Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов синтеза регуляторов 11
1.1. Состояние проблемы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами 11
1.2. Подходы к решению задач управления гидролитосферными процессами 16
1.3. Основные положения синергетической теории управления 19
1.3.1. Постановка нелинейной проблемы аналитического конструирования агрегированных регуляторов 21
1.3.2. Принцип динамического расширения — сжатия фазового объема 25
1.3.3. Принцип эквивалентности в системах управления 26
1.4. Основные выводы по главе 27
2. Описание объекта управления ... 28
2.1. Общие сведения о Кисловодском месторождении минеральных вод «Нарзан» 28
2.2. Описание титоно-валанжинского комплекса 32
2.3. Назначение и виды опытно-фильтрационных исследований 36
2.4. Конструктивные параметры и граничные условия объекта управления 38
2.5. Постановка задачи синтеза законов управления гидролитосферными процессами на физическом уровне 39
2.6. Основные выводы по главе 41
3. Математические модели объекта управления 43
3.1. Модель объекта управления в виде дифференциального уравнения в частных производных 43
3.2. Дискретная форма математической модели 46
3.3. Расчет параметров дискретной модели 49
3.4. Представление дискретной модели в форме Коши 57
3.5. Основные выводы по главе 63
4. Синергетическии синтез законов управления эксплуатационными скважинами методом АКАР 64
4.1. Синергетический синтез законов управления для линейной пространственно-инвариантной модели системы управления 64
4.2. Синергетический синтез законов управления для нелинейной пространственно-неинвариантной модели системы управления 75
4.3. Синергетический синтез законов управления для нелинейной пространственно-неинвариантной модели системы управления 85
4.4. Структурная схема системы управления уровнем водоносного горизонта 98
4.5. Описание и анализ разработанного программного обеспечения в пакете программ Maple 10 99
4.6. Основные выводы по главе 107
Заключение 109
Список литературы
- Состояние проблемы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами
- Подходы к решению задач управления гидролитосферными процессами
- Общие сведения о Кисловодском месторождении минеральных вод «Нарзан»
- Дискретная форма математической модели
Введение к работе
Актуальность проблемы. Гидролитосфера — это твердая оболочка земли вместе с заключенными с ней водами, одна из основных оболочек биосферы, от сохранения которой во многом зависят все живые существа. Крайне неблагоприятная ситуация сложилась с интенсивной добычей минеральных ресурсов — основной причиной антропогенного воздействия на гидролитосферу, принимающего в настоящее время угрожающие масштабы. Дефицит водных ресурсов питьевого качества приобретает сегодня масштабы глобальной экологической катастрофы. Основным итогом природопользования является истощение водных ресурсов, поэтому одной из первоочередных задач является рациональное и экологически безопасное использование природных ресурсов и управление ими [39].
Интенсивное использование минеральных ресурсов - воздействие на гидролитосферу довольно часто приводит к развитию негативных неуправляемых процессов. Учитывая сложившуюся экологическую ситуацию в зоне гидролитосферы, актуальность этого направления сложно переоценить, и дальнейшее развитие его является важной хозяйственной задачей. Гидролитосферные процессы должны рассматриваться как объекты управления [39].
Важной проблемой теории управления является управление объектами и системами с распределенными параметрами, которым и является водоносный горизонт. Указанный распределенный объект управления является многомерным, многосвязным.
Гидролитосферные процессы связаны с рассмотрением двух аспектов: совершенствованием методов построения математических моделей и разработкой математических методов синтеза законов управления.
На сегодняшний день методика синтеза законов управления в аналитическом виде методом АКАР («аналитическое конструирование агрегированных регуляторов по заданным инвариантным многообразиям») для объектов с распределенными параметрами не разработана. Адаптация методики синтеза зако-
5 нов управления методом АКАР сосредоточенных систем на объекты управления с распределенными параметрами является актуальной задачей.
В работе предложена методика синергетического синтеза законов управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах Центрального участка Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан», что также имеет важное экономическое значение, так как экономика Кавказских минеральных вод базируется на использовании гидроминеральных ресурсов.
Существуют следующие методы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, частотный метод синтеза, параметрический синтез регулятора, при котором задается структура регулятора, а параметры подбираются в процессе экспериментальных исследований, метод модального управления и для сосредоточенных многосвязных нелинейных систем применяется метод АКАР синергетической теории управления, разработанный проф. А.А. Колесниковым.
Цели работы и основные задачи исследования. Целью диссертационной работы является аналитическое конструирование законов управления уровнем водоносного горизонта на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».
Достижение поставленной цели предполагает решение следующих основных задач:
разработать математическую модель рассматриваемого водоносного горизонта (доопределить параметры, входящие в модель кх , Fx>:~);
перейти от модели объекта управления в форме дифференциального уравнения в частных производных к дискретной форме записи, с получением базовых моделей в форме Копій;
физически обосновать и сформировать системы внешних и «внутренних» инвариантных многообразий, согласно методу АКАР и поставленной задаче управления;
аналитически синтезировать законы управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах для трех видов базовых моделей, обеспечивающих минимальное понижение уровня в наблюдательных скважинах;
осуществить анализ замкнутой системы: построить переходные процессы переменных состояния; построить фазовые траектории и пересечение внешних инвариантных многообразий в фазовом пространстве; построить графики изменения управляющих воздействий; определить дебиты эксплуатационных скважин.
Объектом исследования выбран валанжинский водоносный горизонт на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».
Предметом исследования выбраны эксплуатационные и наблюдательные скважины валанжинского водоносного горизонта на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».
Методы исследования. При решении поставленных задач использовались: теория дифференциальных уравнений, теория систем автоматического управления, метод АКАР синергетической теории управления, теория систем с распределенными параметрами, методы синтеза систем с распределенными параметрами, метод конечномерной аппроксимации.
Аналитический синтез законов управления и исследование динамических свойств синтезированных замкнутых систем управления осуществлялись в пакете прикладных программ Maple 10.
Обоснованность научных положений и достоверность результатов исследований подтверждается согласованностью результатов теоретических исследований и компьютерного моделирования полученных замкнутых систем управления.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (105 наименований), четырех при-
7 ложений. Материал диссертации изложен на 142 страницах, содержит 25 рисунков, 4 таблицы.
В первой главе приведен обзор существующих на сегодняшний день методов синтеза регуляторов для систем управления с распределенными параметрами: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР); параметрический синтез регуляторов; конечномерная аппроксимация систем с распределенными параметрами и решение задачи синтеза регуляторов методами, используемыми в сосредоточенных системах; метод модального управления; частотный метод синтеза.
Приведены два подхода к решению задач управления гидролитосферны-ми процессами: методы решения, используемые в сосредоточенных системах и методы решения, используемые в системах управления с распределенными параметрами.
Даны основные положения синергетической теории управления и метода АКАР, разработанные проф. Колесниковым А.А.: аттрактор, самоорганизация, инвариантное многообразие, сформулирована нелинейная проблема АКАР, введено понятие «принцип динамического расширения-сжатия фазового объема», понятие «принцип эквивалентности в системах управления» [76].
Во второй главе даны общие сведения и административное положение города Кисловодск. Описано месторождение углекислых минеральных вод «Нарзан» в пределах города Кисловодск, которое дифференцировано на пять участков: центральный, северный, подкумский, березовский, ольховский. Описан титоно-валанжинский водоносный комплекс, приведена схематическая карта месторождения. Добыча минеральной воды на Центральном участке Кисловодском месторождения минеральных вод «Нарзан» осуществляется пятью эксплуатационными скважинами. Измерение уровня понижения давления осуществляется с помощью пяти наблюдательных скважин. Приведены основные гидрогеологические особенности титоно-валанжинского комплекса. Приведены виды опытно-фильтрационных работ: пробные откачки, опытные откачки, опытно-эксплуатационные откачки, эксплуатационные откачки. Приведены
8 конструктивные параметры и граничные условия объекта управления. Поставлена задача синтеза законов управления методом АКАР на физическом уровне.
В третьей главе приведена математическая модель объекта управления в форме дифференциального уравнения в частных производных, описывающая взаимосвязь гидродинамических параметров эксплуатационных и наблюдательных скважин. Получены три вида базовых моделей системы управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах: линейная пространственно-инвариантная, линейная пространственно-неинвариантная, нелинейная пространственно-неинвариантная. Дано уравнение, связывающее дебит и уровень понижения водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, приведены значения коэффициентов и параметров, входящих в модель. Произведен переход от модели объекта управления в форме дифференциального уравнения в частных производных к дискретной модели. Введены переменные состояния, получена модель объекта управления в форме Коши. Приведен матричный вид линейной модели системы управления.
В четвертой главе на основе синергетической теории управления произведена адаптация метода АКАР СТУ для синтеза законов управления распределенным объектом - водоносным горизонтом. Приведена процедура синергети-ческого синтеза законов управления для указанных моделей с помощью введения инвариантных многообразий. Физически обоснованы и математически представлены инвариантные многообразия. В пакете прикладных программ Maple 10 получены законы управления в аналитическом виде и произведено моделирование замкнутой системы. Приведена структурная схема системы управления уровнем валанжинского водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, обеспечивающих минимальное понижение уровня в наблюдательных скважинах.
В заключении к диссертации приводится перечень основных научных и прикладных результатов, полученных в процессе разработки математических моделей и синтеза законов управления уровнем водоносного горизонта в экс-
9 плуатационных скважинах Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».
В приложениях 1-3 приведен программный код и листинг программ, написанных в пакете прикладных программ Maple 10, и предназначенных для синтеза законов управления методом АКАР и моделирования замкнутой системы управления. В приложении 4 приведен акт внедрения результатов диссертационной работы.
Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем. Адаптированы принципы и метод АКАР синергетической теории управления для синтеза законов и систем управления к новому классу задач — задачам управления гидролитосферными процессами. Рассмотренный класс задач характеризуется следующими отличительными особенностями:
высокой мерностью фазового пространства;
большой инерционностью рассматриваемых гидролитосферных процессов;
нелинейностью протекающих процессов.
Получены и выносятся на защиту следующие научные результаты:
математические модели гидролитосферных процессов рассматриваемого месторождения;
дискретная математическая модель, корректно отражающая исходную модель объекта управления в форме дифференциального уравнения в частных производных;
математическое представление инвариантных многообразий, что позволило обоснованно сформулировать задачу управления;
предложенная методика адаптации синергетического метода синтеза, позволяющая в аналитическом виде определить законы управления для объекта с распределенными параметрами.
Практическая ценность работы. В работе рассматривается решение важной хозяйственной задачи — управление параметрами водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, что является важным с точки зрения сохра-
10 нения природного месторождения минеральных вод. Методика синтеза, рассмотренная в работе, может быть использована для решения аналогичных задач в других регионах. Предложенная в работе методика построения модели объекта управления позволяет проводить аналитический синтез законов управления для объектов с распределенными параметрами.
Реализация результатов работы. Полученные в диссертации научные и прикладные результаты нашли применение в исследованиях, проводимыми ООО «Нарзан-Гидроресурсы» в городе Кисловодск и в учебном процессе кафедры «Управления и информатики в технических системах» Пятигорского государственного технологического университета (ПГТУ).
Публикации и апробация работы. Материалы диссертационного исследования опубликованы в девяти научных работах, в том числе в трех изданиях, включенных в перечень ведущих рецензируемых изданий, утвержденных ВАК.
Результаты, изложенные в работе, получены автором лично.
Состояние проблемы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами
Объекты и системы с распределенными параметрами описываются сложными моделями в форме дифференциальных уравнений в частных производных, передаточных функций, временных и частотных характеристик, системами обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Копій [50].
Известны следующие направления в решении проблемы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами [50, 59]: 1) аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР); 2) параметрический синтез регуляторов, при котором задается структура распределенного регулятора, а параметры его подбираются в процессе экспериментальных исследований; 3) конечномерная аппроксимация систем с распределенными параметрами и решение задачи синтеза регуляторов методами, используемыми в сосредоточенных системах; 4) метод модального управления; 5) частотный метод синтеза.
Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов для систем с распределенными параметрами основывается на принципе оптимальности Беллмана и принципе максимума Понтрягина [50]. Общим вопросам АКОР для систем с распределенными параметрами посвящены работы Сиразетдинова Т.К. [67-73], Дегтярева Г.Л. [23], Егорова А.И. [30-32], а также работы [84, 88, 96, 97, 98, 104]. В работах [31, 68] дан вывод интегро-дифференциального уравнения типа Риккати при квадратичном критерии качества. Вывод интегро-дифференциального уравнения типа Риккати для стохастических систем при неполном измерении функции состояния системы приведен в [69]. Уравнение типа Риккати, полученное в [70], представляет систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В частных случаях ре шение задач синтеза для теплового процесса [57, 72], гидродинамических процессов [45-47, 62] решаются методом последовательных приближений. В задаче синтеза системы управления проводником в магнитном поле [78, 79] уравнение типа Риккати решается с использованием аппарата Фурье [39].
Для выработки управляющего воздействия регулятором, синтезированному по методу АКОР, необходимо знать состояние объекта управления, а измерению, как правило, доступно состояние ограниченного числа точек распределенных объектов, поэтому возникает задача восстановления функции состояния объекта, или задача наблюдения по результатам измерений [50].
Определение наблюдаемости для систем с распределенными параметрами является развитием концепции наблюдаемости сосредоточенных систем, предложенной Калманом [33], и заключается в требовании возможности восстановления начального состояния системы на некотором временном интервале в некоторой конечной пространственной области [50, 55, 87, 93, 100].
Впервые задача оценивания состояния распределенной системы методом наименьших квадратов рассмотрена в [97]. В [24] предложены алгоритмы оценки системы с распределенными параметрами методом наименьших квадратов. Работы [23, 25, 52, 105] посвящены построению фильтра Калмана для систем с распределенными параметрами. В [98, 101, 103] рассмотрены вопросы построения оптимальных фильтров для дискретных распределенных систем. Обобщение результатов исследований по фильтрации случайных полей дано в работе Дегтярева Г.Л. [23], при этом полагалось, что наблюдаемый сигнал является некоторым линейным оператором [50].
Таким образом, основным препятствием на пути применения АКОР является трудность решения интегро-дифференциального уравнения Риккати [50]. Даже если удалось найти решение интегро-дифференциального уравнения на основе собственных вектор-функций, остается неясным, как аппроксимировать конечным образом бесконечную систему дифференциальных уравнений, к решению которой сводится решение уравнения типа Риккати. Следует отметить трудность выбора весовых функций функционала оптимизации и сложность решения задачи наблюдения [50].
Переходя ко второму направлению (параметрический синтез регуляторов), можно выделить два поднаправления [39, 50, 59].
Первое поднаправление состоит в разработке модели системы управления с регулятором выбранной структуры. Требуемое качество и точность, выбранных критериев оптимизации системы достигаются путем перебора параметров регулятора с использованием численного экспериментирования на ЭВМ (или на реальном объекте). Количественной мерой оценки при формировании критериев оптимизации может служить А - норма. При этом многие важные практические задачи могут быть сведены к задаче минимизации т - нормы матрицы передаточных функций замкнутой системы. Это позволило разработать различные варианты параметрического синтеза [50].
Второе поднаправление параметрического синтеза регуляторов базируется на использовании структурной теории, в которой введено понятие распределенных блоков [12-16, 50, 59, 60, 94]. Распределенный блок это устройство, в котором выделены входная распределенная функция и распределенная функция выхода. Описание распределенных блоков дается импульсной переходной функцией (функцией Грина). Для описания сложных взаимосвязанных систем с распределенными параметрами в [10, 11, 59] определены операции соединения отдельных блоков, а также выводится передаточная функция замкнутой распределенной системы.
Для решения задачи параметрического синтеза моделируют систему управления на ЭВМ и выбирают параметры регулятора [39, 50].
В отличие от прямого моделирования уравнений объекта и регулятора на ЦВМ при использовании структурной теории значительно упрощается решение вопросов сходимости численных методов, и снимается проблема устойчивости вычислительной схемы [50].
Подходы к решению задач управления гидролитосферными процессами
На сегодняшний день существует два подхода к решению задач управления гидролитосферными процессами: 1. решение методами сосредоточенных систем; 2. решение методами систем с распределенными параметрами. Рассмотрим первый подход. Положим, что в результате экспериментальных исследований получена матрица передаточных функций, связывающая і-й вход су -м выходом [39, 49]. )=К(4( =м)д,г ехрО-т.,), (1.1) где Kt., Tj., т - параметры, определяемые по экспериментальным данным, s - оператор Лапласа. Полагая s = j со, где со — круговая частота, определим модули и фазы элементов матрицы W.
Если модули диагональных элементов матрицы W много больше суммы модулей остальных элементов соответствующей строки, то матрица W обладает свойством диагональной доминантности [39, 49].
Для диагонально-доминантных матриц удается частотными методами синтезировать регулятор: если передаточная матрица разомкнутой системы не имеет полюсов, лежащих в правой полуплоскости S, то для устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы спектры Гершгорина разомкнутой системы (объект + регулятор) не охватывали точку с координатами Re = -1, Im = 0. Используя спектры Гершгорина для матрицы W, можно выбрать параметры регулятора, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы [39, 49].
Таким образом, диагональная доминантность отражает взаимовлияние эксплуатационных скважин на наблюдательные: если каждая 1-я эксплуатационная скважина влияет только на 1-ю наблюдательную (существует взаимосвязь), то матрица W будет диагонально-доминантной, а, следовательно, для управления параметрами каждой эксплуатационной скважины возможно синтезировать свой регулятор, не учитывающий состояние других наблюдательных скважин (система управления распадается на четыре независимых контура, по числу скважин) [49].
Если матрица W не обладает свойством диагональной доминантности, т.е. взаимосвязи между каждой /-ой эксплуатационной и каждой /-ой наблюдательной скважинами достаточно существенны, и их нельзя не учитывать, то применяют методы синтеза систем с распределенными параметрами (математические модели таких систем содержат пространственные координаты), для рассматриваемой задачи система управления распадается на четыре независимых контуров [39, 49].
Положим, что эксплуатационные (добывающие) и наблюдательные скважины располагаются на интервалах от 0 до L криволинейных осей Хх и Х2 (рис. 1.1).
Входным воздействием на объект управления служит функция /(х,,т), а функцией выхода F(x2,x), определенные на интервале от 0 до L. Положим, что из дополнительной информации об объекте управления известно, что рассматриваемые функции в граничных точках описываются граничными условиями второго рода (производные по соответствующим направлениям равны нулю). Представим входное воздействие С/(х,,т) в виде ряда Фурье [39, 49]:
Входным воздействием на объект управления служит вектор размерностью 4 (дискретный аналог пространственной моды). Функцией выхода также будет вектор размерностью 4, который определяется с использованием наблюдательных скважин. Положим, что аппроксимирующая кривая функции выхода может быть записана в виде D,(х2,х) = С,(т) cos(\\rl -х2), где С,(т) — функция, определяемая с использованием результатов измерений контрольных скважин [39].
Отношение функции выхода к входному воздействию, при условии х, =х2, равно Сх{т)1С {х) (не зависит от пространственных координат), такие объекты названы пространственно-инвариантными [39, 49]. Для пространственно-инвариантных объектов разработана процедура синтеза распределенных регуляторов.
Проблемы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосфер-ными процессами: 1) аналитическое решение существует только для класса линейных пространственно-инвариантных моделей объектов управления; 2) указанные методы не разработаны для класса нелинейных распределенных объектов. Следует отметить, что методы решения задач управления нелинейными распределенными объектами на сегодняшний день почти не разработаны.
В практических примерах для решения задач управления такими объектами используют дискретизацию объекта по пространственным координатам с последующим решением методами сосредоточенных систем: переход от одного дифференциального уравнения в частных производных к системе конечно-разностных уравнений и системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши [3].
Общие сведения о Кисловодском месторождении минеральных вод «Нарзан»
Территория Кавказских Минеральных Вод (КМВ), имеет статус особо охраняемого эколого-курортного региона и занимает особое место среди курортных регионов России благодаря богатству, разнообразию, количеству и ценности минеральных вод, ландшафтных и климатических условий. В пределах района КМВ расположены крупные всемирно известные города-курорты — Кисловодск, Ессентуки, Пятигорск, Железноводск, экономическая специализация которых определяется во многом наличием месторождений углекислых минеральных вод различных типов, используемых для санаторно-курортного лечения и промышленного розлива. В административном отношении город Кисловодск входит в состав Южного федерального округа России и расположен в южной части Ставропольского края.
В последнее время особенно возросли темпы освоения ресурсов минеральных вод для целей промышленного розлива, что связано со становлением и развитием в регионе рыночной экономики. Это обусловило разведку и эксплуатацию других, ранее мало известных месторождений и участков, далеко за пределами городов-курортов.
Минеральная вода используется для бальнеологических процедур, лечебного питья и промышленного розлива. Минеральные воды Центрального, Северного и Березовского участков используются для розлива. Эксплуатация других участков Кисловодского месторождения осуществляется в целях санаторно-курортного лечения. Потребности последнего в минеральных водах в последние годы имеет также тенденцию к росту. При численности населения Кисловодска 140 тысяч человек количество людей, проходящих лечение в Кисловодском санаторно-курортном комплексе, составляло в 1998 году около 70 тысяч, что, однако, существенно ниже его потенциальных возможностей - до 1991 года на курорте ежегодно лечилось около 240 тысяч человек.
Наиболее важными источниками минеральных вод, имеющих известность за пределами России, являются месторождения Кисловодска (минеральные воды «нарзан»), Ессентуков (минеральные воды «ессентуки № 4», «ессентуки № 17», «ессентуки № 20»), Железноводска (минеральные воды «славя-новская», «славянская»), приуроченные к юрским, меловым и палеогеновым отложениям. Кисловодский курорт имеет статус федерального значения.
За последние два десятилетия объем добычи минеральных вод увеличился более чем вдвое, что существенным образом изменило общую картину распределения природных вертикальных гидравлических градиентов в верхней части гидролитосферы, причем без какого-либо серьезного обоснования режимов эксплуатации. Как результат такого воздействия на многих месторождениях стало наблюдаться падение качественных показателей минерального состава подземных вод. В силу указанного, существует потенциальная опасность деградации месторождений минеральных вод.
Основной проблемой для региона КМВ является сохранение основных базовых элементов курортной индустрии, и в первую очередь минеральных источников, на базе которых существуют многочисленные заводы розлива и санаторно-курортные учреждения.
Кисловодский курорт возник на базе естественного источника "Нарзан", первый каптаж которого в виде каменного колодца был выполнен в 1894 году. С 1927 года начинается бурение дополнительных скважин с целью обеспечения растущего спроса на гидроминеральные ресурсы. За период с 1927 по 1965 гг. были введены в эксплуатацию скважины № 7, 12, 5/0 (нижний валанжин), 5/0-бис (верхний валанжин).
Масштабные гидрогеологические исследования на Кисловодском месторождении минеральных вод начали проводиться в начале 50-х годов. Было пробурено и опробовано большое число гидрогеологических скважин, охватывающих всю площадь месторождения.
Кисловодское месторождение углекислых минеральных вод находится в пределах города Кисловодска и его окрестностей в долинах рек Ольховки, Березовой, Подкумок и дифференцировано на пять участков. На нём эксплуатируются титонский, нижневаланжинский и верхневаланжинский водоносные горизонты. Центральный участок Кисловодского месторождения, расположен в центре города и размещается в долине, сформированной слиянием рек Березовая и Ольховка, абсолютные отметки от 800 до 860 м. Северный участок, расположен в районе впадения реки Белая в реку Берёзовая, в 2.1 км севернее от источника «Нарзан» с абсолютными отметками 770-800 м. Березовский участок расположен в пределах Березовской балки, выработанной руслом реки Березовая и удален на 8 км к юго-западу от центральной части города и делится на два подучастка — верхнеберезовский и нижнеберезовский. Ольховский участок размещается в долине реки Ольховка, в 4-5 км к юго-востоку от Центрального участка и имеет абсолютные отметки 970-1050 м. Подкумский участок расположен в долине реки Подкумок в пяти-шести км на северо-запад от Центрального участка, абсолютные отметки участка изменяются в пределах 750 — 800 м. На рис. 2.1. приведена схематическая карта Кисловодского месторождения минеральных вод.
Дискретная форма математической модели
Решение дифференциального уравнения в частных производных (3.1) будем выполнять численными методами, а это означает, что вместо дифференциального уравнения в частных производных решается аналогичная система конечно-разностных уравнений, в которых дифференциалы искомой функции представлены в дискретной форме по координатам пространства и времени [2, 18, 44, 51]. Чтобы получить такую модель, исследуемая область разбивается равномерной сеткой на элементарные сопряженные блоки с шагом по пространственным координатам Ах, Ay, Az и все физические характеристики объекта в пределах выделенного блока, относят к его центру тяжести (узловой точке). То есть, вместо непрерывного изменения функции во времени и пространстве рассматриваются изменения ее в отдельных точках и через определенные дискретные моменты времени [19, 44, 77]. В общем виде дискретная схема объекта управления представлена на рис. 3.1.
Вся область фильтрации разбивается равномерной сеткой, на которой задается местоположение эксплуатационных и наблюдательных скважин. Граничные условия и геометрические размеры устанавливаются на основании данных геолого-гидрогеологических работ. Фильтрационная среда принимается кусочно-однородной.
Проведём конечномерную аппроксимацию дифференциального уравнения в частных производных (3.1) методом конечных разностей по пространственным координатам х, у, z и введем прямоугольную сетку [19, 40, 49]: параметры дискретизации будут следующими:
1. число точек дискретизации по осям: по оси х і = 1,т; по оси у j = \,п по оси z к = 1,/ [19,49];
2. шаги дискретизации Ах, Ay, Az по каждой из осей, с учетом конструктивных параметров объекта, необходимо доопределить исходя из соотношений:
Понижение уровня St.к в точках объекта с координатами i = 0;m + l, 7 = 0, я +1, к = 0,/ + 1 выходит за границы сетки дискретизации и в расчет не берется.
Понижение уровня SiJk в граничных точках i = l;m, j = \,п, к = 1,1 определяется граничными условиями (2.1)-(2.4). В граничных точках производная по времени отсутствует SjJk = 0.
Таким образом, понижение уровня водоносного горизонта 5,. . к будет изменяться только во внутренних точках объекта управления [4]. 1. Число точек дискретизации по осям выберем следующими: по оси х і = 1,7 ; по оси_у j = 1,4 ; по оси z к = 1,4 [6, 7]. 2. Согласно соотношениям (3.5), конструктивным параметрам объекта управления и числа точек дискретизации определяем шаги дискретизации Ах,
Понижение уровня S .к в точках объекта / = 0,8, j = 0,5, к = 0,5 выходит за границы сетки дискретизации и в расчет не берется [3]. Переменная S к будет изменяться только во внутренних точках объекта: і = 2,3,4,5,6, j = 2,3, к = 2,3. Таким образом, система дифференциальных уравнений будет 5 х 2 х 2 = 20 порядка.
3. Управляющие воздействия на объект управления SjJk, приложенные в точках дискретизации: S233 =их, S333=u2, S433=u3, SS33=u4, S6X3=u5 имеют смысл водоотбора из скважин. В этих точках дельта-функция 5(х,y,z) = l, а в остальных точках дискретизации 5(х, у, z) = 0.
4. Наблюдательные скважины расположены в точках: S2X2, S3a2, S422, 5,2,2 и6,2,2 " 5. Эксплуатационные скважины расположены в точках: S2X3, S333, 4зз и5,3,3 "6,3,3 Схема дискретизации объекта управления для выбранных параметров представлена на рис. 3.3: Таким образом, используя полученную методику можно перейти от системы дискретных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши.
Одним из основных параметров, характеризующих гидролитосферные процессы, является понижение уровня водоносного горизонта S. Это связано с тем, что при достижении критического уровня происходит обрушение кровли (разрушение пласта). Водоносный горизонт - это объект с распределенными параметрами, математическая модель которого, описывающая взаимосвязь гидродинамических параметров эксплуатационных и наблюдательных скважин водоносного горизонта представлена дифференциальным уравнением в частных производных.
Имеется соотношение, определяющее взаимосвязь понижения уровня во доносного горизонта S в м и дебита Q в м /сут эксплуатационных скважин. Приведены численные значения параметров и коэффициентов, входящих в модель: коэффициента упругоемкости коллектора г\; расстояние от центра скважины до точки, где определяется понижение уровня R; параметра перетекания между водоносными горизонтами Ъ; эффективной мощности пласта т; упругой водоотдачи пласта \i ; пъезопроводности водоносного горизонта а .
Для решения дифференциального уравнения в частных производных численными методами вводим прямоугольную сетку. Шаги дискретизации Ах, Ау,
Az по пространственным координатам определяем, зная число точек дискретизации и конструктивные параметры объекта управления. Произведен переход к системе конечно-разностных уравнений, в которой дифференциалы представлены в дискретной форме. С помощью ввода переменных состояния я:, перешли к модели в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши. В линейном случае эту систему можно свести к матричному виду: х = Ax + bu-Fx. На рис. 3.4.-3.6. изображена структура матриц A, b, F и векторов х, и.
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")
