Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ методов упорядочения объектов 12
1.1. Характеристика проблемы 12
1.2. Обзор методов многокритериального упорядочения объектов 15
1.2.1. Методы, основанные на отношении доминирования 15
1.2.2.Методы многокритериальной теории полезности 25
1.2.3.Методы, основанные на парных сравнениях 29
1.3. Обзор существующих систем многокритериального оценивания 33
1.4. Общая модель упорядочения объектов 34
1.5. Постановка задачи диссертационного исследования 37
1.6. Выводы по главе 39
Глава 2. Разработка модели оценивания с иерархической структурой 40
2.1. Требования к модели предметной области 40
2.2. Методика структурирования пространства признаков 41
2.3. Решение проблемы взаимозависимости признаков 44
2.3.1.0ртогонализация базиса линейного пространства 45
2.3.2. Упорядочение объектов в ортонормированном базисе признаков ..48
2.4. Экспериментальное исследование ортогонализации 49
2.4.1.Исходные данные 49
2.4.2. Влияние ортогонализации пространства признаков на упорядочение объектов 50
2.4.3.Влияние очерёдности ортогонализации признаков на результаты упорядочения объектов 52
2.5. Определение значимости критериев в признаковом пространстве 55
2.5.1.Влияние структуры иерархии на значимость критериев 56
2.5.2.Обеспечение равноценности критериев в кластерах 58
2.5.3.Обеспечение равноценности первичных критериев 59
2.5.4.Экспертная оценка значимости критериев 60
2.5.5.Перераспределение приоритетов в иерархии критериев 62
2.6. Использование весовых коэффициентов для учёта зависимости критериев 64
2.7. Выводы по главе 69
Глава 3. Многокритериальное линейное упорядочение объектов 70
3.1. Упорядочение на основе отношения доминирования Парето 70
3.2. Свойства многокритериальных функций полезности 73
3.2.1.Виды многокритериальной функции полезности 73
3.2.2.Свойства функции полезности одного признака 74
3.2.3.Влияние весовых коэффициентов функции полезности на упорядочение объектов :.; 78
3.2.4.Соответствие МФП отношению доминирования Парето 79
3.2.5.Уровни безразличия МФП 81
3.2.6.Различающие свойства МФП 83
3.2.7.Влияние диапазонов нормирования признаков на порядок значений МФП 1 86
3.2.8.Отличительные свойства МФП 92
3.3. Оценка устойчивости рейтинга объектов 93
3.4. Методика многокритериального линейного упорядочения 95
3.5. Выводы по главе 96
Глава 4. Инструментальная система рейтингового оценивания объектов 98
4.1. Требования к инструментальной системе 98
4.2. Структура данных системы СВИРЬ 100
4.3. Реализация задач многокритериальной оптимизации 109
4.4. Общая функциональность и структура системы СВИРЬ 113
4.5. Средства автоматизации ввода данных 118
4.5.1.Модуль связи с табличным процессором Excel 119
4.5.2.Модуль доступа к реляционным базам данных 120
4.6. Управление весовыми коэффициентами в иерархии критериев 124
4.7. Анализ результатов 127
4.7.1.Отображение графа доминирования 128
4.7.2. Представление значений выбранного признака в виде графика функции 129
4.7.3.Показ долей вклада признаков в оценку выбранного объекта 130
4.7.4. Сопоставление двух рейтингов одинаковых объектов 131
4.7.5. Вычисление корреляционной зависимости двух векторов 133
4.7.6.Реализация модуля графического анализа результатов 134
4.8. Выводы по главе 135
Глава 5. Технология решения рейтинговых задач на системе свирь 136
5.1. Проектирование многокритериальной системы оценивания 136
5.2. Многокритериальное оценивание объектов 138
5.2.1.Сбор исходных данных 138
5.2.2. Контро ль достоверности исходных данных 139
5.2.3.Обеспечение сохранности исходных данных 140
5.2.4.Создание модели-экземпляра 140
5.2.5.Формулирование задачи оценивания 141
5.2.6.Решение задачи оценивания 142
5.2.7.Представление и анализ результатов оценивания 142
5.3. Решение практических рейтинговых задач 143
5.3.1.0ценка кафедр университета 143
5.3.2. Анализ эффективности управления ОАО «РЖД» за период 2003-
2005 г.г 149
5.3.3.Оценивание структурных подразделений Октябрьской железной дороги 156
5.4. Выводы по главе 158
Заключение 160
Список литературы 162
- Методы, основанные на отношении доминирования
- Упорядочение объектов в ортонормированном базисе признаков
- Свойства многокритериальных функций полезности
- Управление весовыми коэффициентами в иерархии критериев
Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время актуальность решения рейтинговых задач в организационных системах существенно возросла. Это связано с совершенствованием кадровой политики, развитием сферы потребления, принятием обоснованных решений во всех областях государственной и частной деятельности.
Ранжирование подразделений, организаций, работников имеет целью повышение мотивации их деятельности. К лучшим и худшим из них применяются меры материального и морального стимулирования труда. Ранжирование товаров и услуг в сфере потребления имеет целью поиск лучших вариантов. Выбор наилучших решений во всех областях государственной и частной деятельности также может рассматриваться как решение рейтинговой задачи.
Решение рейтинговых задач осуществляется практически в любых организациях с целью оценивания их структурных подразделений, работников и пр. При этом в большинстве случаев постановкой и решением рейтинговых задач занимаются работники, не имеющие глубоких знаний в области принятия решений. По этой причине они допускают ошибки, дискредитирующие доверие к получаемым результатам.
Между тем, в теории принятия решений накоплен значительный арсенал научных методов упорядочения объектов в пространстве признаков. В той или иной степени они относятся к одной их 2-х групп методов - векторной или скалярной оптимизации. Первая группа методов основывается на упорядочении объектов на основе отношения доминирования признаков. В их развитие внесли вклад такие учёные как Б. Руа, В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. Упорядочение объектов на основе качественных значений признаков сформировалось в направление вербального анализа решений (ВАР), развитого в трудах академика О.И. Ларичева и представителей его школы - А.Б. Петровского и др.
Методы скалярной оптимизации основаны на преобразовании задачи многокритериальной оптимизации в задачу однокритериальной оптимизации с применением многокритериальной функции полезности. Изучаемые в рамках этого направления вопросы были оформлены в многокритериальную теорию полезности (МТП). В трудах Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна был разработан аксиоматический подход и сформулированы основные направления исследований МТП, развитые затем в трудах X. Райфа, Р. Кини, П. Фиш-берна, У. Армстронга, СВ. Емельянова, Н.В. Хованова и других. Одним из способов преобразования задачи многокритериальной оптимизации в задачу однокритериальной оптимизации без явного применения функций полезности является метод анализа иерархий, предложенного Т. Саати, и развивавшегося в трудах А.В. Андрейчикова, В.Г. Тоценко и других. В основе этого метода лежит использование сопоставительных оценок объектов по критериям с применением матриц парных сравнений. Свойства матриц парных сравнений изучали Б.Г. Миркин, М. Кенделл и др.
Как показывает опыт, методы векторной оптимизации позволяют получить достоверные оценки объектов в пространстве признаков благодаря отсутствию субъективизма, присущего человеческому фактору, но не обеспечивают, в общем случае, линейного упорядочения объектов и плохо приспособлены для решения задач с использованием большого числа признаков. Методы скалярной оптимизации обладают обратными свойствами. Очевидно, что усилению преимуществ должно способствовать совместное применение этих методов, что придало бы системе оценивания новые (эмеджентные) свойства.
Важным фактором в решении рейтинговых задач является достоверность получаемых оценок. Для её достижения необходимо повышать адекватность модели оценивания, осуществлять контроль достоверности на всех этапах оценивания, выявлять и анализировать факторы, влияющие на оценки объектов. Особую значимость эти аспекты оценивания приобретают для организационных систем. Поскольку имеющиеся методы и средства не предназначены для упорядочения объектов, характеризующихся большим количеством признаков, весьма актуальной является задача разработки методического и программного обеспечения для решения таких задач. Инструментальная система, предназначенная для решения рейтинговых задач должна обладать соответствующими средствами поддержания адекватности модели. Помимо этого эта система должна быть технологичной, иметь удобный интерфейс и быть совместимой с современными информационными системами общего назначения.
Цель работы и задачи исследования. Целью работы является разработка методического и программного обеспечения для решения рейтинговых задач в организационных системах, характеризующихся большим числом признаков. Для этого в работе поставлены и решены следующие задачи:
Анализ существующих методов упорядочения объектов и реализующих их программных систем.
Разработка обобщенной модели многокритериального упорядочения объектов в пространстве признаков.
Разработка методики обнаружения статистических зависимостей признаков в модели оценивания объектов и их учёта или устранения.
Разработка методики анализа и задания весовых коэффициентов в сложных иерархических системах признаков.
Разработка методики линейного многокритериального упорядочения объектов.
Разработка инструментальной среды рейтингового оценивания для решения актуальных рейтинговых задач в сфере образования и транспорта.
Методы исследования. Для исследований в работе использовались методы системного анализа, теории множеств, теории графов, линейной алгебры и математической статистики.
Объектом исследования в диссертации являются организационные системы.
Предметом исследования являются методы и средства решения рейтинговых задач с целью их использования в управлении организационными системами.
Основные положения, выносимые на защиту:
Обобщенная модель многокритериального упорядочения объектов в пространстве признаков.
Методика обнаружения статистических зависимостей признаков в модели оценивания объектов и их учёта или устранения.
Методика анализа и задания весовых коэффициентов в сложных иерархических системах признаков.
Методика линейного упорядочения объектов.
Инструментальная среда для рейтингового оценивания объектов, характеризуемых иерархической структурой признаков.
Научной новизной обладают:
Обобщенная модель, объединяющая методы отбора и упорядочения объектов как относительно экстремальных значений признаков (идеального объекта), так и относительно желаемых значений.
Методика обнаружения и устранения статистических зависимостей между признаками в модели оценивания объектов, ранее не применявшаяся при решении рейтинговых задач.
Методика назначения весовых коэффициентов в совокупности признаков большой размерности путем задания весов в не пересекающихся группах признаков. Методика отличается от предложенных ранее использованием коэффициента структурной значимости признака, используемого для корректировки весовых коэффициентов, назначенных экспертами.
Методика линейного упорядочения объектов, основанная на совместном использовании методов векторной и скалярной оптимизации и отличающаяся от других подходов оценкой диапазонов варьирования рангов для каждого объекта на основе чисел доминирования.
Достоверность научных положений и выводов обеспечивается экспериментальными доказательствами основных положений работы и практической апробацией предложенных методов и моделей на реальных данных при решении практических задач на инструментальной системе СВИРЬ.
Практическая значимость работы подтверждается использованием полученных результатов на практике, что подтверждено соответствующими документами о внедрении.
1. Программно-методический комплекс определения рейтинга кафедр университета, который внедрён в:
Омском государственном университете путей сообщения (акт внедрения от 05.06.07)
Петербургском государственном университете путей сообщения (акт внедрения от 13.06.07)
Уральском государственном университете путей сообщения (акт внедрения от 14.06.07)
Самарском государственном университете путей сообщения (акт внедрения от 18.06.07)
Московском государственном университете путей сообщения (акт внедрения от 19.06.07)
Иркутском государственном университете путей сообщения (акт внедрения от 25.06.07)
Методика оценки эффективности работы железных дорог России (филиалов ОАО «РЖД») на системе выбора и ранжирования СВИРЬ (акт внедрения от 26.06.2007)
Оценивающая экспертная система определения рейтинга структурных подразделений Октябрьской железной дороги (филиал ОАО «РЖД») по итогам выполнения планов (акт № ННрэ-5т/137 от 08.06.2007)
Специализированная версия инструментальной системы СВИРЬ используется в ПГУПС для лабораторных работ в курсах «Теория принятия решений» и «Основы САПР» (акт внедрения от 27.06.2007).
Апробация работы. Результаты исследований докладывались на студенческих конференциях «Неделя науки» (ПГУПС, 2001-2007 гг.) и «Научная сессия МИФИ» (МИФИ, 2002 и 2006 гг.); Санкт-Петербургской конференции «Региональная информатика» (2002, 2004 и 2006 гг.); международных конференциях «Мягкие вычисления и измерения (SCM)» (2003 и 2007 года), «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур (ICAM)» (2004 год), «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе (IT+S&E)» (2005, 2007 гг.), «Интеллектуальные системы и САПР (IEEE AIS и CAD)» (2005, 2006 гг.).
Публикации. По материалам диссертационной работы имеется 15 публикаций, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5-ти глав с краткими выводами, заключения, списка литературы, включающего 76 наименований и 2 приложений. Основная часть работы изложена на 157 страницах, включающих 47 рисунков и 10 таблиц.
Методы, основанные на отношении доминирования
Результатом решения рейтинговой задачи является пронумерованное в порядковой шкале множество Xоцениваемых объектов.
Номер р/ объекта xteX определяет место (рейтинг) /-го объекта среди остальных объектов X\XJ. Обычно отсчёт начинается с места рг=1, назначенного для наилучшего объекта. Объект, отстоящий от первого объекта на s мест, имеет рейтинг 5+1. Поскольку для измерения рейтинга объектов используется порядковая (ранговая) шкала, рейтинг объекта называют также рангом.
Упорядоченное по рангам множество оцениваемых объектов X образует последовательность {х,}1. Два соседних элемента последовательности {х} связаны отношением строгого (xt УХМ), либо нестрогого (Х; -хм) порядка, где символы «У» и «У» означают строгое или нестрогое предпочтение объекта ХІ над объектом хі+\. В шкале строгого порядка pmax=N. В случае равнозначности элементов дс,- и xi+\ (x, Xj+i) в шкале нестрогого порядка их ранги р, и р,+1 равны (р,-=рл-0 и их называют связанными. Таким образом, в шкале нестрогого порядка Pm M
Решение рейтинговых задач осуществляется практически в любых организационных системах с целью оценивания их структурных подразделений, работников и пр. Так, например, практически в любом вузе решаются рейтинговые задачи, имеющие целью стимулирование труда преподавателей и учёбы студентов. В Управлении Октябрьской железной дороги периодически подводятся итоги деятельности всех профильных структурных подразделений [68, 70]. Все эти задачи решаются, в конечном счёте, для оценки деятельности людей и используются для внесения корректирующих воздействий в управление организационными системами [7].
1 Последовательностью называется вполне упорядоченное множество или отображение множества натуральных чисел N на произвольное множество [14]. Обычно размерность рейтинговых задач, решаемых в процессе управления в организационных системах, составляет десятки оцениваемых объектов х десятки критериев оценивания. В отдельных случаях размерность может составлять сотни объектов х сотни критериев.
В практических условиях к решению рейтинговых задач выдвигаются следующие основные требования:
Оперативность решения задачи означает, что определение рейтинга подразделений должно выполняться в сжатые сроки после получения информации об итогах их деятельности. Для оперативного решения рейтинговой задачи необходимо обеспечить: унификацию исходных данных, собираемых в различных подразделениях, автоматическую передачу данных в систему рейтингового оценивания, быстрое решение задачи и своевременное ознакомление руководства с полученными результатами для принятия управленческих решений.
Требования 2-4 характеризуют высокую динамичность системы оценивания. Другими словами, она должна быстро отслеживать изменение производственных условий.
Требования 6 и 7 относятся к обеспечению эргономичности системы. И только требование 5 непосредственно относится к достоверности получаемых результатов. Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, наиболее жёсткие требования, как правило, предъявляются к выявлению первого и последнего мест (или 3-х первых и последних мест). Средние места обычно интересуют руководство меньше. А именно они и зависят в большей степени от метода решения рейтинговой задачи. Во-вторых, в большинстве случаев постановкой и решением рейтинговых задач занимаются работники, не имеющие глубоких знаний в области принятия решений. По этой причине они допускают следующие типичные ошибки:
1. Показатели деятельности оцениваемых объектов либо не группируются вообще, либо группируются без достаточных обоснований.
2. Во многих случаях не учитывается различная значимость показателей и степень их взаимосвязи.
3. Осуществляется перевод значений показателей из более информативных шкал (интервальной, шкалы отношений) в менее информативную порядковую (ранговую) шкалу. Это имеет место, например, при переводе значений показателей в баллы, которые ставятся в соответствие интервалам значений первичных показателей.
4. При расчёте общих оценок используются не значения показателей, а поставленные им в соответствие места. Например, при ранжировании подразделений по проценту выполнения плановых заданий общая оценка рассчитывается на основе мест, занятых по отдельным показателям.
5. Преимущественно применяемый аддитивный способ свёртки показателей не позволяет учесть аспект неравномерности их значений для оцениваемого объекта. Между тем, во многих случаях общая оценка должна отражать не только абсолютные значения показателей для объекта, но и их равномерность.
6. Не рассматривается возможность нелинейной зависимости общей оценки от отдельных показателей.
В целом, эти ошибки отражают следующую примитивную интерпретацию решения многокритериальных задач с применением функций полезности сторонниками другого направления в области принятия решений: «Чтобы решить многокритериальную задачу, нужно просто сложить все критерии, а их относительную важность учесть при помощи соответствующих коэффициентов: оптимален тот вариант, для которого такая сумма максимальна» [44].
Изложенное позволяет сделать очевидный вывод о том, что при решении практических задач ранжирования необходимо учитывать потребности практики, а применяемые для ранжирования методы должны быть научно обоснованы, и соответствовать всем разработанным в теории условиям их применимости.
Упорядочение объектов в ортонормированном базисе признаков
Далее предлагается не выделять недоминируемые варианты, а несколько расширить это подмножество путем выделения в исходном множестве ядра, все элементы которого несравнимы между собой, и любой вариант, не вошедший в ядро, доминируется хотя бы одним элементом ядра. Дальнейшее усечение вариантов может быть достигнуто заданием других, более жестких ограничений, например, увеличением порогового значения индекса согласия С и уменьшением порога индекса несогласия.
Отметим, что предложенные Б. Руа методы ЭЛЕКТРА имеют своей целью построение более сильного бинарного отношения предпочтения, нежели отношения Парето, с привлечением сравнительной важности критериев и метрических отношений между ними в виде их весовых коэффициентов. Методы ЭЛЕКТРА не лишены субъективизма в назначении весовых коэффициентов и порогов. Среди них - произвольность назначения ЛПР как весовых коэффициентов критериев, так и величин индексов согласия (несогласия). Фактически эти величины приходится назначать итеративно, исследуя структуру получившихся ядер.
Другой оригинальный метод решения задач многокритериального выбора, опирающийся на отношение доминирования, предложил В.В. Подиновский [43, 45]. Основное и существенное отличие метода Подиновского состоит в том, что качественная информация о важности критериев, получаемая от ЛПР, не преобразуется в количественную. Автору впервые в практике многокритериальной оптимизации удалось освободиться от необходимости ввода весовых коэффициентов важности показателей качества, вносящих существенный субъективизм и неопределенность в решение задачи.
Дополнительная информация в методе Подиновского задается на множестве {y}),j= {I,.., j,.., l,..,ri) совокупностью сообщений ЛПР типа:
Если при рассмотрении ограничиться лишь первыми двумя условиями, то интуитивно ясно, что один показатель качества важнее другого, если увеличение на несколько единиц оценки по первому из них важнее уменьшения оценки по второму на столько же единиц. Отсюда следует, что понятие важности критериев следует определять через перестановки оценок по различным показателям качества. Главное препятствие на этом пути заключается в том, что возможность перестановки оценок по критериям подразумевает возможность измерения этих показателей в одних и тех же единицах. Однако в случае неоднородных показателей качества приравнивание и сравнение оценок не имеет физического смысла. Это ограничение в определенной степени снижает практическую ценность понятия упорядочения показателей качества, так как приведение метрических шкал к единой шкале не всегда практически реализуемо и не может гарантировать корректности упорядоченности неоднородных показателей. Но в случае порядковых отношений, подобных проблем не возникает. Действительно при изменении положения биссектрис гиперплоскостей упорядочение по важности для порядкового отношения не изменяется, и поэтому может быть определено устойчивым образом. Значит, проблемы, связанные с необходимостью подбора одинаковых единиц измерения снимаются только при использовании порядковых бинарных отношений.
В основу -упорядочения по Подиновскому положена именно перестановка критериальных оценок. Например, yj - yi эквивалентно условию симметричности S(R) относительно биссектрисы-гиперплоскости вида Xi(yj)=Xj(yi). Это -упорядочение определено для довольно узкого класса отношений, являющихся симметризацией отношения Парето (Psym) Пусть, например, xeRn , вариант хц получен из х перестановкой координату и /. Тогда, если ЛПР задает равноценность показателей качества Уі и yi т. е. (уу у і), то варианты л; и Ху/ считаются эквивалентными (х JC,/). Если же ЛПР считает, что показатель качества yj важнее чем у і, т.е. (у,- у уі), то из двух вариантов более предпочтительным считается тот, у которого значение У-го показателя больше (для максимизации). Показатель качества у оказывается не менее важным, чем yi, если из xt Р$ут Хк (где xfyj) x,{yj)) следует, что х{ Psym L где xj и х/- варианты, полученные соответственно из xt и Хк перестановкой и / координат.
Далее посредством осуществления транзитивного замыкания расширяется отношение Парето (Par") по правилу: Х{ Шп хк = . xq\ ІХк у xq v Хк Хд) л xt Par" xq. (1.7) Отношение " " считается рефлексивным, т.е. xt х,. А отношение 9Іп -бинарное отношение, более сильное, чем доминирование Парето. Очевидно, что і#" рефлексивно и транзитивно. Метод Подиновского обладает двумя недостатками.
Первый связан с требованием однородности (в единой метрике) оценки важности, так как только в этом случае возможна перестановка координатных осей для симметрирования отношения Парето. Второй недостаток связан с тем, что для построения отношения Шп используется операция транзитивного замыкания, т. е. считается что предпочтение ЛПР заведомо транзитивно. Но это никак не проверяется, хотя получение транзитивного замыкания решает проблему транзитивности Щп только в том случае, если в качестве исходного выбрано отношение Парето. Для любого другого произвольного транзитивного отношения транзитивное замыкание не транзитивно.
Главным достоинством метода Подиновского является то, что отношение доминирования Парето удается подвергнуть усилению, не вводя численных аналогов важности критериев, а пользуясь лишь качественной информацией об их сравнительной важности, без численной оценки превосходства одного показателя качества над другим. Похожий метод предложен В. Д. Ногиным в [35]. Автором использовалась теоретико-множественная модель задачи многокритериального выбора.
Свойства многокритериальных функций полезности
Различие рейтингов оценивается по проценту кафедр, изменивших место по сравнению с исходным рейтингом, общему изменению порядка рейтинга и максимальному различию рангов в исходном и сопоставляемом рейтингах. Сходство рейтингов оценивается зависимостью нового рейтинга от исходного, измеряемой коэффициентом ранговой корреляции Кенделла [16]. Анализ таблицы показывает наибольшую близость сопоставляемых результатов, получаемых при учёте важности используемых критериев в процедуре ортогонализации. Это связано с тем, что наибольшее искажение испытывают наименее важные признаки.
Полученные результаты показывают, что переход к ортогональному пространству влечёт частичное искажение порядка значений признаков и соотношений между ними. Степень этого искажения определяется порядком ввода признака в ортогональное пространство. Вследствие этого необходимо учитывать важность признаков в процедуре получения нового пространства.
Это подтверждается приближением получаемого рейтинга к исходному рейтингу кафедр. Вопрос об области применения процедуры ортогонализации пространства признаков в рейтинговой задаче является дискуссионным. Использованию его для определения рейтинга объектов препятствует следующее обстоятельство: в угоду независимости признаков нарушается соотношение исходных оценок объектов по этому признаку, что влечёт изменение рейтинга объектов. Вместе с тем, аддитивная свёртка (3.1), применяемая при определении рейтинга, обеспечивает одинаковые условия для сопоставления объектов независимо от степени взаимосвязи критериев на этом наборе данных. Из этих соображений на взгляд автора правомерной является ортогонализация оценок, получаемых для различных исходных данных. Это даёт возможность получать информацию об относительном изменении рейтинга объектов при изменении их характеристик в одной и той же системе признаков (например, при сравнении рейтингов кафедр, полученных за разные периоды деятельности) [62].
2.5. Определение значимости критериев в признаковом пространстве
Одной из задач, требующей количественной оценки приоритета критериев, является упорядочение объектов с использованием функции полезности. В ней значимость критериев оценивается через весовые коэффициенты (приоритеты), измеряемые в абсолютной шкале. Оценивание приоритета критериев при неоднородной иерархической организации пространства признаков, обладающего высокой размерностью, представляет собой нетривиальную задачу. Действительно, предпочтения эксперта могут задаваться только вручную. Однако трудно себе представить ручное задание предпочтений в векторной и, тем более, в матричной форме [51], если их размерность составляет десятки критериев. Например, в случае 50-ти критериев, используемых в задаче оценки деятельности кафедр университета [18], количество всех попарных сравнений равно 1225. Прежде всего, такое количество сравнений требует больших затрат времени. Если каждое предпочтение определять и фиксировать за 5 секунд, потребуется 1 час и 42 минуты на непрерывное заполнение матрицы парных сравнений. А ведь определение каждого предпочтения - процесс творческий, требующий осмысления ситуации. Умозрительный анализ такого массива данных также не представляется возможным в силу ограничений человеческой психики.
Представить себе прямое задание приоритетов для 50-ти критериев также затруднительно. При равной их значимости величина веса каждого критерия равна 0,02. Перераспределение этих весов требует одновременного анализа 50-ти переменных, причём эта процедура в отличие от нахождения равноценных приоритетов требует участия человека. Отсюда следует, что неприемлемо также назначение приоритетов на нижнем уровне иерархии критериев, ибо в его состав входят все 50 критериев.
Очевидным способом решения указанной проблемы является кластеризация совокупности признаков, используемых в качестве критериев, в группы, и определение приоритетов в каждой группе критериев. Задание значимости для критериев в промежуточных (агрегирующих) группах иерархии оказывает влияние на приоритет первичных критериев. Знание степени этого влияния позволяет эксперту получать нужные значения приоритетов первичных критериев через задание локальных критериев в агрегирующих группах иерархии.
Влияние структуры иерархии на значимость критериев
Структурирование критериев в виде иерархии позволяет снизить размерность задач определения приоритетов критериев до 10-ти, а в большинстве случаев до 5-ти как наиболее удобной для назначения приоритетов. Но при этом возникает проблема учёта неоднородности построенной иерархической структуры [69]. Неоднородность структуры порождается различным числом критериев в группах и различной глубиной иерархии, т.е. различным расстоянием первичных критериев от корня дерева. Таким образом, при большой размерности задачи многокритериалного оценивания объектов следует применять иерархический подход к организации пространства признаков и формируемых на их основе критериев. Поскольку при таком решении размерность каждого кластера не превышает 10-ти критериев, задание и анализ предпочтений в его пределах может выполняться вручную.
Спуск на каждый последующий уровень иерархии сопровождается измельчением приоритета критериев по отношению к глобальному критерию, находящемуся на нулевом уровне иерархии. Это объясняется тем, что число ветвей пг на r-м уровне увеличивается по сравнению с г-1-м уровнем, г=0,1,...,/, а сумма отнесённых к ветвям каждого уровня приоритетов должна оставаться равной 1. В предположении независимости критериев на каждом уровне иерархии, приоритет у-го критерия, находящегося на r-м уровне, г \, вычисляется как произведение приоритетов всех предыдущих критериев, принадлежащих этой ветви дерева: wrj=WijX,...,xwr.u. (2.6)
Согласно формуле (2.6) степень измельчения приоритета wrj- j-ro критерия является функцией числа предшествующих ему уровней иерархии. С другой стороны, приоритет wr.\j j-ro критерия определяется внутри кластера критериев r-то уровня. Отсюда следует, что приоритет j-ro критерия, принадлежащего r-му уровню иерархии, г \: определяется как по отношению к локальному критерию r-1-го уровня (wr ]rj), так и по отношению к глобальному критерию (wrj); зависит от уровня иерархии г, на котором находится критерий, и от числа критериев пГіи в к-й таблице r-го уровня: y/ \j=j{r, пг,к).
Исходя из этих условий, приоритеты первичных критериев, соответствующих листьям дерева, равноценны (w//=,...,=w/„) только при условии его однородности, т.е. ранг последнего яруса одинаков для всех листьев дерева (r=/=const) и степени всех вершин, принадлежащих каждому ярусу, одинаковы.
Управление весовыми коэффициентами в иерархии критериев
Граничные ранги объектов, вычисляемые на основе чисел доминирования, могут изменяться в широких пределах. Например, для объектов, не находящихся в отношении доминирования с другими объектами, граничные ранги могут охватывать всю ранжировку от 1 до N. При этом некоторые ранги оказываются для объекта недостижимыми. В связи с этим, а также с тем, что весовые коэффициенты, назначаемые критериям на основе экспертных оценок, являются неточными, получаемые рейтинги объектов могут существенно различаться при изменении значимости критериев. Для повышения надежности получаемого рейтинга целесообразно произвести оценку его устойчивости путем изменения весов критериев. Это осуществляется использованием методики, предложенной в рамках метода сводных показателей, разработанного Н.В. Ховановым [56]. Суть методики заключается в последовательном изменении весов критериев в заданных пределах на определенную величину с сохранением между ними исходного порядка и вычисления нового рейтинга объектов.
Мера сходства рейтингов определяется с помощью коэффициента различия порядков D, вычисляемого по формуле
Числа Qj характеризуют нарушение прямой последовательности рангов в сравниваемом рейтинге в направлении их возрастания. Они определяются относительноу -го ранга, j=\,..., N-\, сравниваемого рейтинга как количество рангов меньшей величины, находящихся от него справа. Сумма нарушений нормируется числом перестановок для полной инверсии ранжировки N{N-1)12.
Коэффициент различия порядков в рейтингах D изменяется от О (порядки совпадают) до 1 (порядки взаимно обратные). При D 0,1 (различие до 10%) порядки рейтингов считаются близкими. В ряде случаев допустимо различие до 20% (Z) 0,2). При Z)«0,5 порядки считаются независимыми.
Кроме D, мера сходства и различия нового и исходного рейтингов объектов оценивается с использованием коэффициента ранговой корреляции Кенделла т=1-2-Д который изменяется в пределах от -1 до 1 [16]. Положительное значение т отражает степень сходства порядка следования рангов в сопоставляемых рейтингах, а отрицательное - степень их различия. Нулевое значение т отражает полную независимость рейтингов. Мера сходства значений МФП, измеренных в интервальной, а не ранговой (порядковой) шкале оценивается с привлечением коэффициента корреляции г Пирсона [13].
Использование чисел D, т и г в процессе итеративного вычисления рейтингов объектов с модификацией весовых коэффициентов критериев позволяет оценить степень чувствительности рейтинга объектов к изменению значимости критериев.
Окончательный рейтинг объектов получается усреднением рейтингов, полученных в процессе итеративного изменения весовых коэффициентов критериев, а усреднённый вектор весовых коэффициентов обобщённо описывает веса критериев, подходящие под описание их количественной важности, данное экспертами. 3.4. Методика многокритериального линейного упорядочения
Методика линейного упорядочения объектов в пространстве критериев реализуется в несколько этапов.
На подготовительном этапе, в соответствии с методиками, изложенными во второй главе работы, создаётся модель предметной области: группируются признаки, на основе первичных и вычисленных признаков формируются критерии, находится и учитывается корреляционная зависимость между ними, назначается их значимость. После отладки модели на контрольных данных решается задача упорядочения объектов.
На первом этапе решения задачи выполняется векторное упорядочение объектов на основе отношения Парето-доминирования. Оно не требует дополнительной экспертной информации, вносящей элемент субъективизма в используемую модель. В частном случае может быть получен линейный порядок объектов. В противном случае вычисляются предельные ранги объектов по формуле (3.11) и осуществляется переход ко второму этапу.
На втором этапе выполняется скалярное упорядочение объектов с применением многокритериальных функций полезности (3.1 - 3.4). Тип МФП и диапазоны нормирования критериев выбираются на основании предпочтений ЛИР. ЛПР оценивает также результаты линейного упорядочения и соотносит их с результатами Парето-доминирования. При необходимости ЛПР имеет возможность получить информацию о корреляционной зависимости локальных критериев, и глобального критерия - от локальных. Корреляционная зависимость характеризует роль каждого локального критерия в формировании общей оценки объектов, что даёт основание для корректировки модели.
На третьем этапе оценивается устойчивость результатов. Поскольку одним из факторов, влияющих на получаемые результаты, является значимость критериев, она используется для определения устойчивости рейтинга внутри границ, задаваемых отношением доминирования. Изменяя соотношение весовых коэффициентов МФП, пользователь следит за стабильностью порядка объектов. Окончательный рейтинг объектов и значимость критериев оценивания определяются усреднением результатов экспериментов.
