Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы синтеза систем с разделяемыми движениями 12
1.1. Метод разделения движений 13
1.1.1. Системы с разрывными управлениями 13
1.1.2. Системы с большими коэффициентами 15
1.1.3. Сингулярно возмущенные системы 16
1.1.4. Практические аспекты 17
1.2. Управляемость. Блочно-канонические представления 24
1.2.1. Управляемость линейных систем 24
1.2.2. Управляемость нелинейных систем 28
1.3. Наблюдаемость. Блочно-канонические представления 31
1.3.1. Наблюдаемость линейных систем 31
1.3.2. Наблюдаемость нелинейных систем 36
1.4. Выводы и постановка задач 37
Глава 2. Структурные свойства линейных систем в задаче слежения 40
2.1. Описание проблемы. Постановка задач 40
2.2. Блочная форма управляемости относительно выходных переменных линейных систем 46
2.3.Условия разрешимости различных задач управления 60
2.3.1. Наблюдаемость 61
2.3.2. Управляемость и стабилизируемость 62
2.3.3. Разрешимость задачи слежения 65
2.4. Синтез линейных систем с одним входом и одним выходом,
функционирующих в условиях параметрической неопределенно
сти 70
2.4.1. Постановка задач 70
2.4.2. Понятия относительной степени и нулей передачи 72
2.4.3. Совместное решение задач идентификации и наблюдения 77
2.5. Выводы к главе 2 81
Глава 3. Управление нелинейными динамическими системами относительно выходных переменных 82
3.1. Блочно-каноническая форма управляемости нелинейных систем относительно выходных переменных 83
3.2. Условия разрешимости задач автономного управления 95
3.2.1. Ограниченная задача автономного управления 96
3.2.2. Расширенная задача автономного управления 97
3.3. Декомпозиционные процедуры синтеза 107
3.3.1. Синтез задачи стабилизации 107
3.3.2. Синтез задачи слежения 109
3.3.3. Синтез задачи слежения при неполной информации о задающих воздействиях 111
3.3.4. Информационное обеспечение базовых алгоритмов управления 115
3.3.5. Синтез динамического компенсатора 117
3.3.6. Пример 121
3.4. Выводы к главе 3 124
Глава 4. Управление электромеханическими системами 125
4.1. Управление угловым положением маятника в условиях неопределенности 126
4.1.1. Описание объекта управления. Постановка задач 126
4.1.2. Обеспечение заданной точности 127
4.1.3. Обеспечение экспоненциальной сходимости 132
4.2. Управление рабочим органом робота-манипулятора 136
4.2.1. Модель объекта управления. Постановка задач 136
4.2.2. Процедура приведения к БКФУВ 137
4.2.3. Решение задачи слежения по выходным переменным. Синтез управляющих воздействий 141
4.2.4. Информационное обеспечение базового алгоритма управления. Синтез наблюдателя состояния 145
4.3. Моделирование движения двухзвенного робота-манипулятора. 147
4.3.1. Описание модели объекта управления 147
4.3.2. Базовый алгоритм управления 148
4.3.3. Решение задачи наблюдения 150
4.3.4. Результаты моделирования 151
4.4. Выводы к главе 4 154
Заключение 155
Список литературы 157
Приложение 162
- Метод разделения движений
- Блочная форма управляемости относительно выходных переменных линейных систем
- Блочно-каноническая форма управляемости нелинейных систем относительно выходных переменных
- Управление угловым положением маятника в условиях неопределенности
Введение к работе
Актуальность работы. Последние годы развитие теории автоматического управления обусловлено все возрастающей сложностью объектов автоматизации. При описании технологических процессов все чаще используются многомерные, нелинейные многосвязные динамические модели, при составлении которых необходимо принимать во внимание, как неопределенность среды функционирования, так и неопределенности математических моделей с точки зрения их адекватности реальным процессам. Как следствие, при формировании обратной связи возникают проблемы, связанные с высокой размерностью задачи синтеза, наличием параметрической неопределенности оператора объекта управления и т.п.
Одним из активно развивающихся подходов к решению задач управления в последние десятилетия является метод разделения движений с использованием в цепи обратной связи разрывных управляющих воздействий и организацией скользящих режимов (Емельянов СВ., Уткин В.И.), обладающих следующими привлекательными свойствами: декомпозиция общего движения на разнотемповые составляющие; упрощение процедуры синтеза; инвариантность движения в скользящем режиме к внешним и параметрическим возмущениям. В рамках данного метода получил развитие блочный подход к анализу и синтезу задач управления и наблюдения (Уткин В.А., Лукьянов А.Г., Краснова С.А.), позволяющий осуществить полную структурную декомпозицию задач синтеза с разделением на независимо решаемые элементарные подзадачи меньшей размерности, чем исходная. Следует отметить также работы школы А.А. Колесникова с очень близкой блочному подходу идеологией метода синтеза АКАР.
Указанные преимущества данных методов активно использовались при решении, как задач наблюдения, так и собственно управления, но в разных преобразованных координатах, что приводило к необходимости выполнять обратные преобразования, затрудняющие синтез регулятора.
Рассмотренные в диссертационной работе задачи теории и практики автоматического управления являются развитием блочного подхода и метода разделения движений в классе систем с разрывными управлениями. В диссертационной работе задачи управления и наблюдения решаются относительно одних и тех же выходных координат на основе предварительного приведения модели объекта управления к совместной блочной форме управляемости и наблюдаемости, что позволяет избежать решения обратных задач в реальном времени.
Цель диссертационной работы состоит в изучении структурных свойств линейных и нелинейных динамических систем управления общего вида относительно выходных (регулируемых и измеряемых) переменных и последующий синтез задач управления и наблюдения, что включает:
разработку процедур приведения математических моделей исходных систем к блочным формам управляемости относительно выходных переменных (БФУВ), в терминах которых формализуются структурные свойства исходных систем и которые являются предпосылкой декомпозиционного синтеза задач стабилизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных в одних и тех же преобразованных координатах;
представление систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях параметрической неопределенности, в совместной форме управляемости и наблюдаемости, на основе которой комплексно решаются задачи наблюдения, идентификации и модального управления;
разработку декомпозиционных процедур анализа и синтеза автономно управляемых нелинейных систем в различных постановках;
применение разработанных методов к синтезу систем управления электромеханическими объектами.
Указанный комплекс задач определяет структуру и содержание диссертационной работы, состоящей из четырех глав.
В первой главе, которая носит обзорный характер, приводится описание методов теории автоматического управления, положенных в основу дис-
7 сертационного исследования. В разделе 1.1 приводятся основные положения классической теории скользящих режимов, показана связь описания движения в скользящих режимах с медленными движениями в системах с глубокими обратными связями, обсуждаются вопросы реализуемости данного вида систем. В разделе 1.2 приведены ранговые условия управляемости линейных и нелинейных динамических систем. Описывается блочный подход и метод разделения движений в классе систем с разрывными управлениями и большими коэффициентами применительно к задаче стабилизации. В разделе 1.3 приведены ранговые условия наблюдаемости линейных и нелинейных динамических систем. Приведена процедура декомпозиционного синтеза наблюдателя состояния на скользящих режимах. В разделе 1.4 определяются цели и задачи диссертационной работы.
Во второй главе изучаются структурные свойства линейных динамических систем относительно выходных переменных. В разделе 2.1 приводится описание проблемы и постановка задачи. В разделе 2.2 разработана пошаговая процедура приведения исходной математической модели линейной системы общего вида к блочной форме управляемости относительно выходных переменных. В разделе 2.3 на основе полученной формы формализованы условиях разрешимости различных задач: стабилизации, слежения, наблюдения относительно выходных переменных. В разделе 2.4 разработана методика совместного решения задач идентификации и наблюдения применительно к системам с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях параметрической неопределённости.
В третьей главе изучаются структурные свойства нелинейных динамических систем относительно выходных переменных. В разделе 3.1 разработана пошаговая процедура приведения исходной математической модели нелинейной системы общего вида к блочно-канонической форме управляемости относительно выходных переменных с использованием метода расширения пространства состояния и теории динамических компенсаторов. На основе полученной формы формализованы условия разрешимости задачи ста-
8 билизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных. В разделе 3.2 разработана укороченная процедура конструктивного анализа разрешимости задачи автономного управления. В разделе 3.3 на основе полученной блочной формы разработаны процедуры декомпозиционного синтеза задач стабилизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных.
В четвёртой главе разработанные в теоретических главах процедуры анализа и синтеза применяются к решению прикладных задач. В качестве объектов управления рассматриваются электромеханические системы. В разделе 4.1 разработаны декомпозиционные процедуры синтеза системы управления положением маятника, функционирующей в условиях неопределенности. В разделе 4.2 разработаны декомпозиционные процедуры синтеза системы управления положением рабочего органа (схватом) робота-манипулятора. Приведены результаты моделирования в среде MATLAB.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы. В приложении приведены документы, подтверждающие практическое применение результатов.
На защиту выносятся следующие основные научные результаты:
методы конструктивного анализа структурных свойств линейных систем относительно выходных переменных, основанные на пошаговых процедурах приведения математических моделей объектов управления к блочно-управляемым формам относительно выходных переменных, в терминах которых сформулированы ранговые условия разрешимости задач стабилизации, слежения и наблюдения;
прямой метод решения совместной задачи идентификации параметров и наблюдения для линейных систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях неопределенности;
методы конструктивного анализа структурных свойств нелинейных систем относительно выходных переменных, основанные на пошаговых процедурах приведения математических моделей объектов управления к блочно-
9 каноническим формам управляемости относительно выходных переменных, в терминах которых сформулированы условия разрешимости задач стабилизации, слежения и наблюдения;
декомпозиционные процедуры анализа и синтеза задачи автономного управления для нелинейных динамических систем, основанные на блочном представлении математической модели относительно выходных переменных, методе расширения пространства состояния и методе разделения движений;
теоретические результаты работы использованы при решении следующих прикладных задач:
синтез системы управления положением маятника, функционирующей в условиях неопределенности;
синтез системы управления положением рабочего органа (схватом) робота-манипулятора.
Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, методов современной теории управления: разделения движений в классах систем с большими коэффициентами и разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, динамических компенсаторов, инвариантности и устойчивости. Теоретические положения подтверждены результатами моделирования на ПК в среде MATLAB, а также их практическим использованием в задачах управления электромеханическими системами.
Научная новизна диссертационной работы.
1) Показано, что приведение математических моделей линейных систем управления к блочным формам управляемости относительно выходных переменных является основой для последующего декомпозиционного синтеза и задачи наблюдения, и задачи собственно управления в одних и тех же преобразованных координатах, что позволяет избежать обратных преобразований в реальном времени и существенно упрощает синтез регулятора.
По сравнению с известными результатами, связанными с изучением областей устойчивости линейных систем с параметрическими неопределённостями, предложен прямой метод синтеза линейных систем с одним входом и одним выходом, позволяющий комплексно решить задачи наблюдения не-измеряемых координат, идентификации параметров и синтезировать стабилизирующую обратную связь.
Использование метода расширения пространства состояния позволило разработать конструктивную процедуру приведения нелинейной динамической системы к совместной форме управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных.
На основе полученной формы формализованы условия разрешимости задач автономного управления выходными переменными. Разработана многоконтурная структура автономных регуляторов, включающая декомпозиционные процедуры синтеза собственно управления, наблюдателей состояния и динамических компенсаторов. В частности, предложено решение задачи слежения за заданными значениями выходных переменных, в которой класс допустимых задающих воздействий расширен по сравнению с известными постановками.
Полученные теоретические результаты позволили существенно упростить решения ряда основных задач управления в электромеханических системах.
Практическая значимость заключается в том, что реализация результатов, полученных в диссертационной работе, приведёт к достижению значительного технико-экономического эффекта при синтезе широкого класса технологических объектов управления высокой размерности в условия действия внешних возмущений и при неполной информации о векторе состояния, в частности, при синтезе электромеханических систем.
Реализация результатов работы. Разработанные алгоритмы синтеза систем управления относительно выходных переменных реализованы в базовом ПО программно-технического комплекса ПТК «Квинт СИ».
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO (Москва, ИПУ РАН, 2004, 2006, 2007); международных конференциях «Системный анализ, управление и навигация» (Крым, Евпатория, 2004, 2006); всероссийских научных конференциях «Управление и информационные технологии» УИТ (Санкт-Петербург, 2005, 2006); международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль» (Тольятти, ТГУ, 2006); на IX Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2006); VII международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП (Новосибирск, НГТУ, 2006), III международной конференции по проблемам управления (Москва, 2006), а также на семинарах ИПУ РАН.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ.
Структура работы. Диссертационная работа изложена на 162 страницах, состоит из введения, 4-х глав, заключения, 32 рис., списка литературы (82 наименования) и приложения, подтверждающего внедрение полученных результатов.
Метод разделения движений
В разделах 1.2, 1.3 даны трактовки понятий управляемости и наблюдаемости линейных и нелинейных систем в терминах геометрического подхода. Приведены известные канонические представления линейных систем в виде блочных форм управляемости и наблюдаемости, на основе которых продемонстрированы принципы декомпозиционного синтеза обратной связи и наблюдателей состояния, позволяющие разделить исходную многомерную задачу на независимо решаемые элементарные подзадачи меньшей размерности.
В разделе 1.4 определяются цели и задачи диссертационной работы.
Задача синтеза в системах с разрывными управляющими воздействиями обычно сводится к выбору поверхностей в фазовом пространстве, на которых управления претерпевают разрывы. При выполнении определенных условий в таких системах возникает специфический вид движения - скользящий режим [49], когда изображающая точка может двигаться лишь вдоль поверхности разрыва. Предполагается, что данное движение обладает желаемыми динамическими свойствами с точки зрения предъявляемых к процессу управления требований.
Рассмотрим нелинейную динамическую систему с аддитивно входящим векторным управлением вида x = f{x,t) + B(x,t)u, (1.1.1) где х є X z R" - вектор состояния, ueRp - вектор управления, каждая компонента которого Uj(x, t), / = 1, р претерпевает разрыв на поверхности, за данной уравнением Sj(x) = О: U;(X,t) = uUx, t) при sAx) О, (1.1.2) и і (х, t) при st{x) Q, где uf(x, t), щ(х, t), Sj(x) - некоторые непрерывные функции. Предполагается, что вектор-функции f(x, t), В(х, t)u{t) вне поверхностей разрыва удовлетворяют условию Липшица. При определенных условиях [49] в системе (1.1.1)-(1.1.2) могут возникнуть скользящие движения, которые лежат на пересечении поверхностей разрыва s(x) = 0, где s = co\(sx,..., s ). Для составления уравнений скользящего движения используется метод эквивалентного управления, который описывается следующей процедурой [49]. Процедура метода эквивалентного управления
1) Выпишем производные по переменным s(x), вычисленные в силу исходной системы (1.1.1): s = Gf + GBu.
2) Эквивалентное управление ищ находится из уравнения статики: s = Gf+GBueq=0, (1.1.3) где строки матрицы G (dimG = рхп) являются ковекторами-градиентами функций /( ), G = {ds/dx). В предположении, что dotGB O Ух, t, из уравнений (1.1.3) получим ueq (х, 0 = -[G(x, t)B(x, О]-1 G(x, t)f(x, t). (1.1.4)
3) При подстановке эквивалентного управления (1.1.4) в исходную сис тему (1.1.1) получим уравнение x = f-B(GBylGf,s(x) = 0, (1.1.5) которое при начальных условиях дг0 принимается в качестве уравнения идеального скольжения. Существенно, что в силу равенства s(x) = О все траектории будут лежать на многообразии пересечения всех поверхностей разрыва размерности (п-р). Следовательно, вместо системы уравнений (1.1.5) и-го порядка можно записать систему уравнений скольжения (п - р) -го порядка.
Поскольку в локальной области det GB Ф О = rankG = р, по теореме о неявной функции [8] из р алгебраических уравнений s = 0 можно выразить р соответствующих координат вектора состояния через остальные и подставить их в первые (п-р) уравнений системы (1.1.5), а р уравнений отбросить. В результате будет получена система (п - р) -го порядка, которая будет описывать движение в скользящем режиме.
Таким образом, процедура синтеза системы с разрывными управлениями декомпозируется на две независимые подзадачи: 1) выбор многообразия скольжения 5(х) = 0 в качестве фиктивного управления в подзадаче (1.1.5)размерности (п-р); 2) решение задачи стабилизации системы (1.1.3) размерности р.
Блочная форма управляемости относительно выходных переменных линейных систем
Рассматривается линейная система х = Ах + Ви, УІ=ОХ, (2.2.1) где х є X с R" - вектор состояния, у] є Yx с Rm - вектор выходных переменных, ueRp - вектор управляющих воздействий, А, J3, D - известные матрицы с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей.
В данном разделе разработана пошаговая процедура приведения системы (2.2.1) к БФУВ - блочной форме управляемости относительно выходных переменных у{ = Dx. Предполагается, что именно выходные переменные подлежат измерениям. Предварительных предположений об управляемости и наблюдаемости пар матриц (А, В), (Д А) не делается. Поставленная задача решается в ограниченной постановке без ввода динамических компенсаторов производных управляющих воздействий.
Процедура конструктивного анализа В основе данной процедуры лежит последовательность неособых однотипных преобразований: на каждом шаге каждый блок БФУВ, переменными которого являются компоненты укороченного вектора производных выходных переменных, последовательно приводится к регулярной форме относительно истинных и фиктивных управлений, в качестве которых (согласно блочному подходу) рассматриваются фазовые координаты - переменные следующего блока. Формализуются условия, при которых исходная система представима в виде блочно-управляемых и одновременно блочно-наблюдаемых относительно групп выходных переменных подсистем. В ходе процедуры раскрываются структурные свойства исходной системы, которые зависят от матриц A,B,D и определяют возможность и архитектонику декомпозиционного синтеза обратной связи.
Шаг 1. Без ограничения общности предположим, что в системе (2.2.1) rankD = dim i = Щ, щ п. 1) Перегруппируем КОМПОНеНТЫ ВеКТОра СОСТОЯНИЯ X = С0\{Х{, Х\), eR"10, x{eRn m так, чтобы в линейном разложении у = Dx = DnXi + Dl2Xi выполнилось условие detZ)n 0, которое позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между выходными переменными и частью исходных координат вектора состояния: здесь и далее / - единичная матрица указанной размерности, О - соответствующая нулевая матрица. Преобразование (2.2.2) с учетом неособой замены переменных Х\ =В{\{ух -Dux{) позволяет представить систему (2.2.1) в виде двух подсистем У\ = А \У\ + А 1 + Biu i = Q \Уі + G\ \ + Q\u- (2.2.3) 2) Пусть в первом уравнении (2.2.3) rank/?, = рх и rank{Dj, В{} = px+mx mQ, т1 ФО. Преобразования данного пункта заключаются в последовательном расщеплении и приведении первого уравнения (2.2.3) к регулярной форме [49] относительно истинных управлений и (если рх Ф 0) и фиктивных управлений, в качестве которых в соответствие с блочным принципом управления [10] рассматриваются фазовые координаты хх. а) Для приведения первого уравнения (2.2.3) к регулярной форме отно сительно и с помощью перестановки строк представим вектор выходных переменных так уі = col(5 l5 ух), чтобы в системе У\ = А\У\ + А 1 + В{и, ух = А{ ху{ + ОД +Вхи выполнялось условие ranki?! = dimj = рх = 0, dim у{ = mQ-pl. Тогда неособая замена переменных ух = ух -Luyx, где Ln = В{ВХ+ (здесь и далее В+ обозначение псевдообратной матрицы), позволяет исключить вектор управления и из правой части соответствующего дифференциального уравнения: 7, = Аиу} + Dxxx +Вхи-В{Вх(Аиух +DJ3CJ +Вхи) = = А{іУі + ОД -ЗД+(А{,; , + ОД). б) Аналогично с помощью перестановки строк представим вектор ух в виде уі = со\(у , у{) так, чтобы в системе У\ = А іУі + А і У\=АпУі + А і выполнялось условие rankD, = dimpj = Wj 0, 6лту1 = т0-р]-т1. Тогда неособая замена переменных ух =y\-Lny{, где Ln =D DX+, позволяет исключить компоненты вектора хх из правой части соответствующего дифференциального уравнения:
Блочно-каноническая форма управляемости нелинейных систем относительно выходных переменных
Рассматривается многомерная математическая модель объекта управления, описываемая системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений вида векторы состояния, выходных переменных и управляющих воздействий, соответственно. Относительно векторных полей f(x, и), h(x) предполагается существование их полных производных высшего порядка в некоторой открытой области изменения переменных хеХ, ueU, т.е. вектор-функции f(x,u),h(x) принадлежат классу гладких функций С , где к - целое число, определяемое процедурно.
Следующая пошаговая процедура однотипных преобразований позволяет привести систему (3.1.1) к блочно-канонической форме управляемости относительно выходных переменных (БКФУВ) в рассматриваемой открытой области изменения переменных.
Предварительно отметим, что идеология выполняемых расщеплений вектора выходных переменных и его производных аналогична рассмотренному в разделе 2.2 линейному случаю. Естественное отличие состоит в том, что, во-первых, применительно к рассматриваемому общему виду нелинейной системы (3.1.1) полученные в результате процедуры формы и сделанные на основе их выводы могут иметь только локальный характер. Глобальные выводы можно получить, только если рассматривать математическую модель конкретного объекта управления. Во-вторых, в нелинейном случае потребуется выполнение тех или иных ранговых условий для матриц частных производных, что, согласно теореме о неявной функции, является предпосылкой неособых (диффеоморфных) замен локальных переменных. В третьих, если в линейном случае приведение блоков к регулярной форме относительно истинных и фиктивных управлений, а также аннулирование линейно-зависимых векторов не вызывает математических трудностей, то в рассматриваемом нелинейном случае для этих целей потребуется привлекать достаточно трудоемкие методы дифференциальной геометрии - Пфаффовы формы [20, 25, 49]. С целью избежать такого рода построений в нижеследующей процедуре будет получено более упрощенное, блочно-каноническое представление исходной системы за счет расширения пространства состояния. Процедура приведения нелинейной системы к БКФУВ
Шаг 1. 1) В предположении rank{d% } = тх т п с помощью перестановки строк представим вектор выходных переменных в виде ттк\.7дх\ = т где ух eRmx, компоненты вектора у0 eRm щ отбрасываются. В свою очередь, вектор состояния системы (3.1.1) может быть расщеплен так = col( 0j i) x0eRmi,xx eR" mi, чтобы mr\k{dh0/dx0} = ml. В силу тео А ремы о неявной функции отображение 1= 0( 0 1) инъективно относительно х0, что позволяет выполнить диффеоморфную замену переменных
После дифференцирования и обратной подстановки х0 = / (ух,хх) исходная система (3.1.1) будет представлена в виде двух подсистем ух = hx(yx,xx,u), хх = fx(yx,xx,u). (3.1.2) 2) Перестановкой строк представим первое уравнение системы (3.1.2) в виде трех блоков yx=hx(yx,xx,u),yx =hx(yx,х„и), ух =hx(yx,xx,u), (3.1.3) где dim ух = rankle /ди} = vmk{8hx /ди) = тх, dim ух = rank {dhx /дхх} =, = rank{d(hx, hx)T /дхх} = тх, d\myx =тх=тх-тх-тх. Также как и в линейном случае (2.2.5), в системе (3.1.3) может отсутствовать: а) или первое уравнение по признаку тх + тх = тх; б) или третье уравнение по признаку щ = О; в) или и первое, и третье уравнения по признаку тх=тх.
Отсутствие второго уравнения (при щ = 0) является одним из условий окончания процедуры на первом шаге. Другое условие - «выборка» всех компонент вектора управления, т.е. тх= р. Как и в линейном случае, с це 86 лью представить общий алгоритм преобразований к БКФУВ будем предполагать, что процедура закончится на 77-м шаге, при описании которого будут даны трактовки возможных условий окончания процедуры и соответствующие им виды блочно-канонического представления исходной системы (3.1.1). 3) Пусть щ Ф О. Тогда расщепим вектор управляющих воздействий так и = со\(щ,и2), dim и, =щ, $ши2=р-щ, чтобы в третьем уравнении (3.1.3) выполнилось ранговое условие х&тк{дп{{ух,хх,щ,и2)1ди1} = щ, что позволяет выполнить неособую замену переменных vl=hl(yl,xl,ul,u2), dimvl=mx, щ = hl+(yl,xl,u2,V\), в результате которой система (3.1.3) принимает вид
Управление угловым положением маятника в условиях неопределенности
Движение маятника с учетом динамики исполнительных устройств можно описать системой нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка [31,37] вида = 2,i2 =sin l+ 3 3 =м» (4.1.1) где xi - угловое положение маятника, х2 - скорость, х3 - крутящий момент, приложенный к маятнику на оси подвеса, который развивается электрическим исполнительным устройством с разрывном управлением и. Выходной (измеряемой и управляемой) скалярной величиной является угловое положения маятника у = хх. Предположения о степени неопределенности объекта управления будут сделаны по ходу изложения.
Заметим, что, как и многие электромеханические системы, система (4.1.1) изначально является одновременно и блочно-управляемой и блочно-наблюдаемой относительно выходной переменной.
Для системы (4.1.1) ставится задача слежения относительно выходной переменной (в частности, стабилизация угла отклонения маятника от верхнего вертикального положения), которая сводится к задаче стабилизации системы относительно невязки выходной переменной j = хх -xld, где заданное значение xxd{t) является известной функцией времени с ограниченной по модулю первой производной JCW Z) = const. (4.1.2) С учетом сделанных обозначений система (4.1) принимает вид Xi =х2 хы, х2 =sin(xi +Xy) + Xj, Хз=и. (4.1.3)
В рамках поставленной проблемы для системы (4.1.3) рассматриваются следующие постановки: 1) в предположении, что производная задания ху является неизвест ной функцией времени (4.1.2) и трактуется как внешнее возмущение, обеспечить заданную точность слежения xj 1 = const; (4.1.4) 2) в предположении, что задающее воздействие xld(t) описывается гладкой, многократно дифференцируемой функцией времени, обеспечить экспоненциальную сходимость к заданной траектории lim 3 =0. (4.1.5)
В данном параграфе разработаны декомпозиционные процедуры синтеза обратной связи, обеспечивающие заданную точность слежения (4.1.4).
Базовый алгоритм управления
Базовый алгоритм управления (все координаты вектора состояния системы (4.1.3) полагаются известными) соответствует процедуре, разработанной параграфе 3.3.3. Введем неособые замены переменных Х2 = Х2 + к\Х\, з = хъ+ sin( i + \d) + &1 2 + 2 2 (4-1 -6) где к к2 - положительные коэффициенты обратной связи, подлежащие определению. Относительно новых переменных с учетом (4.1.3) получим следующую систему дифференциальных уравнений Xi — — чХі "г Ху x\d 2 = - 2 + 3 Kx\di (А . . -І- — _ _ 3— 2 2 — \ ) х3 = COS(XJ +x]d)(x2 -kix{) + кх хх -{кх +к2 +klk2)x2 + + {кх + к2)х3 - кхк2хы + и.
Выбор разрывного управления и = -Msign3c3 (в исходных координатах системы (4.1.3) х3 = x3 + sin(3cj + хы) + (&! + к2 )х2 +к2к{х{)с амплитудой М cos(3c, + Xu)(x? - fax ) + кіХл — [Кі т К2 "Ь /СІЛО)Х2 — \ 2xld II обеспечивает за конечное время возникновение скользящего режима по поверхности х3 = О, что приводит к понижению порядка системы (4.1.7), поведение которой в скользящем режиме описывается системой второго порядка Xi — Лі Хі + Хп Xi J , 1 _ , - , . Неравенство (4.1.8), где M M (М - максимально допустимая амплитуда) являются верхней оценкой для выбора коэффициентов обратной связи кх,к2.
Синтез системы (4.1.9) сводится к последовательному выбору коэффициентов обратной связи с целью обеспечить заданную точность (4.1.4).
В первом уравнении (4.1.9) выражение (4.1.4) или 5cj (3с2 + D)lkx S] обеспечивается посредством выбора кх = кх, +к1х, где kXf DI8X, klx c2\l 8Х, откуда получаем точность I I Ar , = 52, которую требуется обеспечить во втором уравнении системы (4.1.9) \x2\ klD/k2 82 посредством выбора k2 klD/S2 или к2 k{DI{kXxS{).
Ниже приведены результаты моделирования данного алгоритма в предположении, что на модель объекта управления действует внешнее скалярное возмущение f(t), которое полагается неизвестной, ограниченной по модулю функцией времени \f(t)\ F = const и отделено от управления одним интегратором:
