Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОИСКОВЫМИ МЕТОДАМИ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ С КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХОЙ
І.І. О поисковых процедурах оптимизации 10
1.2. Примеры задач поисковой оптимизации 13
1.3. Поисковые методы оптимизации (обзор) 18
1.4. Постановка задачи 34
Выводы 39
ГЛАВА 2. РОБАСТБЫЙ ПОИСКОВЫЙ АЛГОРИЖ В УСЛОВИЯХ ПОМЕХ С ИЗВЕСТНЫМИ КОРРЕКЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ
2.1. Постановка задачи 41
2.2. Структура поискового алгоритма. Состоятельность последовательности оценок
2.3. Оптимальный на классе алгоритм случайного поиска
2.4. Реализуемый оптимальный на классе поисковый алгоритм при помехе с известной функцией корреляции
2.5. О "критериальном" алгоритме случайного поиска
2.6. Моделирование работы поискового алгоритма при помехе с известной корреляцией Выводы
ГЛАВА 3. РОБАСТНАЯ ПОИСКОВАЯ ПРОЦЕДУРА ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ПОМЕХЕ С НЕИЗВЕСТНЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ
3.1. Постановка задачи
3.2. Состоятельность последовательности оценок, построенных поисковыми процедурами
3.3. Оптимальным на классе поисковый алгоритм. 82
Предельные возможности процедур оптимизации
3.4. Робастный поисковый алгоритм 88
3.5. Реализуемый, оптимальный на классе поисковый алгоритм
3.6. Моделирование работы робастного поискового алгоритма при помехе с неизвестной функцией корреляции 100
Выводы
ГЛАВА 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОИСКОВЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
4.1. Оценивание максимумов спектров стационарных случайных процессов
4.2. Оптимизация модели производительности труда 109
Выводы 121
124 130
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ
- О поисковых процедурах оптимизации
- Постановка задачи
- Состоятельность последовательности оценок, построенных поисковыми процедурами
- Оценивание максимумов спектров стационарных случайных процессов
О поисковых процедурах оптимизации
Случайный поиск является современным и эффективным методом решения сложных задач, выдвигаемых наукой, техникой и народным хозяйством [ 22 } Такие задачи обычно сводятся к отысканию экстремума функции по измерениям в условиях помех с неизвестными статистическими характеристиками и охватывают большую совокупность задач адаптации [38 1 , идентификации [39] , распознавания [ I ] . Поисковые алгоритмы применяются для решения таких задач в тех случаях, когда измерению доступны лишь значения оптимизируемой функции (либо разности значений), искаженные помехой. В такой ситуации приходится оценивать направление дальнейшего движения (к экстремуму).с помощью некоторых конечно-разностных аппроксимаций градиента.
Существуют различные способы оценки градиента оптимизируемой функции по ее.измерениям с помехой. Например, часто исполь зуется "точечная оценка" градиента VjT(c) ( [22J , [10J ).
. Здесь C=(Cij- .,Cn) - вектор параметров, по которым требуется оптимизировать J (с) , Х 0 - некоторое число, //,..., вп} її - ортонормированных векторов из пространства ft 1.
Оценка ( Г.І ) требует «2// измерений функции Q С с) для алпроксшлации градиента vT(c) в каждой точке.
Следующая "статистическая точечная" оценка градиента "привлекает своей простотой" [22] , поскольку "эту оценку можно сделать на базе двух проб в случайных точках" С і u-j- : где - случайный вектор, равномерно распределенный на единичной сфере в пространстве & . Для построения оценки ( Г.З ) требуется два измерения функции QCo) , что шдеет преимущество при .большой размерности lb вектора параметров и функщш (с) перед оценками (.1.1 ), ( 1.2 ) вычисление значений которых требует значительных затрат на измерения. Кроме того, как показано в работе 22 , при У1 Ъ алгоритмы оптимизации, использующие оценку ( 1.3 ) градиента, превосходят по "потерям на поиск" (что имеет смысл "быстродействия поиска на одном этапе" 23 .) методы, использующие измерения градиента оптимизируемой функции.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу безусловной оптимизации скалярной дифференцируемой функции J (с) векторного аргумента С R. Предполагается, что аналитический вид J {с) . не известен, а измерению доступны лишь разности значений функции J(t) в любых двух точках, искаженные помехой . В том случае, когда измеряются значения Jif) , искаженные помехой, можно образовать разности наблюдений. Примером такого рода измерений может служить разность потенциалов, искаженная помехой.
Итак, по измерениям \- J(c-+ct )- T(c-«L ) + 9; 0; где вектор % Є Ч , требуется определить
Поскольку по измерениям \. нельзя точно определить градиент vJfi) вследствие наличия помехи, применяются различные способы аппроксимации градиента [22 J , [23] » порождающие алгоритмы случайного поиска.
Поисковые алгоритмы оптимизации, наиболее часто используемые при решении практических задач, обычно приводятся к алгоритму с "парными пробами" [22 3 , где оценкой градиента У j(c) служит fuolTU): f[J(c p- J(c- f)J+ju. tfW Здесь cL - числовой параметр, 0/ - вспомогательный вектор из пространства Я . Алгоритм случайного поиска с "парными пробами" имеет вид Сп = Ся-л-П, f& (J(C». ), где V Cnj - последовательность оценок вектора С CLlgMinjicJ Рп - последовательность матриц /уХ/у , характеризующая "шаги алгоритма", d.n О _ числовая последовательность "шагов поиска", вектор tyn. определяет направление спуска на " її - ом шаге". Исследование таких алгоритмических процедур при помехе с известными корреляционными свойствами и содержится в главе 2.
Состоятельность последовательности оценок, построенных поисковыми процедурами
Справедливо утверждение о сходимости алгоритмов (3.2), (3.3)
Условия(З.І.і) -(3.1.5) , (З. Г.7)-(3. Г.9) достаточны для сходимости "полного" алгоритма (3.3) . Предположения (3. Г. 1)-_ (3.1.4) ,(3.1.6)-(3.1.9) достаточны для сходимости "усечен ного" алгоритма (3.2) . Условие SioPl±n-cl hni-i f О V-J ) из У?в 3.4 выполняется, если в алгоритме dn d / что достигается проектированием на область T- rj .
Все условия Утверждения 3.1 обычно выполняются на практике (см. стр 4 8 главы 2). Предположение (3.1.5) выполняется для функции i(X) , удовлетворяющей условию (3.1.7) и симметрично распределенной помехи с ограниченной дисперсией и равным математическим ожиданием; либо для ограниченной функции ЧІх) : и не обязательно ограниченной дисперсии помехи л
Справедливы следующие утверждения, необходимые при доказательстве сходимости алгоритмов (.3.2) ,(3-3).
Оценивание максимумов спектров стационарных случайных процессов
Важное значение для химической и легкой промышленности имеют исследования, связанные с изучением свойств различных растворителей. Такие исследования можно проводить по спектрам молекулярного рассеяния света в растворителях, по компонентам линий Мандельштама-Бриллюэна.
Конкретными примерами промышленных растворителей являются следуадие соединения; СС - четыреххлористый углерод, С -сероуглерод, CgW - бензол.
В химической промышелнности для покрытия (датировки) поверхностей химических реакторов используется фторопласт, В таких реакторах происходит, например, синтез различных соединений. Кроме того, фторопласт применяется для изготовления различных деталей, обладающих антикоррозийными свойствами. При исследовании свойств фторопласта используются спектры процесса термостимулированной экзоэлектронной эмиссии ["42 ] .
Для изучения таких спектров необходимо оценить положения и значения их максимумов , что помогает "разделить" максимумы, или определить вид истинного спектра в окрестности максимума по измерениям спектра, искаженным помехой. Таким образом, оценивание положений и значений максимумов спектров данных случайных процессов применяется в исследованиях, важных для химической и легкой промышленности.
Задача оценивания положений и значений максимумов спектральной плотности сводится к оптимизации функции по наблюдениям ее значений, искаженным помехой. Помеха представляет собой коррелированный случайный процесс, так как часто является выходом некоторого линейного преобразующего устройства. Функция корреляции помехи может быть неизвестна. Поскольку измерению доступны лишь значения оптимизируемой функции, искаженные помехой, указанные задачи удобно решать поисковыми методами. Обычно распределение помехи точно неизвестно. В такой ситуации естественно воспользоваться робастными поисковыми методами, работоспособными в условиях наблюдений с коррелированной помехой.
