Применение метода изображающих векторов к задачам оптимального управления линейными системами Бурыкина, Наталья Васильевна

Введение к работе

Актуальность проблеми. Развитие управляемых систем, вызван-ное запросами практики, и, прежде всего, потребностями современной техники, определило круг задач, которые составили предмет математической теории управляемых процессов. Существенное место в этой теории занимают проблемы оптимального управления (ОУ) линейными нестационарными системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с интегральным критерием качества.

Несмотря на го, что теории оптимального.управления линейными системами посвещено большое число работ отечественных и зарубежных авторов и именно здесь были получены наиболее полные и окончательные результаты, в виду возникающих сложностей при численной реализации задачи и тяготения "проклятия размерности", вопрос о создании конструктивных приближвннс-аналитических метопов для решения этой задачи остается актуальным и сегодня.

К числу таких'приближенно-аналитических операторных методов относится и предлагаемый в данной работе' подход, позволяющий как іроводить аналитические исследования для широкого круга задач,так і создавать весы/л эффективные численные процедуры для их решения.

Целью заботы является аналитическое и практическое примене-ше указанного подхода для решения задач оптимального управления щнейными системами, с критерием качества типа нормы.

, Основными задачами решаемыми в настоящей работе являются: приближенное решение задачи оптимального управления линейной даамической системы с сосредоточенными параметрами с критерием ачества в виде норм пространств /, при различных Р ;

создание алгоритмов синтеза оптимального управления для ре-ения этих задач и программная реализация алгоритма в случае а = 2;

построение и анализ областей достижимости линейных систем с граничениями на управление тша нормы. Ііахоядение уравнения границ Іяастєй достижимости. Решение задачи предельного быстродействия;

распространение разработанного подхода на системы с распреде-эаными параметрами, решение задачи оптимизации температурного реала в коночном стержне;

использование созданных методов, алгоритмов и программ для негодования конкретных технических систем.

Методы исследования. Предлагаемый в работе подход базируется і методе изображающих векторов (ШЗ) предложением В.М.'Осиповым. їй решении поставленных задач применяется математический аппарат

функцианального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления. А так же L - проблема моментов Крейна, сформулированная для конечномерных векторных пространств.

Научная новизна.

путем при-

Li It. 1л

1. Предложен подход, базирующийся на МИВ и позволяющий сводить задачи оптимального управления к її - проблеме моментов в конечномерном векторном пространстве.

2. В случае метрик пространств L , менения МИВ и решения соответствующей L - проблемы моментов_/ решение задачи оптимального управления получено в приближенно-аналитической форме.

3. Построены уравнения границ областей достижимости линейных систем для различных ограничений на управляющЕе воздействия.

4. Получено приближенное решение задачи оптимального быстродействия, причем в случае квадратичных ограничений решена задача синтеза,

5. Предложен способ получения алгебраической модели системы описываемой уравнениями в частных производных. Найдены матричные аналоги основных операторов.

6. Показаны возможности.применения данного подхода к решению задач оптимального управления системами с распределенными параметрами.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Разработанные в диссертации методы и алгоритмы могут быть применены при решении задач оптимального управления и автоматического регулирования в реальных технических системах. Ряд задач могут быть решены с помощью уже_# созданных программ и алгоритмов, их круг можно расширить,создавая программное обеспечение на базе описанных в работе алгоритмов и процедур.

Рассмотренные в диссертации методы анализа и синтеза сложных нестационарных линейных систем были использованы при выполнении хоздоговорных тем для создания системы диагностики и управления процессами плавки оловянных концентратов в рудно-терми-ческой печи.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались: на III Всесоюзной школо "Понтрялшские чте-нея" (Кемерово, 1990); на ХУ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Ульяновск, ISS0); на краевой

-є-

конференции "Молодежь и научно-технический прогресс" (Красноярск, 1990); на Всесоюзной научно-технической конференции "Распределенное микропроцессорное управляющие системы и локальное вычислительное сети" (Томск, 1991); на УІ Международной школе "Понт-рягинские чтения" (Воронеж, 1993); на научнмх семинарах Киевского института моделирования в энергетике АН УССР, Томского политехнического института, Красноярского института цветнмх металлов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных "работ, перечень которых приведен в конце реферата.

Материала диссертации боли изложено так же в отчете по гос-5юджетной КИР (М Гос. регистрации ОИ50ООЫЯ11

Структура и объем работо. Диссертация состоит из введения, 4втмрех глав, основных результатов работо, списка литература, ірилокений и документов о внедрении. Работа изложена на 122 стра-іицах, библиография включает 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТ!!

Во введении дан краткий обзор результатов, полученных в тео-ии оптимального управления, проведен некоторой сравнительной нализ существующих приближеннох методов. Приведено обоснование ациональности предлагаемого автором диссертации подхода для рвения рассматриваемох задач, описано цель и структура работо.

.В перврй главе рассматривается применение МИВ и L - проблемі моментов, которая формулируется в конечномерном пространства їображающих векторов, к задачам оптимального управления линей-гми нестационарными системами, описоваем^ми обокковенномн диффе-шциальнмми уравнениями

kit) = Ait)Xit) + btt)Uit) {и

У/PJ'O XlTl~X*

осматривается

Задача І. Найти управление Wit) переводящее систему I ) из начала координат в точку X за конечное время Т , пчеы так, чтобо, достигал минимума функционал, играющий в іь нормо для ICtt)

~ь-

rrun

где p ^г * - заданное число.

Применяя к системе ( 1 ) метод изображающих векторов, приходим к соответствующей ей системе линейных алгебраических уравнений

х*-~ ей <^z>

где = (lT3A(e)-Efrj&t&))^rK - L - - тая строка
«атрицч С.[С_Ч] і*&

і = О, 1І*Г>-4)

U « CU₄e_t...,u_im.,_t ... _t ІС_гс> ... U±„._t]

- значение выбранного усеченного ортоноршрованного базиса в момент времени Т» / . 3, В известные матрицы интегрирования и умиоаеиая на независимую переменную.

Тогда норме р CUltiJ соответствует эквивалентная Ш

норна Р*Гй] = /Ї/І'хл/О'*

Теперь ын мохем переформулировать задачу I следующим обра
зом, -о

Задача Z. Найти вектор управления It , удовлетворяющий састемо ( 2- ) причем так, чтобы

nun.

Сформулированная таким образом задача 2 и представляет собой и - проблему моментов в конечномерной векторной прострой-

-?-

стве.и здесь имеет место аналог теоремы, доказанной в функциональных пространствах для задачи І ІІ.ЇЇ.Красовским.'

Теорема I. Задача 2 имеет- решение тогда и только тогда, когда для минимального вектора / такого, что

вьшолняется условие рГЕ]*р'>0 . Причем

(*)

Согласно этой теореме решение задачи 2 (и, следовательно, приблиненное решение задачи I) осуществляется в 2 этапа.

I этап. Ищем числа /_ь , удовлетворяющие условии ( 3 ), т.е. доставляющие минимум норме РСС] ,

Приводится аналитическое решение задачи 2 для трех наиболее интересных с практической точки зрения случаев: минимизации энергии (.р =2), импульса (.р » I) и силч (/³ »«- ) управляющего воздействия. И далее, все изложенное обобщается в_внде

Теорему 2. Пусть последовательность векторов , принадлежит пространству ft* с нормой РГСУ

РГС. J - (2-JtJ ) . Тогда, для того, чтобм в сопряженном

пространстве К?¹ (р~ *р¹' ', /^э>// существовал вектор U,

такой, что норма его не превосходит положительного числа /,

(V

и такой, что он решает проблему моментов

необходимо и достаточно, чтобы для конечных наборов чисел І. ... * выполнялось неравенство

\е,^Ы1 (4)

Такой подход может быть применен при совместном использовании МИВ и L - проблемы моментов и в случае смешанного критерия качества

пи а (ю\

Так формулируются, например, задачи об успокоении электромеханических систем, в которых нежелательными являются не только большие энергетические затраты в цепях управления, но и большие энергетические затратч в силових цепях.

После применения процедур ШВ и некоторых преобразований критерий качества в терминах ИВ имеет вид

nUl'llUl^^CUll^fFU^U) для /> = 2 (и)

У[Ц_Т3 * "%_в ll^tfr/кі W"p =1 HZ)

Здесь U_r - точечный изображающий вектор функции Hit] и задачи ( 2 .) - (// ), (2 ) - (/2 ), (і ) - ( УЗ ) снова представляют собой U - проблеыч моментов в прострвнстве ИВ с со-ответсвувщей нормой, решение которых в работе представлено в аналитической форма. А в случае метрики f>* даже в форме обратной связи

'9-

и=С^г/сс^г)'У ⁽«)

Во второй главе решается задача оптимального быстродействия, т.е. нахождения такого управления Ull) ,при котором объект из начального фазового состояния Х(01 » Х₀ перейдет, в другое фиксированное состояние XtTl ' X_f за минимальное время Т . то есть критерий оптимальности имеет вид

J- feLi -Т-*пи* OS)

о при следующих ограничениях на управляющие функции т

J u/d)dt < / .г-Г*. (н)

[ %а S-O. ОП

max ItljHrU < 4 S -VTi . (it)

Задача определения оптимального по бнстродействи» управления тесно связана с задачей построения областей достижимости.

В данной главе получен" уравнения границ областей*достижи
мости системч (I) при ограничениях (/*),(") и ( Ч ) соот
ветственно: / л. і 2

m-i

- - I . (20)

1 J "W «I

5. at = Z / 2 ad. X<

І a;' = r*ax I 2. d:, hi U<)

i*4 j < -'

и доказана следующая теорема

Теорема 3. Граница области достижимости системч с двумя управлениями И,И)_Я Ujt)

Xlt) - ШЫ) + М)Ші) ці)

Uli) ~ Lu,H),u_tH)l

„ rUti Lii> 7 ^bltl ''ILiii S*_td)\

есть огибающая семейства эллипсов, являющихся границей

^{СИСТЄМН} , r*af*n ,

Ы) - Mi) Ы) * iji)u_tti) ifp - ^J (**)

скользящей по гранще dQ_tlT) области достижимости системи^)

Xlt) шА/і)Хіі) + t,ibujh liij * \ *^Hti) 1 _ll4)

Если же в системе (і 1) г > , то ножно всегда разделить ее

***"'' Xtti * АН> М) + b'ti) Uk)

LhttJ Lx- Lfj.ittjj

U'lt) - CU,H>, ..., l] tttfJ- скалярная ^функция.

В третьей главе на основании разложения

U(A.i) - 2 и._к it'₄z) и)_кit) us)

4 /

где „ ( (

^Ui* * J J P^{U> V) UtX}' P">/<*> ">_Kl*> efXetf (lb)

jti.-1x_juf_litOJ - ортоноршгрованшй базис пространств

вводится представление функции двух переменішх через блочный изображающий вектор

К ⁼ L U СО₎ .. , Ut>trt.4 _t ... _/ &*,-( О , - "«.-/ #1-1 3

-//-

/» ^s~ /^г

соответствует матрица

^из *" « '

т.е. Jffl(a.,v\ -* A U

Из изоморфизма пространств Lpio.i) и * следует, что всякому линейному оператору Л из ?

В данной главе получено матричное представление операторов умножения на независимую переменную и операторов янтогрнрования (как по х , так и по V ).

Приведено решение уравнения гиперболического типа

гдв/У*,^, p№.i), ff"') - аналитические функция с начальными условиями

(1(01,0) « iffx)

U'_t fa., о) - /ysej и однородными граничными условиями

которое МИВ сводится к систем М- яянойнмх алгебраических уравнений с т. нзиэвестнчии, /п - размерность усеченного изображающего вектора LL .

В качестве примера применения указанного подхода к задачам оптимального управления системами с распрэделеинмзгя параметрами рассматривается следующая задача

Пусть дано уравнение теплопроводности

^=^- + u(i,v) о*-і*Т -о*ее« (г*)

с условиями

Т/с, х) -

(И)

V'vtl.o) dir/-,) 7)%. ³ 9л ~

-/i-

Задача (t-1 ) - ( г і) возникает при изучении распределения температури в тонком конечном стержне с теплоизолированными концами , когда состояние объекта описывается функцией \ТЦ_/ я) распределения температуры до длине стержня и во времени, а выделение тепла характеризуется плотностью тепловчх источников U./i,x).

Функция Uji/Z) нграет роль управления. В качестве множества допустимых управлений можно взять совокупность кусочно-непрет рнвных функций tt/ijZj, удовлетворяющих неравенству г I

Задача оптимизации состоит в отыскании допустимого управления U. (^jX), минимизирующего функционал

JpU'J * JfV(r_tZ)- V₀(X)i ^lclx ^ruJt їло) о

где іЛі%) '- заданная функция, которая в терминах ИВ имеет следующий вид:

^v_t ^{- в и * I}

/С

*0 1*4 / »&

2 = І* п}

2. I Z 4- _к Ч:л +dj^l-+ run

и минимум квадратичной формы достигается на управлении

если

2L Сі/и

, ЄСЛИ _t)g'0 '

м-r

(Ы)

.V

(it)

-/з-

. Аналогичной подход возможен и для уравнений в частных про- ' извбдншс более сложного вида и с иными критерияаш качества. Преимущества данного метода заключаются в том, что он сводит дифференциальные уравнения в частных производных к линейным алгебраическим системам уравнений и задача оптимального управления о интегральным критерием качества сводится в общем случае к задаче математического программирования.

В четвертой главе рассматриваются вопросы сходимости, метода и некоторые вычислительные аспекты применения его к задачам оптимального управления, в частности при возникающей некорректности в пространствах /, и L .А так же показаны возможности применения разработанного подхода в задачах оптимизации процессов колебаний механических систем и процессов плавки оловянных концентратов в электропечи.

Приложения содержат алгоритмы и программы решения рассматриваемых 'задач, расчеты конкретішх примеров, акты о внедрении работы.

Похожие диссертации на Применение метода изображающих векторов к задачам оптимального управления линейными системами

Применение математических методов оптимизации в системах с запаздывающим управлениемЭлмаян Шушик Акоповна

Частотные методы анализа и проектирования систем с разрывным управлением и их примененияБойко Игорь Михайлович

Метод обобщенного локального поиска для задач принятия решений в управлении сложными системамиСеменкина Ольга Эрнестовна

Идентификация и управление в задачах воспроизведения вибрационных режимов механических системСавенков, Александр Иванович

Моделирование и управление ремонтными работами с применением системы технического обслуживания и ремонта скважин в осложненных условиях : На примере ОАО "Сибнефть-Ноябрьскнефтегаз"Тарахома Алексей Богданович

Управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеляЛяшенко Елена Александровна

Система оперативного распределения ресурсов при управлении проектами создания и эксплуатации образцов новой техники и ее применение на предприятии аэрокосмической отраслиКлейменова, Елена Михайловна

Разработка и применение методов повышения технологичности программного обеспечения систем управленияКяэрамеэс, Калев Ильмарович

Применение антиградиентных методов настройки параметров в системах анализа диагностических велоэргометрических сигналовТушев Александр Александрович

Метод анализа состояния динамических систем на основе применения нейросетевых технологийГусев Сергей Борисович