Содержание к диссертации
Введение
2. Метод гарантированной точности 14
2.1. Гарантированная точность следящей системы и её вычисление 14
2.2. Применение гарантированной точности в задачах анализа и синтеза систем автоматического управления 18
2.3. Критические для методики задачи, подлежащие решению в данной работе 20
2.4.Выводы по разделу 22
3. Предельные отклонения и области достижимости типовых линейных звеньев 23
3.1. Предельные отклонения колебательного звена 25
3.2. Область достижимости колебательного звена 31
3.3. Предельные отклонения апериодического звена 2-ого порядка 38
3.4. Область достижимости апериодического звена второго порядка 41
3.5. Выводы по разделу 45
4. Формирование задающего устройства 46
4.1. Общие вопросы 46
4.2. Формирование случайного сигнала с заданной спектральной плотностью при ограниченном по модулю источнике шума 49
4.3. Формирование задающего устройства при случайном входном сигнале с известной спектральной плотностью 56
4.4. Выводы по разделу 58
5. Алгоритмы вычисления и оптимизации гарантированной точности 60
5.1. Анализ задачи оптимизации ГТ и методов её решения 60
5.2. Вычисление узловых точек с использованием фундаментальной матрицы
5.3. Параметрические ограничения и выбор шага при вычислении гарантированной точности 69
5.4. Алгоритм и программа вычисления гарантированной точности 71
5.5. Описание программы оптимизации 77
5.6. Моделирование случайного сигнала с заданным спектром 80
5.7. Выводы по разделу 81
6. Синтез следящего электропривода 83
6.1. Назначение следящего электропривода и требования к его точности слежения 83
6.2. Динамическая модель следящего привода и ее упрощение для нужд синтеза 84
6.3. Анализ возможных входных сигналов и формирование задающих устройств 87
6.3.1. Анализ входного сигнала и формирование ЗУ
для полезного сигнала 87
6.3.2. Формирование задающего устройства для сигнала компенсации качки носителя 96
6.4. Выбор структуры и оптимизация параметров регулятора 99
6.5. Результаты синтеза 103
6.6. Выводы по разделу
7. Заключение 110
8. Литература
- Применение гарантированной точности в задачах анализа и синтеза систем автоматического управления
- Предельные отклонения апериодического звена 2-ого порядка
- Формирование задающего устройства при случайном входном сигнале с известной спектральной плотностью
- Алгоритм и программа вычисления гарантированной точности
Применение гарантированной точности в задачах анализа и синтеза систем автоматического управления
Определим понятие гарантированной точности следящей системы. Пусть задан класс входных сигналов V, состоящий из функций времени v(r), определенных на отрезке [О, Т]. Сигналы из этого класса могут подаваться на вход следящей системы, как это показано на Рис. 2.1.
Здесь СС - следящая система, є - ошибка слежения. В дальнейшем начальные условия для следящей системы условимся всегда считать нулевыми, следящую систему - линейной и стационарной. Тогда каждому входному конкретному сигналу v(/) соответствует свой сигнал системы для класса ошибки e(t,v). Максимум модуля этой ошибки на отрезке времени [0,Г] обозначим f(v,r). (v,T) = max(s(t,v)). Это значение может служить характеристикой точности воспроизведения следящей системой конкретного сигнала v(t). Взяв максимум (полагая V компактом) от s(v,T) по всем сигналам v(t) из класса V, найдём гарантированную точность (ГТ) следящей V, то есть величину, которая оценивает ошибку воспроизведения любого входного сигнала из класса V при длительности процесса Т. Обозначим её Г(Г,Г).
Гарантированная точность зависит от класса входных сигналов V и длины отрезка [0,Г] и не убывает с ростом длительности интервала [19, 35].
Если ГТ не превосходит допустимой величины ошибки, можно сделать вывод об обеспечении необходимой точности. При этом если длина интервала выбрана, исходя из реального времени работы системы, можно не беспокоиться об устойчивости. Если же Т — со, устойчивость системы вытекает из условия Г(К,оо) со. Очень важен вопрос о формировании и задании класса, входных сигналов V. Рассмотрим один из вариантов задания такого класса. Будем полагать, что входные сигналы v(/) сами являются выходными сигналами некоторой динамической системы, которую назовём задающим устройством (ЗУ). При этом задающее устройство, как на Рис. 2.2, подвержено действию произвольного управляющего сигнала u(t), на который наложим единственное ограничение — в каждый момент времени должно выполняться неравенство
Ограничимся рассмотрением только линейных стационарных задающих устройств, причём всегда будем полагать у них все начальные условия нулевыми. Несмотря на все перечисленные ограничения, сконструированные указанным образом классы входных сигналов оказываются достаточно богатыми, а свойствами этих классов нетрудно управлять соответствующим выбором параметров задающего устройства. В частности, если порядок знаменателя передаточной функции задающего устройства превышает порядок числителя на п, то V будет содержать только непрерывные п - 1 раз дифференцируемые сигналы.
Будем в дальнейшем полагать, что класс V всегда состоит только из непрерывных функций, поскольку ясно, что изучение отслеживания разрывных сигналов не представляет ни научного, ни практического интереса. Кроме того, будем полагать, что ошибка слежения s(t) также всегда является непрерывной функцией времени. Это всегда справедливо для рассматриваемых в настоящей работе линейных систем.
Поскольку целью всего рассмотрения является оценка точности слежения системы, нас не будут интересовать процессы выхода на режим слежения. Это оправдывает принятое выше соглашение о нулевых начальных условиях в следящей системе. Тогда задача вычисления гарантированной точности принимает окончательный законченный вид, расчётная схема для которого изображена на Рис. 2.3.
Будем в дальнейшем называть систему, изображённую на Рис. 2.3 и состоящую из последовательно соединённых задающего устройства и следящей системы расширенной системой. В выражении (2.1) теперь можно вместо максимума по v использовать максимум по и, и оно приобретает вид Г(У,Т) = maxmax L?(/,v) (2.2) v \u(t) }\ie[o:ry v У Вычисление ГТ, как следует из (2.2) и Рис. 2.3, становится равносильным максимизации ухода линейной системы за конечный (или бесконечный) отрезок времени. Эта задача для линейных систем с постоянными парамет -17-рами впервые рассмотрена и решена Б.В.Булгаковым [19]. Там же показано, что ошибка достигает максимального значения именно в конечный момент времени, т.е. \є(Т)\ = Г(Т). (2.3) Поскольку и задающее устройство и следящая система — стационарные линейные системы, существует передаточная функция всей системы от входного сигнала задающего устройства и к сигналу ошибки є. Обозначим эту передаточную функцию Wu(s), а обратное преобразование Лапласа от неё - w{t). Последняя функция может рассматриваться как весовая (импульсная переходная) функция расширенной системы Рис. 2.3.
Предельные отклонения апериодического звена 2-ого порядка
На практике чаще всего приходится сталкиваться с ограничениями, накладываемыми на величину сигнала и его производную (скорость), или, когда сам сигнал можно считать неограниченным, то на скорость и ускорение. Возможно, это связано с трудностями измерения старших производных реальных сигналов, возможно, с тем, что третья производная, с точки зрения механики — производная силы, действительно гораздо более динамична (практически безынерционна). Во всяком случае, представляется возможным ограничиться рассмотрением линейных звеньев второго порядка. В том случае, когда сам сигнал не ограничен, а ограничены две его производные, достаточно будет применить звено второго порядка, последовательно соединённое с интегратором.
Определим понятие области достижимости 4R(W,T) стационарного линейного звена W[s). Этим термином мы будем обозначать множество всех таких точек фазового пространства (или пространства состояний) X этого звена, которые могут быть достигнуты из нулевых начальных условий за время Т при некотором ограниченном по модулю входном воздействии u{t). Другими словами, каждая точка этой области может быть задана соотношением г ХЕЩ1,Т)=Х= (i/(r)w(r-rWz-, о (3-1) u(t)\ \Vte[0j]. где х — точка пространства состояний звена, u{t) — входное воздействие, w(?) — векторная весовая функция звена.
В силу линейности соотношения (3.1) область достижимости является выпуклым множеством, то есть вместе с двумя точками содержит в себе и соединяющий их отрезок: х, є Ж П х2 є 9? = ахх + (1 - а)х2 є 9W0 а \. Отсюда, в частности, следует, что каждая касательная к границе области достижимости гиперплоскость нигде не пересекает границу области достижимости, то есть является опорной (отделяющей) плоскостью. Область достижимости является центрально симметричной относительно начала координат, следовательно, каждой опорной плоскости соответствует симметричная ей опорная плоскость.
Рассмотрим произвольный ненулевой вектор с пространства состояний X. В частности, удобно, хотя и не обязательно, положить его длину равной единице. Он задаёт некоторое направление в указанном пространстве. Ему соответствует ортогональная ему опорная плоскость, задаваемая равенством ст-х = с0, (3.2) где с0 — некоторая константа. Учитывая (3.1), эту константу можно найти из условия т т c0=max jw(r)-cT -w(T -r)dr = \ст -w{T-z)\dz (3.3) " " о о В принципе, она может оказаться и бесконечной, что означает неограниченность области достижимости в данном направлении. Тогда совокупность неравенств -с0 стх с0 для всех возможных направлений полностью задаёт область достижимости R(W,T). Нетрудно вычислить и точку границы, соответствующую каждой -25 конкретной опорной плоскости. Действительно, максимум в (3.3) достигается при входном сигнале и (t) - sign(cTw(T — tj), подставив который в (3.1), мы найдём соответствующую точку границы: т т х(с)= \sign(c 1 -w(r -r))-w(r-z)dr - \sign{c w(r))-w(r)afr (3.4) о 0 Равенство (3.4) параметрически задаёт границу области достижимости. Из него, в частности, легко получить предельно достижимые значения для отдельных координат: т X і max О = Jb(+r (3-5) Интервал времени Т, для которого вычисляется область достижимости, вполне может быть и бесконечным.
Применим теперь изложенный выше аппарат к линейным стационарным звеньям второго порядка. Интервал времени при этом всегда будем полагать бесконечным, что не только позволит получить более компактные результирующие выражения, но и для практики представляет наибольший интерес.
Оценим максимальные значения сигнала на выходе колебательного звена и его производной на бесконечном интервале времени при ограниченном по модулю входе. Передаточную функцию звена запишем в виде w(s,a,/3) = - (3.6) (s + а) +J3 где а и /?- положительные параметры. -26 В силу линейности числитель положим единичным. Весовая функция при этом примет вид w(t,a,/3) = eat I (3.7) Как показано Булгаковым, максимальное накопленное отклонение на выходе звена с произвольным ограниченным по модулю входом (примем в соответствии с (3.1) ограничение единичным), равно интегралу модуля весовой функции. со xQ{a,(3)= w(t,a,j3)\dt Как видно из графика весовой функции (см. Рис. 3.1), она меняет знак бесконечное число раз, что создает некоторые трудности при интегрировании. 0.3 w(t,oc,P) 0 0.3 О о Рис. 3.1. Весовая функция колебательного звена. Для вычисления этого интеграла заметим, что для любого t справедливо преобразование л ж w(t+"" ,а,Р) = е pw{t,aJ) -27 откуда получаем для любых а и /3 т, г -л sin Д 0 J Р я Поскольку на отрезке [0, ] весовая функция остаётся неотрицатель ной, вычислим на этом отрезке интеграл Интегралы по отрезкам [ , 2- ], [2 - ,3 ],..[k - ,(к+1) - ]... и так далее получим умножением этого интеграла на соответствующую {к - ую) степень ехр(- а ). Полный интеграл при этом запишется как « Р р + i -к (аг + П \ +! е р к=0 Таким образом, формула максимального отклонения для выхода колебательного звена представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем
Формирование задающего устройства при случайном входном сигнале с известной спектральной плотностью
И в том и в другом случае очень полезно иметь возможность строить области достижимости хотя бы простейших линейных звеньев, аналитические выражения для чего получены в предыдущем разделе.
Второй подход, связанный с использованием частотного спектра сигнала, предполагает формирование такого ЗУ, выходной сигнал которого имеет заданную или близкую к заданной спектральную плотность. Это напоминает задачу о формирующем фильтре, хорошо известную в статистической динамике, с тем лишь отличием, что исходным сигналом не может быть классический белый шум. Принципиальным является ограниченность входного сигнала ЗУ, причём не по мощности даже, а по модулю. Традиционные методы статистической динамики не позволяют не только получить задающее устройство, го даже и поставить задачу о его формировании. Ниже будет показан один достаточно простой путь разрешения этой трудности.
Обычно [12] для получения сигналов с различными спектральными плотностями используется формирующий фильтр, на вход которого подаётся белый шум. Однако белый шум, как известно, характеризуется бесконечными мощностью и диапазонами значений и частот. Такие сигналы не могут быть реализованы ни техническими средствами, ни методами цифрового моделирования. С другой стороны, первичным источником стационарного случайного сигнала может быть любой сигнал, лишь бы была известна его спектральная плотность или автокорреляционная функция. Поэтому были предприняты попытки подобрать такой первичный сигнал, отвечающий кроме названного, ещё одному требованию — он должен быть ограничен по модулю и максимально похож на типичный входной сигнал задающего устройства. Гарантированная точность, как было показано выше (см. (2.12)), достигается при релейном входном сигнале ЗУ. Это заставило искать источник среди кусочно-постоянных сигналов.
В качестве исходного сигнала был выбран так называемый «типовой входной сигнал следящей системы» (см. [16]), то есть кусочно-постоянный сигнал, значения и длительности интервалов постоянства которого образуют последовательности случайных величин (Рис. 4.1). Если уровни такого сигнала образуют независимую последовательность реализаций случайной величины с дисперсией D, а длительности интервалов постоянства образуют последовательность независимых реализаций случайной величины, распределённой экспоненциально с показателем ju, то сам сигнал имеет спектральную плотность: 2juD (4.2) 2 2 JU +0) S» = Здесь D — дисперсия сигнала; средняя длительность интервала постоянства. М Если характер распределения длительностей интервалов постоянства /, принципиально важен, то от реализаций и, для корреляционной теории случайных процессов требуется только дисперсия. Поэтому для них годится любое ограниченное отрезком [-1,1] распределение, например, равномерное (D = 1/3). Более того, ничто не мешает использовать даже дискретную случайную величину, с равной вероятностью принимающую значения +1 и -1
Теперь следует посмотреть, какие спектральные плотности можно получать на выходе ЗУ, имея на входе в него сигнал (4.2). Для этой цели можно воспользоваться известным частотным соотношением вход-выход для стационарных линейных систем [12]: H = 5eH4H (4.3) где Sebix(& ),Sex[со) — спектральные плотности выходного и входного случайных сигналов линейного стационарного формирующего фильтра, Азу [со) — его амплитудно-частотная характеристика. Воспользуемся искусственным приёмом. Поскольку все входящие в (4.3) члены, Seblx,Sex(a)),A3y(co), представляют собой чётные функции частоты, они могут быть представлены в виде LAjv)LA-jv)= jv) Jv)wUv)w{-jv) (4-4) где W— передаточная функция формирующего фильтра, S — соответствующим образом подобранная действительная функция. В частности, легко видеть, что для входной спектральной плотности, которую мы приняли в форме (4.2), подобранная функция будет иметь вид (Ш) = Щ. (4.5) V + JCO Из (4.4) и (4.5) нетрудно заключить, что =Щ!І= Ай + (4.6) Выделим в (4.6) параметры спектральной плотности входного сигнала D и ju, чтобы не путать их в дальнейшем с одноимёнными параметрами D и ju спектральной плотности выходного сигнала, жирным шрифтом: D и ц.
Получим передаточную функцию формирующего фильтра, на вход которого поступает сигнал со спектральной плотностью (4.2), а на выходе должен быть сигнал со следующей спектральной плотностью
Такая спектральная плотность соответствует воздействию типа «нерегулярная качка». Приведём выражение к общему знаменателю и сгруппируем члены при степенях со: Приравнивая коэффициенты при равных степенях в выражениях (4.8) и (4.9), получаем систему уравнений относительно неопределённых коэффициентов с г. C2=4JUD(M2+/J2), c2-2c,=2ju2-2(32, c32=2//2/?2+,tf4+//, решая которое, получаем: с,=2 // (//2+/?2), с2=2//, C3=JLI2+J32. Подставляя найденные коэффициенты в (4.9), с учётом (4.6) получаем окончательное выражение формирующего фильтра: s2+Afis + ju2+p2i\i\y W S) = —A , 2 Д2 /—0 + ) Аналогичным образом был получен ряд передаточных функций формирующих фильтров W(s) для некоторых других типовых спектральных плотностей S{co) случайных сигналов. Результаты сведены в таблицу. Жирным шрифтом без наклона в ней также выделены параметры первичного сигнала (4.2). В правой колонке представлен для наглядности характерный график спектральной плотности.
Алгоритм и программа вычисления гарантированной точности
Зададимся некоторым интервалом hb, который назовём большим шагом. Он должен быть заведомо меньше, чем самый маленький интервал знакопостоянства ошибки, чтобы внутри большого шага не могло произойти более одной смены знаках?: hb min(tll_,). Вычислим фундаментальную матрицу [30], соответствующую этому интервалу: Нь = еА \ (5.10) С её помощью можно построить последовательность точек хк решения системы (5.3) в моменты времени, кратные hb\ x=b, xl=Hbx\ ...,xk=Hbxk \.... (5.11) Причём эти вычисленные значения - точные, а не приближённые, как это было бы при использовании численных методов. Однако для вычисления гарантированной точности требуется знать решение в точках ts смены знака переменной состояния JC2. Для нахождения этих точек можно воспользоваться выражением, аналогичным (5.10), но только при существенно меньшем значении шага по времени - /?/, которое назовём малым шагом. Вычислим соответствующую малому шагу фундаментальную матрицу:
Когда внутри большого шага, между точками хк и xk+t, происходит смена знака координаты х2, надо вернуться к началу этого шага и продолжить решение с малым шагом: хк+]=Н,хк, xk+2=HlXk+\ ... (5.12) до смены знака х2. Теперь этот момент, /,-, локализован с точностью до малого шага. Если полагать, что малый шаг достаточно мал, то внутри него все -переменные изменяются практически линейно от времени. Поэтому точку смены знака можно уточнить линейной интерполяцией. Пусть точки хк и хк" отстоят друг от друга на малый шаг, и внутри него имеет место смена знака х2. Тогда этой точке будет соответствовать вектор состояния (0 = х -( -х Ь -г (5.13) Нетрудно убедиться, что выражение (5.13) даёт х2 (?;.) = 0 . Дальше из полученной по выражению (5.13) точки решение можно продолжить с большим шагом по формуле к+\ тт к х = Нь х до очередного пересечения нулевого уровня или до истечения расчётного времени процесса.
Выражение (5.9) позволяет получать значение гарантированной точности только для дискретных величин интервалов времени, поскольку в нём используются значения переменных состояния системы, изображённой на рис. Рис. 5., только в моменты времени ti пересечения переменной xi нулевого уровня. Это не всегда удобно, особенно если нас интересует конечный и достаточно небольшой интервал времени. Вместо этого можно использовать другой приём вычисления. А именно, будем решать систему (5.3) как описано выше, используя выражения (5.11) и уточняя узловые точки по зависимостям (5.12) и (5.13). В узловых точках, прежде чем продолжить решение, инвертируем весь вектор состояние системы (5.3), кроме переменной х\. Тогда переменная х\ в каждый момент времени будет равна значению гарантированной точности для соответствующего интервала времени, равного текущему времени.
Вообще говоря, использование метода гарантированной точности позволяет не заботиться о проверке устойчивости синтезируемой системы. Однако ясно, что вычислять значение гарантированной точности при достаточно большом или бесконечном интервале времени для неустойчивой системы не имеет смысла, поскольку её значение заведомо будет неприемлемо большим или даже бесконечным. Поэтому представляется целесообразным предварительно проверять некоторые дополнительные условия, связанные с устойчивостью исследуемой системы, и при их невыполнении вычисление гарантированной точности не производить.
Будем накладывать упомянуты выше дополнительные условия на собственные числа (корни характеристического многочлена) исследуемой системы. Это позволит не только исключить неустойчивые варианты регулятора, но и дополнительно контролировать такие показатели качества регулирования, как время регулирование и колебательность. Пусть оптимизируемая следящая система имеет передаточную функцию где Q и R - многочлены относительно s, коэффициенты которых зависят от вектора параметров регулятора К. Вычислим её собственные числа Д,.(А ), i = l,...n, где «-порядок системы. В теории автоматического управления (см. например, [16, 54, 64, 71]) широко используются два корневых показателя качества - степень устойчивости rj и колебательность /л, определяемые зависимостями
