Введение к работе
Диссертация посвящена разработке вычислительных методов решения задач анизотропийного анализа — вычислению средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизо-тропийной нормы дискретной линейной стационарной системы — с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации Также рассматривается вычислительный метод го-мотопии для решения задачи синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта управления с параметрической интервальной неопределенностью
Актуальность темы. Задачи оптимального управления играют решающую роль при синтезе современных систем управления Обычно система управления действует в присутствии внешних возмущений, и поэтому выбор критерия качества задачи оптимизации мотивируется различными предположениями о природе возмущения, воздействующего на систему Широко известные задачи 7І2- и Тіоо-оптимизации линейных стационарных систем управления основаны на использовании %- и Ноо-норм в соответствующих пространствах Харди матричнозначных передаточных функций В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского регулятора, представляющего собой линейную систему, минимизирующую некоторый функционал качества, квадратичный по состоянию и управлению, предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов XX века в работах А М Летова и Р Калма-на Такая задача является частным случаем более общей задачи Яг-оптимизации, рассмотренной в работах Д Дойла, К Гловера, П Харгонекера, Б Фрэнсиса, П Гаинета и П Апкаряна, Д В Баландина и М М Когана С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна, или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение При использовании Tioo-оптимального подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом
Данное направление было основано Д Зеймсом в середине 80-х годов XX века и развивалось в работах Д Дойла, У Шейкеда, Б Фрэнсиса, Д Гу, П Иглесиаса, К Гловера, К Шерера, К де Сузы, Р Скел-тона, П Гаинета и П Апкаряна, Д В Баландина и М М Когана.
Важными требованиями, предъявляемыми к регуляторам, являются робастность по отношению к внешним возмущениям и степень консервативности (энергетические затраты на управление) Известно, что 7^2-птимальные регуляторы не являются робастными, в то время как Woo-оптимальные регуляторы излишне консервативны Поэтому в последние годы актуальным является поиск регуляторов, которые, оставаясь робастными по отношению к внешним возмущениям, затрачивали бы меньше энергии на управление, чем Woo-оптимальные регуляторы
Существует несколько подходов к решению данной задачи Один из них — смешанный 'Hi/'Hoo подход — предполагает разбиение внешнего возмущения на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и использование многоцелевого критерия качества Такой подход был рассматривался в работах Д Бернстайна, В Хаддада, К Зу, К Гловера, Д Дойла с середины 90-х годов XX века Второй подход связан с синтезом регуляторов, рассчитанных на случай функционирования системы в присутствии случайных внешних возмущений, вероятностные характеристики которых известны неточно Это направление, основанное в те же годы и развитое в работах И Г Владимирова, А П Курдюкова и А В Семенова, предполагает использование теоретико-информационных критериев качества и называется стохастической Т^о-оптимизацией Стохастическая норма передаточной функции замкнутой системы является одним из применяемых информационных критериев Она характеризует чувствительность выхода системы к случайным входным возмущениям, вероятностное распределение которых известно неточно
Анизотропийная норма системы представляет собой частный случай стохастической нормы и применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение является гауссовской случайной последовательностью с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией В
этом случае коэффициент усиления от внешнего возмущения к управляемому выходу описывается анизотропийной нормой передаточной функции системы Средняя анизотропия последовательности случайных векторов является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (окрашенности), или, что то же самое, мерой отклонения последовательности случайной величины от белого шума Вычисление средней анизотропии гауссов-ской случайной последовательности и анизотропийной нормы системы составляют задачи анизотропииного анализа В диссертационной работе представлено решение задач анизотропииного анализа с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации После появления в середине 90-х годов прошлого века эффективных численных методов решения задач выпуклой оптимизации и линейных матричных неравенств, представленных в работах Ю Нестерова, А Немировского, С Бойда, данный вычислительный подход широко применяется для решения задач Н-г и ^^оптимизации Применение линейных матричных неравенств для оценки и вычисления средней анизотропии случайной последовательности и анизотропийной нормы системы является актуальным и представляется привлекательным с вычислительной точки зрения
Задача синтеза анизотропииного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму передаточной функции дискретной линейной стационарной замкнутой системы, была поставлена и решена в работах И Г Владимирова, А П Курдюкова и А В Семенова Аналитическое решение задачи синтеза оптимального анизотропииного регулятора для системы с неопределенностью было получено в работах Е А Максимова и А П Курдюкова Решение данной задачи сводится к отысканию решения системы алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного алгебраического уравнения специального вида Разработке вычислительного метода для решения этой сложной системы нелинейных алгебраических уравнений посвящена вторая часть диссертационной работы
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка вычислительных методов решения задач анизотропийного анализа — вычисления средней анизотропии гауссовской случайной последовательности, генерируемой формирующим фильтром с известной реализацией в пространстве состояний, и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата вьшукпой оптимизации Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит разработка вычислительного метода решения задачи синтеза оптимальных анизотропийных регуляторов для дискретных линейных систем со структурированной параметрической неопределенностью
Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также вычислительной математики
Научная новизна. Получено необходимое и достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида В терминах линейных матричных неравенств получена оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности Разработаны вычислительные методы расчета средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации Разработан вычислительный метод гомотопии для решения задачи синтеза линейного робастного регулятора, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям модели объекта управления из заданного класса
Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования
Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием вычислительных методов математической теории управления линейными объектами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робаст-ных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности в 'сравнении с широко использующимися в настоящее время Tioo-оптимальными регуляторами
На защиту выносятся следующие положения.
-
Достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида
-
Оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в терминах линейных матричных неравенств Вычисление точного значения средней анизотропии с помощью аппарата выпуклой оптимизации
-
Вычисление анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации
-
Вычислительный метод гомотопии с ньютоновскими итерациями для решения задачи синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта с параметрической интервальной неопределенностью
-
Применение разработанного вычислительного метода для численного решения задачи подавления случайных возмущений для модели летательного аппарата, содержащей параметрическую неопределенность, на режиме посадки в условиях внешних возмущений и шумов измерений с ограниченной средней анизотропией
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных научных симпозиумах и конференциях 15-й Международной конференции «Управление процессами» (Штрбске Плесо, Словакия, 2005), 4-й Международной конференции «Идентификация систем и проблемы управления» (ИПУ РАН, 2006), 9-м Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем» имени Е С Пятницкого (ИПУ РАН, 2006), 7-й Международной конференции «Управление процессами» (Коути-над-Десноу, Чехия, 2006), 5-м Международном симпозиуме IFAC «Синтез робастного управления» (Тулуза, Франция, 2006), 25-й Конференции памяти Н Н Острякова (Санкт-Петербург, 2006), 17-м Международном симпозиуме IFAC «Управление в авиации и космонавтике» (Тулуза, Франция, 2007), 9-м Международном семинаре IFAC «Адаптация и обучение в управлении и обработке сигналов» (Санкт-Петербург, 2007)
Публикации По теме диссертации опубликовано три статьи [1-3] в научных журналах, одно научное издание [4] и девять работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [5-13]
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (101 источник), а также содержит 21 рисунок Общий объем диссертации составляет 111 страниц
