Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема среднеквадратичной оптимизации для дискретных и дискретно-непрерывных систем 10
1.1. Основные понятия и общие формулировки решаемых задач 10
1.2. Обзор литературы по теме исследований 26
1.3. Особенности среднеквадратичной оптимизации для дискретно-непрерывных систем 30
Глава 2. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для дискретных и дискретно-непрерывных систем 33
2.1. Математическая модель объекта управления для ДНС с учетом погрешностей в измерениях 33
2.2. Алгоритм синтеза оптимальных регуляторов для ДНС 35
2.3. Алгоритм синтеза оптимального регулятора для дискретных систем 48
2.4. Реализация разработанного алгоритма для ДНС в среде Matlab 58
2.5. Структура оптимальных регуляторов для дискретных и дискретно-непрерывных систем
Глава 3. Исследование предельных возможностей среднеквадратичной оптимизации 63
3.1. Особенности оценки предельных возможностей оптимизации для дискретных и дискретно-непрерывных систем 63
3.2. Предельные возможности при минимальных энергетических затратах на управление для дискретных систем 64
3.3. Предельные возможности при минимальных энергетических затратах на управление для ДНС 71
Глава 4. Вопросы оптимальной стабилизации курса морского судна 78
4.1. Уравнения динамики системы управления движением морского судна 78
4.2. Уравнения движения морского надводного судна по курсу 84
4.3. Компьютерное моделирование процессов управления в замкнутой системе 86
Заключение 104
Литература 106
- Основные понятия и общие формулировки решаемых задач
- Обзор литературы по теме исследований
- Математическая модель объекта управления для ДНС с учетом погрешностей в измерениях
- Особенности оценки предельных возможностей оптимизации для дискретных и дискретно-непрерывных систем
Введение к работе
Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований
В настоящее время большое внимание уделяется теории автоматического управления, которая является теоретической базой автоматизации технологических процессов и технических систем. Указанная теория характеризуется наличием развитого аппарата математических и инженерных методов анализа и синтеза сложных динамических объектов и управляющих устройств.
Широкое распространение в теоретических исследованиях и в практических приложениях получили развитие методы построения оптимальных регуляторов для линейных объектов, обеспечивающих минимум среднеквадратичного критерия, характеризующего качество процессов управления в синтезируемой системе с обратной связью.
Основную роль здесь играет базовая теория аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах A.M. Лё'това, В.И. Зубова, А.А. Красовского, В.В. Солодовникова, B.C. Пугачёва, Н. Винера, Р. Калмана и многих других выдающихся ученых.
В частности, заслуженной популярностью пользуется теория синтеза оптимальных регуляторов, обеспечивающих минимум среднеквадратичных функционалов для линейных объектов, подверженных воздействию внешних возмущений случайного характера.
Большой вклад в становление и развитие математических моделей,
методов и алгоритмов по данному направлению внесли В.В. Солодовни
ков [91], B.C. Пугачёв [82 — 84], А.А. Красовский [54, 56], А.А. Первозван-
ский[71], Ю.П. Петров [72-75], Х.Квакернаак [51],
Е. Н. Розенвассер [85 - 87] и многие другие исследователи. Существенные
результаты в рамках данной проблемы, создавшие почву для дальнейших исследований, приведены в таких известных работах, как [2], [3], [38], [39], [58,60],[67],[70],[107J.
Необходимо отметить, что среднеквадратичная оптимизация является сравнительно грубым математическим аппаратом анализа и синтеза динамических систем. Однако, в силу своей достаточной адекватности реальным объектам, как совокупности математических моделей, этот подход широко распространен, что подтверждается богатым опытом его применения на практике. Теоретическая и практическая значимость оптимального среднеквадратичного синтеза при относительной грубости и простоте его математического аппарата позволяют использовать в качестве класса средств вычислительной техники современные ПЭВМ. Привлечение ПЭВМ, вычислительные ресурсы которых при соответствующей ориентации математического обеспечения достаточны для указанной цели, может позволить с наибольшей эффективностью использовать среднеквадратичную оптимизацию в научных исследованиях и практических реализациях.
Особое внимание при этом уделяется вопросам автоматизации анализа устойчивости и качества динамических процессов, а также аналитического поиска законов управления. Системы автоматического управления сложными объектами в качестве составных элементов часто содержат различные цифровые устройства. Поэтому необходима адаптация существующих или разработка новых математических методов поиска оптимальных регуляторов применительно к тем техническим средствам, на которых они реализуются.
С включением в контур управления цифровых вычислительных машин возникает актуальная задача подбора дискретных законов управления для непрерывных динамических объектов. В настоящее время в основном используется два подхода для решения этой проблемы. В первом случае строится дискретная модель объекта и для нее синтезируется дискретный закон управления. Сразу отметим, что к недостаткам такого подхода сле-
дует отнести тот факт, что далеко не всегда можно игнорировать поведение системы между моментами квантования. Во втором случае для непрерывной системы находится непрерывный регулятор, который после заменяется его дискретным аналогом при реализации в цифровых вычислительных машинах. При этом неизбежно возникает вопрос о выборе дискретной аппроксимации непрерывного закона управления, чтобы характеристики полученной замкнутой системы были близки к характеристикам непрерывной системы. Попутно заметим, что эту проблему можно рассматривать как отдельную задачу, которая сравнима по сложности с исследованием исходной непрерывной системы.
Указанные недостатки таких подходов привели к созданию новой линейной теории цифрового управления в непрерывном времени, основанной на понятии параметрической передаточной функции, введенной Е. Н. Розенвассером [85], которая позволяет находить дискретные законы управления непосредственно по непрерывной модели объекта.
Тем не менее, существует возможность определенного развития этой теории на базе объединения ряда положений с многоцелевым подходом к среднеквадратичному синтезу. Это позволяет упростить вычислительный аппарат и повысить в целом эффективность среднеквадратичной оптимизации дискретно-непрерывных систем.
Целью диссертационной работы, в связи с изложенными обстоятельствами, является проведение исследований, направленных на развитие математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических объектов для дискретно-непрерывных и дискретных систем. Указанные методы должны быть ориентированы на реализацию алгоритмов синтеза оптимальных регуляторов с помощью цифровых вычислительных машин. Целью работы также является изучение свойств и структуры оптимальных регуляторов для дискретных систем, а также изучению предельных возможностей управляемых систем в дискретной и дискретно-непрерывной постановке задачи синтеза. Конечным результатом исследований является
разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения соответствующих прикладных задач исследования и проектирование систем управления движением судов на базе полученных теоретических результатов.
При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:
развитию новой техники поиска оптимального решения на множестве устойчивости замкнутой дискретно-непрерывной системы (ДНС), позволяющей построить оптимальный регулятор непосредственно по исходным данным;
изучению, на базе принятого представления, особенностей и свойств оптимальных регуляторов для дискретно-непрерывных систем;
исследованию свойств дискретных законов управления;
оценке допустимого шага дискретности для дискретных регуляторов;
сравнению трех основных подходов к решению задачи для дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных синтезируемых систем.
Практическая ценность результатов диссертации определяется тем, что она позволяет упростить вычислительные процедуры синтеза оптимальных регуляторов, а также определять структуру оптимальных регуляторов для дискретных систем без непосредственного решения задачи синтеза.
Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав с выводами по каждой из них, заключения по диссертации в целом, приложения и списка литературы, включающего 119 наименований.
В первой главе рассматривается постановка задачи среднеквадратичного оптимального синтеза для дискретно-непрерывных систем, когда решение ищется на множестве передаточных функций регуляторов, обеспечивающих устойчивость замкнутой системы. Приводится постановка задачи синтеза для дискретных систем, формулируются проблемы, связанные с предельными возможностями и структурой оптимальных регуляторов.
Во второй главе производится анализ существующих алгоритмов синтеза оптимальных регуляторов для ДНС и предлагается новый способ их построения, который не требует решения вспомогательной системы полиномиальных уравнений. Кроме того, в этой же главе рассматривается задача синтеза для дискретных систем. Приводится алгоритм построения оптимального дискретного регулятора, который позволяет оценить структуру регулятора без его непосредственного вычисления, основываясь исключительно на анализе исходных данных задачи.
Третья глава посвящена изучению предельных возможностей среднеквадратичной оптимизации для дискретно-непрерывных и дискретных систем. Основное внимание при этом уделяется выводу формул для оценки снизу величины энергетических затрат на управление, позволяющие без непосредственного решения задачи синтеза провести анализ динамических характеристик и свойств системы.
Четвертая глава посвящена рассмотрению конкретных технических примеров применения методов и алгоритмов, полученных в диссертационной работе, реализованных в пакете прикладных программ Matlab. Для трех различных постановок задач: дискретной, непрерывной и дискретно-непрерывной строится оптимальное управление и проводится сравнительный анализ динамики замкнутой системы.
Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.
Предложен новый способ построения оптимальных регуляторов, доставляющих минимум среднеквадратичному критерию качества для дискретно-непрерывных систем, не требующий в качестве одного из этапов построения регулятора трудоемкой вспомогательной процедуры решения системы полиномиальных уравнений.
Изучены предельные возможности оптимальных регуляторов для дискретных и дискретно-непрерывных систем. Основное внимание при этом уделяется выводу формул для оценки снизу величины энер-
гетических затрат на управление, позволяющие без непосредственного решения задачи синтеза провести анализ динамических свойств замкнутой системы.
Проведено исследование структуры оптимальных регуляторов для дискретных систем управления, получены формулы, позволяющие находить степень числителя и знаменателя передаточной функции оптимального регулятора без его непосредственного вычисления.
На содержательном примере решения задачи управления движением морского судна проанализирована эффективность предложенных вычислительных схем, проведена оценка допустимого шага дискретности в регуляторе для непрерывной системы.
Отдельные части диссертационной работы докладывались на 11-м Международном семинаре IFAC "САО 2000м (Санкт-Петербург, июль 2000 г.), на XXXI научной конференции «Процессы управления и устойчивость», на XXXIV научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики ~ процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем факультета ПМ-ПУ и лаборатории компьютерного моделирования систем управления НИИВМиПУСПбГУ.
По материалам диссертации опубликовано четыре печатные работы.
Основные понятия и общие формулировки решаемых задач
Для исследования динамики подвижных объектов, находящихся под воздействием внешних возмущений, естественно принять теорию среднеквадратичной оптимизации [7], [92], [87], [99], [40], [72]. Этот подход достаточно адекватен задачам, которые решаются при исследовании и проектировании систем управления движением с учетом морского волнения.
Основные подходы к решению задач среднеквадратичной оптимизации можно разбить на три группы: — частотный (спектральный) подход; — временной подход, базирующийся на понятии пространства состояний; — комбинированный подход, использующий преимущества частотных и временных методов.
До 60-х годов эти методы, как правило, базировались на идеях теории оптимальной фильтрации Колмогорова-Винера и математическом аппарате уравнений Винера-Хопфа. Поскольку в общем случае решение уравнений Винера-Хопфа сопряжено со значительными трудностями, то в этот период наиболее эффективными оказались частотные методы решения стационарных задач, которые с использованием Фурье-преобразования позволяли сравнительно просто получать решение уравнения Винера-Хопфа в частотной области.
С 1960 г. начали интенсивно развиваться временные методы синтеза, базирующиеся на принципах классического вариационного исчисления. Широкое распространение получили временные методы, использующие математический аппарат матричных и дифференциальных уравнений Рик-кати. Однако указанный аппарат далеко не всегда легко применим. В связи с этим продолжил свое развитие подход с использованием частотных методов синтеза.
Задачи синтеза линейных систем с обратной связью при случайных возмущениях на бесконечном интервале обычно решались частотными методами, основанными на замене замкнутой системы эквивалентной разомкнутой системой с последующим использованием идей теории оптимальной фильтрации Колмогорова-Винера. Однако подобная схема не обладает достаточной мерой универсальности при рассмотрении объектов управления с различными динамическими свойствами. В работе [2] предлагается другой подход, также использующий идеи Колмогорова-Винера, но не связанный с приведением системы с обратной связью к эквивалентной разомкнутой системе. Предложенный там метод базируется на специальном выборе варьируемой функции.
В последнее десятилетие получил свое распространение подход к решению задач среднеквадратичной оптимизации, базирующийся на ряде понятий теории функций действительной и комплексной переменной. Этот подход, сводяндийся к оптимизации по нормам н[_ и flHJI , предложен в литературе [105-110, 114, 116, 117].
В действительности все реальные динамические объекты функционируют в непрерывном времени. В то же время современные системы автоматического управления реализуются с помощью средств вычислительной техники, которые по своей сути являются цифровыми и обладают многими преимуществами с точки зрения простоты реализации и перенастраивае-мости.
В последние годы получил существенное развитие принципиально новый подход, основанный на методе прямого синтеза импульсных систем, под которым понимается синтез цифрового регулятора для непрерывного объекта управления без каких либо упрощений и аппроксимаций. При таком подходе система управления в целом функционирует в непрерывном времени и содержит в своем составе дискретный элемент, поэтому такие системы называют дискретно-непрерывными. Рассмотрению именно таких систем, в основном, и посвящена данная глава.
Прежде чем приступать непосредственно к постановке задачи среднеквадратичного синтеза для ДНС, приведем некоторые наиболее важные определения, используемые в дальнейшем.
Одним из ключевых понятий при анализе и синтезе ДНС является концепция параметрической передаточной функции, введенная в работе [85]. Заметим, что понятие обычной передаточной функции для ДНС ввести не удается, поскольку они не являются стационарными. Но в то же время, если период квантования сигналов не меняется, то система в целом является периодически нестационарной. Для такой системы можно ввести аналог обычной передаточной функции.
Обычно в теории автоматического регулирования принято представлять системы управления в виде соединения элементов направленного действия, т. е. систем, имеющих вход и выход. Математическим аппаратом, служащим для описания таких систем часто является дифференциальные или интегральные уравнения. Если между входом и выходом имеется однозначная связь (в случае дифференциального уравнения при фиксации начальных условий), то математическим описанием элемента является оператор.
Обзор литературы по теме исследований
Проведем краткий обзор научных публикаций, непосредственно относящихся к теме исследований.
Основополагающими работами по применению математических методов и моделей в аналитическом синтезе регуляторов являются труды Ле-това А. М. [61, 62, 63], Зубова В. И. [45-49], Красовского А. А. [54, 55]. В этих работах математические модели объекта и регулятора представляются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний. Математическая теория для моделей «вход-выход» развита слабее и отражена, например, в монографиях Дезоера Ч. и Видья-сагара М. [38], Фомина В.Н. [100].
Теория методов синтеза оптимальных по среднеквадратичным критериям качества регуляторов начала свое развитие с методов решения задач оптимальной фильтрации и упреждения, которые были развиты в трудах Колмогорова А. Н. [52] и Винера Н. [117]. Дальнейшее продолжение исследований связано с именами Г. Боде и К. Шеннона, Р. Калмана и Р. Бью-си [50]. Основные положения указанной теории отражены в монографиях Солодовникова В. В. [91], Пугачева В. С. [82], Свешникова А. А. [89]. Как показано в [2], непосредственное применение данной теории к синтезу систем управления с обратной связью сопряжено с трудностями принципиального характера.
Во второй половине XX столетия начали появляться работы, которые посвящены различным аспектам применения теории оптимальной фильтрации к задачам управления. Прежде всего, здесь стоит отметить труды Ньютона и др. [70], Чанга Ш. [101]. В этих работах в отличие, например, от [39] оптимизация не носит параметрический характер, и при определенных условиях позволяет получать передаточные функции оптимальных регуляторов. Следует отметить, что в данных работах акцент делался на поиске оптимальных весовых функций замкнутых систем. Однако все публикации данного направления в целом основаны на идеях оптимальной фильтрации Колмогорова-Винера. Основным недостатком здесь является невозможность построения единой вычислительной схемы решения для объектов с различными динамическими свойствами, включая неустойчивость и неми-нимальнофазовость.
На основе работ данного направления возник частотный подход к среднеквадратичному синтезу, предложенный в работах Ларина В. Б., Науменко К. И., Сунцева В. Н. [58-60, 93]. Данный подход представляет собой единый метод синтеза систем автоматического регулирования с обратной связью для объектов с различной динамикой. Он основан на параметризации множества допустимых решений и позволяет находить решения, выраженные через некоторые вспомогательные варьируемые функции. Однако вычислительные алгоритмы, сформированные в рамках данного подхода, обладают рядом недостатков. К ним следует отнести сложность выполнения ряда операций, таких как выбор вспомогательных полиномов, являющийся неудобным для машинной реализации, выполнение сепарации и др., а также неудобство формы представления передаточной матрицы оптимального регулятора, затрудняющее исследование его свойств.
Отмеченные недостатки в известной мере были преодолены в работах [13], где впервые предложен новый подход к поиску оптимального решения для скалярного варианта (SISO) задачи. Дальнейшее развитие для SIMO-задач этот подход получил в статьях [16, 17, 19, 23, 115], и диссертации [26]. Рассмотрение ряда вопросов во многосвязной (MIMO) постановке выполнено в работах [68, 69].
Второе направление в теории среднеквадратичного синтеза непосредственно не связано с винеровской фильтрацией. В некоторых работах данное направление называют временным или методом пространства состояний. Сюда следует отнести подходы, базирующиеся на решении матричных уравнений Риккати. Соответствующие методы теории среднеквадратичного синтеза представлены, например, в монографиях [51, 63, 67, 97]. Необходимо отметить, что привлечение методов данного направления становится оправданным лишь при наличии нескольких управлений. В задачах со скалярными управлениями данный подход в вычислительном плане нельзя признать экономичным, а в аналитическом плане — удобным для исследований.
Третий подход, который в известном смысле объединяет временные и частотные методы в рамках единой теории оптимизации по норме Н2 в пространствах Харди передаточных матриц регуляторов [106, 104, 116].
За последние годы было предложено несколько подходов к решению задач синтеза в дискретно-непрерывной постановке. Большая часть из них основана на концепции «лифтинга» квантованного непрерывного сигнала в функциональных пространствах бесконечномерной размерности [118, 109]. С помощью такой процедуры строится некоторая модель эквивалентной дискретной системы в пространстве состояний, и дальнейший анализ и синтез выполняется с помощью методов пространства состояний для стационарных дискретных систем. Принципиальным недостатком такого подхода является наличие операций с бесконечномерными матрицами, что с практической точки зрения весьма затруднительно.
Второй и наиболее адекватный систематический подход к исследованию ДНС является концепция, представленная в работах Е. Н. Розенвассера [85 - 87], основанная на методе параметрических передаточных функций.
Развитие этого метода получило свое отражение в работах К.Ю. Полякова [76, 80], в которых рассматривается многомерная задача синтеза, основанная на теории полиномиальных уравнений. Однако, в одномерной постановке, данные алгоритмы могут быть серьезно улучшены.
Необходимо отметить, что вопросы, связанные с предельными возможностями и структурой оптимальных регуляторов, широко исследовались для задач синтеза в непрерывной постановке [13] как в одномерном, так и в многомерном случае. Однако данные вопросы являются актуальными и для дискретных и дискретно-непрерывных систем.
Математическая модель объекта управления для ДНС с учетом погрешностей в измерениях
Как было отмечено выше, в настоящее время существует ряд методов решения задачи синтеза оптимальных регуляторов, математическая постановка которой была сформулирована в первой главе. Наиболее универсальным из них представляется путь, представленный в работе [77]. Тем не менее, указанная методика, на наш взгляд, может быть серьезно улучшена. В настоящей главе предлагается метод решения задачи среднеквадратичной оптимизации одномерной замкнутой системы, который позволяет построить регулятор непосредственно по исходным данным без необходимости решения вспомогательной системы полиномиальных уравнений. Кроме того, представление результата решения задачи оптимального синтеза в виде, принятом в новом алгоритме, открывает новые возможности с исследованием предельных возможностей оптимизации линейных управляемых систем.
На схеме, изображенной на рис. 4, объект управления представлен передаточной функцией A(s), динамическая обратная связь — функцией G(s), H(s) — передаточная функция привода, W{z) — передаточная функция цифрового регулятора, которая представима в виде (1.1.11), где W\(z) и Wz{z) — полиномы, причем для физически реализуемого алгоритма управления W2(0) не должно быть равно нулю. Выходной сигнал и управляющий сигнал в соответствии с общей постановкой обозначим через x(t) и u{t) соответственно. Будем считать, что внешнее возмущение p{i) проходит через устойчивый формирующий фильтр C9(s). Помеха измерения выходной координаты y/(t) проходит через устойчивый формирующий фильтр Cw(s). Считается, что в цифровой вычислительной машине в качестве передаточной функции формирующего элемента, как показано в главе 1, используется фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией (1.1.17).
Необходимо отметить, что по сравнению с общей постановкой задачи, сформулированной во введении, будем считать, что помимо внешнего воздействия в системе присутствует ошибка измерения, которая по сути представляет стационарный случайный процесс, удовлетворяющий эрго-дической гипотезе и имеющий нулевое математическое ожидание и заданную спектральную плотность. Предположим, кроме того, что внешнее возмущение и помеха измерения — независимые единичные белые шумы.
Рассмотрим подробнее вопрос об оценке степеней регулятора по исходным данным математической модели объекта. Знание степеней позволяет получить сведения о структуре оптимального регулятора без его непосредственного построения, что очень важно, поскольку последнее связано со значительным объемом вычислений.
Сформулируем в виде теоремы результат, который позволяет определить степени числителя и знаменателя оптимального регулятора в задаче синтеза в дискретно-непрерывной постановке. Рассмотрим теперь задачу синтеза для дискретно-непрерывного случая. При этом будем рассматривать систему управления, введенную в главе 2, функционал качества вида (1.2.5) и регулятор (1.1.11). Докажем соответствующее утверждение о монотонности среднего квадрата оптимального решения и оптимального управления для ДНС. Теорема 6. Для системы, замкнутой регулятором (1.1.11), который доставляет минимум критерию качества (1.2.5), функции zx=Fx(X) и zu=F2{X) строго монотонны на полупрямой Д є [0,оо). Доказательство. Допустим, что это не так, т. е. функции F\, Fi не являются строго монотонными на полупрямой [0, оо). Следовательно, на указанной полупрямой существуют, по крайней мере, две такие точки XQ фХ\, что Fi(Xo) = Fi(X{). Но это означает, что / 2(Д о) =- 2 1)- В противном случае нарушается предположение об оптимальности регулятора. Рассмотрим регулятор, построенный оптимальным для До- Он обеспечит значение крите рия 11=XQZX1+ZU1, но регулятор, построенный оптимальным для Ді, обеспечит значение этого же критерия I2 =XQZX2+ZU21 что больше, либо равно 1\. Аналогично построим функционал вида I =Xlzx2+zu2 с регулятором, построенным оптимальным для Д, что меньше, либо равно I4 = Xlzx]+zul. таким образом, zu2=zuv
Итак, мы имеем дело с двумя регуляторами, которые обеспечивают для замкнутой системы одинаковые значения средних квадратов управле ния (z„2 =za,) и управляемой координаты (zx2=zxl)
Особенности оценки предельных возможностей оптимизации для дискретных и дискретно-непрерывных систем
При реализации регуляторов, обеспечивающих минимум среднеквадратичному функционалу, существенную роль играет требование достаточной эффективности применения оптимальных регуляторов по сравнению с регуляторами более простой структуры. Если мы можем обеспечить с помощью последних качество функционирования замкнутой системы близкое к наилучшему при данных ограничениях, то применение оптимальных регуляторов может стать нецелесообразным, поскольку реализация регуляторов более простых структур обычно обходится дешевле.
В связи с этим возникают проблемы, которые тесно связаны с аналитическим исследованием предельных возможностей оптимизации управляемых систем. Сюда, прежде всего, относятся выяснение следующих вопросов. 1. Какова точность управляемой системы при отсутствии управляющего воздействия, если разомкнутая система устойчива. 2. Какова минимальная мощность, необходимая для обеспечения устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система неустойчива. Получение ответов на поставленные вопросы позволит получить как способ оценки эффективности оптимальных регуляторов без непосредственного решения задачи синтеза, так и открыть пути к конструктивным методам повышения эффективности оптимизации. Важность исследования данного случая состоит в том, что оно позволяет ответить на вопрос: какова минимальная мощность управления необходима для обеспечения устойчивости замкнутой дискретной системы, если разомкнутая система неустойчива. Этот вопрос тесно связан с вопросом о существовании её решения. Действительно, если окажется, что минимальная мощность больше чем величина, определяющая ограничение на мощность управления, то решение основной задачи синтеза не существует. Рассмотрим задачу синтеза для дискретных систем. При этом будем рассматривать функционал качества в виде I=v xt + и{ , где за v обозначено v = X /pi при \І Ф 0. Докажем утверждение о монотонности среднего квадрата оптимального решения и оптимального управления. Теорема 4. Для системы (1.1.21), замкнутой регулятором (1.1.23), который доставляет минимум критерию качества (1,1.22), функции х =f\(v) и щ = (v) строго монотонны на полупрямой v є [0,оо).
Доказательство. Предположим обратное, т. е. функции f\, /2 не являются строго монотонными на полупрямой [0, оо). Следовательно, на указанной полупрямой существуют, по крайней мере, две такие точки vi Ф vz, в которых /i(v() =/i(v2). Но это означает, что fi{v\) —fiiyj). В противном случае нарушается предположение об оптимальности регулятора.
Рассмотрим регулятор, построенный оптимальным для vi. Он обеспе чит значение критерия I{ = vl xtl + ип , но регулятор, построенный оптимальным для V2, обеспечит значение этого же критерия І2 = уі хґ2 + Щ2 что больше, либо равно /]. Аналогично построим функционал вида I3 = v2 xl2 + ut2 с регулятором, построенным опти-мальным для v2, что меньше, либо равно /4 = v2 хп + utl . Таким образом, ui2 = un . Итак, мы имеем дело с двумя регуляторами, которые обеспечивают для замкнутой системы одинаковые значения средних квадратов управле-ния ( И/і = и,2 ) и управляемой координаты ( д:г1 = х/2 ). Это означает одно из двух: либо решение задачи неединствено для vi и v2, что исключается единственностью решения основной задачи синтеза, когда z - преобразование последовательности корреляционных коэффициентов есть дробно-рациональная функция, либо числители и знаменатели передаточных функций обоих регуляторов тождественно равны, а следовательно справедливо равенство vt = vz- Докажем это.
