соотношения уточняются для случая двух неопределенных параметров.

Теорема 7. (стр. 83) Пусть статистически неопределенный случайный вектор зависит от неопределенных параметров и и v:

(ш, U, V) = {(w, и, v) и Є С/, и Є У},

где [/ и У - заданные связные компактные множества. Пусть Ха(и) - обобщенные доверительные множества уровня а для статистически неопределенных случайных величин

Uu,V) = {t(u,u,v)\veV}

полученных при фиксированном значении и , т.е.

minP{(a;, и, v) Є Ха(и)} = а.

vGV

Если Ха = (J Ха{и) измеримо, то оно является обобщенным до ueU

верительным множеством для (и , С/, V) уровня а\ а.

Отметим, что для множества У, состоящего из одной точки, теорема 7 является следствием теоремы 5.

Следствие 2. (стр. 84) Пусть статистически неопределенный случайный вектор имеет вид

(w, z) = {z + f (w) I z Є Z},

Z = U + V и Ya{V) - обобщенное доверительное множество уровня а для случайной величины TJ{UJ,V) = {v + (и)) \ v Є V}. Тогда Ха = U + У х{У) - обобщенное доверительное множество для (OJ,Z) уровня a i а.

Теорема 7 и следствие 2 позволяют уточнять обобщенные доверительные множества, представляя, например, множество возможных значений параметров Z в виде суммы двух множеств, одно из которых имеет стандартный вид (шар, куб, эллипсоид и т.п.). Такой подход применяется в §3 при построении доверительных для нормально распределенного случайного вектора с неточно известным средним значением.

Рассмотрение свойств обобщенных доверительных множеств завершается важным следующим утверждением.

Теорема 8. (стр. 85) Пусть

1) ,{ш,Х) = {г)(со) +х х Є X}-статистически неопределенный случайный вектор, г](ш) - непрерывная случайная величина с заданной плотностью распределения fo{x);

2) плотность fo(x) О для всех х Є Шп;

3) X - заданный выпуклый компакт, содержащий более одной точки;

4) J3Q(0)- выпуклое ограниченное доверительное множество уровня а Є (аі; 1) случайной величины TJ(UJ), где а\ = V{(UJ, X) Є X};

5) 0 eint{Ba(0)).

Тогда найдется є Є (0; 1), такое что X + єВа(0) является обобщенным доверительным множеством уровня а статистически неопределенного случайного вектора (и,Х).

§3 второй главы посвящен построению обобщенных доверительных множеств для гауссовского случайного вектора с неточно известным средним значением, приведены примеры построения таких множеств для различных видов множества возможных средних значений. Кроме того, найдены оценки снизу и сверху для обобщенных доверительных множеств уровня а.

Теорема 9. (стр. 87) Для любого выпуклого замкнутого обобщенного доверительного множества Ха статистически неопределенного гауссовского вектора fj(и, X) выполняется

X + (0,Q,a_0,5)CXa, (16)

где E(0,Q,ta o ) = {х : xTQ 1x t2a_Qb\, a-o.5 односторонняя квантиль уровня а нормального распределения:

t Ф( -о.5) = OL - 0.5, Ф(і) = - = j e-idt. (17)

Отметим, что эллипсоид E(0,Q,ia-o,5) не является доверительным множеством уровня а для г;(а;), так как а-0,5 та[п), где та(п) - радиус эллипсоида рассеяния

Ха(х) =Е(0; д,тв(п)) = {х : xTQ lx т (п)}\ (18)

та(п) квантиль уровня а распределения х2 с п степенями свободы.

Далее найдены обобщенные доверительные множества для различных стандартных видов множеств возможных средних: отрезок, шар, параллелепипед и др.

На основе построенных стандартных обобщенных доверительных множеств найдены оценки сверху для доверительных оценок статистически неопределенного гауссовского вектора с произвольным выпуклым множеством средних значений и с множеством средних в виде эллипсоида.

Теорема 10. (стр. 96) Пусть rj(w, X) = {х + 77(0;) х Є X}, где rj(uj) - гауссовский случайный вектор Еп = О, Ег]Г)Т = 1,1-единичная матрица, и компактное множество X строго выпукло с параметром а, то есть для любого х Є X найдется шар радиуса Еа{х\) = {х : \\х — х\\\ а} такой, что х Є Еа(х\) С X. Тогда множество X = X + (0) является обобщенным доверительным множеством для fj(uj, X) уровня не ниже чем а , то есть

V{rj(u,X)eX} a,

если г = г (а, а,п) является корнем уравнения

•ф(Ь,Ь + г,п) = а, (19)

ip(b,R,n) = Р{\\г}(и) + х\\ R\ \\х\\ = Ъ} =

= JJj 2eM-0M\x-xf)dx.

Теорема 10 обобщается на случай произвольной матрицы ковари-ации Ег]Г)Т = Q 0.

Следствие 3. (стр. 97) Пусть fj(aj,X) = {х + г](ш) х Є X}, T){OJ) - гауссовский вектор, En — 0, ЕщТ = Q 0. Если для некоторого а 0 геометрическая разность множеств не пуста:

X - Е(0, Q, а) ф 0, (20)

то множество X — X + Е(0, Q, г), где г = г(а, а, п),

Е(0, Q, r) = {xeRn: xTQ 1x г2},

является обобщенным доверительным множеством для fj(u ,X) уровня не ниже чем а.

В общем случае нахождение максимального значения а такого, чтобы выполнялось условие (20) является достаточно сложной задачей. Однако, если множество возможных средних X - невырожденный эллипсоид, то параметр а находится с использованием соотношений для аппроксимации геометрической разности двух эллипсоидов [162].

Теорема 11. (стр. 98) Для статистически неопределенного случайного п-вектора

rj{u, X) = {х + г){ш) х Є Е(жо, R, 1)},

где Е(ж0,Д, 1) = {х Є Rn : {х - xofR- x - х0) 1}, R 0, г}{из) - гауссовский вектор с Ег\ = 0, ЕщТ = Q 0, мноэюество X + E(0,Q,r) является обобщенным доверительным мноэюеством уровня не ниже чем а, если г = г(а, а, п) - корень уравнения (19), и а = \їїах тіп г е min Xmax - минимальный и максимальный корни уравнения

det(# - XQ) = 0. (21)

Построены также оценки сверху обобщенных доверительных множеств для случая произвольного выпуклого множества возможных средних значений.

Теорема 12. (стр. 98) Пусть fj(u),X) = {х 4- г](ш) \ х Є X}, где T](LJ) -гауссовский случайный вектор с заданными параметрами распределения

Ег] = 0 ЕщТ = Q 0

X - выпуклый компакт из W1. Тогда Ха = X + Е(0, Q, Ь) является обобщенным доверительным мноэюеством уровня не ниэюе чем а для fj(u,X), если b = b(a,d,n) удовлетворяет уравнению

F(a,b,n) = a, (22)

F{a,b,n) = [(Ф(І + 2а) + фй1 А2(Ь2 - п - l)dL о Здесь Fx2 (z, п — 1) - функция х2 распределения с п — 1 степенью свободы,

d2 = dn(X) = min max( i — X2)TQ l(xi — хі).

4 х2ЄХ ХіЄХ

В §4-5 второй главы исследуется задача построения доверительных множеств для фазового состояния многошаговой линейной системы, содержащей как случайные, так и неслучайные возмущения (1)-(3). Рассмотрены линейные процедуры доверительного оценивания, использующие свойства обобщенных доверительных множеств, полученные в §3.

Третья глава диссертации посвящена исследованию задач стохастического управления с квантильным и вероятностным критериями в условиях неполной информации.

§1 этой главы содержит обзор результатов, связанных с эквивалентностью прямой и обратной задач стохастического управления в случае, когда распределения случайных возмущений заданы. В этом параграфе рассмотрены также свойства функции "наихудшей"(гарантированной) квантили целевого функционала, сформулированы прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной информации, доказана теорема о достаточных условиях их эквивалентности.

Пусть требуется минимизировать функционал F(u, (u , Z)), где и Є U - управление, (CJ, Z) - статистически неопределенный случайный вектор (OJ, Z) = {(CJ, z) I z Є Z}. В соответствии с терминологией [10] сформулируем прямую и обратную задачи стохастического управления.

Прямая задача-это задача максимизации гарантированной, (т.е. наихудшей возможной при данном и Є U) вероятности того, что целевой функционал не превышает заданного уровня q:

аа(и) — max. (23)

где

aq{u) = V{F{u,i{L ,Z)) q} = mmP{F(u,(u , z)) q}. (24)

zGZ

Другими словами, это задача нахождения оптимального значения вероятности

а — supmmag(u, z), (25)

ueU zz

где

aq(u,z) = P{F(u,t(u,z)) q},

Предполагается, что для всех и Є U множества уровня Yq(u) = {у Є Шп : F(u,y) q} измеримы. Из определения статистически неопределенного случайного вектора следует, что точная нижняя грань по z Є Z в задачах (23),(25) достигается.

Обратная задача - это задача нахождения по заданному уровню вероятности а Є (0; 1) оптимального значения "наихудшей"(гарантированной) квантили целевого функционала:

Яа= mf supgQ(u,2:), (26)

где

qa(u, z) = mm{q : P{F(u, (w, z)) q] a}. (27)

При рассмотрении задач (25) и (26) возникают теоретические проблемы, связанные с существованием оптимальных управлений в этих задачах, и эквивалентностью прямой и обратной задач, т.е. совпадению оптимальных управлений в задаче (25) и (26) при соответствующих значениях параметров q и а.

Отметим, что задача (25) не сводится в общем случае к задаче квантильного управления с полной информацией для "наихуд-шего"значения целевого функционала. Пусть функция F(u, (о;, z)) представима в виде

F(u, (w, z)) = Fi(u, z, rj(u)),

где 7]{UJ) - случайный вектор с известным распределением, z € Z -неопределенный неслучайный параметр.

Лемма 1. (стр. ПО) Для любых и Є U выполняется неравенство:

aq{u) aq(u), (28)

где &q(u) -наихудшее значение вероятности (24) при данном и Є U, ая(и)- вероятность непревышения заданного уровня q

aq(u) = P{F(u,V(u)) q}, (29)

для функции максимума

F(u,y) = maxFi(u,z,y).

z&Z

Обозначим qa(и) функцию "наихудшей"(гарантированной) квантили

Яа(и) = maxga(w,z). (30)

zZ Отметим, что свойства функции aq(u, z) определяются распределениями случайных величин (ш, z), видом функционала F(u,y) и множествами U и Z, а, функция квантили qa(u, z) целиком определяется функцией вероятности aq(u,z) в соответствии с определением (27). Функции "наихудших"квантили и вероятности aq(u) и qa(u) и их оптимальных значений а и д определяются по функции aq(u, z) и множествам U и Z.

Таким образом, вероятностные свойства модели определяют функцию вероятности aq(u, z), и, для фиксированной функции aq(u, z), задачи (25) и (26) являются детерминированными задачами нахождения минимаксных значений. Особенностями этих задач является монотонность по параметру д, ограниченность функции aq(u, z) и другие свойства функции вероятности, обусловленные спецификой стохастических задач управления [30, 31, 68, 155].

Так, если для некоторых (и, z) Є U х Z функция aq(u,z) строго монотонна и непрерывна на (g_;g+), то функция квантили qa(u,z) также строго монотонная и непрерывна на интервале (a-;a+), где

а_ = lim aQ(u,z), a+ = \im aJu z),.

q- q- q-+q+

и соотношение (27) переходит в более простое

qa(u, z) = {q: aq(u, z) = g}. (31)

В работе исследуется наиболее простой случай, когда функции ga(n, z) и aq(u, z) - непрерывные взаимнообратные функции для всех и Є U, z Є Z.

Теорема 13. (стр. Ill) Пусть выполняются следующие условия:

1) функция вероятности aq{u, z) - строго монотонно возрастающая непрерывная функция, определенная на Q(u, z) = (q (u, z), g+(w, z)) с областью значений (0,1) для любых и Є U, z Є Z;

2) минимум no z Є Z достигается при любых g Є (g_; q+) = Q, где

QCQ = f] Q{u,z) fr.

ueU,z&Z

Тогда функция гарантированной квантили qa(u) определена при всех и Є U и а Є (а_; а+\, qa(u) - строго монотонная непрерывная функция, обратная к aq(u), и выполняется соотношение

qa{u) =.min{g : V{F(u,i(u; Z)) q} = a}. (32)

Здесь

a- = lim cL, а+ = lim aq. Q- Q- я-+я+

Условие (32) означает, что qa(u) является границей обобщенного доверительного множества уровня а для статистически неопределенной случайной величины f(u , Z).

Отметим, во многих задачах стохастического управления функция вероятности нестрого монотонна, а в этом случае функция квантили разрывна.

Теорема 14. (стр. 112) Если выполняются условия теоремы 13

и для некоторого q\ Є Q множество Uqi оптимальных управлений

задачи (25) не пусто, то при a = а\ = maxaQl(u) оптимальное

иеи

значение в задаче (26) достигается, Uai С Uqi и minmaxgQl(w, z) = min qai(u) = q\.

Следствие 4. (стр. 112) Пусть выполняются условия теоремы 13 и для всех q Є Qi = (#1 , q+ ) С Q существует решение прямой задачи стохастического управления(25), тогда

1) для всех а Є А\ существует оптимальное решение обратной задачи стохастического управления (26) и Uai = Uqi при а\ = а х;

функции оптимальной квантили q a и оптимальной вероятности а - непрерывные, строго монотонно возрастающие взаимно обратные функции, определенные на Q\ и А\ соответственно, где = (91 ), = lim aj,c = lim aj.

Доказательства теорем и следствия основаны на свойствах задач оптимизации, зависящих от монотонных функций, рассмотренных в Приложении.

Полученные условия, обеспечивающие эквивалентность прямой и обратной задач стохастического управления, являются очень жесткими и, видимо, могут быть ослаблены. Однакодля рассмотренных в § 3 - § 5 этой главы задач оценивания и управления условия следствия 4 выполняются.

- §2 третьей главыпосвящен решению-задачи с квантильным-критерием в условиях неполной информации о распределениях случайных возмущений на основе перехода к детерминированной задаче с

оптимизацией по обобщенным доверительным множествам, то есть обобщению результатов [68] на случай неполной информации о распределениях случайных параметров.

Рассмотрим взаимосвязь между задачей с квантильным критерием (26) и задачей построения обобщенных доверительных множеств. Основной результат этого параграфа сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 15. (стр. 28) Пусть выполняются следующие условия:

1) вектор €(ш) имеет непрерывное распределение с плотностью ft(x) и fe(x) 0 для всех х Є W1;

2) функционал F\(u, z, у) непрерывен по у для всех и Є U, z Є Z;

3) для всех q Є R1 и Є U, z Є Z выполняется равенство

/ies{y : Fi(u,z,y) =q} = 0,

где fies(B)-Mepa Лебега множества В;

4) для аі Є (0,1) минимум по и Є U в задаче g = min maxga(u, z)

ueU zeZ

достигается.

Тогда

а = min max min maxFiiu, z, у), (33)

Ча ueu zez EaeayeEa u "yh K где a - множество всех доверительных множеств уровня не ниже а для случайной величины (cu, z), т.е. Еа Є Sa{z) тогда и только тогда, когда P{(w,z) Є Еа} а.

Это утверждение является обобщением аналогичного соотношения для задачи с полной статистической информацией, предложенного В.В. Малышевым и А.И. Кибзуном, и доказанного в [68] при более общих предположениях относительно свойств функции квантили qa{u).

Для решения задач с неполной информацией о распределениях или при наличии как случайных, так и не случайных возмущений, в [68] было предложено, объединять оба типа возмущений, т.е. искать оптимальное решение задачи

qa = min min max max F\ (и, z, у), (34)

UEU EQea zeZ уЄЕа \ где Fi(u, z, T](CJ)) = F(u, (u , z)), a - семейство доверительных множеств для 7](и) уровня не ниже а. Очевидно, что всегда выполняется

следующее неравенство:

Й Ча- (35)

Как правило, неравенство (35) строгое, и поэтому замена задачи (26) на более простую (34) может приводить к неоптимальным решениям. Отметим, что при выполнении условий существования и строгой монотонности функции qa и

aq = m&xP{F(u,(u)) q}

иЄи

взаимно обратны, здесь

F(u,y) = maxFi(u,z,y).

Далее сформулированы достаточные условия, при выполнении которых оптимальные значения критериев (34) и (26) совпадают.

Теорема 16. (стр. 115) Пусть оптимальные значения в задачах (34) и (26) достигаются и для любого и Є U найдется z = z (u) Є Z такое, что

F{uty) = F1(u,z ,y)

для всех у єМ.п, тогда qa = q a.

Оптимизацию по доверительным множествам можно заменить оптимизацией по обобщенным доверительным множествам. Пусть (LU,Z) = tp(z,r](uj)), где ф(у,г)- измеримая функция, 77(0;) - случайный вектор с заданным распределением. Обозначим Fi(u, z, у) = F{u {z,y)).

Теорема 17. (стр. 115) Пусть для функции F\(u, z, у) и случайного вектора 7](UJ) выполняются условия теоремы 15, тогда

q = min min max F(u, у)

где а С В - семейство обобщенныхдоверительныхмножеств- уровня не ниже а\ для статистически неопределенной случайной величины (co,Z) = {{;(LU,Z) \ z Є Z}} т.е. Еа Є а тогда и только тогда, когда- —

V{(u,Z) Є а] = minP{(cj,z) Є Ёа} а.

В §3 на примере задачи об оптимальном линейном оценивании априорно неизвестного вектора [10], проиллюстрированы основные соотношения §1 и §2 данной главы.

Четвертый параграф главы посвящен задаче о нахождении оптимальных размеров взлетно-посадочной полосы в условиях неполной информации о скорости ветра в момент посадки. Такая задача в условиях полной статистической информации рассматривалась в [155].

§5 посвящен нахождению субоптимального решения задачи кван-тильной оптимизации (26) на основе теоремы 17. По заданному уровню вероятности а выберем обобщенное доверительное множество Еа для статистически неопределенной случайной величины (CJ, Z) и решим минимаксную задачу, не содержащую случайных параметров:

qa — q(Ea) = minmaxF(u, у). (36)

Величину qa можно использовать, как оценку сверху для оптимальной квантили # , а решение й задачи (36) - как субоптимальное решение исходной задачи (26).

В четвертой главе рассматривается задача построения доверительных множеств для фазового состояния многошаговой системы, в описании динамики которой присутствуют как случайные возмущения с заданными распределениями, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений.

Предлагается общий подход к решению задачи доверительного оценивания состояния динамической системы с наблюдением в условиях неполной статистической информации, основанный на использовании информационных множеств [52] системы с неслучайными возмущениями, имеющими различные ограничения.

Задача построения оптимальных доверительных множеств рассматривается, как задача оптимизации функции квантили. Показа-но что для линейных многошаговых систем с гауссовскими. возмущениями оптимальные доверительные множества находятся с помощью нелинейных процедур оценивания в отличие от случая полной статистической информации. Приведены примеры, показывающие, что предлагаемые процедуры оценивания дают в некоторых случаях значительное уточнение по сравнению с линейными процедурами оценивания.

В §1 рассмотрена задача оценивания состояния динамической системы в условиях неполной статистической информации в общей постановке. Введены основные определения. Пусть динамика системы описывается соотношениями [5]:

ж,-+1 = P»(zi, Щ, &), XQ = ф0{х0, со), (37)

Уі+і = 9i(xi+i, vi+i, 77,-+1), г = 1,..., & - 1. (38)

Здесь X{- неизвестный фазовый п-вектор системы, у известный m-вектор наблюдений.

Помехи so, ,-, Т\І являются независимыми случайными векторами с известными законами распределения, размерностей по, пі и 77 соответственно. Функции фо(х,а), (pi(x,u, Ъ) и gi(x,v, с)- заданные измеримые вектор-функции, статистическая информация о векторах хо Є Rn, щ Є Rmi, Vi Є Rni отсутствует.

Обозначим через Wk = {XQ, Щ, ..., Uk-i, vi,..., v } вектор неопределенных параметров, Wk Є К 1, 1\ = п + к(ті 4- щ). Пусть информация о векторе Wk задается множеством его возможных значений:

wk Є Wk (39)

где Wfc- заданный компакт в MZl. В частности ограничения (39) могут быть геометрическими ограничениями на возмущения XQ, Щ, vf.

щ ЄЩ, Vi Є Ц, XQ Є Хо, (40)

где Ui С R™1, Vi С №.mi , Хо С Шп- заданные компактные множества.

Частным случаем системы (37)-(39) является многошаговая статистически неопределенная линейная динамическая системах наблюдением, которая рассматривалась в работах [35]-[41], [2]-[4], [168], [22] и др.

Наряду с системой (37)-(39) будем рассматривать, как вспомогательную, систему с неслучайными возмущениями различного вида

+1 = ( , ,6,-),. х0 = фо(х0,ао), (41)

Уі+\ = 9i(xi+i,Vi+i,Ci+i), і =1,..., к- 1. (42)

Здесь информация о возмущениях Щ,Щ,УІ И ao,&,,Q исчерпывается заданием множеств их возможных значений, а именно ограничениями (39) и включением

dk = {ao, Ь\,..., Ьк-i, ci,..., Ck} Є D, (43)

где D- заданное множество из R 1.

Рассмотрена задача построения доверительных оценок для состояния системы (37)-(39).

Определение 5. /5J Случайным информационным множеством Xk(Q) = Xk(yk(-),Wk, {Q}) называется множество состояний системы (37)-(39), совместимых с наблюдением ук{-) при заданном значении вектора случайных возмущений к = Q.

Другими словами, множество Хк(ук{ ), Wk, {С}) это информационное множество детерминированной задачи (41)-(43) при D = {Q}. Случайные информационные множества не используются для оценивания состояния статистически неопределенной системы (37)-(39), т.к. они зависят от реализации случайной величины.

Определение 6. (стр. 133) Множеством допустимых значений случайного вектора & будем называть множество

D0k = D0k(yk(-),Wk)cRl значений параметра (к в задаче (37)-(39), совместимых с наблюдением Ук( ) при Wk Є Wk, то есть множество значений неопределенного параметра dk Є М 2, для которых информационное множество детерминированной системы (41)-(42) при данном наблюдении ук(-) непусто:

D°k = {dk Є Ш1 : Хк(ук(-), Wife, Ш) ф 0}. (44)

Так как состояние системы (37)-(39) на &-том определяется неоднозначно для каждого допустимого значения Q. € МЇ2, и существует целое множество возможных значений фазового состояния системы - случайное информационное множество Хк(ук(-), Wk, Q), то для заданного измеримого множества Хк С Кп будем рассматривать следующие случайные события:

А-(хк) = {xk(vk(-),wk, ;k) с хк},"

А+(Хк) = {ХкЫ ),ЖкЛк)ПХк ф 0}.

Апостериорная вероятность события хк Є Хк точно не определена в связи с наличием в системе неслучайных возмущений wk, но

в рассматриваемых информационных условиях, то есть по реализовавшемуся вектору наблюдений ук(-) и множеству значений неопре-деленых параметров Wk оценивается снизу и сверху:

Рук(-М \хк)) Р{хк Є Хк yk(-),Wk} Рй(.)(Л+№)).

Введем обозначения для множеств возможных значений случайного вектора Оь

Определение 7. (стр. 134) Пусть Хк некоторое измеримое множество из Rn. Максимальным множеством возможных значений случайного вектора Ot, соответствующим множеству Xк, будем называть множество

ЦХк) = D+{Xk] ук( ), Wk) С К 2

значений неопределенного параметра /- в задаче (37)-(39), совместимых с наблюдением Ук( ) при Хк Є Хк и Wk Є Wk, то есть множество dk Є М!2, для которых пересечение соответствующего информационного множества детерминированной системы (41)-(43) и Хк непусто:

Dt{Xk) = {dk Є Rh : Хк(Ук(-) Wk, R}) Г)Хкф 0}. (45)

Определение 8. (стр. 135) Пусть Хк- измеримое множество из М.п. Минимальным множеством значений случайного вектора (к, соответствующим множеству Хк, будем называть множество

D (Xk) = D (Xk;yk(-)tWk) С Rh

значений случайного параметра в задаче (37)-(39), совместимых с наблюдением Ук{ ) Щи Wk Є Wk, и таких, что соответствующее состояние системы на k-том шаге принадлежит Xк при любом допустимом Wk Є Wk, то есть:

Dl{Xk) = {dk.G.Ml : 0 ф Хк(Ук(-), Wk, {dk}) Я Хк}. (46)

Лемма 2. (стр. 135) Для любого множества Хк Є Шп и любого наблюдения Ук( ) выполняются соотношения

Dk(Xk;yk(-)tWk) С D+(Xk]yk(-),Wk) С D°(yk(-),Wk).

Определение 9. (стр. 135) Множество Ха будем называть доверительным множеством уровня а для фазового состояния системы (37)-(39) на к-том шаге, если минимальная условная вероятность

V{xk Є Ха Ук{-),и)к € Wk} =

= Р{Хк(Ук{ ), Wk, С ) С Ха УА(.), wk Є Wk] = а. (47)

В случае полной информации о распределении случайных возмущений, т.е. когда множество Wk состоит из одной точки Wk = {и кУ, условие (47) переходит в

Р{хкЄХа \ук(-)} =

= Р{хк(ук(-), {w k}, С ) Є Ха I ук(-)} -а,

что совпадает со стандартным определением доверительного множества для в задачах оценивания с полной статистической информацией (см.например [33]).

Условная вероятность в определении 9 понимается, как вероятность, найденная при выполнении всех условий задачи, то есть соотношений (37)-(39) при известном векторе наблюдений ук(•). Заменить условную вероятность на безусловную в определении нельзя, т.к. при этом теряется смысл задачи оценивания, а доверительные множества могут оказаться пустыми, что противоречит самому понятию доверительного множества.

§2 посвящен свойствам множеств возможных значений случайного параметра DQ(yk{-),Wk), D$(Xk\yk{-),Wk) wD {Xk\yk{-),Wk).

Лемма 3. (стр. 136)Пусть Хк- дополнение множества Хк до всего пространства W1:

Хк = Ш.п\Хк,

тогда выполняется следующие равенства

D (Xk]yk(-),Wk) = D0(yk(-),Wk)\Dt(Xk;yk(.),Wk) (48)

и ЯЄ СТ в ИЬ) Я° (49) Теорема 18. (стр. 137) Пусть для мнооюества Хк соответствующие множества Dk(Xk;yl(-),Wk) и D\(yk(-),Wk) значений случайного параметра Qk, определяющиеся из соотношений (44) и (46), измеримы и

P{CkeD0k(yl(.),Wk} 0.

Если

P{qeD (Xk;yl(-),Wk)} _

то множество Ха являтся доверительным множеством уровня не ниже чем а для состояния системы (37)-(39) на к-том шаге.

Формула (50) не применима для классической задачистохасти-ческого оценивания, то есть для систем с полной статистической информацией о возмущениях ( Wj = {wk}) и непрерывными распределениями случайных возмущений, так как вероятности Р{& Є

ЛЇ(Й(-).М»}и

Р{Ск Є Dk {Xk fyl{-),{wk})} равны нулю в этом случае.

Следствие 5. (стр. 138) Пусть для множества Ха соответствующие множества Dk(Xa ,yl(-),Wk) и Dk(yk(-),Wk) значений случайного параметра Qk, определяющиеся из соотношений (45) и (46), измеримы и Р{Ск Є D°k{y k(-), Wk)} ф 0.

Если выполняется неравенство

P{CkeD+(Xa]y k(.),Wk)}

P{Ck Є Dl(yt(.),Wk} - a, (51)

где Xa = Rn /Xa, то множество Xa являтся доверительным множеством уровня не ниже чем а. для состояния системы (37)-(39) на к-том шаге.

Важным результатом этого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 19. (стр 139) Пусть множество Dp С Ш!2 является-доверительным множеством уровня /3 для случайной величины &, то есть Р{Ск Є Dp} = /3, тогда информационное множество X = Xk(yk( ),Wk,_Dp) системы__(41)-(43) при D=_Dp_является доверительным множеством уровня не ниже, чем

а= 1-( ) (1-(3), для состояния статистически неопределенной системы системы (37)-(39) на k-том шаге. Здесь

ai = Р{Хк(ук{-), %, (СИ) ф 0} = P{Ck Є Dl(yh{r)tWk)}. (52)

В §3 задача построения оптимальных доверительных множеств сводится к задаче квантильной оптимизации. Построим доверительные оценки для состояния статистически неопределенной системы (37)-(39) на основе перехода к задаче квантильного управления. Будем искать доверительные множества для фазового состояния в виде множеств уровня целевой функции

Xq{x) = {гбГ: р(ж -х) д},

где (,г)-целевая функция W1 —У Ж.1, такая что

/?(0) = min (z) = 0.

Задачу нахождения доверительного множества для фазового состояния статистически неопределенной системы будем рассматривать, как задачу стохастического управления с квантильным критерием:

«( «) = mm «( ) (53)

q(x) = min{g : V{p{xk - х) q \ yfc(-), Wk} a}

Вместо задачи (53) можно решать задачу максимизации вероятности

aq{xq) = ma,xaq{x) 74 ч/ хтп (54)

aq(x) = V{ p(xk -х) q\ Sflk(-), ИУ, Так как вероятность

р{ае 0ы-),щ} = «1 (55)

и не зависит от q и х, то задача (54) переходит в следующую задачу стохастической оптимизации с квантильным критерием:

&&) = mgA( y (56)

Pq(x) = P{&D-(Xq(xy,yk(-),Wk)},

где Xq{x) = {xGW1 : ср(х - х) q). Аналогично задачу (53) заменяется на:

qa{x) = min{g : Р{к Є D-(Xq(x);yk(-),Wk)} а аг}}.

Теорема 20. (стр. 141) Мнооюество

Ха = Xq(xa) = {х Є R" : ф - ха) q}, (58)

где ха и q = qa{xa) определяются соотнощениями (57),(55), является доверительным мнооюеством уровня не ниже чем а для состояния системы системы (37)-(39) на к-том шаге.

Полученные задачи стохастической оптимизации с квантильным и вероятностным критериями (56),(57) являются достаточно сложными для численного решения даже для линейной многошаговой системы. В §4 рассмотрена задача построения оптимальных доверительных множеств для линейной задачи оценивания, приведен пример численного их нахождения. Показано, что полученные оценки нелинейно зависят от реализовавшегося сигнала ив некоторых случаях дают значительное уточнениепо сравнению с линейными процедурами.

В §5 рассматривается задача построения информационных множеств системы при наличии в ней неопределенных возмущений двух типов: с геометрическими и со связанными квадратичными ограничениями. Приведенные здесь результаты носят вспомогательный характер и используются затем для изучения поведения доверительных оценок статистически неопределенных систем.

§6 посвящен задаче построения доверительных оценок для фазового состояния линейной статистически неопределенной системы (1)-(3). Рассмотрены доверительные оценки состояния системы, основанные на нелинейных методах изложенных в §1—§3 этой главы. Приведен пример построения доверительных оценок для параметров линейной модели, в котором применение предлагаемых методов приводит к получению более точных доверительных оценок, чем предлагавшиеся ранее методы.

При стремлении матриц ковариации к нулю доверительные множества для состояния статистически неопределенной системы сходятся к информационному множеству для системы без случайных возмущений.

Теорема 21. (стр. 148) Пусть в задаче (1)-(3) матрицы ковариации имеют вид

Р0() = 62Р0, Q\) = e2Qi, Я& = е2Д +1 і = О,..., к - 1. (59)

Если для системы без случайных возмущений X%et ф 0 и множество Wk имеет непустую внутренность , то для любого а Є (0.5; 1) и любой неубывающей последовательности Ej — • 0 существуют доверительные мноснсества Ха3 уровня не ниже, чем (У. для фазового состояния системы (1)-(3) на к-том шаге, такие что Х% С Xij) и X{aj) - Х$ при j -+ +оо.

Пятая глава диссертации посвящена исследованию линейных задач стохастической оптимизации; Предполагается, что оптимальные решения выбираются на основе бикритериального подхода и оптимизируют два первых статистических момента целевого функционала. Такой подход широко используется в финансовом анализе и восходит к работам Г. Марковича [165, 166], в соответствии с которым оптимальным (эффективным) является портфель, ожидаемая доходность которого фиксирована, а дисперсия реальной доходности минимальна. Развитию теории рынка, на основе анализа инвестиционных решений, оптимальным по критериям ожидаемая доходность и риск, посвящены работы Дж. Тобина [188], В. Шарпа[177, 126], Е. Элтона и Г. Грубера [144] и др. В настоящее время приобрели популярность также вероятностные и квантильные критерии оптимальности инвестиционного портфеля, такие как Var (Value-at-Risk)[189].

В §1 четвертой главы введено понятие сопряженных задач линейной стохастической оптимизации, изучены их свойства. С помощью двойственных соотношений изучается важный вопрос о взаимосвязи между уточнением параметров распределения и изменением множества эффективных решений, то есть между задачами наблюдения и эффективного ( оптимального по Парето) управления. Рассмотрен наиболее простой случай при отсутствии ограничений на возможные управления.

Рассмотрим простейшую задачу выбора оптимальных по Парето решений, оптимизирующих статистические моменты линейной целевой функции.

Задача (А). Пусть w = иТх, где х - гауссовский n-вектор с заданными моментами:

Ех = х, Е(х-х)(х-х)т = Р 0.

Требуется найти множество Паретчэ-бптимальных решений и Є №.п в задаче

Ew = и х —У max

D(w) = uTPu — min.

Оптимальные по Парето решения задачи (А) будем называть эффективными, следуя принятой в финансовом анализе терминологии. Множество эффективных решений в задаче (А) имеет вид [177]:

U = {\и \\ 0, и = Р 1х]

и для любого эффективного управления и U выполняется равенство

т(и) = да(и),

где т(и) = E(w(u)), а (и) — y/D(w(u)), д = \/хТР 1х.

Величина g называется ценой риска [177] и показывает пропорциональность между увеличением ожидаемой полезности решения при увеличении "риска" - среднеквадратичного отклонения полезности.

Определение 10. (стр. 166) Эффективное решение и = Р 1х будем называть базисным.

На основе базисного эффективного решения могут быть найдены решения следующих задач:

1) задачи оптимизации ожидаемой полезности при фиксированном риске:

max{m(u) : и Є ]Rn, cr(u) s};

2) задачи минимизации риска при заданном уровне полезности:

тт{а(и) : и Є Rn,m(u) fi}.

Эти решения соответственно равны иа — g lsu и и = д 2ци .

Введем следующее определение сопряженных задач стохастической оптимизации.

Определение 11. (стр. 167) Задача стохастической оптимизации (А) со случайной целевой функцией w{x) = иТх, х Є Кп, называется сопряженной к задаче (А), если и - случайный гаус-совский вектор и его статистические моменты равны соответственно

Ей = її = Р гх,_.. Е{и - и)(и - й)Т = Р 1.

Рассмотрены свойства решений сопряженных задач эффективного управления.

Лемма 4. (стр. 167) Сопряженная к сопряженной задаче совпадает с исходной.

Лемма 5. Цены риска g и д, а также оптимальные значения квантили д в сопряженных задачах (А) и (А) совпадают для всех ає(0;1).

Лемма 6. Пусть х\ и х2 n-мерные целевые вектора в задачах (Аі) и {А2) соответственно, и х2 = Gx\, где G - невырожденная п х п матрица. Тогда

1) цены риска в задачах (А\) и (А2) совпадают;

2) в задачах (Лі) и (Лг); сопряженных к (А{) и (А2) соответственно, целевые векторы связаны соотношением и2 = {G l)Tui.

Лемма 7. (стр. 168) Пусть задачи эффективного управления (АІ) г = 1,2,3 имеют случайные целевые векторы х\,х2 и х$ соответственно, вектора х\ и х2 независимы, а

з = xi + Gx2.

Тогда для случайных целевых векторов щ, (г = 1, 2, 3) в сопряженных задачах выполняется:

щ = D3[D ui + GD2lu2) (60)

где щ = Ещ, D{ = Е(щ — щ)(щ — щ)Т, т.е. распределение вектора щ совпадает с апостериорным распределением априорно неизвестного вектора щ после двух наблюдений: щ = щ, и2 = GTu%.

Лемма 8. (стр. 169) Пусть ХІ,І= 1,2,3 - случайные целевые вектора в задачах эффективного управления (АІ), Х\ и х2 независимые гауссовские вектора с заданными моментами распределений. Информация о векторе х$ задается двумя соотношениями (наблюдениями) Х\ = хз и х2 = Gx3. Тогда цены риска gi в задачах (АІ) определяются соотношением

дз=9і + 92- (xi - GxsfK- xt- Gx3), (61)

К = GP\GT + Р2 и случайные целевые вектора в сопряженных задачах связаны соотношением:

Щ = и\ + GTu2.

Из свойств эффективных управлений (леммы 5-8) в сопряженных задачах следует теорема о разделении задач эффективного управления и наблюдения.

Теорема 22. (стр. 170) Пусть Х{, i = 1,2,3 случайные целевые вектора в задачах стохастической оптимизации (АІ), вектора х\ и Х2 независимые гауссовские с известными моментами распределений ЕХІ = ХІ, Е{ХІ—ХІ)(ХІ—Х І)Т = Pi 0. Информация о векторе хз задается соотношениями х\ = х$, Х2 = Gx%. Тогда множество эффективных решений в задаче (А%) с целевой функцией w — и х равно

и 3 = {\и \ и 3 = и\ + GTu 2,\ 0},

где и\ = PflXi - базисные эффективные решения в задачах (А{) соответственно.

Результат, сформулированный в теореме 22, позволяет корректировать управления по мере получения новой информации о целевом векторе.

В §2 предложена экономическая интерпретация сопряженных переменных и сопряженной задачи на примере задачи о формировании инвестиционного портфеля.

Рассмотрим классическую однопериодичную задачу управления портфелем ценных бумаг [165, 188]. Пусть на рынке есть п различных активов (акций), доходности которых на рассматриваемый период формализуются как случайные величины рг-, г = 1,...,п с заданными моментами распределения:

Ер = р, Е(р-р){р-р)Т = Р 0, (62)

где р = {р\,..., рп}- Предполагается также возможность вложения капитала и взятия кредита с безрисковой процентной ставкой г.

Доходность инвестиционого портфеля каждого инвестора к концу периода определяется вектором и = {и\,..., ип}, каждая координата которого щ- это доля капитала, инвестированного в г -тый актив. Доля капитала, вложенного в безрисковый актив равна щ = 1 — 1ти, где /-(1,...,1} ЄІП.

Рассмотрен случай, когда ограничении на щ нет, то есть предполагается допустимость короткой позиции по рисковым активам и взятия кредита с безрисковой процентной ставкой. В этом случае

в соответствии с хорошо известной моделью Capital Asset Pricing Model (САРМ), полученной на основе результатов Марковица и То-бина [165, 188], каждый инвестор выбирает портфель, принадлежащий множеству оптимальных по Парето решений бикритериальной задачи:

т(и) = Ew{u) — max, (63)

а2(и) = E(w(u) - т(и))2 - min, и Є Rn.

Здесь w(u) = W(U,OJ) = гщ + иТр(ш) - случайная величина, характеризующая доходность инвестиционного портфеля.

В соответствии с 2-х фондовой теоремой [177] любой эффективный портфель и имеет одну и ту же структуру рисковой части и состоит из линейной комбинации "рыночного"портфеля ир и безрискового портфеля и0 = {0,..., 0}, то есть

й = Лпр + (1- А)и°, Ає[0;оо].

"Рыночный"портфель ир определяется на основе базисного эффективного решения задачи (63) и равен

ир = (IV)-V, и = р-\р - rl).

Задачу выбора эффективных инвестиционных решений можно сформулировать также и как параметричекую задачу минимизации риска:

Задача (А). По заданной ожидаемой доходности ц и заданному распределению случайных доходностей активов p(oS) найти инвестиционное решение (распределение капитала по активам), имеющее минимальный возможный риск при заданной доходности, то есть минимальную возможную дисперсию.

Рассмотрим эту ситуацию с другой стороны. В действительности каждый инвестор имеет свою собственную информацию о доходно-стях активов к концу периода и принимает свое собственное решение об инвестировании. Предполагая,что на рынке действует достаточно много мелких инвесторов, можно рассматривать распределение инвестиционных портфелей на рынке ценных бумаг.

При таком подходе доходности активов р{ == "г Ч- -"щ неизвестны в начале периода и определяются по распределению портфелей на рынке из условия минимума разброса доходностей портфелей для

рынка в целом при условии фиксированной средней доходности рынка.

Задача (В) По заданному уровню ожидаемой доходности рынка її и заданному распределению инвестиционных решений, определить доходности активов, для которых разброс прибыли инвесторов в целом по рынку будет минимальным.

Сформулируем более точно задачу (В). Пусть на рынке действуют К инвесторов. Капитал &-того инвестора обозначим W k\ k = 1,...,К. Через иц обозначим объем вложений k-тото инвестора в г-тый актив.

Структура портфеля ;-того инвестора будет описываться вектором yW = {y[k),..., 2/п0}, где

(k)

Доля инвестиций в безрисковые активы инвестора составит у$ = 1-FyW.

Доходность портфеля инвестора будет зависеть от доходностей активов за период / = г + х% и будет равна

mW(x) = ryP + J i + г)у?] = xTyW + г.

t=i

Общий объем рынка составит

k=l

а средняя доходность по рынку в целом будет равна

m(x) = = w . (64)

fc=l k=l

Отклонение доходности портфеля &-того инвестора от среднерыночной составит т№{х) — т(х), и разброс доходностей портфелей по рынку в целом описывается величиной

к ш#0--- D(x) = )(х) - m(o;))2—. (65)

Таким образом, задача (В) принимает вид:

D(x) - min, х Є Rn, (66)

rh(x) [Ґ,

где fh(x) и D(x) определяются соотношеними (64) и (65) соответственно.

Если на рынке действует достаточно много мелких инвесторов, то ситуацию можно моделировать, рассматривая случайный вектор у(й) -"портфель случайно выбранного инвестора". Этот случайный вектор будет определен вероятностном пространстве Q, не совпадающем с вероятностным пространством Q, на котором были заданы случайные доходности активов в задаче (А).

При таком рассмотрении задача (В) примет вид:

E(w(x, и) - mix))2 -» min, (67)

rh(x) = E(W(X,LJ)) ц .

Здесь w = и;(я,а))-случайная величина, отражающая доходность инвестиционного портфеля, определенная вероятностном пространстве Q. Её распределение зависит от распределения инвестиций у(Со) и неизвестных пока доходностей активов х к концу периода:

U)(x, LJ) — Г + ХТу(ш),

где х = {х\,..., хп} - вектор, определяющий превышение доходностей активов над безрисковой процентной ставкой г.

Задача (67) может трактоваться, как условие минимальной дисперсии рынка ценных бумаг в целом при заданном уровне fi его средней доходности. Если заменить параметрическую задачу (67) на соответствующую бикритериальную

E(w(x:u) -m(x))2 - • min, (68)

mix) = E(w(x,tb)) -» max,

то задачи (63) и (68) будут сопряженными в смысле данного в §1 этой главы определения. Таким образом, свойства сопряженных задач стохастического управления, рассмотренные в §Гпятой главы могут использоваться не только для коррекции инвестиционных портфелей после получения новой информации об ожидаемых доходностях

активов, но и для прогнозирования доходностей по распределению инвестиционных решений на рынке.

Отметим, что экономическая интерпретация двойственных переменных является достаточно спорным вопросом даже в классической теории линейного программирования, однако использование таких интерпретаций помогает лучше понять и проанализировать исходную задачу оптимизации.

В §3 этой главы бикритериальный подход распространяется на динамическую задачу линейной стохастической оптимизации. На основе свойств сопряженных задач изучается связь между задачами эффективного управления и оценивания для многошаговой билинейной системы. Предполагается, что в процессе управления поступает дополнительная информация о распределении целевого вектора. Изучается вопрос об изменении эффективных решений в зависимости от реализовавшегося наблюдения. Полученные результаты основаны на известных отношениях двойственности между задачами управления и наблюдения [55, 59, 57]. Пусть случайный п-мерный вектор описывает состояние объекта

xk+i = Ak+iXk + bk+i + k+i, к = 0,1,..., N -1, (69)

a wk - полезность выбранного управления и = {щ,..., ик} на к-том шаге

Wk+i = Ік к + ul+1xk+i + (cfc+i + т+і)т(ик+і - uk). (70)

Здесь 7fc 0, Ak - заданные n x n матрицы, вектора щ,ск,Ьк Є Rn известны, WQ - задано. Случайные вектора щ и ;- независимы и распределены по нормальному закону, параметры их распределений заданы

Е& = Ещ = 0, Е&$ = Rk 0, Ещг)тк =Qk 0. (71)

В процессе управления поступает дополнительная информация

ук = Gkxk + Ob (72)

где Gk заданные т х п матрицы, (к - случайное гауссовское возмущение с известными характеристиками

Щк = 0, ЕС,кС,к = 0,к Требуется выбрать управление {ui,..., и } так, чтобы величина полезности управления WN(U) в конце рассматриваемого периода была максимальной. Управление ик на к-том шаге может зависеть от всех параметров системы и наблюдения {у\,... ,Ук} ДО А;-того шага включительно. Так как w (u)- нормально распределенная случайная величина, моменты которой зависят от выбранного управления, то критериями эффективности управления выберем функции

тп{и) — EWN{U) — max (73)

D(u) = E(wN - E(wN))2 - min.

Теорема 23. ( стр. 182) Базисное эффективное управление в задаче без наблюдения (69) - (71), (73) совпадает с апостериорным средним значением фазового вектора щ динамической системы в

vk-i = A%vk + Щ, uN = dN + N, vN = 0, (74)

uk-i = и - Tjjjfe - %, k = 2,..., N, (75)

с информацией о состоянии системы на каждом шаге

dk = vk-i - fc, k = 2,..., N, (76)

и информации о состоянии системы при к — 1;

h = А\иг + мі -i, (77)

где d\ = R 1(A\xo + &i).

Рассмотрена задача о выборе эффективного адаптивного управления для системы (69)- (72) с критериями (73). На каждом шаге, по наблюдению {2/1,..., ук} до момента к включительно, и выбранному управлению {щ,..., Щ-і}, выбираются управления {и к, ик+1,..., u N}, являющиеся Парето-оптимальными по критериям (73).

Из свойств эффективных решений следует, что. соответствующая сопряженная система состоит из уравнений (74) - (77) и дополнительной информации о состоянии системы на 1-ом шаге.

В §4 рассмотрена проблема существования стационарных эффективных решений в многошаговой задаче управления инвестиционным портфелем, сформулированы условия существования стационарных оптимальных управлений в условиях линейной модели роста цен.

Автор выражает глубокую признательность академику Александру Борисовичу Куржанскому за ценные научные консультации и поддержку.

Постановка задачи и обзор процедур оценивания состояния многошаговой системы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37]-[44], [104]- [115], [150]- [154], [182]- [187].

Свойства обобщенных доверительных множеств

Во второй главе рассмотрена задача построения доверительных множеств в условиях, когда информация о распределении случайных возмущений не полна. Особенностью задачи построения доверительных множеств является ее неоднозначное решение: для одного и того же случайного вектора и заданного уровня вероятности а существует бесконечно много доверительных множеств, что дает исследователю дополнительную возможность при выборе оптимального способа оценивания. Как правило, доверительные оценки в условиях неполной информации о распределении случайного вектора основывается на объединении однотипных доверительных множеств, что приводит во многих случаях к слишком широким доверительным множествам.

Отметим, что термин "статистически неопределенный "часто используется для обозначения совершенно разных математических понятий, поэтому здесь дано определение статистически неопределенного случайного вектора. Задачи оценивания для статистически неопределенных систем рассматривались в [2]-[7],[22], [32]-[36],[79, 80, 168] и др.

Для уточнения доверительных оценок в условиях неполной информации вводится понятие обобщенного доверительного множества для статистически неопределенного случайного вектора. Рассмотрены свойства обобщенных доверительных множеств, найдены их оценки сверху и снизу для нормального распределения с неточно известным средним значением, приведены примеры точного нахождения обобщенных доверительных множеств.

Полученные результаты применяются для построения доверительных оценок фазового состояния статистически неопределенных линейных многошаговых систем, сравниваются различные линейные процедуры построения доверительных оценок. Используя обозначения [79], здесь и далее будем обозначать точную нижнюю грань множества F(B) через Очевидно, что 0 V {,{UJ і К у) Є В} 1, но минимальная вероятность не является вероятностной мерой, т.к. не обладает свойством аддитивности. Для любых множеств В1 и В2 из В№ таких, что В\ П В2 = 0, выполняется лишь неравенство Проблема нахождения множества F(B) (2.1.1) возникает, во-первых, при решении задач стохастического управления с квантильным и вероятностным критериями [10, 29, 68, 155]. В этом случае множество вероятностных мер определяется допустимыми управлениями ueU: vlIpH исследовании устойчивости решений задач стохастической оптимизации с вероятностными ограничениями [130, 175] множество допустимых распределений Кц выбирается, как правило, близким к заданной вероятностной мере /ІО( ) В ТОЙ или иной метрике пространства ц, т.е. Кроме того, эта же проблема изучается в теории робастного оценивания [121], в том числе при решении вопроса о "наихудшем"распределении [30]. Далее будем рассматривать случай, когда множество вероятностных мер - параметрическое, Кц = {/х(-, z), z Є Z}, где Z .- заданное множество возможных значений параметра, то есть распределение случайной величины (а , //()) = (о;, z) зависит от неопределенного параметра z Є Z.

В теории управления и оценивания статистически неопределенными называются системы, динамика которых зависит как от случайных, так и от неслучайных неопределенных возмущений [35, 36, 40, 41, 52, 2, 5, 167, 168]. Статистически неопределенные системы можно также рассматривать как системы, содержащие случайные возмущения, распределения которых точно не заданы и зависят от неопределенного параметра. Для детального исследования вопроса о доверительных оценках случайного вектора с неточно известным распределением введем следующее определение.

Прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной статистической информации

Оценки, полученные с помощью теорем 2.5.2, 2.5.3, для системы с наблюдением могут быть уточнены, с одной стороны, на основе выбора оптимальных в том или ином смысле матриц Л; [10, 79, 168], с другой стороны- с использованием нелинейных процедур оценивания, рассматриваемых в четвертой главе. Однако, эти методы требуют значительного объема вычислений.

Задачи управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации Данная глава посвящена исследованию задач стохастического управления с квантильным критерием в условиях неполной информации о распределении случайных возмущений. Предлагаемые методы решения основаны на минимаксном подходе к задачам управления с неполной информацией, восходящем к работам Красовского Н.Н. [55, 56] и получившем свое развитие в работах А.Б.Куржанского [59, 35, 162].

Впервые задача стохастического управления с квантильным критерием была сформулирована в [149]. Изучению задач квантильно-го управления посвящены работы [94, 30, 68, 155, 130, 28, 29] и др. Качественное исследование задач управления с квантильным и вероятностным критерием базируется на изучении свойств функции квантили и вероятности, таких как монотонность, непрерывность по аргументу и управлению, дифференцируемость, квазивыпуклость и квазивогнутость. Эти свойства систематически исследовались российскими и зарубежными математиками [28, 29, 30, 68, 172, 94, 130, 155]. Задачи выбора управлений, оптимизирующие квантиль целевого функционала в условиях неполной информации о параметрах распределений изучались в работе [10], там же была сформулирована проблема эквивалентности задач максимизации вероятности непревышения заданного уровня и задачи минимизации квантили целевого функционала.

В работе В.В. Малышева и А.И. Кибзуна [68] были получены достаточные условия эквивалентности прямой и обратной задач стохаотического управления в условиях полной статистической информации. Этими же авторами был предложен метод решения кван-тильного управления, основанный на переходе к детерминированной задаче с оптимизацией по доверительным множествам. В 1 этой главы исследуется эквивалентность прямой и обратной задач стохастического управления в условиях неполной статистической информации. Во 2-ом параграфе предлагается метод решения статистически неопределенных задач управления с квантильным критерием на основе перехода к оптимизации по обобщенным доверительным множествам, введенным во второй главе. В 3 на примере задачи нахождения оптимальной линейной оценки вектора по измерениям, содержащим как случайные, так и не случайные возмущения, проиллюстрированы основные теоретические результаты. В четвертом параграфе исследована задача о выборе оптимальных параметров взлетно-посадочной полосы. В 5 рассмотрено использование обобщенных доверительных множеств и результатов 2 для нахождения субоптимальных решений в задаче стохастической оптимизации в условиях неполной информации.

В этом параграфе рассмотрены свойства функции "наихудшей"(гарантированной) квантили целевого функционала, сформулированы прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной информации, доказана теорема о достаточных условиях их эквивалентности.

Построение доверительных множеств как задача квантильной оптимизации

Рассматривается задача построения доверительных множеств для фазового состояния многошаговой системы, в описании динамики которой присутствуют как случайные возмущения с заданными распределениями, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений. Задача построения оптимальных доверительных множеств рассматривается, как задача оптимизации функции квантили. Показано, что для линейных многошаговых систем с гауссовскими возмущениями оптимальные доверительные множества находятся с помощью нелинейных процедур оценивания в отличии от случая полной статистической информации. Приведен пример, показывающий, что предлагаемые процедуры оценивания дают значительное уточнение по сравнению с линейными процедурами оценивания.

Задача оценивания состояния динамической системы в условиях неполной статистической информации о распределениях случайных возмущений исследуется, начиная с работ [35, 36], где были построены рекуррентные соотношения для множеств возможных средних значений фазового состояния. В работах [2, 10, 80, 168] исследовались проблемы нахождения оптимальных линейных оценок для статистически неопределенных систем. В [40, 41] предложены нелинейные процедуры оценивания, основанные на минимизации функции невязки. Работы [5, 52] посвящены исследованию задач оценивания состояния для нелинейных систем.

В статьях [21, 22] рассматриваются задачи доверительного оценивания состояния многошаговой линейной и билинейной систем. Предлагаемые там оценки получены на основе объединения доверительных множеств для состояния системы, полученных при различных допустимых значениях неопределенных возмущений. Такой подход позволяет получить алгоритмы оценивания в виде линейных реккурентных соотношений, которые могут быть реализованы в режиме реального времени.

В данной главе предлагается общий подход к решению задачи доверительного оценивания состояния динамической системы с наблюдением в условиях неполной статистической информации, основанный на использовании информационных множеств [52] системы с неслучайными возмущениями, имеющими различные ограничения.

Для простейшей задачи оценивания получены оптимальные доверительные оценки на основе выбора оптимальных доверительных множеств для случайных возмущений в системе.

Задачи доверительного оценивания и управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации Тимофеева Галина Адольфовна

Постановка задачи и обзор процедур оценивания состояния многошаговой системы

Свойства обобщенных доверительных множеств

Прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной статистической информации

Построение доверительных множеств как задача квантильной оптимизации

Похожие диссертации на Задачи доверительного оценивания и управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации