Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ б
1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА И
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 13
-
Общие математические подходы к решению задач оптимального управления 13
-
Постановка задачи синтеза оптимальной обратной связи для стационарных гладких конечномерных систем с интегральным функционалом на полубесконечном
отрезке времени 16
-
Двойственные методы в задаче синтеза оптимальной обратной связи 21
-
Синергетическая теория управления 24
-
Замечания об управляемости и устойчивости 27
-
Выводы и основные задачи исследования 28
2. ГЛАДКИЕ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ
КАК АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 30
-
Гладкие многообразия, отображения, подмногообразия 30
-
Касательный функтор 31
-
Векторные поля и формы 32
-
Внешние дифференциальные системы 36
-
Классификация отображений в группу и в однородное пространство 38
-
Связности 40
2.7. Выводы
3. ТЕОРИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ,
АССОЦИИРОВАННЫХ С ЗАДАЧЕЙ СИНТЕЗА 44
3.1. Геометрия фазового пространства 44
-
Фазовое пространство, подмногообразия и основные инфинитезимальные структуры 44
-
Скобка Пуассона и первые интегралы 48
-
Точные решения уравнения Гамильтона-Якоби в задаче синтеза оптимальной обратной связи 50
-
Фазовый портрет гамильтоновой системы, ассоциированной с однозначно решаемой задачей оптимальной стабилизации 51
-
Качественная оценка чувствительности замкнутой системы оптимального управления по отношению к изменению параметров модели 53
3.2. Приложение теории фазового пространства 54
-
Решение задачи Коши для гамильтоновой системы (метод бихарактеристик) 55
-
Метод первых интегралов 56
-
Симметрии в задаче оптимальной стабилизации 60
-
Эволюционные симметрии уравнения Гамильтона-Якоби 61
-
Определяющие уравнения конечномерных симметрии в задаче оптимальной стабилизации 63
-
Представление первых интегралов и способ вычисления лагранжева многообразия 63
-
Алгебраический метод синтеза субоптимального управления заданной структуры 68
-
Функции, продолжающие функцию Беллмана-Ляпу-
нова на пространство большей размерности 70
-
Разложение функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора в окрестности начала координат 71
-
Инволютивная система дифференцирований 74
-
Эволюционное уравнение 75
-
Синтез субоптимальной обратной связи 76
-
Внешняя дифференциальная система 78
-
Алгоритм синтеза оптимальной обратной связи 79
-
Инвариантные связности и первые интегралы 83
3.3. Поле экстремалей 89
-
Известные интегралы в вариационной задаче на безусловный экстремум 90
-
Метод Колесникова А.А. синтеза оптимальной обратной связи 91
-
Дополнительные соотношения на фазовые координаты 92
-
Приложение метода Колесникова А.А. 93
-
Инвариантные дифференциальные свойства функции Беллмана-Ляпунова 95
-
Дифференциальные инварианты квадратичной функции Беллмана-Ляпунова 97
-
Изоморфизмы алгебр гладких функций с отмеченным дифференцированием 99
-
Функция Беллмана-Ляпунова как эквидистантная функция евклидова пространства 101
3.6. Выводы 103
4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ПО ТИПАМ. МЕТОДЫ СИНТЕЗА
(ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ) 105
-
Класс систем с квадратичным гамильтонианом 105 4.1.1. Подбор функционала специального вида 109
-
Системы с гамильтонианом, близким к квадратичному 112
-
Класс систем с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова 116 4.3.1. Системы с гамильтонианом, допускающие группу симметрии вдоль поверхности уровня решения уравнения Гамильтона-Якоби 120
-
Класс гладких систем общего вида с невырожденой функцией Беллмана-Ляпунова 121
-
Класс систем с аналитической функцией Беллмана-Ляпунова 125
-
Класс систем с вырожденной потенциальной функцией 127
-
Системы с известными (или легко выделяемыми) первыми интегралами или эволюционными симметриями 131
-
Системы с функционалом Колесникова 136
-
Выводы 137
5. ОБОБЩЕНИЕ ГЕМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СИНТЕЗА
ОПТИМАЛЬНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ГЛАДКИХ СИСТЕМ
НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 140
-
Гиперболические системы 140
-
Классическая абстрактная задача оптимальной стабилизации 141
-
Свойство гиперболичности гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей синтеза 142
-
Вычисление сепаратрис гиперболической гамильтоновой системы (главный алгоритм синтеза) 144
-
Выводы 146
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ 148
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 151
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 152
Введение к работе
Актуальность темы
Проблема синтеза оптимальной обратной связи для широкого класса систем является фундаментальной, важной, до конца не решенной проблемой. Сложность решения проблемы связана с тем, что управляющие воздействия, являясь функцией состояния системы, удовлетворяют обычно сложной системе дифференциальных уравнений с нестандартными граничными условиями. Автор предлагает новые концепции и методы разрешения существующих сложностей для стационарных гладких конечномерных систем управления.
Идея обратной связи, четко сформулированная Н.Винером, очертившим понятие кибернетической системы, является одной из наиболее фундаментальных и плодотворных идей современного теоретико-системного взгляда на мир. Смысл петли обратной связи заключается в создании автономной системы, корректирующей свое собственное состояние, исходя из этого же состояния, в соответствии с теми или иными признаками. Обратная связь является фундаментальным свойством, обеспечивающим автономное существование системы в рамках определенного качества. Ввиду разнообразия встречающихся систем, точная теория обратной связи в значительной мере не унифицирована. Более того, даже для отдельных хорошо математически определенных классов систем, где такая теория могла бы иметь место, она всё ещё отсутствует. Таким широким классом, описывающим многие физико-технические объекты, является класс стационарных гладких конечномерных систем. До некоторых пор почти единственными применявшимися на практике методами синтеза оптимальной обратной связи для гладких нелинейных объектов были: метод линеаризации системы в окрестности по- ложения равновесия и метод синтеза оптимальной обратной связи заданной структуры. Представляет интерес создание более современных методов решения задачи синтеза, в том числе получение точных аналитических решений для некоторых типов систем. В данной работе выполнены исследования по применению инвариантных геометрических методов для решения проблемы синтеза оптимальных стационарных гладких систем. Развитый здесь геометрический подход является конструктивным и перспективным для синтеза оптимальных систем широкого класса. Цель исследования — на основе хорошо развитого, ранее не применявшего ся в данной области, аппарата гамильтоновой механики, дифференциально-алгебраической геометрии, групп Ли пре образований разработка теории геометрических объектов, свя занных с задачей оптимальной стабилизации; разработка математического аппарата, непосредственно используемого при решении задачи синтеза; создание новых эффективных численно-аналитических методов синтеза оптимальной и субоптимальной обратной связи; объединение всех предложенных методов в обнгую концепцию геометрического анализа и формализация вычислительных средств, что позволит по-новому и более глубоко подойти к решению известных проблем; выявление соответствия: (тип системы) -н- (наиболее адекватные способы решения).
Методы исследования: методы гамильтоновой механики; дифференциально-алгебраическая геометрия; алгебра; группы Ли преобразований; теория инвариантов геометрических объектов.
Новые научные результаты: — развита геометрическая теория синтеза оптимальной обрат ной связи для стационарных гладких конечномерных систем управления; разработан инструментарий для решения задачи синтеза оптимальной стабилизации; представлены новые методы синтеза оптимальной обратной связи, допускающие эффективную численно-аналитическую реализацию (метод бихарактеристик для уравнения Гамильтона-Якоби восстановления лагранжева многообразия с заданными начальными условиями; метод первых интегралов и эволюционных симметрии для вычисления сепаратрис гамильтоновой системы; метод разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора в окрестности начала координат; метод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономное; метод дифференцирования вдоль гамиль-тонова векторного поля; описаны системы с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова; описана алгебраическая структура первых интегралов гамильтоновой системы в задаче оптимальной стабилизации; разработаны алгоритмы синтеза оптимальной и субоптимальной обратной связи для гладких нелинейных систем; предложен ряд приёмов аналитического интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби); представлена классификация систем оптимального управления по типам, для каждого из которых предложены наиболее адекватные методы решения задачи синтеза.
Практическая ценность полученных результатов предложен гибкий, широкого спектра действия, целостный аппарат решения задачи АКОР; разработаны методы аналитического конструирования оптимальных и субоптимальных регуляторов для нелинейных конеч- номерных систем; — для систем с квадратичным гамильтонианом предложен ком плекс методов решения задачи синтеза (метод первых инте гралов, метод дифференцирования вдоль гамильтонова вектор ного поля, метод дифференциальных продолжений уравнения Гамильтона-Якоби); для систем с гамильтонианом, близким к квадратичному, предложен метод малого параметра восстановления потенциальной функции; для систем с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова предложен метод отыскания точного решения задачи оптимальной стабилизации; предложен метод решения задачи оптимальной стабилизации для систем с вырожденной функцией Беллмана-Ляпунова; — разработан универсальный численно-аналитический алго ритм синтеза оптимальной обратной связи для систем с невы рожденной потенциальной функцией (метод бихарактеристик); предложен ряд аналитических методов интегрирования уравнений Беллмана и Гамильтона-Якоби (метод отыскания инволю-тивной системы дифференцирований; метод первых интегралов и эволюционных симметрии; метод приведения к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравнений; метод продолжения функции Беллмана-Ляпунова на пространство большей размерности); формализован метод Колесникова А.А. синтеза оптимальной обратной связи для систем с функционалом специального вида.
Результаты, выносимые на защиту: — теория геометрических объектов, связанных с задачей опти мальной стабилизации; — аппарат исследования систем оптимального управления и синтеза оптимальной обратной связи; — методы синтеза оптимальной обратной связи для предложенных в работе типов систем.
Апробация работы и публикации
По материалам диссертации были сделаны сообщения на V Всесоюзном Совещании по управлению многосвязными системами (г.Тбилиси, 1984 г.); на V Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Казань, 1985 г.); на VII Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Минск, 1987 г.); на X Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Омск, 1989г.); на IX научной конференции молодых ученых и специалистов Волго-Вятского региона (г.Горький, 1989 г.); на IX Всесоюзном Совещании по проблемам управления (г.Ташкент, 1989 г.); на VI Международном Симпозиуме по автоматическому управлению и информатике SACCS'98 (Румыния, г.Яссы, 1998 г.). Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-20].
Содержание работы В главе 1 дается обзор состояния проблемы оптимального управления конечномерными системами и ставится задача оптимальной стабилизации для стационарных гладких конечномерных систем.
В главе 2 приводятся сведения из теории гладких многобразий, необходимые для проводимых в работе описаний и вычислений (тензорные расслоения, пучки векторных полей и форм, внешние дифференциальные системы, связности).
В главе 3 излагаются теория и приложения геометрии фазового пространства (анализируется алгебраическая структура первых интегралов и сепаратрис гамильтоновой-системы, на основании чего формулируется способ вычисления лагранжева мно- гообразия потенциальной функции; рассматривается метод первых интегралов и эволюционных симметрии; описывается метод бихарактеристик для восстановления лагранжева многообразия потенциальной функции; показывается возможность разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора и эффективного вычисления коэффициентов ряда в окрестности особой точки; рассматривается внешняя дифференциальная система, связанная с задачей оптимальной стабилизации; приводятся алгоритмы синтеза оптимального и субоптимального управления); далее излагается концепция поля экстремалей и метод Колесникова А.А. синтеза оптимальной обратной связи, а также способы вычисления дифференциальных инвариантов потенциальной функции в некоторых частных случаях (вычисляются дифференциальные инварианты функции Беллмана-Ляпунова линейно-квадратичной задачи; дается определение невырожденной потенциальной функции, как эквидистантной функции евклидова пространства; рассматривается способ получения дифференциальных инвариантов с помощью подходящего изоморфизма дифференциальных алгебр).
В главе 4 приводятся различные типы систем оптимального управления, классифицированные по определенным признакам (классы систем с квадратичным гамильтонианом, с гамильтонианом, близким к квадратичному, с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова, гладких систем общего вида с невырожденой функцией Беллмана-Ляпунова, с аналитической функцией Беллмана-Ляпунова, с вырожденной потенциальной функцией, с известными (или легко выделяемыми) первыми интегралами или эволюционным симметриями, с функционалом Колесникова).
В главе 5 рассматриваются некоторые обобщения геометрического подхода к задаче синтеза на случай бесконечномерных пространств состояния и управления.
Изложение теоретического материала сопровождается примерами конструирования систем оптимального управления.
