Содержание к диссертации
1 Введение 4
1.1 Описание систем с ударами 6
1.1 Л Волновая теория удара 6
Дискретные модели. Метод конечных элементов , 7
Комплементарный подход 8
Метод функции штрафа в ударной механике . . , 9
Численный анализ и моделирование 9
Билл нарды.Устойчивость и хаос в динамических системах 10
L1.7 Управление в виде обратной связи 12
1.1.8 Метод пространственно-временных преобразований для описания динамики систем с ударами как
развитие метода пеиальтпзацин 13
L2 Об управлении в сингулярной фазе (фазе нештатной си
туации или фазе удара) 18
2 Управление в механических системах с одиночными
ударами 27
2.1 Постановка задачи удара тела о неподвижное препятствие 27
2.1.1 Математическое и физическое условия взаимо
действия 28
2Л.2 Решение задачи удара тела о неподвижное пре
пятствие, обладающее вязко-упругнмн свойствами 31
2.1.3 Выводы по разделу 36
2.2 Управление в фазе удара тела о неподвижное препятствие 37
Два вида сохранения контакта 37
Постановка задачи оптимального управлення ... 39
Пространственно-временное преобразование , . , 40 2.2-4 Решение задачи оптимального управления . . . . 41 2.2.5 Импульс, полученный телом в фазе удара 45
2-2.G Выводы по разделу 46
2-3 Задача об остановке шарика вязко-упругой ракеткой , . 47
Уравнение движения с физическими условиями контакта 47
Постановка задачи оптимального управления с физическими условиями контакта 48
Решение задачи оптимальною управления . - - . 48
Условия остановки шарика п специальное управление 50
Задача оптимального управления с математическими условиями окончания взаимодействия . - , 54
2.3.0 Парадокс в математических условиях окончания
взаимодействия 56
2,3.7 Выводы по разделу 59
2-4 Об устойчивости движения в системах с ударами . . . - 59
2-5 Выводы из главы 63
3 Математические модели множественного удара 64
ЗЛ Виды множественного удара 64
3.2 Математическая модель удара упругой цепочки матери
альных точек о неподвижное препятствие 08
3.2.1 Уравнения движения цепочки 69
3.2.2 Постановка задачи 72
3-2-3 Определение частот и амплитуд колебаний, воз
никающих в фазе удара цепочки тел о неподвиж
ное препятствие 72
Время нахождения в фазе удара цепочки тел . - . 78
Импульсная нагрузка на препятствие со стороны цепочки 79
Зависимости скорости центра масс и кинетической энергии цепочки от времени 8L
Скорость тпмепепия кинетической энергии цепочки 82
3.3 Задача оптимального управления в фазе удара упругой
цепочки о движущееся препятствие 85
Постановка задачи 85
Решение задачи оптимального управления ... - 87 ?>А Выводы из главы 88
A 92
A.I Управление в фазе удара тела о препятствие D2
АЛЛ Мсздели Максвелла и Келввіша-Фоfirm дли
вязко-упругой среды 92
АЛ.2 Доказательство теоремы 2Л 94
АЛ.З Определение момента переключения управления , 95
АЛ.4 Случаи 1) и 2) ОС
АЛ ,5 Доказательство теоремы 2.2 100
АЛ .6 Исследование случая а — к2 < 0 101
А,2 Математическая модель удара упругоН цепочки матери
альных точек о неподвижное препятствие 102
А.2Л Доказательство теоремы ЗЛ. Вывод рекуррент
ной формулы (3,G) 102
А.2.2 Многочлены Чебышева 103
А.2.3 Доказательство теоремы 3-3 103
А,2/1 Доказательство теоремы 3,4 105
А.2.5 Пример цепочки, состоящей из 7 тел (N = 7) . - 107
Введение к работе
Механическая система с односторонним и ограничениями по ее состоянию описывается динамическими уравнениями вида
z=F{x9xtu), f(z,t)>0, (LI)
где х Є R" - вектор обобщенных координат системы, и Є Rm - управление, которое в общем случае может задавать обратную связь системы. Механическая система состоящая из твердых, взаимодействующих друг с другом тел попадает в подкласс систем, которые могут быть описаны уравнениями (ІЛ). В общем случае решения (L1) являются негладкими функциями времени. Эта негладкость возникает вследствие ударов при эволюции динамической системы, когда ее траектории достигают поверхности f(x, t) = 0. Поэтому необходимо, чтобы траектории все время находились в разрешенной области координатного пространства Ф = {х : f(x,t) > 0}.
Динамические системы с ударами, которые относятся к классу негладких динамических систем, вызывали интерес исследователей сміє со времен древних греков В XVII и XVIII веках Декарт, Ньютон, Пуассон, Гаусс, Гюйгенс занимались изучением явления столкновения двух твердых тел. Позднее Дарбу и Карно внесли большой вклад в теорию ударных взаимодействии. Сейчас уже почти забыт тот факт, что динамика систем с ударами применялась к юучению моделей распространения частиц евста. Подобные модели используются и сейчас для описания движения молекул идеального газа, а также для описания сложного динамического поведения систем, называемых биллиардами,
В настоящее время много задач, связанных с динамикой многосоставных механических систем с односторонними ограничениям,
остаются нерешенными. Здесь есть математические задачи (существование, единственность продолженных решений, непрерывная зависимость от начальных данных, бифуркации, хаос), задачи численного анализа (как разбивать па составные части сложную смесь дифференциальных уравнения и алгебраических условно), механические задачи (множественные удары и их правильное моделирование, контакты с учетом силы трепня (парадокс Пеплсвс)), задачи системного анализа (управляемость, устойчивость).
Цель проделанной диссертационное работы состоит в том, чтобы ответить на некоторые поставленные выше вопросы, а именно, па вопросы управления п оптимального управления по энергии таких систем, математического моделировании множественных ударов и управления механическое системой в фазе множественного удара.
Из вида уравнений (1.1) становится понятно, что механическая система но достижению в фазовом пространстве ограничения f(xyt) — О в общем случае мгновенно перескакивает в другую точку с темп же пространственными координатами, но с другими значениями проекции скоростей, за исключением случая, когда решение x(t) системы на некотором интервале времени удовлетворяем f[x(t),t) = 0. Эти новые значении проекции скоростей задаются при помощи ньютоновского коэффициента восстановления, в то время как сам процесс удара (взаимодействия между телами) оказывается как бы скрыт в этом коэффициенте, поскольку длительность фазы удара полагается равной нулю. Управление в таких системах входит только в безударную фазу движения.
Основным отличием систем, рассмотренных в диссертационной работе, от подобных .моделей является конечная (ненулевая) длительность фазы удара, Решение уравнений движения системы в фазе уда-ра позволяет снизать послеударные макроскопические характеристики системы (скорость центра масс, полную энергию и т.д.) с доударньт-ми- Другой отличительной особенностью проделанного исследования является введение в фазу удара управляющего воздействия, которое, в частности, позволяет управлять коэффициентом восстановления и расширяет область достижимости в фазовом пространстве от одной точки (в случае отсутствие управления) до некоторой области.
Следует отметить, что идея рассмотрения ненулевой длительности фазы удара не нова. В частности, в J7J Л.П.Иванов говорит о необходимости рассмотрения конечной длительности фазы удара в связи с
возможностью применения в пей конечных управляющих СИЛ,
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")
