Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные методы и средства моделирования сложных систем 10
1.1. Современные методы моделирования сложных систем 10
1.2. Компьютерное моделирование 14
1.3. Инструментальные средства компьютерного моделирования 19
Выводы 27
Глава 2. Разработка концептуальной модели 28
2.1. Топливно-энергетический комплекс как сложная система 28
2.2. Концептуальная модель 35
2.3. Разработка дерева целей и набора концептуальных шаблонов 40
2.3.1 Построение дерева целей ТЭК 40
2.3.2 Разработка набора шаблонов для ТЭК Мурманской области 45
Выводы 50
Глава 3. Формальный синтез моделей системной динамики на основе шаблонов 51
3.1. Основные положения метода системной динамики 51
3.2. Состав и структура базы знаний системы 56 >
3.2.1. Декларативные данные базы знаний 57
3.2.2. Процедурные знания базы знаний 59
3.3. Механизм синтеза модели системной динамики 69
3.3.1. Генерация состава и структуры динамической модели на основе шаблонов 70
3.3.2. Генерация информационных связей динамической модели 72
Выводы 74
Глава 4. Методика оценки методических погрешностей композитных системно-динамических моделей 76
4.1. Анализ методических ошибок модели 77
4.1.1 Линейная аппроксимация СНФО 79
4.1.2. Квадратичная аппроксимация СНФО 80
4.1.3. Кубическая аппроксимация СНФО 80
4.1.4. Множественные композиции подмоделей слинейными СНФО 81
4.2. Анализ проведения исследования методических погрешностей 83
4.3. Апробация методики 86
4.4. Программная реализация методики 94
Глава 5. Функционирование программного комплекса 98
5.1. Состав системы 98
5.2. Функционирование системы 101
5.2.1. Организация сеанса работы 104
5.2.2. Приобретение и пополнение знаний 108
5.2.3. Описание пользовательского интерфейса 111
5.2.4. Процедура формализации знаний экспертов в виде концептуальной модели предметной области 113
5.3. Синтез 116
5.3.1. Реализация шаблонов 117
5.3.2. Реализация экземпляров 118
5.3.3. Синтез модели 118
5.4. Применение разработанных методик и средств моделирования 120
5.4.1. Характеристика топливно-энергетического комплекса Мурманской области 120
5.4.2. Исследование динамической модели 123
Выводы 128
Заключение 129
Список литературы 131
- Современные методы моделирования сложных систем
- Топливно-энергетический комплекс как сложная система
- Основные положения метода системной динамики
- Анализ методических ошибок модели
Введение к работе
На сегодняшний день в Мурманской области складывается тенденция, которая характеризуется резким повышением общего количества энергопотребления в ближайшее время. Данная ситуация образуется из-за планируемого крупномасштабного строительства и введения в эксплуатацию транспортных и промьппленных объектов, к которым относятся международный морской транспортный узел с крупным контейнерным терминалом, железобетонный завод, разработка Штокмановского месторождения запасов природного газа и нефти. В связи с этим резко возрастет нагрузка на топливно-энергетический комплекс Кольского полуострова. Эти причины вьшуждают разрабатывать управленческие стратегии по стабилизации будущего положения в регионе. Из-за наличия большого количества разнородных элементов, многочисленных взаимосвязей между ними заставляет рассматривать топливно-энергетический комплекс региона как сложную систему.
На современном этапе развития экономики и отраслей производства растут требования к рациональному обоснованию управленческих решений, влияющих на различные аспекты функционирования сложных систем. Экспериментальные воздействия на такие системы обычно невозможны или нежелательны по многим причинам, таким как ограниченные временные рамки, опасность необратимых изменений, высокая стоимость. Поэтому основным методом исследования и прогнозирования поведения сложных систем служит имитационное моделирование.
Одним из эффективных методов изучения сложных динамических систем в настоящее время, успешно развивающимся во многих странах, является предложенный в 1960-х годах Джеем Форестером специализированный метод имитационного моделирования - метод системной динамики. Данный подход позволяет исследовать поведение сложных систем, опираясь на возможности
компьютерного моделирования. В отличие от «традиционных» методов компьютерного моделирования системная динамика не требует построения математической модели исследуемого объекта в традиционной форме, а дает исследователю инструментарий для моделирования: компьютерные модели системных элементов и связей между ними.
Важной составляющей системной динамики Дж. Форестера являются формальные языки описания процесса изменения моделируемого объекта. Один из них - язык системных диаграмм, позволяет описать процесс, формализуя внутренние характеристики создаваемой компьютерной модели и представляя скорость их изменения в виде суммы, каждый элемент которой называется темпом. Зависимость некоторого темпа изменения уровня от самого уровня называется обратной связью — положительной или отрицательной. Таким образом, системная диаграмма является формализацией' модели исследуемого процесса. Когда объект исследования является сложной системой, то построение системных диаграмм становится затруднительной задачей; и синтез приемлемой для практического использования имитационной модели может занимать, длительное время.
Современный мир со временем усложняется, что с точки зрения системного подхода выражается в количественном и качественном изменении систем. С усложнением систем требуются новые средства моделирования, причем для построения моделей обычно привлекаются специалисты из различных областей знаний. По этой причине современные средства моделирования ориентируются на многопользовательский режим работы с возможностью разграничения прав пользователей.
Когда заходит речь о моделировании сложной системы с самого начала, то сам процесс описания концептуальной модели становится трудоемким и сложным. Основной задачей современных средств моделирования является обеспечение наглядности и удобства данного процесса. Одним из способов
реализации этого является представление концептуальной модели в виде иерархической древовидной структуры, на основе которой собирается системно-динамическая модель из конечного набора типовых шаблонов.
Поэтому основное внимание в диссертационной работе направлено на решение проблем: поддержки синтеза динамических моделей; методов оценки точности моделей; разработка программного комплекса автоматизации моделирования на основе современных информационных технологий.
Цель работы состоит в разработке информационной технологии и инструментальных средств синтеза системно-динамических моделей сложных промышленных систем на основе формализации коллективных экспертных знаний.
Для реализации этой цели автором решены следующие Основные задачи;
Создание на базе функционально-целевого подхода средств формализации и представления экспертных знаний в виде концептуальных моделей предметной области.
Разработка процедур обработки знаний, обеспечивающих формальный синтез моделей системной динамики на основе технологии концептуальных шаблонов.
Разработка методики количественной оценки точности композитных системно-динамических моделей.
Разработка программного комплекса автоматизации синтеза системно-динамических моделей сложных промышленных систем.
Апробация разработанных информационной технологии и средств автоматизации моделирования на примере прототипа имитационной модели топливно-энергетического комплекса Мурманской области.
Для решения сформулированных в работе задач использованы: функционально-целевой подход; метод системной динамики; технология концептуальных шаблонов; теория графов; элементы математической логики и теории множеств; некоторые результаты и методы решения экстремальных задач. Использовались следующие методы и подходы:
для построения структуры модели использовались функционально-целевой подход и технология концептуальных шаблонов.
Для реализации шаблонов и конечной модели использовался метод системной динамики.
Для формального описания концептуальной модели применялись элементы теории множеств и теории матриц.
Научная новизна заключается разработке информационной технологии концептуальных шаблонов для синтеза динамических моделей сложных промышленных систем. Технология обеспечивает интеграцию коллективных экспертных знаний и построение имитационных моделей из типовых шаблонов, что существенно повышает корректность моделей и сокращает сроки их разработки. Основные аспекты научной новизны следующие:
Формализовано понятие концептуального шаблона;
Разработаны формальные процедуры, обеспечивающие синтез системно-динамической модели из набора типовых шаблонов.
Предложена методика количественной оценки точности синтезированной системно-динамической модели.
Методики алгоритмизированы и реализованы в виде программного комплекса автоматизации синтеза системно-динамических моделей сложных промышленных систем.
Во введении рассматривается современное состояние решаемых в диссертации проблем и актуальность темы, формулируется цель и основные задачи выполненных исследований, приводятся данные о внедрении и апробации результатов работы, описывается ее структура.
В первой главе проводится сравнительный анализ современных программных продуктов автоматизации моделирования сложных систем. Вторая глава содержит формальное описание принципов построения концептуальной модели предметной области. Третья глава посвящена описанию синтеза структуры модели системной динамики на основе шаблонов. Приводится алгоритм синтеза, сводящийся к последовательному применению процедур вывода к декларативным данным базы знаний. Четвертая глава посвящена разработке методики количественной оценки точности рекуррентных системно-динамических моделей, реализованных в инструментальных средах, использующих стандартные методы интегрирования. Пятая содержит описание программного >' комплекса автоматизации синтеза системно-динамических моделей и его апробацию на примере моделей ТЭК.
Современные методы моделирования сложных систем
Развитие теории и методов моделирования в приложении к различным объектам реального мира привело к появлению системного подхода, предполагающего восприятие мира как единой сложной системы [18, 27, 95]. Однако многие исследователи соглашаются с тем, что действительно системное видение мира пока еще редкость. Человеческому разуму сложно охватить все нюансы и причинно-следственные связи сложной проблемы или комплекса взаимодействующих объектов. Не менее сложной задачей для человека является и обработка выявленных связей и закономерностей.
Появление и развитие средств вычислительной техники во второй половине XX столетия и внедрение информационных технологий практически во все сферы человеческой деятельности революционно раздвинули границы применимости различных методов моделирования. Вместе с ростом возможностей вычислительной техники эволюционировало и программно-алгоритмическое обеспечение от реализации расчетных алгоритмов до сложных систем имитации человеческих рассуждений, мультимедиа и создания виртуальной реальности. Появился новый метод моделирования - имитационное моделирование, принципиально ориентированный на компьютерную реализацию. Данный метод позволяет оперативно модифицировать как структуру, так и параметры модели непосредственно в ходе моделирования, что открывает широкие возможности итерационного повышения адекватности модели.
Однако, несмотря на существенные достижения системного анализа, остается нерешенной одна из основных проблем использования системного подхода в современном мире - как двигаться от обобщенных описаний и системного мышления к инструментам и процессам, которые помогут понять системную сложность и позволят проектировать действия в реальных системах от самых простых до глобальных.
В настоящее время в компьютерном моделировании развиваются два равноправных взаимодополняющих направления. Первое основывается на технологии вычислительного эксперимента в трактовке А. А. Самарского [11, 116, 117]. Вычислительный эксперимент рассматривается как технология научных исследований, направленная на создание «фундаментальных моделей» как новых парадигм науки. Подход предполагает чрезвычайно высокую математическую подготовку главных участников и жесткое разделение труда между ними и специалистами предметной области, в задачи которых входит подготовка исходных данных, определение граничных условий и сценариев проводимых экспериментов, обсуждение результатов. Технология - вычислительного эксперимента, основанная на триаде «модель-алгоритм-программа» не рассчитана на массовое внедрение в повседневную работу конечных пользователей, которые лишь опосредованно участвуют в разработке моделей.
Второе направление названо Г.С.Поспеловым [100] новой информационной технологией моделирования и ориентировано на конечного пользователя, как на непосредственного разработчика модели. Основной упор здесь делается на создание удобных и достаточно простых языков представления моделей, доступных для непрограммирующего пользователя, и инструментальных средств с элементами искусственного интеллекта, обеспечивающих поддержку в разработке моделей, выборе метода решения, автоматизации синтеза программы, организации интерфейса. Это направление рассчитано на внедрение методов моделирования в среду неподготовленных конечных пользователей и позволяет исключить программиста, а в некоторых случаях и системного аналитика при реализации компьютерного моделирования.
В) рамках второго направления развиваются и используются методы имитационного моделирования. Имитационное моделирование представляет собой попытку формализации любых эмпирических знаний; о рассматриваемом объекте: с помощью современных вычислительных технологий.. «Имитационная; модель — формализованное описание изучаемого явления во; всей? его полноте на грани нашего понимания» [70]. Слова «на грани: нашего понимания» фиксируют важное положение о том, что в процессе имитационного моделирования не обязательно должна выявляться природа причинно-следственных связей и определяющие их фундаментальные законы. Для построения модели достаточно знать лишь внешнюю сторону связей типа «если А, то Б», а какими фундаментальными взаимосвязями это обусловлено — знать не обязательно.
Методы, математического моделирования с использованием средств вычислительной техники применяются при исследованиях различных аспектов регионального развития, уже на протяжении нескольких десятков лет. До; недавнего времени; в: данной области преобладали; технологии; вычислительного эксперимента по схеме «модель-алгоритм-программа» (первое направление):. Используемые модели можно было отнести к одному из следующих типов: — аналитические модели, основанные на фундаментальных законах, и представляемые в виде систем детерминированных уравнений; — статистические и вероятностные модели; — модели исследования операций и оптимального управления:.
Каждый из указанных типов моделей обладает своими; достоинствами;, и недостатками, а так же предъявляет определенные; требования к объему и структуре исходных данных для моделирования:
Например, невозможно получить в общем случае: аналитическое; решение произвольной системы обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности[79].
Топливно-энергетический комплекс как сложная система
Топливно-энергетический комплекс (ТЭК) решает следующие задачи: добыча угля, нефти, природного газа и газового конденсата, переработка нефти и газа, а также производство электро- и тешгоэнергии.
Топливно-энергетический комплекс можно представлять по-разному в зависимости от точки зрения исследователя. G одной стороны он является сложной системой со своей структурой и составом разнородных элементов, каждый из которых также представляет собой отдельную систему.
В составе ТЭК можно выделить следующие функциональные блоки: производство электроэнергии, производство теплоэнергии, потребление тепло- и электроэнергии, ее передача и распределение. Функции каждого блока выполняют конкретные предприятия региона, в томі числе и промышленного характера. Так, J например, обязанности по распределению и доставке электроэнергии возложены і на предприятия, занимающиеся проведением и наблюдением за техническим состоянием электрических линий передач и трубопроводных коммуникаций. Различные предприятия топливно-энергетического региона принято относить к разным промышленным направлениям.
В рамках топливно-энергетического комплекса отдельного региона обычно выделяют 4 вида промышленности: 1. Нефтяная промышленность 2. Газовая промышленность 3. Угольная промышленность 4. Электроэнергетика Нефтяная, газовая и угольная промышленность являются источниками ресурсов для электроэнергетики. Для бесперебойного функционирования электроэнергетики любого региона Российской федерации необходимо наличие на его территории предприятий хотя бы одного ресурсодобывающего направления. В случае, когда нет таких предприятий, то есть регион является ресурсозависимым, приходится закупать энергоресурсы (мазут, уголь, торф, газ, древесный порошок) у других регионов. Импорт энергоресурсов отрицательно влияет на стоимость единиц тепло- и электроэнергии в регионе, так как заставляет прибавлять к ней затраты по транспортировке, а они на сегодняшний день составляют крупные денежные суммы и имеют тенденцию к ежегодному значительному росту.
По вышеизложенным причинам главной задачей топливно-энергетического комплекса ресурсозависимого региона является поиск путей решения проблемы импорта энергоресурсов из других частей Российской федерации. Способы решения данной проблемы различны и зависят от специфики каждого отдельно взятого региона. В одних регионах начинают разрабатывать ранее не перспективные месторождения полезных ископаемых с использованием современных горнодобывающих технологий и техники. В других частично переходят на альтернативные источники электричества и тепла, например, ветряные электрогенераторы и солнечные батареи.
На сегодняшний день Мурманская область является ресурсозависиым регионом страны. Администрация области предпринимает шаги по устранению этой зависимости за счет разработки Штокмановского месторождения запасов природного газа и нефти, строительства нефтеперерабатывающего завода рядом с морским портом города Мурманск, прокладка газопровода с шельфа Северо-Ледовитого океана.
С другой стороны, ТЭК Мурманской области является сам составной частью более крупной сложной системы. В зависимости от целей моделирования или исследования ТЭК можно представить как элемент, входящий в систему ТЭК Российской Федерации (см. рис.2.1). В этом случае можно анализировать общесистемные показатели и на их основе подготавливать информацию для принятия решений на уровне страны.
В случае когда необходимо провести исследования в рамках региона, тогда ТЭК рассматривается как составной элемент региональной системы, взаимодействующий с другими компонентами, такими как транспортный, рыбопромышленный, горнодобывающий и другие комплексы.
Так если взять исследовать топливно-энергетический комплекс в рамках Северного экономического района, то можно получить следующую информацию, представленную в таблице 2.1. В данной таблице приводится крупные предприятия-представители всех направлений промышленности ТЭК Северного района.
Основные положения метода системной динамики
Первый принцип: динамику поведения; сколь угодно сложного процесса можно свести к изменению значений некоторых "уровней", а сами изменения регулировать потоками, наполняющими или исчерпывающими уровни.
Второй принцип: все изменения в любой системе обуславливаются "петлями обратной связи". Петля, обратной связи - это замкнутая цепочка взаимодействий, которая связывает исходное действие с его результатом, изменяющим характеристики окружающих условий, и которые, в свою очередь, являются "информацией", вызывающей изменения.
Третий принцип: петли обратной связи в любой системе часто соединены нелинейно. По существу это означает, что информацияоб уровнях системы через обратные связи опосредованно влияет на уровни1 в непропорциональном и порой трудно предсказуемом режиме.
Четвертый принцип: системная динамика - сугубо прагматический аппарат, который способен наиболее адекватно отразить нетривиальное поведение сети взаимодействующих потоков и обратных связей. Его целесообразно применять лишь тогда, когда традиционные подходы оказываются неэффективны, когда поведение объектов не поддается точному математическому описанию и возможны лишь огрубленные оценки.
В таблице 3.1 приведены основные элементы языка системных диаграмм. Данный идеографический язык используется в системной динамике для построения! структуры модели. Ниже приводится описание каждого элемента данного языка, взятое из документации одного из самых распространенных инструментальных средств системной динамики - Powersim [120]. Уровни
Уровни в модели Powersim представляют аккумуляцию В моделируемой системе, суммирование всех изменений, которые "входят / втекают" и "выходят / вытекают" из уровня с потоками. Они могут представлять физические накопления, такие-как запасы или задолженности, а также «неосязаемые» накопления, как опасность, социальная напряженность и т.д.
Уровням необходимо при моделировании задать начальное значение, которое может быть числом или значением другой переменной, постоянной или вспомогательной величины данной модели. Powersim моделирует уровни, добавляя приращения к начальным значениям или вычитая «оттоки» из них. Эти вычисления производятся на каждом временном шаге модели, так, что значение каждого уровня в каждый момент времени определяется его значением в предыдущий временной шаг плюс все «притоки» и минус все «оттоки» в текущий временной шаг. Потоки
Потоки в модели Powersim представляют транспортировку количественных величин к уровню, от уровня, и между ними.
В модели уровни - это "состояние" системы, потоки - "действие". Потоки -единственные переменные, которые могут изменять уровни. Контроль над величиной потока осуществляется через темп, который может являться переменной любого типа связанной с "клапаном" потока. Наиболее часто используемый темп - это вспомогательная переменная величина.
Powersim обеспечивает и изображение потока и потока с темпом на панели инструментов. Изображение потока с темпом - это поток с вспомогательной переменной присоединенной к нему информационной связью. Вспомогательная переменная расположена близко к потоку что эта связь не видна и создается впечатления, что это один элемент. Темп может отделиться от потока на диаграмме, если есть в том необходимость.
Потоки могут добавляться к уровню, вычитаться из уровня, и вычитаться из одного уровня и добавляться к другому одновременно. Если поток не присоединен к уровням с обоих концов, то на свободном конце изображается символ "облако". Этот символ обозначает источник для «притоков» и слив для-«оттоков». Источник означает, что количественная величина в потоке прибывает откуда-нибудь, что не определено в модели. Слив означает противоположное,- то, что- количественная величина в потоке идет куда-нибудь, что не определено в модели. Вспомогательные переменные
Вспомогательные переменные представляют информацию в модели Powersim. В отличие от уровней, вспомогательные переменные используются для того, чтобы моделировать элементы реальной системы, которые могут изменяться мгновенно, то есть они не зависят от времени, а зависят только от своего аргумента. Уровни же представляют собой накопления, которые нуждаются во времени для того чтобы вырасти или уменьшиться, часто моделируются с фактором времени, который регулирует соответствующие потоки.
Информация между вспомогательными переменными может быть «отсрочена», используя инструмент запаздывающей связи, а если между ними используется регулярный инструмент связи, то они изменяются мгновенно.
Разработчик модели может сам определять, связать дополнительные переменные с использованием регулярных связей или использовать запаздывающие связи. Вспомогательные переменные, формулируются с помощью алгебраических уравнений, не задавая начального значения. Любые другие переменные могут использоваться как входные данные к этим уравнениям. Разработчик на этапе создания модели должен сформулировать каждое уравнение использующее другие вспомогательные переменные, константы, потоки, и/или уровни как входные данные и должен определить форму объединения входных данных, используя стандартные математические инструменты, представленные в системе. Константы
Константы используются для того, чтобы представить элементы моделируемой системы, которые не изменяютсяг на протяжении прогона моделирования. Если модель-должна работать в. течение 100 единиц времени, и каждый раз единица представляется, например, однош неделей,, тогда константы-должны, быть использованы для моделирования того, что не изменяется в-течение 100 недель. Однако имеется возможность пользователям модели изменить константы непосредственно в течение прогона моделирования. Такие константы называются параметрами.
Константы часто используются, для того, чтобы моделировать факторы времени и начала отсчета или начальные значения. Например, темпы часто используют факторы времени так, что величина значения добавляемого к уровню темпом может быть фиксирована в течение определенного количества единиц времени.
Анализ методических ошибок модели
Исторически в ситуативном отношении погрешности принято» делить на инструментальные и методические [7]. Однако, в практике организации, т.е. подготовки и проведения в широком смысле слова, измерений указать разделяющую грань между ними, как правило, невозможно. Так на этом этапе разработки средства измерения (например, модели для математического или имитационного моделирования) практические приемы реализации инвариантов и эквивалентностей в подмоделях выступают причинами возникновениям методических ошибок., Однако, когда они уже воплощены в средстве измерения-(скажем, программном продукте), они обязательно должны быть отражены в технической документации. Именно с этого момента (и независимо от природы или вызвавших их причин) эти погрешности принято считать инструментальными. Но это, строго говоря; верно лишь для штатных ситуаций. Для нештатных ситуаций- такой подход может быть неэффективен.
Ошибки имитационного моделирования, которые будут рассмотрены далее, по своей природе являются ошибками аппроксимации и, естественно, на этапе создания соответствующих моделей их следует отнести к методическим ошибкам. Хотя с точки зрения потенциального пользователя (не говоря уже о заказчике) названные ошибки несомненно должны быть отнесены к инструментальным погрешностям, наряду с такими характерными ошибками цифровых измерительных средств как ошибки квантования, градуировки и т.д.
Согласно сказанному, ошибки аппроксимации математических моделей будем относить к методическим, а в качестве основного подхода к их количественным оценке будем использовать метод эталонной модели [6,7] в следующей модификации, непосредственно-ориентированной на имитационное моделирование.
Предпологая, (а) что исследуемая динамическая модель М представляет собой точно известную и- однозначно определенную композицию относительно самостоятельных подмоделей; , М= К{Мі\ієІ} (Ь).что для каждой названной в пункте (а) подмодели Мі известна эталонная линейная рекуррентная модель Мі; І ,ІЄІ ; (с) что единственными источниками ошибок исследуемой композиционной модели являются 1) отклонение общесистемного времени. Д77 от элементарных циклов Д подмоделей; 2) используемый метод интегрирования.
Дополнительным существенным предположением предложенного подхода является предположение о гладкости номинальной характеристической функции ошибок в пределах реальной полосы погрешностей каждой из используемых подмоделей Мі, ієІ. На практике названное предположение позволяет реальные кривые ошибок- подмоделей в пределах зоны (полосы) погрешностей заменить сглаженной (другими словами, должным образом отфильтрованной) кривой.
Отдельно также следует отметить, что оговоренные в пункте (с) причины погрешностей оказываются аддитивными. Указанное здесь обстоятельство, позволяет
вместо совокупности эталонных моделей Мі ; Д7/ , ієІ, для каждого метода интегрирования, просто рассматривать соответствующие Совокупные Номинальные Функции Ошибок (СНФО).
С целью наиболее полной систематизации изложения условимся далее системное время считать действительной величиной из интервала [ОД], что достигается простой нормировкой величин элементарных циклов подмоделей, т.е. масштабированием с коэффициентом max ДГ множества { і /є/ } характеристических циклов подмоделей. Для простоты изложения, далее также считается і = 1 2 5 что позволит нам избежать необходимости учета точек "инверсии" для кривых ошибок подмоделей на множестве значений приведенных циклов. Таким тіпАГ1 =a b = l образом, для определенности считаем пгахАГ / - нормированные ієі циклы подмоделей, с соответствующими функциями ошибок fl(t) и f2(t). Теорема 1 Если СНФО элементов декомпозиции {Ml; М2} динамической модели М линейны относительно t, то оптимальное значение АТ системного времени, минимизирующее ошибку аппроксимации М , совпадает с одной из границ интервала [а,Ь].
Доказательство: Очевидно, в условиях теоремы СНФО f(t) модели М имеет вид f(t) = Mt) + f2(t),te[a,b]} (4.1) где./і(0 = і( -а); f2(t) = k2(b)
Но в силу (4.1) f(t) на [а,Ь] удовлетворяет условиям теоремы Вейерштрасса [89]. Поэтому всякая минимизирующая последовательность сходится к непустому множеству U , минимизирующего f(t). С другой стороны интервал IаІЩ cz [0;1] 5 поэтому задачу минимизации функции (4.1) можно интерпретировать как задачу линейного программирования с непустым множеством U cz [a; b]. Но тогда для одномерного случая \U \ -1 и по крайне мере одно значение .
Похожие диссертации на Синтез системно-динамических моделей регионального промышленного комплекса на основе формализации коллективных экспертных знаний
