Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели формирования инвестиционных портфелей 8
1.1. Основные понятия инвестиционной деятельности 8
1.2. Современные модели и методы 10
1.3. Постановка задачи 26'
Глава 2. Разработка энтропийных моделей формирования инвестиционного портфеля 30
2.1. Финансовый рынок в условиях неопределенности 30
2.2. Элементы макросистемного моделирования 31
2.3. Энтропийная модель инвестиционного портфеля 35
2.4. Условия оптимальности в моделях инвестиционного портфеля 44
2.4.1. Стратегия «ни больше, ни меньше» 44
2.4.2. Стратегия «гарантированный минимум» 47
2.4.3. Стратегия «смешанное поведение» 50
Глава 3. Разработка модифицированных мультипликативных алгоритмов для численной реализации моделей 54
3.1. Модификация мультипликативных алгоритмов 54
3.2. Вычислительные алгоритмы реализации энтропийных моделей инвестиционного портфеля 59
3,2.1. Стратегия «ни больше, ни меньше» 59
.12.2. Стратегия «гарантированный минимум» 65
3.2.3. Стратегия «смешанное поведение» 74
Глава 4. Экспериментальное исследование энтропийной модели инвестиционного портфеля 84
4.1. Программное обеспечение для расчета инвестиционного портфеля 84
4.2. Экспериментальное исследование модели на тестовых данных 90
4.3. Моделирование инвестиционного портфеля на основе реальных данных 101
Заключение 109
Литература 111
- Основные понятия инвестиционной деятельности
- Финансовый рынок в условиях неопределенности
- Модификация мультипликативных алгоритмов
- Программное обеспечение для расчета инвестиционного портфеля
Введение к работе
Актуальность работы
В связи с постоянным развитием финансового рынка, существенно возрастает роль различных методов, позволяющих оптимизировать инвестиции в финансовые инструменты (активы). Основными характеристиками финансовых инструментов являются их доходность и риск, связанный с вложением денег в этот инструмент. Поэтому задача инвестора при вложении денег в конкретный актив в большинстве случаев сводится к анализу именно этих характеристик с целью реализации главной цели инвестирования — получение максимально возможного дохода, при этом как можно меньше рискуя. Для достижения этой цели используется аппарат математического моделирования. Однако всегда возникает вопрос о том, насколько построенная модель адекватно учитывает различные факторы, влияющие на изменение основных характеристик финансовых инструментов. Эти факторы определяют поведение инвестора в различных ситуациях, возникающих на финансовом рынке.
Таким образом, весьма актуальной является разработка методов моделирования инвестиционного портфеля в условиях неопределенности и риска, учитывающих поведение инвестора на финансовом рынке.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является разработка модели инвестиционного портфеля, учитывающей поведение инвестора па финансовом рынке.
Для достижения этой цели в работе решены следующие задачи;
1. Выполнен анализ существующих моделей и методов, применяемых для оптимизации портфельных инвестиций,
Предложен поведенческий подход к моделированию, позволяющий учитывать поведение инвестора в различных ситуациях, возникающих при формировании портфеля.
Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля.
Проведен анализ свойств модели при выборе инвестором различных стратегий извлечения дохода.
Разработаны вычислительные алгоритмы для реализации модели, основанные на теории мультипликативных алгоритмов.
Разработано прикладное программное обеспечение, позволяющее производить моделирование инвестиционного портфеля.
Проведено тестирование модели и вычислительных алгоритмов на модельных примерах.
Проведено моделирование инвестиционного портфеля на реальных данных.
Методы исследования
В диссертационной работе использованы методы теории макросистем, теории оптимизации, теории вероятностей, статистической физики.
Результаты, выносимые на защиту
Энтропийная модель инвестиционного портфеля, учитывающая поведение инвестора на финансовом рынке.
Вычислительные алгоритмы с адаптивным шагом и их экспериментальное исследование на модельных данных.
3- Прикладное программное обеспечение для моделирования инвестиционного портфеля,
4. Моделирование инвестиционного портфеля на основе реальных данных.
Научная новизна работы
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:
1. Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля, учитывающая поведение инвестора при вложении денег в финансовые активы. Определены основные стратегии извлечения дохода, а именно:
«ни больше, ни меньше» — цель инвестора, состоит в обеспечении некоторого уровня дохода на всех этапах временного профиля;
«гарантированный минимум» — цель инвестора состоит в обеспечении дохода не меньше некоторого уровня на всех этапах временного профиля;
«смешанное поведение» — цель инвестора состоит в обеспечении некоторого уровня дохода на одних этапах и не меньше некоторого уровня — на других.
Получены условия оптимальности разработанной модели при использовании различных стратегий извлечения дохода.
2. Предложена модификация мультипликативных алгоритмов, реализованная в адаптации параметра шага алгоритма к характеру итерационного процесса. Метод использует квадратичную аппроксимацию невязки для вычисления оптимального значения шага. Это позволяет не производить дополнительных вычислений для оптимизации шага на каждой итерации вычислительного процесса.
Практическая ценность работы
Разработан прототип программного обеспечения для моделирования инвестиционного портфеля. Программное обеспечение создано с помощью средства быстрой разработки приложений Borland C++BuiMer.
С помощью разработанного программного обеспечения было проведено экспериментальное исследование модели на тестовом примере и реальных данных.
Разработанная модель инвестиционного портфеля и вычислительные методы, реализованные в прикладном программном обеспечении, могут быть использованы в качестве одного из инструментов инвестора при формирования инвестиционного портфеля.
Реализация результатов работы
Разработанная модель инвестиционного портфеля и вычислительные алгоритмы использовались в следующих проектах:
1. Программа фундаментальных исследований отделения информационных технологий и вычислительных систем РАН (ОИТВС РАН) «Фундаментальные основы информационных технологий и систем», проект № 2.1.
2- Проект Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) № 02-01-00198.
Апробация работы
Основные положения работы докладывались и обсуждались на VII Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва 2002) и семинаре ИСА РАН «Системный анализ и информационные технологии».
Публикации
Основные результаты, полученные по теме диссертационной работы, опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК.
Личный вклад соискателя
Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Личный вклад соискателя в совместно опубликованных работах составляет 40% общего объема.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 115 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц, 12 рисунков, библиография включает 51 наименование.
Основные понятия инвестиционной деятельности
Проблема вложения денежных средств с целью получения их максимального прироста является одной из наиболее актуальных в рыночной экономике. Под этим процессом обычно и понимают инвестирование, то есть вложение денежных средств (инвестиций) с целью получения дохо да в будущем. В современной литературе инвестиции принято разделять на два основных вида [1]: реальные и финансовые. Реальные инвестиции обычно представляют собой инвестиции в какие-либо материальные активы, такие как оборудования, предприятия, земля. Финансовые инвестиции представляют собой инвестиции в финансовые активы, такие как ценные бумаги.
Финансовые активы (инструменты) являются одной из составляющих финансового рынка, который представляет собой совокупность денежных и валютных рынков, рынков ценных металлов и различных финансовых инструментов. На рынке финансовых инструментов различают основные и производные инструменты. К основным финансовым инструментам относятся различные виды ценных бумаг, таких как акции, облигации, банковские счета [2], [3]. Производные финансовые инструменты, такие как опционы или фьючерсы являются сложными инструментами, построенными на базе основных.
Акции являются так называемыми долевыми ценными бумагами, выпускаемыми компаниями для увеличения капитала [3]. В основном, акции бывают двух типов обыкновенные и привилегированные, различающиеся по выплате дивидендов (дохода) и степени риска обладания ими. Обладатель обыкновенной акции получает дивиденды, как соответствующую часть дохода компании. В случае разорения компании инвестор теряет все свои инвестиции. Обладатель привилегированной акции защищен от подобной ситуации, так как привилегированная акция гарантирует своему обладателю выплату дивидендов, не зависящих от дохода компании,
Облигации выпускаются компаниями также для увеличения капитала, однако но ним выплачиваются на регулярной основе проценты и гарантирована полная выплата инвестированного капитала в установленное время, в отличие от акций, дивиденды по которым зависят от дохода компании. Банковский счет можно рассматривать как облигацию, так как банк обязуется выплачивать определенный процент от суммы счета. Разумеется, облигации и банковские счета не являются абсолютно безрисковыми финансовыми инструментами, так как всегда существует1 риск разорения компании, выпустившей облигацию или байка, обслуживающего счет.
Акции, пожалуй, являются одним из самых популярных инструментов финансового рынка. Многих инвесторов инвестирование в акции привлекает не столько доходом, получаемым от владения ими, сколько возможностью извлекать прибыль от колебаний цен акций, покупая и продавая их в «нужный» момент.
Поэтому для инвестора, важна информация о состоянии финансового рынка в целом, а также непосредственно о состоянии компаний, выпуска.-ющих акции, ценах самих акций и их эволюции.
Для оценки состояния экономики в целом используются специальные агрегированные показатели называемые индексами и средними. Наиболее известными являются индексы и средние Доу Джонса [Л\. Индексы и средние составляются на основе цен акций некоторого количества компаний, На пример, индекс DJIA (Dow Jones Industrial Average) составляется по тридцати крупным индустриальным компаниям, при этом он формируется так, что акции с высокой стоимостью вносят в суммарный индекс больший вес, поэтому значительное изменение в ценах акций даже малого числа компаний, составляющих индекс, может сильно изменить его значение. Помимо индексов Доу Джонса широко распространены и другие индексы, например, Standard&Poor s 500 (S&P500) Index, The NYSE Composite Index, The NASDAQ Composite Index и др.
Развитие теории финансов с момента ее зарождения в двадцатых годах прошлого века шло по двум основным направлениям — в предположении полной определенности и при наличии неопределенности.
В первом случае основную роль сыграли работы [5], [6]. Миллер фактически стал родоначальником теории финансов корпорации, которая устанавливала связь между структурой основного капитала и политикой дивидендов фирм-производителей, с одной стороны, и рыночной оценкой этих фирм и затратами капитала — с другой. Развитая им теория базируется на предположении, что индивидуальные владельцы акций имеют доступ к тому же самому рынку капиталов, что и фирмы. Это означает, что в пределах своих портфельных активов они могут самостоятельно найти подходящее соотношение между прибылями и риском, что избавляет фирмы от необходимости при принятии решений в финансовой сфере подгонять их под различные предпочтения акционеров. Таким образом, управляющие корпорации наилучшим образом обеспечивают интересы акционеров, если они просто стремятся максимизировать чистый доход фирмы, прибегая к максимизации рыночной (курсовой) стоимости ее акций.
Финансовый рынок в условиях неопределенности
Развитие теории финансов с момента своего зарождения проходило в предположении полной определенности. Это предположение состояло в том, что эволюция цен финансовых инструментов и поведение участников финансового рынка полностью детерминировано. Однако, последующее развитие теории финансов привело к формированию нового взгляда на финансовый рынок, который состоял в предположении наличия на нем неопределенности. Возникновение этой гипотезы обусловлено прежде всего реалиями финансового рынка, которые породили сомнения в его детерминированности. Одной из возможных моделей «неопределенности» является вероятностная модель.
Предположение о наличии неопределенности па финансовом рынке обусловлено тем, что изменение цен и, как следствие, доходности финансовых инструментов надежно непредсказуемо. Последнее моделируется тем, что цена финансового инструмента представляется случайной величиной [36).
Из представления цены финансового инструмента с помощью случайной величины, очевидно, следует, что доход финансового инструмента также является случайной величиной. Поэтому, учитывая такое вероятностное свойство цен и дохода, можно говорить об ожидаемой цене и ожидаемом доходе, подчеркивая наличие факторов неопределенности в процессе формирования цен финансовых инструментов.
Важными числовыми характеристиками случайной величины является ее математическое ожидание и дисперсия (37]. Математическое ожидание цены финансового инструмента или его дохода представляет собой среднюю ожидаемую цену или средний ожидаемый доход. Дисперсия часто используется для оценки риска финансового инструмента.
Под действиями инвестора при формирования инвестиционного портфеля будем понимать способ распределения капитала среди финансовых инструментов, составляющих портфель. Поведенческий подход, развиваемый в диссертационной работе, базируется на случайной модели неопределенности. В этой модели предполагается, что распределение капитала среди финансовых инструментов происходит случайным образом с некоторыми априорными вероятностями.
Элементы макросистемного моделирования
Поведенческий подход предполагает создание модели поведения инвестора. Концепция макросистемного моделирования позволяет построить эффективный способ моделирования поведения.
При исследовании систем часто возникает вопрос о том, появляются ли у системы некоторые новые свойства по сравнению со свойствами ее элементов. Возникновение подобных вопросов вполне обосновано. В реальном мире существует довольно большое количество процессов, «внутри» которых также протекают какие-то процессы, и их свойства коренным образом различаются.
Основной особенностью таких систем является то, что поведение се элементов стохастическое, а его характеристиками являются априорные вероятности, Поведение системы в целом детерминированное. Таким образом, можно говорить о том, что в подобных системах происходит преобразование стохастического поведения в детерминированное.
Системы, в которых происходит преобразование стохастического поведения в детерминированное называются макросистемами [38].
Абстрактную макросистему проще всего представить следующим образом. Рассмотрим Y неразличимых элементов со стохастическим типом поведения. Каждый такой элемент может находиться в некотором состоянии, которое он выбирает в следствие своего стохастического поведения. Состояние представляет собой некоторую абстрактную «ячейку», в которой могут находиться элементы системы,
Обозначим через S множество состояний. Предположим, что множество S дискретное и состоит из конечного числа состояний.
Множество состояний S устроено так, что в нем можно выделить непересекающиеся подмножества Sj {j = 1, п) «близких» состояний с емкостью Gr
Состояния, которые являются элементами подмножеств Sj, могут быть одного из трех типов: Ферми-состояния — в каждом состоянии может находится только один элемент Эйнштейн-состояния — в каждом состоянии может находится любое количество элементов Больцман-состояния — среднее количество элементов в подмножествах Sj существенно меньше их емкости.
Элементы макросистемы случайно и независимо друг от друга могут выбирать любое состояние из подмножеств Si,... ,Sn. Их поведение, проявляющееся в выборе состояния, характеризуется априорными вероятностями а,],..., ап.
Под макросостоянием системы понимают размещение определенного количества элементов системы по подмножествам 5ь..., Sn. Макросостояние характеризуется набором Nu...,Nn чисел заполнения элементами соответствующих подмножеств S[,. .. ySn [39].
Случайное поведение элементов макросистемы порождает множество М возможных макросостояний, характеризуемых вектором N={Nu...iNn].
При определении вероятностных характеристик ансамбля макросостояний будем следовать [38], [39]. В [38] показано, что функция распределения вероятностей возможных макросостояний для макросистемы с Форми -состояниями:
Модификация мультипликативных алгоритмов
Использование моделей инвестиционного портфеля приводит к задачам математического программирования или задачам на условный экстремум с энтропийной целевой функцией.
Учет специфики этих задач привел к возникновению нового класса вычислительных методов, которые послужили основой для построения алгоритмов, названных мультипликативными [44], [45], [46], .
Рассмотрим компактное множество 0 С V С R+ и выберем некоторую точку ЖЄІ5Б качестве начального приближения для мультипликативного алгоритма нулевого порядка решения уравнения (3.2). Для оценки сходимости будет использовано понятие б-сходимости.
Будем называть этот алгоритм Ф-сходящимся, если существует множество 0 С V и положительные скаляры а(&) и 7 такие, что для всех х Є и 0 7 л(Ф) он сходится к решению х уравнения (3.2), причем сходимость в окрестности х — линейная [38].
Сходимость мультипликативного алгоритма (3.3) для решения нелинейного уравнения (3.2) устанавливается следующей теоремой.
Доказательство представленных теорем приведено в [38].
Важно отметить, что представленная теорема сходимости не да«т ответ на вопрос о том, как выбирать параметр 7- Она лишь устанавливает существование такого интервала его возможных значений, при которых алгоритм будет сходиться. Поэтому важным вопросом при реализации алгоритма в практических задачах является вопрос о выборе подходящего (или оптимального) постоянного значения параметра у.
Однако, возникающие в задаче системы уравнений имеют такой вид, что вычисление их решения с помощью мультипликативного алгоритма с постоянным параметром 7 требует подбора его значения экспериментально. Кроме того, алгоритмы с постоянным шагом могут сходиться весьма медленно. В этих случаях, может быть эффективным переход к мультипликативному алгоритму с переменным параметром 7 В силу того, что значение г;, определяемое выражением (3.11), показывает отклонение приближенного решения, полученного на текущей итерации вычислительного процесса, от точного, поэтому за счет выбора параметра 7 можно попытаться сделать его как можно меньше. Таким образом, на каждом шаге итерационного процесса производится вычисление такого значения 7, при котором отклонение приближенного решения от точного будет минимальным на данной итерации.
Поскольку функция и(7) сложна, одним из возможных подходов к подобной минимизации значения v может быть использование аппроксимации функции v{-y) на каждой итерац
Подставив соответствующие формулы (3.33)-(3.41) в (3.31)-(3.32) получим выражения для вычисления оптимального значения параметра 7 в моделях Ферми и Больцмана для задачи (3.16)-(3.18).
Таким образом, алгоритмы вычисления инвестиционного портфеля при выборе стратегии «ни больше, ни меньше» состоят из четырех основных шагов. Алгоритм с постоянным шагом
Шаг 1, Инициализация. Выбрать некоторое начальное значение г О, значение параметра 7 0, требуемую точность є 0 и продольное количество итераций ршах 0. Величина ртах требуется для того, чтобы не допустить «зацикливания» вычислительного процесса в следствии выбора неподходящих начальных значений z или параметра 7 Шаг 2, Итерационный шаг. Вычислить значение z для следующей итерации по формуле гдер - номер текущей итерации, а функции ft(z) определяются (3.20) (3.23) Шаг 3. Контроль вычислительного процесса. Увеличить номер текущей итерации р на единицу и вычислить значение
Шаг 4- Вычисление инвестиционного портфеля. Используя выражения (2.36) для Ферми-модели и (2.41) —для Больцман-модели, вычислить инвестиционный портфель X . Алгоритм с адаптивным шагом Шаг 1. Инициализация. Выбрать некоторое начальное значение z О, начальное значение параметра 7 0, требуемую точность є 0 и предельное количество итераций ртах 0. Шаг 2. Итерационный шаг. Вычислить значение z для следующей итерации по формуле
Программное обеспечение для расчета инвестиционного портфеля
Для моделирования инвестиционного портфеля используется программный пакет PortfolioOptimizer, разработанный с использованием средства быстрой разработки приложений Borland C++BiulderlM.
Пакет позволяет осуществлять ввод данных о портфеле и активах, входящих в него, и проводить расчеты портфеля в соответствии с выбранной стратегией инвестирования. Допускается работа сразу с несколькими портфелями. Вся информация о портфелях и составляющих их активах может быть сохранена в файл собственного формата .рог.
Вид главного окна PortfolioOptimizer представлен на рис. 4.1. С помощью кнопок Добавить и Удалить панели управления в верхней части окна можно осуществлять добавление или удаления портфелей из списка портфелей; аналогичные действия доступны и для активов. Кнопки Открыть и Сохранить предназначены для загрузки и сохранения данных о портфелях в файл.
В левой части окна, отображаются портфели и их структура. В правой части отображается информация о выбранном в данный момент портфеле или активе. На рис, 4.2 показано главное окно PortfolioOptimizer с. загруженными данными о двух портфелях. Портфель «Голубые фишки» составлен
Решим задачу (4.1) с помощью алгоритма с постоянным шагом 7 = 0.5. Как видно из рис. 4.7, алгоритм с постоянным шагом не пришел к решению за конечное количество итераций. Решим эту же задачу (4.1) с помощью алгоритма с адаптивным шагом с начальным значением 7 = 0-5-В этом случае вычислительный процесс, который представлен на рис. 4.8, завершился успешно.
Однако, используя алгоритм с адаптивным шагом с начальным значением шага 7 = 5.0, можно определить решение. Вычислительный процесс представлен на рис. 4.9 для первого случая и на рис. 4.10 — для второго. Как и раньше, точность вычислений є = 0.0001 и максимальное количество итераций ртах = 10000.
В данном примере решение исходной задачи проводилось с разными поборами начальных условий по шагу и двойственным переменным. В некоторых случаях решение алгоритмом с постоянным шагом требовало меньше итераций, чем решение алгоритмом с адаптивным шагом. Это связано прежде всего с удачным выбором значения параметра 7- Однако, важно отметить, что сделать такой выбор не всегда возможно — алгоритм с постоянным шагом может не сходиться за разумное количество итераций. В этом случае использование алгоритма с адаптивным шагом может существенно ускорить процесс поиска решения.
Результаты расчетов с различными начальными значениями параметров шага 7 и а и двойственных переменных приведены в табл. 4.2. Отметим, что при решении задачи (4.2) наблюдаются эффекты, аналогичные решению задачи в случае выбора стратегии «ни больше, ни меньше», а именно успешное решение с помощью алгоритма с адаптивным шагом при разных начальных значениях шага и двойственных переменных.
Для определения доходности акций представленных компаний необходимо проанализировать процесс изменения их рыночных цен в результате биржевых торгов в прошлом. Целью такого анализа является вычисление средней ожидаемой доходности на текущий момент времени. Доходность акш:и г вычисляется по формуле: где CQ -- начальная цена акции, с — текущая цена акции.
Для того, чтобы определить среднюю цену акции на текущий момент времени используем экспоненциальную аппроксимацию. На рис.4.11 представлен график изменения цен акций одной из компаний, входящих в портфель.
Предположим, что дисперсия цен не зависит от времени, тогда ее можно вычислить согласно формуле; где уг — дена в г -й момент времени, УІ — среднее значение цены в г-й момент времени. Используя дисперсию а2, вычислим априорные вероятности активов согласно формулам (2.24) -(2.26).
Проводя подобный анализ данных о ценах акций всех компаний, входящих в портфель, вычислим их априорные вероятности. Их значения приведены в табл. 4.4.
Теперь необходимо сформировать матрицу ожидаемых доходностей «на будущее». Для этого используем прогнозы цен акций, которые регулярно производятся различными российскими и зарубежными компаниями, например, Финансовой корпорацией «Уралсиб» [49], Инвестиционной компанией «Тройка Диалог» [50], Merrill Lynch к Co. Inc. [51] и др. Моделирование будем проводить на три месяца вперед, поэтому временной профиль дохода и матрица ожидаемых доходностей будут иметь три строки.
Вычислим решения соответствующих задач для Ферми- и Больцман-моде-лей. Все вычисления проводились с точностью є = 0.0001. Результаты вычислений представлены в табл. 4.5, 4.6, 4.7.
Экспериментальное исследование показало работоспособность разработанных моделей и возможность их применения в реальном процессе формирования инвестиционного портфеля.
