Разработка методики решения задач с фазовыми и смешанными ограничениями Мольдеров Олег Анатольевич

Содержание к диссертации

Введение

I. Модель двухсекторной экономики и международная торговля 21

1.1. Постановка задачи 21

1.2. Исследование задачи Аг без учета ограничений (1.1.4), (1.1.5) 23

1.3. Отклонение от совершенной конкуренции 25

1.4. Активное смешанное ограничение 25

1.5. Приближенное решенение задачи А 26

1.6. Вырожденный случай принципа максимума или совершенная конкуренция в двухсекторной модели 30

1.6.1. Цены на факторы производства и их использование . 32

1.6.2. Цены на факторы производства и цены на товары . 33

1.6.3 Производственная функция Кобба-Дугласа 34

1.6.4. Изменения предложения факторов производства и цен выпуска 35

1.6.5. Определение спроса 36

1.6.6. Определение автономной цены 36

1.6.7. Автономность и равновесие на мировом рынке . 39

1.6.8. Теорема изобилия производственных факторов . 40

1.7. Теорема о влиянии экономического роста на торговлю . 42

Заключение 44

II. Численные методы решения систем линейных уравнений, методы оценки решений в некорректных задачах линейного программирования и методы продолжения решений по параметру 46

2.1. Системы линейных уравнений. Прямые и итерационные методы решения 46

2.2. Обусловленность линейных алгебраических систем 47

2.3. Метод продолжения по параметру для решения систем линейных уравнений 49

2.3.1. Метод продолжения для решения линейных систем 50

2.3.2. Расширения метода продолжения 53

2.4. Методы оценки решений в некорректных задачах линейного программирования 55

2.4.1. Регуляризация неустойчивых задач 57

2.4.2. Обобщенная задача линейного программирования 58

2.5. Методы продолжения решений по параметру 59

2.5.1. Теорема о неявной функции и продолжение решений по параметру 59

2.5.2. Метод выбора наилучшего параметра продолжения решения 63

2.5.3. Непрерывный аналог метода Ньютона 64

III. Численные методы и расчеты 68

3.1. Численные расчеты для задачи Ai 68

3.2. Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений 70

IV. Модель спроса на импортные товары, используемые в производстве в условиях ценовой неопределенности 75

4.1. Теоретическая постановка 76

4.2. Упрощение задачи (4.1.3.)-(4.1.7.) и задача оптимального управления портфелем ценных бумаг 80

V. Необходимые условия оптимальности в задачах управления стохастическими дифференциальными уравнениями 86

5.1. Постановка задачи 86

5.2. Необходимые условия оптимальности 88

5.3. Присоединенные процессы 91

5.4. Теорема об альтернативе 93

5.5. Уравнение Эйлера и обратная замена переменных 96

5.6. Обратные стохастические дифференциальные уравнения . 103

Заключение 107

• Исследование задачи Аг без учета ограничений (1.1.4), (1.1.5)
• Обусловленность линейных алгебраических систем
• Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Упрощение задачи (4.1.3.)-(4.1.7.) и задача оптимального управления портфелем ценных бумаг

Введение к работе

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства детерминируемого управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Наиболее известными методами решения подобных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума. В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существуют дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств. В свою очередь краевая задача требует решение трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций [6].

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями для систем описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями являются некоторым обобщением своего детерминированного аналога. Необходимость моделирования с помощью стохастических дифференциальных уравнений связана со сложностью практических за-

дач. Данный класс требует разработку существенно новых методик их решения.

Модель международной торговли с промышленным ростом, кроме того, что имеют большую практическую значимость, содержит два вышеприведенных класса задач. В детерминированном случае возникает необходимость исследования момента схода с ограничения типа неравенств, т.е. определение геометрии оптимальной траектории или другими словами множества активных индексов для ограничений типа неравенств. В стохастическом варианте возникает необходимость использования метода динамического программирования Беллмана или схемы Дубовицкого-Милютина.

В Главе I диссертации предлагаются методики на базе принципа максимума для анализа задач оптимального управления со смешанными и фазовыми ограничениями применительно к модели международной торговли.

Модель международной торговли строится на основе модели двухсек-торной экономики с экзогенным ростом. Данное исследование пренебрегает влиянием структуры торговли на темпы роста и сосредотачивается на том, как экономический рост и накопление факторов производства влияют на торговлю. Модель является одним из вариантов обобщения широко известной модели Хэкшера-Олина и предполагает, что могут быть неравновесные решения. Неравновесные решения в частности позволяют объяснить отклонения реальных наблюдений от свойств модели Хэкшера-Олина.

В современной экономической теории по динамике внешней торговли доминируют исследования, где экономический рост является эндогенной переменной [20]. Расчеты экономического роста для большего ряда стран обычно показывают, что вклад отношения капитала к труда составляет менее половины экономического роста за прошедшие пятьдесят лет. Хотя эконометрические попытки объяснить остаток для роста не увенчались успехов, здравый смысл все уже указывает на его основную причину -

технологические усовершенствования. Экономисты склоняются к мнению Пола Ромера, полное понимание роста в долгосрочном периоде требует оценку экономических детерминант накопления знаний. Поэтому внимание было сосредоточено на введение эндогенного роста в модели международной торговли. Наибольших успехов в данной области добились американские экономисты Хэлпмэн и Гроссмэн (Helpman,Grossman) [15], [16]. Однако накопление факторов производства нашло отражение только в работе Бонда и Траска (Eric W.Bond, Kathleen Trask) [13]. Неопределенность спроса на экспортируемые товары в работах не рассматривалась. Одним из объяснений данного положения является сложность математического аппарата используемого для описания как стохастических, так и детерминированных динамических моделей. Кроме того, поскольку инициаторами моделей международной торговли являются экономисты, то они ограничиваются рассмотрением, как правило, только равновесных случаев.

В диссертации исследуются возможности повышения уровня адекватности моделей международной торговли, возникающей в связи с необходимостью объяснения новых экономических явлений. С другой стороны исследуется математическая сложность полученных моделей, методы аналитического и численного анализа.

В диссертации модель двухсекторной экономики описывается следующим образом. В каждой из отраслей известны стратегии других, т.е. при решении задачи оптимального управления для одной из отраслей фиксируются состояния других. Отрасли максимизируют текущую стоимость будущих доходов :

г
NPVi = J {_Piqi - AiWiLi - riKi)e~^p^dt =» max (1)

динамика факторов производства и развитие технологии в і -м (г = 1,2) секторе задаются уравнениями

Аі=_9іАі, Ai{0) = Al (2)

к = Sifi(ki) - (щ + gi + ііі)кі, кі(0) = fcj. На политику найма и на политику накопления капитала введены ограничения. В отрасли не может быть дополнительно занято и дополнительно сокращенно более определенного числа рабочих мест.

Т1{ Є [Щтіпі Щтах\> $i с [Simini $ітах\ \у)

Предполагается, что поток потребления не может быть меньше некоторого минимального значения

cLi(l-*)*/*№) (4)

1=1

В системе есть естественное ограничение на трудовые ресурсы

Ь < L_x + L₂ < L¹ (5)

В модели приведены следующие обозначения: pi - стоимость продукции, qi = AiLifi(ki) - выпуск, A{Wi - зарплата, г, - процентная ставка, Li -занятость, Кі - капитал, р - дисконт фактор, щ- темп роста занятости, ді- темп технологического роста, S; - темп сбережения, fi(ki)- неоклассическая производственная функция, / = Кі/АіЬі - отношение капитала к эффективному труду, с - совокупное промышленное потребление, a_t-коэффициент замещения продуктом і прочих продуктов. В задаче оптимального управления (1)-(5): щ, Si - переменные управления, L,-, ki -фазовые переменные, (4) - смешанное ограничение, (5) - фазовое ограничение.

В приведенной постановке задача Аг является достаточно сложной для анализа необходимых условий на базе схемы Дубовицкого-Милютина.

Модель международной торговли состоит в совместном решении систем (1)-(5) для двух различных стран, при условия заданной функции

спроса на товары. Устанавливается, что система допускает решение в виде траектории экономического роста. В предположениях классической теоремы Хэкшера-Олина [14], при условии отсутствия безработицы и минимальном потоке потребления, справедлива следующая теорема. Теорема 1. Существуют траектории развития экономики при которых страна с более высокими темпами технологического роста gi, хотя бы в одной из отраслей, обладает сравнительным преимуществом и поэтому будет экспортировать продукт, для производства которого необходим фактор, используемый интенсивно.

Для дальнейшего исследования задачи удобно переписать ее, записав динамику роста не для кі = Кі/АіЬі, а для kf = К{/Л{. Таким образом, получаем видоизмененную задачу А т NPVi = f (piAiFiikf, U) - AmU - riAikf)e-^p{t)dt => max (Ґ) о

Li = mLi, Li{0) = L?,

Аг = д_{А, Ai(0) = Al (2')

kf = _SiFi(kf, Li) - (_9i + n)kf, kf(0) = kf.

Tli iz [Tlimin) ^imax\> $i ^ ^imaxj W/

cL<][>(1-5,)^(^,1,,) (4')

L₁ + L₂< L¹ (5')

Далее предлагается следущая методика. В качестве первого приближения вместо задачи А*₂ рассмотрим следующую задачу Аі в каноническом виде

Ni(T) -» max (6)

Li = Vi, Li{0) = Ll

Лі=діА_і} Ai(0) = Al

kf = щ- (_9i + ta)kf, kf(0) = kf, ^[ >

Ni = (PuLi + i_ukf)e-M Ni(0) = 0.

при наличии ограничения (5) и

ІЬітіп'ї-'і ^i S ^) Vi Tl>i_maxLii ^. 0

SiminkiLi + SiminHikf - Щ < О, Щ - S_imaxp2iLi - Simaxl2i^t ^ (⁸)

2
Y, CXii-faiLi - I2ikt + Щ)<0 (9)

t=l

Линеаризация системы A позволяет провести качественное и количественное исследование задачи с использованием пакета "Баланс-2". В задаче Ai сначала решается задача Понтрягина. Предпологается выполнение условий

Vi с: [Vimini ^гтахіу ^t t [Щгпгти ^imax\ V J

В этом случае легко определяется структура оптимального управления, что делает возможным найти оптимальную траекторию. Далее, после решения задачи Понтрягина начинаем учитывать фазовые и смешанные ограничения. Наличие фазовых ограничений типа неравенств (5) приводит к усложнению вычислительных процедур, связанных с решением сопряженной системы. Структура сопряженной системы определяется геометрией оптимальной траектории. Под геометрией понимается число выходов на фазовые ограничения и их характер (тип контакта). Требует обоснования момент схода с фазового ограничения. В другой формулировке задача определения геометрии оптимальной траектории сводится к задаче определения множества активных индексов для ограничений типа неравенств.

В работе для предварительной оценки геометрии использовалась дискретная схема явного метода Эйлера для системы (7). Задача линейного программирования большой размерности решается с использованием пакета оптимизационных программ "Баланс-2"(Умнов А.Е., Шомполов И.Г.) [6].

Задача линейного программирования программирования может быть представлена в канонической форме.

max{c\X\ 4- C2X2 + ... + СпЖ_п), ацх\ + CL12X2 + ... + di_nx_n = 61,

U2\X\ + CL22X2 + + 0>2nXn — &2>

a_mii + a_m2X2 + ... + a_mnx_n = 6_m, Xi > О, X2 > 0,..., x_n > 0.

или в матричной записи

тах(С,Х), ,

АХ = В,Х>0,Х Rⁿ,BeR^m,AeR^{mxn К }}

В силу того, что ЭВМ оперирует лишь приближенными значениями параметров задачи, округляемыми в процессе счета, могут возникать проблемы связанные с устойчивостью задач линейного программирования. По сути дела происходит замена задачи

тах(С,Х)₁АХ > В, (12)

некоторой задачей

тах{С(6),Х),А(5)Х > В(8), (13)

где относительно матрицы А(5) и векторов В(5), С(6) известно только то, что они в определенной степени близки к истинным значениям соответственно матрицы А и векторов В, С. Одно из определений устойчивости задачи линейного программирования имеет следующую формулировку

_И-

Определение. Задачу (12) назовем устойчивой, если существует такое

число 5q > 0, что для всех 6, 0 < 5 < 5о задача (13) имеет решение. Другими словами, задача устойчива, если она имеет решение, а также имеет решение любая задача, получающаяся из нее небольшими изменениями параметров.

В Главе II излагаются методы для регуляризации неустойчивых задач линейного программирования, оценки решения и вопросы создания алгоритмов для решения линейных систем достаточно общего вида.

Решение задачи Ai используется в свою очередь как первое приближение для задачи Aj. В данном случае решение получалось методом продолжения решений по параметрам гц Є [0,1]:

U = v_it Li{0) = Ll

Лі = діЛ_і} Аі{0) = Al

к? = т-(9і + ім№, kf(0) = kf, ^{[ }}

Nt = туіГі + (1- гнШіЬі + jukf)e-M ЩО) = 0.

г-де Ті = {piAFiikf, L_{) - AiWiLi - пА*к?)е-М. При наличии ограничения (5) и

"ftimin-L-'i "t _: '-'j Vi Tl'imax-i-'i _ "

(15)

r]iSiminFi{kf, Li) + (1- r}i)s_imin{p2iLi + 7f2ikf) - Щ < 0, Щ - T)iS_imaxFi(kf, Li) -(1- r)i)Simax{02iLi + 72^) < 0 2

53 aii-riiFiikf, L_{) -(1- riiXfiaLi + _l2ikf) + щ) < 0 (16)

t=i

Теорема 2. Продолжение решений по параметрам в задаче А существует и единственно и не зависит от выбора очередности продолжения по параметру.

В Главе II также излагается метод продолжения по параметру как для решения систем линейных уравнений, так и подход для продолжения в общем виде. Основой метода продолжения по параметру является теорема о неявной функции [8].

При Q Є Я¹, X Є .Rⁿ, теорема о неявной функции определяет в некоторой окрестности B(xQ,qo) точки (хо>#о) единственную кривую, которая имеет следующее параметрическое представление:

x = x(q),x(q₀) = х₀ (17)

Для получения решения xi при qi близкому к #о> необходимо продвинуться вдоль этой кривой, оставаясь внутри B(xo,qo). Если условия теоремы о неявной функции выполнены в окрестности точки (ari,gi), то решение можно снова продолжить и так далее.

В Главе III описываются вычислительные методы продолжения решения по параметру, приводится описание методов решения и полученные результаты для задач Аі и А*₂.

Численное наблюдение тех или иных свойств системы требует "правильный" выбор начальных значений и параметров. С этой целью использовались свойства аналитического решения задачи Аь

Эффективность численных методов по отношению к параметрам системы (7) проверялась на задаче Понтрягина, поскольку она позволяет получить достаточно простое аналитическое решение. Аналитическое решение и решение полученное с помощью пакета "Баланс-2" оказались близкими, за исключением краевых эффектов. Дискретизация задачи проводилась методом Эйлера, задача рассматривалась на интервалах t Є [0,100] и і Є [0,200] с шагом дискретизации At = 1. Далее проводились численные эксперементы с учетом смешанных ограничений (8), (9) и фазового ограничения (5) с использованием пакета "Баланс-2". В одном из тестов в ограничении (9) параметры 0 зависели от времени и экспоненциально затухали. Геометрия полученных решений согласуется с принципом максимума. Результаты расчетов и графики представлены в Приложении.

В следующей главе диссертации изучается моделирование спроса в международной торговле с использованием стохастических дифференциальных уравнений. Ценовая неопределенность импортных товаров моделируется винеровским процессом. Приводится постановка задачи для неоклассической и линейной производственной функции с импортными товарами в качестве факторов производства [12]. Решение задачи с линейной производственной функцией при дополнительном предположении сводится к задаче выбора оптимального портфеля и потребления инвестором в

непрерывном времени, доход которого формируется на основе доходов по акциям [19]. В общем случае, с неоклассической производственной функцией решение получить затруднительно, функция цены в уравнении Бел-лмана зависит от нескольких фазовых переменных и, следовательно, это уравнение в частных производных.

Рассматривается экономика, выпуск, которой задается агрегированной производственной функцией:

У = f{x_m, Хе, XI, Х_к) (18)

где Y агрегированный совокупный выпуск, х_т объем импортируемых неэнергетических продуктов, х_е объем импортируемых энергетических продуктов (например, нефть), х\ трудовые ресурсы, Хк капитал. Предполагается, что производственная функция /() непрерывная, неубывающая, линейно-однородная, и квази-выпуклая.

Неопределенность в задаче может возникать из-за цен выпуска, цен на факторы производства и цен импортных товаров, используемых в производстве. Предположим, что цены энергетических и неэнергетических товаров, q_e и q_m, соответственно, не известны, когда делаются производственные решения. С другой стороны, цена выпуска р, затраты на единицу труда и капитала Wk и wi, и технология, известны. Цены импорта описываются следующими стохастическими дифференциальными уравнениями.

^=aidt + (19)

Предположим, также, что все доходы от продажи произведенной продукции, за вычетом текущего потребления, снова вкладываются в производство. Тогда благосостояние производителя описывается следующим уравнением:

dZ = d(pf(x_m, х_е, x_t, х_к) - q_mXm ~ Я_ех_е - ЩЩ ~ w_kx_k) - cdt =

= \ С*тЯтпХт &eQeXe С)<М <7_rnq_rnX_TnUW_m (T_eq_eX_eUVV _е

(20) 15

где c(t) - текущее потребление.

Z = pf(x_m, Х_е, Xl, Хк) — q_mX_m — ЧеХ_е — ЩХ1 — WkXk (21)

Т₀ = inf{t > 0 : Z(t) = 0} (22)

Управление производством может быть найдено из решения задачи максимизации ожидаемой дисконтированной функции полезности:

4.(.),^(),0() = **.,*(/ U(c)e-**dt + Ре-М) (23)

о при (20), (21), (22) и (24)

c(t) > s > 0 (24)

где 17(-) строго возрастающая, строго выпуклая непрерывно дифференцируемая функция полезности на (s,oo), продолжим данную функцию

на [s,со), полагая U(s) = \imU(c) и U'(s) = \imU'(c). Также пред
еле С—Ї8

полагаем, что функция полезности сублинейна, т.е. lim U'(c) = 0 и

с->оо

-С/(0) < Р < ^ lim U(c). Определим функцию цены:

r(Z,q_m,q_e) = sup I(Z,q_m,q_e) (25)

Пусть {W^b,F_t,t > 0} винеровский процесс на вероятностном пространстве (Q,F,P), где {F_t,t > 0} неубывающее, непрерывное справа семейство сг-алгебр. Будем считать, что винеровские процессы W^ и W\ не коррелируют между собой, т.е. E{dW^dWl) = 0. Процесс потребления (ct, t > 0) называется допустимым, если он неотрицателен и прогрессивно измерим относительно потока сг-алгебр {F_t}, и который удовлетворяет

t следующему условию f c_sds < со, t > 0. Для каждого прогрессивно изме-

о римого относительно потока {F_t} процесса {х{, t > 0}, момент остановки

определяется из условия:

Т(х) = sup{i > 0 : / ]Г o?q?x?ds < со}.

₀ г=тп,е 16

Теорема 3. Пусть I(Z, q_m, q_e) строго выпуклая no Z, дважды непрерывно дифференцируемая функция на [0, сю), удовлетворяющая уравнению Беллмана

pi = max {(-схтЯтХт — a_eq_ex_e - c)I'_z + a_mq_mI'_qm

c>s,Z=pf(x_m,x_e.)-q_mx_m-q_ex_e

+a_eq_eI'_qe + \{*lqlxl + ^) + ^^ + J+ U(c)}

(26) Если уравнение (20) имеет сильное решение для х_т = x_m(Z_yq_m,q_e), х_е = x_e(Z,q_e,q_m), с = c(Z,q_m,q_e) на [0,Т₀], где х_т, х_е, с - решение опти-мизационной задачи в правой части (26), тогда I(Z, q_m, q_e) = I*(Z, g_m, q_e), Z>0.

При дополнительных предположениях задача становится аналогичной выбору инвестором оптимального портфеля и потребления с одной безрисковой и одной рисковой акцией. Она имеет решение, его можно найти, решая уравнение Беллмана [19]. Некоторые свойства решения удобно получить из необходимых условий оптимальности [2].

Последняя глава диссертации посвящена примеру использования необходимых условий оптимальности для исследования свойств решения задачи инвестирования, которая получается переформулировкой задачи спроса на импортные товары.

Инвестор может выбирать темп потребления c(t) и управление инве-

стациями 7г(і), где 7г() = -——— ⁶ обозначает часть капитала вло-

Z женного в рисковую ценную бумагу. Оставшаяся часть капитала, 7Го() =

1 — 7г(і) вкладывается в безрисковую ценную бумагу. Управление 7г() не

ограничено, что подразумевает неограниченную покупку и продажу; c(t)

должна быть неотрицательна.

Для данных 7г() и с(), капитал x(t) = Z(t) инвестора описывается

стохастическим дифференциальным уравнением Ито

'dx{t) = (a-r)7r{t)x{t)dt+(rx{t)-c(t))dt+x(t)ir{t)adW(t),x{0) = х (27)

где г = a*_m, а = а*, а = ст*, остальные обозначения из предыдущей

задачи. По определению

Т₀ = inf{t > 0 : x{t) = 0}. (28)

Инвестор стремится выбрать c(t) и 7г() так, чтобы максимизировать цену

т.

V = E_X{[ e-^ptU(c{t))dt + Ре~^рТо) (29)

о Параметр р > 0 коэффициент дисконтирования.

Теорема 4. Предположим, что (rc⁰(),7r⁰(t),c⁰(t)) является экстремумом задачи (27)-(29), тогда существуют

Є Є La(n, F, Р), 0 < Л Я, ф{ш, t) L_2c[BF], <р(и, t) є L_2c[BF],
h(u,t) Є L₂₂[BF],n(o,,t) Є L₂₂[BF] ' ^{l j}

такие, что

((a - г)тг⁰(<)х(і) +rx{t) - (l/2)x(i)7r(i)a/i(a;,7r⁰(t),c⁰(t),) + +^pt{U{c⁰{t)) - |) = 0, P - П.Н., t Є [0, T]

(31) max{((a - г)тгх(*) + rx(t) - c)ip{t) + (l/2)x(t)irah(u, тг, с, t)+

c>Q,n (32)

+_V(t) + Ae-*(tf(c) - f)} = 0, P - п.н., t Є [0, T]

(a - r)x(t)^(t) + cnr(*)/i(i) = 0, P - п.н., t Є [0, T] (33)

*K(t)h(t))dt + h{t)dW{t),

d= Ape-*(C/(c(i)) - f )eft + n(t)dW(t) ^ ^;

tf(T) = -, v(T) = 0 (35)

Л + |f | > 0 (36)

Список литературы.

. 1. Центральный Банк РФ. Платежный баланс РФ, 1994-2003.

2. Аркин В., Саксонов М. Необходимые условия оптимальности в задачах управления стохастическими дифференциальными уравнениями. Докл. АН СССР, 1979-том 244, номер 1, стр.11-15.

3. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов СВ. Необходимое условие в принципе максимума. М.: Наука, 1990.

4. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000.

5. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 2001.

6. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. МФТИ, 2001.

7. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.

8. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

9. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

10. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

11. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

12. Appelbaum Е., Kohli U. Import Price Uncertainty and the Distribution of Income. The Review of Economics and Statistics, Volume 79, Issue 4 (Nov., 1997), 620-630.

13. Bond E.W., Trask K., Ping Wang. Factor Accumulation and Trade: dynamic comparative advantage with endogenous human capital. Working Paper No.00-W31R, Vanderbuilt University,(Dec.,2001).

14. Bowen H.P., Hollander A., Viaene J.-M.A.R.G. Applied International Trade Analysis. North America, Macmillan Press Ltd., 1998.

15. Grossman G.M., Helpman E. Product Development and International Trade, The Journal of Political Economy, Volume 97, Issue 6 (Dec, 1989), 1261-1283.

.16. Grossman G.M., Helpman E. Comparative Advantage and Long-Run Growth, The American Economic Review, Volume 80, Issue 4 (Sep., 1990), 796-815.

17. Merton R. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, Volume 51, Issue 3 (Aug., 1969), 247-257.

18. Merton R. An Asymptotic Theory of Growth Under Uncertainty. The Review of Economic Studies, Volume 42, Issue 3 (Jul., 1975), 375-393.

19. Sethi S. Optimal Consumption and Investment with Bankruptcy. Kluwer Academic Publishers, 1997.

20. Young A. Learning by Doing and the Dynamic Effects of International Trade, The Quarterly Journal of Economics, Volume 106, Issue 2 (May, 1991), 369-405.

Исследование задачи Аг без учета ограничений (1.1.4), (1.1.5)

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства детерминируемого управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Наиболее известными методами решения подобных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума. В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существуют дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств. В свою очередь краевая задача требует решение трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций [6].

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями для систем описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями являются некоторым обобщением своего детерминированного аналога. Необходимость моделирования с помощью стохастических дифференциальных уравнений связана со сложностью практических задач. Данный класс требует разработку существенно новых методик их решения.

Модель международной торговли с промышленным ростом, кроме того, что имеют большую практическую значимость, содержит два вышеприведенных класса задач. В детерминированном случае возникает необходимость исследования момента схода с ограничения типа неравенств, т.е. определение геометрии оптимальной траектории или другими словами множества активных индексов для ограничений типа неравенств. В стохастическом варианте возникает необходимость использования метода динамического программирования Беллмана или схемы Дубовицкого-Милютина.

В Главе I диссертации предлагаются методики на базе принципа максимума для анализа задач оптимального управления со смешанными и фазовыми ограничениями применительно к модели международной торговли.

Модель международной торговли строится на основе модели двухсек-торной экономики с экзогенным ростом. Данное исследование пренебрегает влиянием структуры торговли на темпы роста и сосредотачивается на том, как экономический рост и накопление факторов производства влияют на торговлю. Модель является одним из вариантов обобщения широко известной модели Хэкшера-Олина и предполагает, что могут быть неравновесные решения. Неравновесные решения в частности позволяют объяснить отклонения реальных наблюдений от свойств модели Хэкшера-Олина.

В современной экономической теории по динамике внешней торговли доминируют исследования, где экономический рост является эндогенной переменной [20]. Расчеты экономического роста для большего ряда стран обычно показывают, что вклад отношения капитала к труда составляет менее половины экономического роста за прошедшие пятьдесят лет. Хотя эконометрические попытки объяснить остаток для роста не увенчались успехов, здравый смысл все уже указывает на его основную причину технологические усовершенствования. Экономисты склоняются к мнению Пола Ромера, полное понимание роста в долгосрочном периоде требует оценку экономических детерминант накопления знаний. Поэтому внимание было сосредоточено на введение эндогенного роста в модели международной торговли. Наибольших успехов в данной области добились американские экономисты Хэлпмэн и Гроссмэн (Helpman,Grossman) [15], [16]. Однако накопление факторов производства нашло отражение только в работе Бонда и Траска (Eric W.Bond, Kathleen Trask) [13]. Неопределенность спроса на экспортируемые товары в работах не рассматривалась. Одним из объяснений данного положения является сложность математического аппарата используемого для описания как стохастических, так и детерминированных динамических моделей. Кроме того, поскольку инициаторами моделей международной торговли являются экономисты, то они ограничиваются рассмотрением, как правило, только равновесных случаев.

В диссертации исследуются возможности повышения уровня адекватности моделей международной торговли, возникающей в связи с необходимостью объяснения новых экономических явлений. С другой стороны исследуется математическая сложность полученных моделей, методы аналитического и численного анализа.

Обусловленность линейных алгебраических систем

Накапливают ошибку при последовательном вычислении компонент решения. Итерационные методы при решении плохо обусловленных задач входят в состояние, аналогичное овражной ситуации в задачах минимизации. Очередной шаг итерации практически не улучшает аппроксимацию и процесс очень долго сходится. Все методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые и итерационные [3]. К прямым методам относятся алгоритмы, позволяющие получить решение системы за конечное число арифметических действий. Примерами прямымых методов являются метод Гаусса (метод исключений) и метод прогонки. При использовании итерационных методов заранее неизвестно число требуемых арифметических операций. После очередной итерации получается новая апрокси-мация решения системы. Критерием остановки итерационного процесса обычно является следующее условие: если новая апроксимация отличается от предыдущей меньше, чем на заданную величину, итерации прекращаются [5], [6], [10].

Итерационные способы решения систем линейных алгебраических уравнений, служат альтернативой прямым методам решения таких задач, и необходимы когда их размерность велика. Прямые методы дают приемлемые результаты при решении систем порядка до 103, в то время как итерационные методы могут применяться к системам порядка 106. Примерами итерационных процессов являются метод простых итераций, Якоби, Зейделя, релаксации.

Не смотря на такое разделение, численные методы используемые для прикладных задач довольно часто сочетают оба подхода. В данной работе в численном алгоритме для метода продолжения по параметру введение итераций в вычислительный процесс дает заметное улучшение точности решения.

Рассматривается линейная алгебраическая система с квадратной невырожденной матрицей А Пусть правая часть этой системы получила приращение ("возмущение") АЬ, т.е. вместо истинного вектора Ъ используется приближенный вектор b + АЪ. Реакцией решения х на возмущение ЛЬ правой части будет вектор поправок Ах, т.е. если я-решение (2.2.1), то х 4- Да: - решение уравнения Понимая под абсолютной погрешностью приближенного вектора норму разности между точным и приближенным векторами, а под относительной погрешностью - отношение абсолютной погрешности к норме вектора (точного или приближенного), можно установить связь между относительными погрешностями вектора свободных членов и вектора-решения

При выводе соотношения предполагалось, что матричная форма согласована с выбранной векторной нормой. Величина (А) 1 называется числом обусловленности матрицы (системы). Если матрица А вырождеи-на, принимаем /u(A) = со. Таким образом, справедливо приведенное ниже неравенство для отношения относительной погрешности решения к отно-сительной погрешности правой части: которое при некоторых b O, АЬ ф О обращается в равенство.

Чем больше число обусловленности, тем сильнее сказывается на решении линейной системы ошибка в исходных данных. Если д(А) = 0(1( ) и исходные данные имеют погрешность в q-м знаке после запятой, то независимо от способа решения системы (2.2.1) в результате можно гарантировать не более q — р знаков после запятой.

Матрицы, число обусловленности которых много больше единицы, называются плохо обусловленными. Решение плохо обусловленных систем связано с определенными вычислительными трудностями при решении обычными численными методами. Из-за большой чувствительности системы к погрешностям прямые методы дают неприемлемые по точности результаты. Это связано с тем, что прямые методы неизбежно накапливают ошибку при последовательном вычислении компонент решения. Итерационные методы при решении плохо обусловленных задач входят в состояние, аналогичное овражной ситуации в задачах минимизации. Очередной шаг итерации практически не улучшает аппроксимацию и процесс очень долго сходится.

Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Ценовая неопределенность спроса на импортные товары моделируется винеровским процессом. Приводится постановка задачи для неоклассической и линейной производственной функции с импортными товарами в качестве факторов производства. Решение задачи с линейной производственной функцией при дополнительном предположении сводится к задаче выбора оптимального портфеля и потребления инвестором в непрерывном времени, доход которого формируется на основе доходов по акциям. В общем случае, с неоклассической производственной функцией решение получить затруднительно, функция цены в уравнении Беллмана зависит от нескольких фазовых переменных и, следовательно, это уравнение в частных производных.

Импортные цены могут быть неопределенными в силу ряда причин. Одно очевидное объяснение, неопределенность обменного курса. Другая возможная причина, цены импортируемых товаров в иностранной валюте неопределенные в силу длинных временных лагов (которые свойственны международной торговле), больших расстояний, культурных и языковых барьеров, и обычным не знанием зарубежных условий. Следовательно, импортеры могут не знать с определенностью текущие цены зарубежных товаров в момент, когда принимаются решения об импорте. Возникает вопрос, как влияет неопределенность на спрос импортных товаров.

В большинстве работ по международной торговле рассматривались только статические модели [2], однако важные практические вопросы связаны существенно с динамикой. С другой стороны в последнее время быстрыми темпами развивалась динамическая теория финансов. Оказывается, что некоторые из результатов теории финансов применимы для исследования международной торговли. Модель производства с использованием импортируемых товаров, таких как нефть, схожа с моделью оптимального управления портфелем ценных бумаг. В первом случае инвестор заинтересован в росте цен на акции находящиеся в его портфеле, во втором случае он заинтересован в выборе импортируемых товаров и факторов производства, таким образом, чтобы снизить свои издержки. Часть свойств решения задачи управления портфелем ценных бумаг удобно получить с помощью необходимых условий оптимальности (Глава 5).

В одной из первых работ по моделированию рынка ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений [10], описываются экономические модели, на которые могут быть распространены используемые в [10] методы. В частности описывается модель экономического роста с технологическим прогрессом, как случайной переменной. Тем не менее, работа, на которую ссылаются в [10], до сих пор не опубликована. Дальнейшие обобщения были связаны с предположением, что факторы производства в модели экономического роста описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. В этих случаях уравнения Беллмана преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения [4],[8],[9]. Однако, задачи с нелинейной производственной функцией и ценами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнения являются все еще открытым для исследования классом задач.

Рассматривается экономика, выпуск, которой задается агрегированной производственной функцией: где Y агрегированный совокупный выпуск, хт объем импортируемых неэнергетических продуктов, хе объем импортируемых энергетических продуктов (например, нефть), xi трудовые ресурсы, Xjt капитал. Предполагается, что производственная функция /() непрерывная, неубывающая, линейно-однородная, и квази-выпуклая.

Неопределенность в задаче может возникать из-за цен выпуска, цен на факторы производства и цен импортных товаров, используемых в производстве. Предположим, что цены энергетических и неэнергетических товаров, qe и qm, соответственно, не известны, когда делаются производственные решения. С другой стороны, цена выпуска р, затраты на единицу труда и капитала гик и wi, и технология, известны. Цены импорта описываются следующими стохастическими дифференциальными уравнениями.

Упрощение задачи (4.1.3.)-(4.1.7.) и задача оптимального управления портфелем ценных бумаг

Ценовая неопределенность спроса на импортные товары моделируется винеровским процессом. Приводится постановка задачи для неоклассической и линейной производственной функции с импортными товарами в качестве факторов производства. Решение задачи с линейной производственной функцией при дополнительном предположении сводится к задаче выбора оптимального портфеля и потребления инвестором в непрерывном времени, доход которого формируется на основе доходов по акциям. В общем случае, с неоклассической производственной функцией решение получить затруднительно, функция цены в уравнении Беллмана зависит от нескольких фазовых переменных и, следовательно, это уравнение в частных производных.

Импортные цены могут быть неопределенными в силу ряда причин. Одно очевидное объяснение, неопределенность обменного курса. Другая возможная причина, цены импортируемых товаров в иностранной валюте неопределенные в силу длинных временных лагов (которые свойственны международной торговле), больших расстояний, культурных и языковых барьеров, и обычным не знанием зарубежных условий. Следовательно, импортеры могут не знать с определенностью текущие цены зарубежных товаров в момент, когда принимаются решения об импорте. Возникает вопрос, как влияет неопределенность на спрос импортных товаров.

В большинстве работ по международной торговле рассматривались только статические модели [2], однако важные практические вопросы связаны существенно с динамикой. С другой стороны в последнее время быстрыми темпами развивалась динамическая теория финансов. Оказывается, что некоторые из результатов теории финансов применимы для исследования международной торговли. Модель производства с использованием импортируемых товаров, таких как нефть, схожа с моделью оптимального управления портфелем ценных бумаг. В первом случае инвестор заинтересован в росте цен на акции находящиеся в его портфеле, во втором случае он заинтересован в выборе импортируемых товаров и факторов производства, таким образом, чтобы снизить свои издержки. Часть свойств решения задачи управления портфелем ценных бумаг удобно получить с помощью необходимых условий оптимальности (Глава 5).

В одной из первых работ по моделированию рынка ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений [10], описываются экономические модели, на которые могут быть распространены используемые в [10] методы. В частности описывается модель экономического роста с технологическим прогрессом, как случайной переменной. Тем не менее, работа, на которую ссылаются в [10], до сих пор не опубликована. Дальнейшие обобщения были связаны с предположением, что факторы производства в модели экономического роста описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. В этих случаях уравнения Беллмана преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения [4],[8],[9]. Однако, задачи с нелинейной производственной функцией и ценами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнения являются все еще открытым для исследования классом задач.

Рассматривается экономика, выпуск, которой задается агрегированной производственной функцией: где Y агрегированный совокупный выпуск, хт объем импортируемых неэнергетических продуктов, хе объем импортируемых энергетических продуктов (например, нефть), xi трудовые ресурсы, Xjt капитал. Предполагается, что производственная функция /() непрерывная, неубывающая, линейно-однородная, и квази-выпуклая.

Неопределенность в задаче может возникать из-за цен выпуска, цен на факторы производства и цен импортных товаров, используемых в производстве. Предположим, что цены энергетических и неэнергетических товаров, qe и qm, соответственно, не известны, когда делаются производственные решения. С другой стороны, цена выпуска р, затраты на единицу труда и капитала гик и wi, и технология, известны. Цены импорта описываются следующими стохастическими дифференциальными уравнениями.

Похожие диссертации на Разработка методики решения задач с фазовыми и смешанными ограничениями

Разработка методик и средств решения рейтинговых задач в организационных системахБураков Дмитрий Петрович

Анализ эффективности метода параметрической линеаризации для решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями Умнов Егор Александрович

Качественные и численные методы решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями на примере управления локомотивомДанг Тхи Май

Методика моделирования и разработки программно-технических комплексов для систем принятия решенийТрайнев Олег Владимирович

Методика постановки и решения задач системного анализа при установлении причин пожаров на промышленных объектаДемёхин Никита Владимирович

Принцип максимума для задач импульсного управления с ограничениями смешанного типа и численные методы поиска экстремалейСтарицын Максим Владимирович

Мультиноменклатурная оптимизационная задача маршрутизации транспортных средств с ограничениями на перевозкуЯковлева, Таисия Александровна

Вычислительные технологии поиска глобального экстремума в задаче оптимального управления с параллелепипедными ограничениямиЗароднюк, Татьяна Сергеевна

Метод продолжения в задачах управления дискретными системами с ограничениямиСиротин Андрей Николаевич

Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениямиКошька Мариан