Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы анализа и синтеза систем с разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме 15
1.1. Доопределения уравнений движения в скользящем режиме. 15
1.2. Перспективы развития теории скользящих режимов. Проблема автоколебаний при движении в реальном скользящем режиме 25
1.3. Синтез инвариантных систем в классе разрывных управляющих воздействий 31
1.3.1. Инвариантность к произвольным возмущениям 33
1.3.2. Инвариантность к модельным возмущениям 35
1.4. Цели и задачи диссертационной работы 39
Глава 2. Доопределение движения в скользящем режиме по обратной связи 43
2.1. Постановка задачи стабилизации для линейной системы 44
2.2. Регуляризация описания движения в скользящем режиме по обратной связи для линейных систем 46
2.3. Постановка задачи стабилизации для нелинейной системы... 54
2.4. Процедура регуляризации по обратной связи для нелинейной системы 57
2.5. Выводы к главе 2 61
Глава 3. Компенсация неидеальностей релейных элементов 63
3.1. Использование эффекта вибролинеаризации 64
3.2. Использование интегральной обратной связи 70
3.3. Оценивание «чаттеринга» 72
3.4. Выводы к главе 3 81
Глава 4. Инвариантность в релейных системах с учетом неидеальностей релейных элементов 82
4.1. Обеспечение инвариантности с использованием принципов высокочастотной модуляции 82
4.2. Конечная частота и оценка погрешности 85
4.3. Оценка погрешности при подавлении внешних возмущений. 91
4.4. Результаты моделирования линеаризованной электромеханической системы 94
4.5. Выводы к главе 4 99
Глава 5. Алгоритмы управления и идентификации в задаче оценивания профиля поверхности 100
5.1. Постановка задачи 102
5.2. Синтез алгоритма управления 104
5.3. Синтез алгоритма идентификации 113
5.4. Результаты моделирования 118
5.5. Выводы к главе 5 123
Заключение 124
Список литературы 125
- Перспективы развития теории скользящих режимов. Проблема автоколебаний при движении в реальном скользящем режиме
- Регуляризация описания движения в скользящем режиме по обратной связи для линейных систем
- Использование эффекта вибролинеаризации
- Обеспечение инвариантности с использованием принципов высокочастотной модуляции
Введение к работе
Актуальность работы. В диссертационной работе исследуются проблемы анализа и синтеза многомерных релейных систем управления при действии внешних неизмеряемых возмущений. Основное внимание уделяется системам с разрывными управлениями, функционирующим в скользящем режиме (Емельянов СВ., Уткин В.И. и др.), а также проблемам, обусловленным неидеальностями релейных элементов различного типа.
Системы со скользящими режимами служат эффективным инструментом для решения проблем декомпозиции, инвариантности и робастного управления для систем высокой размерности. Перечислим основные особенности этих систем.
Общее движение замкнутой системы разделяется по времени на две составляющие: попадание на многообразие скольжения за конечное время и движение по этому многообразию.
В скользящем режиме понижается динамический порядок системы: траектории вектора состояния принадлежат вырожденным траектория - многообразиям размерности меньшей, чем все пространство состояний.
Движение в скользящем режиме не зависит от управления и определяется свойствами объекта и уравнениями поверхностей разрыва, что позволяет осуществить декомпозицию задачи синтеза на независимые подзадачи меньшей размерности: выбор многообразия скольжения; решение задачи стабилизации редуцированной системы.
Процедуры синтеза систем с разрывными управлениями просты в реализации, не требуют громоздких выкладок и детализированной математической модели объекта управления, так как условия возникновения скользящих режимов имеет вид неравенств.
Движение системы в скользящем режиме инвариантно к действию внешних и параметрических ограниченных возмущений, принадлежащих пространству управления, и обеспечивается при конечных амплитудах разрывных управлений, что существенно отличает такие системы от систем с
5 непрерывными управлениями, где задача обеспечения инвариантности предполагает использование бесконечно больших коэффициентов усиления (Мееров М.В., Цыпкин ЯЗ.).
В случае, когда управляющие воздействия априори имеют ключевую природу, а именно такие системы рассматриваются в работе, использование методов теории скользящих режимов выглядит естественным. Дополнительная декомпозиция задач синтеза (особенно в нелинейной постановке) может быть основана также на методах, разработанных в последние десятилетия:
метод линеаризации по обратной связи, геометрический подход (Иси-дори А., Крищенко А.П., Халил Х.К.);
декомпозиционные методы синтеза: back-stepping control — обратный обход интеграторов (Кокотович П.), АКАР - аналитическое конструирование агрегированных регуляторов (Колесников А.А.), блочный подход (Лукьянов А.Г, Уткин В.А, Уткин В.И., Краснова С.А.);
метод синтеза на основе функций Ляпунова (Зубов В.И.).
Особенность дифференциальных уравнений с разрывной правой частью состоит в том, что классические условия существования и единственности решения не выполняются на поверхности переключений. Проблема доопределения движения на многообразии переключений рассматривалась в работах Филиппова А.Ф., Пятницкого Е.С., Уткина В.И, Якубовича В.А. Идеальный скользящий режим (движение по многообразию скольжения с бесконечно большой частотой и бесконечно малой амплитудой) трактуется как предельный случай реального скользящего режима, а уравнения движения в скользящем режиме получаются в результате предельного перехода при стремлении к нулю неидеальностей различного рода. Отметим, что в рассматриваемых в диссертационной работе системах, в которых неидеальные релейные элементы являются неизменяемой частью модели объекта управления, такой предельный переход непосредственно не применим.
Центральной проблемой при реализации скользящих режимов на практике является проблема низкочастотных колебаний (автоколебаний, в ино-
странной литературе — «чаттеринг»), обусловленных статическими и динамическими неидеальностями релейных элементов, а также неучтенной в модели объекта управления малой динамикой. В реальном скользящем режиме движение происходит в некоторой А -окрестности многообразия скольжения с конечной частотой, что существенно влияет на точность регулирования в установившемся режиме, а также может приводить к быстрому износу исполнительных устройств, в частности механических.
Основные пути преодоления этой проблемы - повышение частоты переключений и/или уменьшение амплитуды разрывных управлений за счет совершенствования элементной базы и алгоритмов управления по обратной связи. К последним относятся следующие методы.
Алгоритмы с разрывными управлениями с переменной амплитудой (Изосимов Д.Б., Шабанович А.), которые позволяют уменьшать амплитуду разрывных управлений при движении в скользящем режиме.
Алгоритмы с непрерывной допредельной аппроксимацией разрывных управлений sat-функциями (Слотини Д., Састри С.С.), сигма-функциями (Уткин В.А.) и др.
Системы со скользящими режимами второго рода (Левант А., Фридман Л.М.), в которых вместе с классическими разрывными управлениями используются непрерывные локальные обратные связи (для которых условие Липшица не выполняется), обеспечивающие близкие к скользящим режимам робастные свойства и редукцию порядка системы.
Системы с асимптотическими наблюдателями состояния. При синтезе обратной связи по вектору состояния наблюдателя замкнутый контур не включает паразитную динамику, что позволяет обеспечить асимптотическую сходимость к многообразию скольжения.
Комбинированное управление (Уланов Г.М., Земляков С.Д., Уткин В.А.), которое содержит две компоненты: непрерывную и разрывную. Непрерывная компонента используется для регулирования поведения всей системы, а разрывная — только для подавления внешних возмущений и неопре-
7 деленностей объекта управления. В этом случае амплитуда релейных воздействий может быть уменьшена до величины, гарантирующей подавление внешних возмущений, что также приводит к уменьшению «чаттеринга».
Все перечисленные подходы априори предполагают идеальность характеристики переключения реле, что не имеет места в реальных технических системах. Кроме того, при неидеальных реле характер движения в А-окрестности поверхности переключения зависит от внешних возмущений, что вызывает появление ошибки выходной переменной, которая может быть существенно больше амплитуды низкочастотных колебаний.
В диссертации рассматриваются многомерные динамические объекты управления, математическая модель которых представлена системой как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с неидеальными релейными элементами на входах (как неотъемлемые и неизменяемые составляющие модели объекта управления), функционирующих в условия параметрической неопределенности и при действии внешних возмущений. Учитывая, что в современных объектах автоматизации в качестве исполнительных устройств широко используются электромеханические преобразователи, управляемые инверторами напряжения, заведомо функционирующими в ключевом режиме, класс систем с релейными входами достаточно широк, а проблема повышения точности регулирования в системах с неидеальными релейными управлениями является актуальной.
Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных методов синтеза инвариантных релейных систем с учетом неидеальностеи релейных характеристик различного типа (люфт, гистерезис, насыщение, мертвая зона, срьгвное трение и др.). Данная цель определяет следующие основные задачи работы:
1) разработка процедуры форсирования скользящего режима в системах с неидеальными реле по обратной связи, а также доопределение уравнений движения в идеальном скользящем режиме, трактуемом как предельный случай реального скользящего режима;
2) разработка алгоритмов компенсации по обратной связи низкочастот
ных колебаний в установившемся режиме («чаттеринга»), возникающих из-за
неидеальностей релейных элементов, за счет добавления высокочастотных
сигналов на входы релейных элементов;
синтез алгоритмов управления, обеспечивающих инвариантность замкнутых релейных систем с заданной точностью к внешним ограниченным модельным возмущениям, на основе метода динамической компенсации;
применение разработанных процедур, в частности, динамической компенсации возмущений заданного класса, в задаче оценивания профиля поверхности с помощью профилометра-профилографа с дифференциальным индуктивным чувствительным элементом.
Указанный комплекс задач определяет структуру и содержание диссертационной работы, состоящей из пяти глав.
Первая глава носит обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 рассмотрены основные способы доопределения движения на поверхностях разрыва для нелинейных систем общего вида, в том числе и не содержащих в явном виде управляющих воздействий. В разделе 1.2 описывается проблема низкочастотных колебаний в установившемся режиме («чаттеринга») и различные способы ее решения. Отмечено, что в основном существующие подходы базируются на использовании законов комбинированного управления с непрерывной компенсирующей составляющей. В разделе 1.3 описываются методы синтеза инвариантных систем с разрывными управляющими воздействиями, функционирующих в скользящем режиме, при действии на объект управления внешних ограниченных возмущений. В разделе 1.4 даны содержательные постановки задач, решаемых в диссертационной работе.
Во второй главе разработана процедура доопределения движения в скользящем режиме за счет выбора обратной связи. Предполагается, что управление может быть сформировано только в классе разрывных функций, которые реализуются с помощью релейных элементов с различного рода не-идеальностями и постоянными во времени характеристиками (амплитуды
9 управляющих воздействий, параметры нелинейностей). В разделе 2.1 формализована постановка задачи для линейной системы. В разделе 2.2 доказано, что с точностью до размера пограничного слоя движения в реальном скользящем режиме обладают теми же свойствами (финитность попадания на поверхность скольжения, инвариантность, редукция системы), что и в идеальном. Кроме того, за счет выбора обратной связи величина пограничного слоя может быть параметризована и в пределе устремлена к нулю. Проводится сравнительный анализ разработанной процедуры доопределения по обратной связи движения по поверхности разрыва с известными подходами Филиппова А.Ф., Пятницкого Е.С., Уткина В.И. В разделах 2.3, 2.4 аналогичный результат получен для случая нелинейной системы.
Третья глава посвящена проблеме синтеза инвариантных систем при действии внешних ограниченных модельных возмущений и неидеальных релейных элементах. В разделе 3.1 центральное внимание уделено проблеме компенсации «чаттеринга» за счет использования принципов высокочастотной модуляции. Показано, что при ограниченных коэффициентах усиления обратной связи величина пограничного слоя, а, следовательно, и автоколебаний, может быть уменьшена за счет подачи на вход релейного элемента высокочастотного модулирующего сигнала. При этом на физическом уровне данный подход предполагает использование обратно пропорциональной связи между частотой и амплитудой автоколебаний в реальном скользящем режиме. При стремлении частоты модуляции к бесконечности движения замкнутой системы в пограничном слое происходят без низкочастотных колебаний и описываются некоторой усредненной системой дифференциальных уравнений, собственные числа характеристического уравнения которой могут быть выбраны произвольным образом за счет коэффициентов усиления обратной связи. Данный эффект, хорошо известный в технических приложениях и получивший название «вибролинеаризующего» (Фельдбаум А.А., Цыпкин ЯЗ., Красовский А.А., Астром К. Д., Моссахеб С), используется для решения качественно новой задачи - компенсации «чаттеринга» — за счет
10 модуляции в достаточно малой окрестности зоны неидеальности реле. В разделе 3.2 разработан алгоритм компенсации постоянного смещения, вызванного несимметричностью характеристик переключения исполнительных устройств за счет введения интегральной обратной связи. В разделе 3.3 рассматривается допредельный случай, когда частота переключения исполнительных устройств ограничивается инженерными соображениями. Разработана процедура оценки амплитуды автоколебаний, позволяющая выбрать на практике частоту модуляции.
В четвертой главе разработана процедура синтеза инвариантных систем с разрывными управляющими воздействиями. В разделе 4.1 разработан закон управления с использованием метода динамической компенсации (Уо-нэм У.М., Уткин В.А.) на основе алгоритмов, разработанных в главах 2, 3. Данный алгоритм обеспечивает в предельном случае (частота модуляции стремится к бесконечности) полную инвариантность к внешнему модельному возмущению. В разделе 4.2 рассматривается важный с практической точки зрения случай конечной частоты вибролинеаризующего сигнала. Показано, что в этой ситуации можно обеспечить только є-инвариантность к внешним возмущениям, получены оценки точности регулирования при конечных коэффициентах усиления обратной связи и частоте модуляции. В разделе 4.3 формализовано условие разнесения собственных частот колебаний системы, обусловленных коэффициентами усиления обратной связи, и частоты модулирующего сигнала. Данный результат позволяет вычислить ограничение на коэффициенты усиления в зависимости от частоты. В разделе 4.4 приводятся результаты моделирования для линейной системы, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.
В пятой главе решается задача оценивания профиля поверхности с помощью профилографа-профилометра с дифференциальным электромеханическим преобразователем. Предполагается, что на объект исследования (электромеханический преобразователь) действуют внешние ограниченные возмущения (в том числе электродвижущие силы, вызванные в условиях
производства внешними магнитными полями цепей питания). Наличие возмущений ограничивает возможности применения стандартных подходов к идентификации профиля поверхности, которые базируются на принципах амплитудной модуляции высокочастотного сигнала с выхода электромеханического преобразователя. В качестве объекта управления рассматривается электромеханический преобразователь профилографа-профилометра серии 252 с типовыми характеристиками. В разделе 5.1 формализована постановка задачи управления и идентификации. В разделе 5.2 разработана процедура синтеза разрывного управления, обеспечивающего є-инвариантность замкнутой системы к внешним возмущениям. Основная идея базируется на создании с помощью управляющих воздействий автоколебаний в замкнутой системе, при которых возможно использование процедур, разработанных в главах 2, 3. Показано, что при этом в предельном цикле также проявляется эффект вибролинеаризации, обусловленный внутренними автоколебаниями системы. В разделе 5.3 разработана процедура синтеза алгоритма идентификации на скользящих режимах, а также с большими коэффициентами обратной связи. В разделе 5.4 приводятся результаты моделирования, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.
На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании проблем анализа и синтеза инвариантных релейных систем с неидеальными релейными характеристиками:
предложен новый способ доопределения движения в скользящем режиме с помощью выбора обратной связи при наличии различного рода не-идеальностей релейных исполнительных устройств и при действии внешних ограниченных возмущений;
разработан подход к подавлению амплитуды низкочастотных колебаний («чаттеринга») в установившемся режиме в релейных системах на основе высокочастотной модуляции;
на основе метода динамической компенсации разработаны алгоритмы синтеза релейных систем, инвариантных с заданной точностью к внеш-
12 ним модельным возмущениям, при фиксированных неидеальностях релейных характеристик;
получены оценки точности регулирования в допредельном случае при конечных коэффициентах усиления в обратной связи и ограниченной частоте внешнего модулирующего сигнала, даны практические рекомендации по их выбору;
разработан алгоритм синтеза замкнутой системы управления и идентификации для профилографа-профилометра с дифференциальным индуктивным преобразователем линейных перемещений; представлены результаты моделирования разработанных алгоритмов идентификации и управления для профилографа-профилометра с типовыми характеристиками.
Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, методов современной теории управления: блочного принципа управления, разделения движений в классах систем с большими коэффициентами и разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, динамической компенсации, инвариантности и устойчивости. Теоретические положения подтверждены результатами моделирования в среде MATLAB/Simulink, а также их практическим использованием в задачах управления профилографом-профилометром серии 252.
Научная новизна.
В отличие от известных методов доопределения движения в скользящем режиме, основанных на стремлении неидеальностеи различного рода к нулю, в данной работе неидеальные релейные характеристики являются неизменяемой частью модели объекта управления. Предложен способ их компенсации за счет использования глубоких обратных связей, позволяющий в пределе организовать идеальный скользящий режим и формализовать уравнения скольжения.
Предложен и обоснован метод подавления низкочастотных колеба-
13 ний за счет подачи на вход реле высокочастотного сигнала.
Для релейных систем решена проблема обеспечения инвариантности с заданной точностью к модельным возмущениям с использованием глубоких обратных связей и вибролинеаризующего сигнала на основе метода динамической компенсации. Получены оценки точности регулирования при конечных коэффициентах усиления и ограниченной частоте внешнего модулирующего сигнала. Разработаны практические рекомендации по выбору коэффициентов усиления и частоты модулирующего сигнала.
Разработанные алгоритмы применены для синтеза системы управления профилографом-профилометром и обеспечивают повышенную скорость трассировки и точность идентификации неровностей поверхности.
Практическая значимость заключается в том, что реализация результатов, полученных в диссертационной работе, приведет к достижению значительного технико-экономического эффекта при проектировании и эксплуатации релейных систем управления широкого класса, функционирующих в условиях действия внешних возмущений и с учетом неустранимых неидеаль-ностей релейных элементов различного типа.
Реализация результатов работы. Разработанные процедуры синтеза использовались при разработке опытного образца портативного профиломет-ра, выполненной по заказу ООО «СЭТ»» в Управлении научных исследований Тольяттинского государственного университета в 2008-2009 гг. На базе профилографа-профилографа-252 внедрена в учебный процесс «Компьютерная система управления и идентификации» в Тольяттинском государственном университете по курсу «Метрология, стандартизация, сертификация».
Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологий», (Тольятти, ТГУ, 2006, 2007); Международной конференции "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2005); Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO (Москва, ИПУ РАН, 2006, 2009); Международной научно-
14 технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль» (Тольятти, ТГУ, 2006); 9-м международном семинаре по системам с переменной структурой "Variable Structure Systems VSS'06" (Италия, Альгеро, 2006); Всероссийском молодежном научно-инновационном конкурсе-конференции «Электроника 2006» (Зеленоград, МИЭТ, 2006); Международном симпозиуме "Nonlinear Control Systems conference" (ЮАР, Претория, 2007); 17-м Всемирном конгрессе IF АС (Южная Корея, Сеул, 2008); 6-й международной конференции "Euromech Nonlinear Dynamics Conference" (Россия, Санкт-Петербург, 2008); Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, КАИ, 2008); Всероссийской конференции «Информационные технологии и системы» (Геленджик, 2008; Москва, 2009); V Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Липецк, ЛГТУ, 2008); Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI (Киев, КНУ, 2009); VI Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Ижевск, 2009); 9-м симпозиуме IF АС по управлению роботами SYROCO'09. (Япония, Гифу, 2009); Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения» (Тольятти, ТГУ, 2009); на семинарах ИЛУ РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, СПбГУ, ТГУ.
Работа выполнена в рамках комплексного проекта фундаментальных исследований РАН 2.4.2, 2422/07 (тема 3.4.1, 3412/07).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 26 работ, в том числе 2 [30, 31] в журналах, рекомендуемых ВАК РФ.
Структура работы. Диссертационная работа изложена на 130 страницах, состоит из введения, 5-ти глав, заключения, содержит 27 рисунков, список литературы (122 наименования), 4 приложения, в том числе 2, подтверждающих внедрение полученных результатов.
Перспективы развития теории скользящих режимов. Проблема автоколебаний при движении в реальном скользящем режиме
Развитие теории скользящих режимов в настоящее время имеет две основных тенденции. Усилиями ряда зарубежных ученых (в основном, наших соотечественников) развивается теория скользящих режимов высокого порядка (или второго рода) [104, 105, 108]. Заметим, что отнесение этого направления к теории скользящих режимов носит условный характер и оправдано лишь свойством сходимости к многообразию скольжения за конечное время. Отметим, что в этом смысле можно принять во внимание и ряд других алгоритмов управления, обеспечивающих сходимость за конечное время, имеющих в своей основе известную теорему об п -интервалах [70]. В связи с тем, что данное направление сильно математизировано, перспективы его практического использования не ясны, в частности, известные результаты нереализуемы применительно к моделям объектов управления с неизменяемой частью, включающей релейные элементы [55, 76]. Второе направление связано с дальнейшей разработкой положений теории «классических» скольз5іщих режимов [17, 18, 59, 69, 116], в частности с целью довести эти положения до инженерной практики. В настоящее время электроприводы с силовыми инверторами наиболее часто используются в качестве исполнительных устройств, совершенствуются силовые электронные переключающие устройства. В системах, функционирующих в скользящем режиме, априори ориентированных на ключевую природу управлений, обеспечивается инвариантность к внешним возмущениям и декомпозиция по темпам движений в замкнутой системе.
В тоже время, не секрет, что «скользящие режимы» вызывают скепсис у специалистов по управлению, так как теоретические построения основываются на гипотезе идеального скользящего режима — движения в бесконечно малой окрестности многообразия скольжения при бесконечной частоте переключений релейных элементов, нереализуемой на практике. В реальных системах конечная частота переключений релейных элементов приводит к возникновению автоколебаний [4, 8, 69, 74, 81, 82, 87, 88, 95] с конечной амплитудой в установившемся режиме, что неблагоприятно сказывается на точности регулирования. В англоязычной литературе данное явление получило название «чаттеринг» (от англ. chattering — болтанка) - низкочастотные колебания (в полосе пропускания объекта управления) значительной амплитуды в установившемся режиме. Существуют различные подходы к решению проблемы «чаттеринга». Рассмотрим более подробно основные из них.
Метод пограничного слоя [114]. Данный подход используется в случае, когда «чаттеринг» вызван неучтенной динамикой либо в канале управлений, либо в каналах измерения. Основная идея этого подхода достаточно проста: необходимо заменить разрывное управление, вызывающее автоколебания, некоторой непрерывной функцией. Как известно, предельный цикл или автоколебания - это особый вид движения, который возникает в нелинейных системах [3, 4, 6, 8, 22, 44, 54, 80, 95]. Было предложено множе 27 ство непрерывных законов управления, позволяющих избежать возникновения колебаний [114]. При движении в «большом», когда некоторая переменная s, определяющая поверхность переключения, удовлетворяет неравенству s(t) \ А, управляющее воздействие является разрывным // = -Msign(s). При попадании же траекторий системы в пограничный слой s(Y) A разрывное управление заменяется некоторой непрерывной функцией, например, линейной с насыщением вида
В случае, когда динамика исполнительных или измерительных устройств устойчива [13, 20] и постоянные времени динамических неидеально-стей пренебрежительно малы по отношению к постоянным времени объекта, в замкнутой системе с управлением (1.18) возникают устойчивые движения, разделенные по темпам [9, 43, 60, 77, 79, 101, 102]. Переход к непрерывному управлению в некоторых случаях позволяет исключить замкнутые траектории в фазовом пространстве. Однако в такой ситуации теряется свойство полной инвариантности замкнутой системы, поскольку коэффициент усиления обратной связи в законе управления (1.18) конечен [17, 18,43, 59].
II. Использование асимптотических наблюдателей в цепи обратной связи. На рис. 1.6 показана структурная схема замкнутой системы с наблюдателем состояния. Блоки « D]», « D2 » - малые неучтенные динамики объекта управления. В данной схеме быстрые движения сосредотачиваются в контуре, включающем только наблюдатель, динамические характеристики которого наперед заданы и не включают в себя неучтенные динамические неидеальности (динамические несоответствия объекта и исходной математической модели). При синтезе регулятора обратной связи используется сигнал с выхода наблюдателя.
Регуляризация описания движения в скользящем режиме по обратной связи для линейных систем
В данной главе рассматриваются объекты управления, математическая модель которых представлена системами как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ) с разрывными правыми частями. В середине XX в. одновременно с доопределением решений таких ДУ в математической постановке (например, см. [1, 71, 72]), где правая часть уравнений предполагалась разрывной в исходной постановке, разрабатывалась теория систем с переменной структурой (например, см. [59], [62], [69]), где преднамеренно организовывался скользящий режим за счет целенаправленного синтеза управлений в классе разрывных функций. В случае идеальных релейных элементов в таких системах может возникать идеальный скользящий режим, в котором происходит редукция порядка системы. Проблема состоит в том, что при возникновении скользящих режимов производная вектора состояния системы не удовлетворяет условию Липшица, при этом точки разрыва не являются локальными, а принадлежат некоторому многообразию скольжения. Таким образом, нарушаются условия теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения [60]. Возникает задача доопределения решений при движении по поверхности скольжения. Один из известных подходов к решению этой проблемы состоит во введении пограничного слоя в окрестности многообразия скольжения (обусловленного, в частности, неидеальностями релейных элементов) и получения описания движения в скользящем режиме при стремлении пограничного слоя к нулю [69].
В данной главе разработан новый метод доопределения движения в скользящем режиме с учетом ряда встречающихся на практике характеристик релейных элементов [29, 31], более ориентированный на использование в инженерной практике. Данный подход позволяет локализовать точки разрыва и получить решение в смысле Каратеодори [72]. Показано, что за счет увеличения коэффициентов усиления обратной связи можно обеспечить стремление пограничного слоя к нулю и осуществить регуляризацию скользящих движений с точностью до бесконечно малой.
Глава имеет следующую структуру. В разделе 2.1 приводятся основные положения теории скользящих режимов, на которых основывается дальнейшее изложение, и аргументируется постановка задачи. В разделе 2.2 вводятся неидеальные релейные элементы различного типа, из-за которых движение системы происходит в некоторой Л-окрестности многообразия скольжения. Следуя эффективному методу доопределения движения в разрывных системах с использованием пограничного слоя [69], в терминах переходных процессов, разделенных во времени на этап попадания в пограничный слой и движения в нем, показывается, что при стремлении пограничного слоя к нулю движение в скользящем режиме описывается методом эквивалентного управления. Очевидный факт, который заключается в том, что с увеличением коэффициента усиления в контуре обратной связи характеристика неидеального реле стремится к сигнум-функции, позволяет параметризовать величину пограничного слоя по обратной связи. Показано, что движения системы с неидеальными реле могут быть с любой заданной точностью приближены к движению в скользящем режиме. При рассмотрении предельного случая (коэффициенты усиления обратной связи стремятся к бесконечности) получено доопределение движения в идеальном скользящем режиме, которое совпадает с известными способами доопределения (см. раздел 1.1). В разделах 2.3, 2.4 рассмотрена постановка задачи и разработана процедура доопределения движения в скользящем режиме по обратной связи для нелинейных систем. В заключение проводится сравнительный анализ разработанной процедуры доопределения по обратной связи с известными подходами.
Ставится задача стабилизации линейной динамической стационарной - вектор состояния, и є Rp — вектор управления, , є Rm — вектор внешних ограниченных возмущений, пара (А, В) управляемая, Q = В А. С помощью невырожденной замены переменных и преобразований подобия данная система может быть представлена в регулярной форме [67] с единичной матрицей перед управлением:
(2.1)
Система (2.1), названная в [67] системой с динамическими исполнительными устройствами, отражает структуры часто встречаемых на практике математических моделей объектов управления, где хх - вектор состояния собственно объекта управления, х2 — вектор состояния исполнительных устройств, который трактуется как управляющее воздействие объекта управления (так называемое фиктивное или виртуальное управление), соответственно, и — вектор управления исполнительного устройства (истинное управление). Такая структура позволяет использовать блочный подход [15, 34, 107] к задаче синтеза стабилизирующей обратной связи в системе (2.1), который состоит из двух этапов. На первом шаге выбираются желаемые фиктивные управления на входе объекта управления, например, в виде линейной локальной обратной связи х2 - Сх]. На втором этапе синтез истинных управлений и обеспечивает сформированную зависимость Сх{ +х2 =0.
Использование эффекта вибролинеаризации
В данной главе рассматриваются математические модели объектов управления вида (2.6), т.е. линейные системы в регулярной форме с неидеальными релейными управлениями (см. рис. 2.1). Класс таких систем достаточно широк, если учитывать, что в настоящее время основным видом исполнительных устройств являются электроприводы различного типа, управляемые инверторами напряжения и имеющие заведомо ключевую (релейную) природу. В такой постановке управляющие воздействия объекта управления могут формироваться только как выход реле и, следовательно, описанные в главе 1 подходы к обеспечению инвариантности с использованием комбинированных (непрерывных или с непрерывной составляющей) управлений не-реализуемы. При наличии неидеальностей, в том числе и релейных элементов, непосредственное использование теории скользящих режимов приводит к возникновению «чаттеринга», который снижает точностные характеристики управляемых процессов. Такие режимы работы часто недопустимы с технологической точки зрения и, например, могут приводить к быстрому износу механических частей управляемой системы. В общем случае причиной возникновения нежелательных колебаний может быть также неучтенная динамика измерительных и исполнительных устройств. В диссертационной работе проблема «паразитной динамики» не рассматривается, исследуются лишь вопросы компенсации автоколебаний, вызванных статическими неидеально-стями релейных элементов.
На практике матрицы коэффициентов усиления выбираются с конечными элементами, в частности, для избежания ложных переключений. В этом случае частота переключений релейных элементов конечна, что может приводить к неудовлетворительному установившемуся процессу.
Основным импульсом для проведения нижеследующих исследований послужило желание преодолеть скептическое отношение к практической реализации алгоритмов управления с разрывными управляющими воздействиями, обусловленное проблемой «чаттеринга». Для устранения этого явления в разделе 3.1 предложен новый подход к подавлению «чаттеринга» [31], связанный с использованием высокочастотного сигнала на входе реле, что позволяет на высоких частотах линеаризовать релейные характеристики и в пределе перейти к линейной замкнутой системе, в которой отсутствует «чат-теринг». Таким образом, хорошо известные методы вибролинеаризации релейных элементов (например, см. [93, 95, ПО, 118]) используются для решения принципиально новой задачи. В разделе 3.2 разработан алгоритм компенсации смещения, вызванного несимметричностью характеристик переключения исполнительных устройств за счет введения интегральной обратной связи. В разделе 3.3 рассматривается допредельный случай, когда частота переключения исполнительных устройств ограничивается инженерными соображениями. Разработана процедура оценки амплитуды «чаттеринга», позволяющая выбрать на практике частоту модуляции [28, 31]. В заключение приводятся краткие выводы по результатам проведенных исследований.
Принципиально избежать «чаттеринг» можно двумя способами - повышать частоту переключений релейных элементов или уменьшать их амплитуду [31, 91]. В электромеханических системах изменение амплитуды релейных элементов часто связано со значительными трудностями в реализации [45, 55, 56, 75, 76, 90, 97, 100, 116], энергетическими затратами, инерционностью силовых цепей и т.п. По этой причине релейные силовые элементы с изменяемой амплитудой применяются очень редко, быть может, за исключением случаев, когда используются дискретные по уровню значения амплитуд, что подразумевает наличие нескольких источников напряжения или одного управляемого источника напряжения.
Будем далее полагать, что в модели объекта управления присутствуют неизменяемые неидеальные релейные элементы. Следовательно, в распоряжении разработчика системы управления остается только один способ повысить качественные характеристики регулирования — повышать частоту переключений релейных элементов с тем, чтобы приблизиться к идеальному скользящему режиму. Отметим, что кроме различных ограничений на увеличение частоты переключений, связанных с увеличение потерь энергии в коммутирующих элементах и тлі., на практике частота переключений ограничена сверху уже из чисто физических соображений, связанных с постоянными времени самих силовых ключевых элементов. Учитывая, что современные силовые инверторы работают на частотах переключений десятки и сотни килогерц, такие частоты удовлетворяют гипотезе фильтра по отношению к объектам управления с достаточно большими постоянными времени. В этом смысле, цель состоит в обеспечении в замкнутом контуре максимально допустимой с технологической точки зрения частоты переключений.
При движении в (А//)-окрестности поверхностей скольжения между переключениями управляющих воздействий система практически подчинена собственным движениям и является разомкнутой. Как известно, при наложении дополнительного внешнего высокочастотного сигнала на входную величину релейных функций средняя составляющая управляющего воздействия гї(і) на периоде колебаний зависит от средней составляющей сигнала Ls (t), подаваемого на исполнительное устройство [36, 70, 74]. Данный эффект, получивший название вибролинеаризующего, позволяет корректировать движения системы в (А//)-окрестности и обеспечивает требуемые показатели качества переходного процесса [2, 3, 21, 43].
Обеспечение инвариантности с использованием принципов высокочастотной модуляции
В данной главе исследовалась задача стабилизации линейной системы с использованием релейных управляющих воздействий. Невозможность использования бесконечных коэффициентов усиления обратной связи привела к необходимости разработки алгоритмов управления с использованием процедуры вибролинеаризации. Было показано, что при наложении высокочастотного гармонического воздействия на входные сигналы релейных элементов в пределе {со — со) «чаттеринг» отсутствует. Для упрощения были рассмотрены четыре основных вида неидеальных релейных элементов (гистерезис, гистерезис с зоной нечувствительности, зона нечувствительности, усилитель с зоной нечувствительности). Однако полученные результаты справедливы и для других видов часто встречающихся на практике характеристик переключения реле. Существенным результатом является возможность коррекции качества переходных процессов при движении в (А//)-окрестностях поверхностей скольжения за счет коэффициентов усиления обратной связи. В некотором смысле описанный подход аналогичен приведенному в [114] алгоритму, в том смысле, что переход от разрывного управления к линейному приводит к исчезновению «чаттеринга». Различие состоит в том, что в предложенной процедуре переход к непрерывному управлению осуществляется в «среднем» на периоде колебаний.
Несимметричность реальных характеристик переключения релейных устройств приводит к необходимости компенсации статической ошибки регулирования при движении в (А//)-окрестностях поверхностей скольжения которая мало представлена в научной литературе). Разработан алгоритм компенсации постоянного смещения за счет формирования новых поверхностей скольжения с использованием интегральных обратных связей. Формализована взаимосвязь амплитуды «чаттеринга» и частоты вибросигнала, позволяющая выбрать частоту модуляции на практике.
В данной главе разработан алгоритм синтеза инвариантных систем с использованием релейных элементов с различного рода неидеальностями на основе процедуры вибролинеаризации (см. главу 3) [27, 30]. Рассматривается класс внешних ограниченных возмущений, которые порождаются автономной динамической моделью с известными параметрами.
В разделе 4.1 используется свойство линеаризации нелинейных характеристик посредством высокочастотного сигнала на входах реле. Данный эффект позволяет использовать методы построения инвариантных систем, в частности, синтезировать комбинированное управление. В разделе 4.2 рассмотрены важные с инженерной точки зрения вопросы реализации предложенных алгоритмов в допредельной ситуации, когда частота переключений достаточно высока, но конечна. В частности, рассматривается вопрос о разнесении частот переключений, обусловленных повышением коэффициента усиления на входе реле и высокочастотным сигналом, с тем, чтобы избежать их нежелательного наложения. В разделе 4.3 приводятся оценки ошибки компенсации внешних возмущений при конечной частоте модуляции. В разделе рассмотрен пример линеаризованного обобщенного электропривода и приводятся результаты моделирования в среде Matlab/Simulink. В заключение приводятся краткие выводы по результатам проведенных исследований.
Одним из требований к выбору характеристик релейных элементов на практике является защита от так называемых «ложных» срабатываний. Учитывая, что на полезный сигнал на входе реле накладываются паразитные сигналы (шумы), разработчик оценивает их предельный уровень и формирует релейную характеристику («мертвую» зону, гистерезис) так, чтобы при нулевом полезном сигнале исключить переключения (как правило, высокочастотные) реле. Такой подход к выбору характеристик релейных элементов не решает проблемы «ложных» высокочастотных срабатываний реле вблизи границ гистерезиса или «мертвой» зоны, для решения которой в данной главе предлагается ввести на входы реле дополнительный высокочастотный сигнал с амплитудой, превышающей размер гистерезисной петли или мертвой зоны. В этом случае частота переключений реле определяется внешним высокочастотным сигналом, а скважность задается полезным сигналом.
В главе 3 было показано, что введение высокочастотного сигнала позволяет повысить частоту переключений реле и, соответственно, решить проблему «чаттеринга». Дополнительным преимуществом такого подхода является возможность на основе возникающего эффекта линеаризации релейной характеристики на низких частотах использовать методы компенсации внешних возмущений с использованием непрерывной (средней) составляющей в комбинированном управлении. Важно отметить, что поскольку управления могут быть только релейными, компенсация возмущений с использованием комбинированного управления в данном случае реализуется посредством изменения скважности.
Введение высокочастотного сигнала на входы реле широко используется в инженерной практике при реализации принципов широтно-импульсной модуляции (ШИМ) в релейных системах, а также для линеаризации элементов с нелинейной характеристикой (вибролинеаризация) [36, 38, 70,74,93,95, 110, 112, 119].
