Содержание к диссертации
Введение 4
0.1 Неопределенные системы. Робастность 4
0.2 Трудности на пути решения задач робастности 8
0.3 Возможные подходы 11
0.4 Постановка задач параметрической робастности 15
0.5 Список обозначений 18
1 Достаточные условия: Сверхустойчивость 21
Сверхустойчивые непрерывные и дискретные системы. Определения и основные теоремы 22
Робастная устойчивость 30
Стабилизация 35
Робастная и одновременная стабилизация 51
Оптимальное управление 56
Выводы к главе 63
2 Итеративные методы: Теория возмущений 65
Оптимизационный подход 66
Робастная устойчивость семейств полиномов и матриц ..... 70
Численные примеры 79
Стабилизация 85
Численные примеры 91
Выводы к главе 93
3 Вероятностный подход: малый риск потери робастности 95
Вероятностная постановка задач робастности 95
Применение к неопределенным системам с запаздываниями . . 100
Оглавление З
Сферически равномерное распределение 108
Приложения к робастности и оцениванию 113
Об одном специальном равномерном распределении 123
Выводы к главе 130
4 Аналитические методы приближенной робастности 132
Масштабирующие интегралы 133
Обусловленность и показатели обусловленности 142
Задачи с управлением 152
Индикаторы приближенной робастности 160
Выводы к главе 171
5 Вероятностный подход: оптимальные распределения 172
Принцип равномерности 173
Обобщение на невыпуклые множества и оценивание вероятностного радиуса 176
Оптимальные распределения при наихудшей геометрии множества нарушения 183
Выводы к главе 195
Заключение 197
Литература 200
Введение к работе
0.1 Неопределенные системы. Робастность.
В современной линейной теории управления описание систем в пространстве состояний является одним из основных. В настоящее время методы пространства состояний представляют собой стройную и хорошо развитую теорию, в основе которой лежит классический аппарат линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры и матричного анализа. В рамках такого описания за последние 40-50 лет получены фундаментальные результаты как в анализе систем, так и в синтезе регуляторов и в теории оптимального управления; эти достижения отражены в монографиях и учебниках [2, 8, 13, 17, 22, 26, 27, 30, 43, 45, 47, 49, 55].
Однако в реальном объекте неизбежно присутствует неопределенность, которая должна учитываться в математической модели, а система управления им должна быть работоспособна при наличии неопределенности. Всюду в работе под неопределенностью понимаем неполноту математического описания собственно системы, а не действующих на нее возмущений. В теории управления известно несколько способов описания неопределенности: в параметрической и матричной форме ([9, 56, 40, 60, 64, 78, 116]), в частотной области ([100,102, 108, 124, 127, 148, 166, 173]) и др. При описании систем в пространстве состояний коэффициенты дифференциальных уравнений модели обычно имеют вполне определенный физический смысл массы, коэффициентов трения и жесткости, электрического сопротивления и индуктивности и т.д. При таком подходе представляется естественным описывать неопределенность в тех же терминах, что и исходную систему: рассматривать отклонения (допуски) реальных физических параметров системы от некоторых идеальных номинальных значений. Таким образом, модель параметрической неопреде-
Введение
ленности удобна при описании систем в пространстве состояний и соответствует инженерной практике. В настоящей работе рассматривается именно параметрическая модель неопределенности.
В такой постановке имеем дело с семейством систем, соответствующих всем возможным значениям параметров внутри допусков, и задача заключается в обеспечении некоторого требуемого свойства (прежде всего, устойчивости) для всех систем семейства; при этом говорят о робастности данного свойства системы по отношению к имеющейся неопределенности, или просто о робастности системы. Соответственно, целью теории робастных систем управления является разработка методов исследования робастности, будь то анализ или синтез, т.е. построение законов управления, обеспечивающих робаст-ность.
Основные отличия моделей неопределенности, принятых в теории параметрической робастности, от стандартных моделей в теории оценивания и идентификации параметров заключаются в том, что, во-первых, параметры имеют детерминированную, а не статистическую природу, и при этом заданы жесткие границы их изменения. Это роднит их с моделью "неизвестных, но ограниченных" возмущений, которая используется в теории ^-оптимизации ([3, 151]), а также при оценивании состояний динамических систем и связанной с ним техникой гарантированного (эллипсоидального) оценивания, развитой Ф. Швеппе [152], А. Б. Куржанским [117], Ф. Л. Черноусько [92], А. И. Матасовым [126]. Во-вторых, отметим отличие понятия робастности от требования грубости, введенного А. А. Андроновым еще в 30-е годы. Грубость системы предполагает сохранение ею какого-либо свойства при малых отклонениях параметров от номинальных значений и количественно измеряется так называемой чувствительностью, тогда как в теории робастности отклонения могут быть большими. Сам термин "робастность" (дословная калька с английского "robust" — крепкий в конструкции, нечувствительный к нарушению исходных предположений) введен в русскоязычную литературу (Я. 3. Цып-киным и Б. Т. Поляком) именно для того, чтобы подчеркнуть это отличие.
Введение
Необходимость учета неопределенности при описании управляемого объекта подчеркивалась многими исследователями. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная секторная) легла в основу теории абсолютной устойчивости, развитой в 40-е-50-е годы прошлого столетия А. И. Лурье, М. А Ай-зерманом, Ф. Р. Гантмахером [1, 24, 25, 44] и позже Е. С. Пятницким [44]. Примерно в то же время появились работы Ю. И. Неймарка [29], в которых исследовалась устойчивость полинома при двух неопределенных параметрах (для частного случая полиномов третьей степени такая задача была поставлена И. А. Вышнеградским еще в 1876 г.). Разработанная в них техника D-разбиения широко используется в методах современной теории параметрической робастности.
Начало современного этапа систематического развития теории положила работа В. Л Харитонова [51] 1978 года об устойчивости интервального семейства полиномов. В ней показано, что для устойчивости такого семейства (содержащего континуальное множество элементов) необходима и достаточна устойчивость четырех конкретных его элементов, независимо от степени полинома. Простота и неожиданность решения задачи, казавшейся сложной, вызвала в середине 80-х лавину работ в этом новом направлении теории управления. Последовавшее десятилетие характеризуется небывалым обилием результатов в области робастности при параметрической неопределенности; достаточно перечислить следующие из наиболее значимых.
Сюда прежде всего относятся многочисленные обобщения теоремы Харитонова: на случай комплексных параметров, дробно-рациональную неопределенность, иные области локализации корней, отличные от левой полуплоскости (модальность) и др. Появился термин "вершинный результат", отвечающий ситуации, когда проверка робастности континуального семейства может быть сведена к проверке конечного числа систем из семейства. Следующий важный шаг — доказательство так называемой реберной теоремы, относящейся к аффинным семействам полиномов, — более общему классу неопределенности, чем интервальная. В этом случае кроме вершинных полиномов требуется проверять устойчивость элементов семейства, соответствующих ребрам куба неопределенности.
Введение
7.
Были предложены методы проверки робастной устойчивости для систем при зависимых неопределенностях (например, сферической и мультилиней-ной) и для систем дискретного времени. Разработаны удобные графические критерии, позволяющие единообразно исследовать как случаи непрерывного и дискретного времени, так и различные структуры неопределенности; при этом не только дается ответ о робастной устойчивости, но и находится максимальный размах неопределенности — радиус робастности — при котором гарантирована устойчивость. Эти методы, основанные на принципе исключения нуля, составили целое направление в теории параметрической робастности.
Появились первые результаты, относящиеся к нелинейной структуре неопределенности (в частности, полилинейной), к системам с неопределенными запаздываниями, и др. Были обнаружены феномены, связанные с особенностями структуры области устойчивости систем в пространстве параметров и с возможной разрывностью радиуса робастности как функции от данных.
Робастная модификация была придана многим классическим результатам и методам теории управления: так, были разработаны робастный критерий Найквиста и робастное D-разбиение, а упомянутые выше графические критерии по-существу представляют собой робастную модификацию критерия Михайлова.
Появились отдельные результаты по робастной стабилизации — построению регуляторов (в том числе регуляторов заданного порядка), стабилизирующих систему при наличии в ней параметрической неопределенности, а также работы, посвященные матричной неопределенности.
Основное внимание уделялось робастной устойчивости; однако изучалась также робастность иных ключевых свойств систем управления, таких как управляемость, апериодичность, строгая положительная вещественность.
Большой вклад в развитие теории внесли С. В. Емельянов, С. К. Коровин, А. Б. Куржанский, Б. Т. Поляк, В. Л. Харитонов, Я. 3. Цыпкин, Ф. Л. Черно-усько, Ю. Аккерманн, Б. Бармиш, Ш. Бхаттачария, П. Дорато, Дж. Коган, М. Мансур, М. Миланезе, Р. Темпо, К. Холлот, и другие.
Таким образом, к середине 90-х годов были успешно решены большинство
Введение
поставленных важных задач робастности; методы решения обрели стройный и общий вид и были подытожены в ряде монографий. Так, в [169] сделана попытка систематизации материала, набранного к началу 90-х, и приведен очень полный их обзор. Основой подхода, применяемого в [60] (первое издание относится к 1993 г.), является разбиение множества неопределенности на области и численное решение задачи на сетке. В [88] разработан мощный аппарат линейных матричных неравенств (введенных в теорию управления В. А. Якубовичем в 60-е годы), основанный на численных методах выпуклого программирования, и показано, что с его помощью могут решаться многие задачи управления с параметрической неопределенностью. В [64] развиты элегантные средства исследования робастности линейных систем, основанные на принципе исключения нуля и понятии области значений. Общая картина состояния теории и методов на середину 90-х годов дана в [78]. Новые направления развития обозначены в книге [11] и ряде статей, например, [12].
0.2 Трудности на пути решения задач робастности.
Во второй половине 90-х годов наметился спад активности в рассматриваемой области теории управления. Причинами этого явились казавшиеся непреодолимыми трудности решения практических проблем при "нефизичности" некоторых имеющихся постановок задач. Действительно, например, коэффициенты характеристического полинома линейной системы обычно не имеют прямого инженерного смысла; они представляют собой довольно сложные комбинации физических параметров объекта, и их принадлежность допускам проверить непросто. Таким образом, модель интервальной неопределенности является сильной идеализацией реальной системы. Классическим примером является задача о робастной устойчивости цепочки простых звеньев, замкнутых единичной обратной связью, в которых постоянные времени (физические параметры) интервальны. При этом коэффициенты характеристического полинома оказываются полилинейными функциями параметров; такая реальная проблема оказалась трудной, и ее непростое решение было получено лишь в 1997 г. [19].
Как следствие, усилия исследователей были направлены на задачи, в ко-
Введение
торых решение могло быть получено относительно просто, в то время как многие практически значимые проблемы оставались почти нетронутыми. Таким образом, большинство результатов, полученных к середине 90-х, (і) относились к скалярным системам, т.е. к робастной устойчивости полиномов; (іі) были посвящены в основном анализу робастной устойчивости, а не построению робастно стабилизирующих регуляторов; (iii) использовали хотя и важные, но частные типы зависимости от параметров (большей частью линейную).
В 90-е годы пришло понимание трудностей, присущих большинству реалистично поставленных задач. Основными препятствиями дальнейшему развитию теории робастных систем управления являются следующие.
Первая трудность: Невыпуклость многих задач робастности относительно параметров. Это делает невозможным или ненадежным использование стандартных процедур оптимизации. Как правило, в реальных задачах имеем общего вида нелинейную зависимость от неопределенных параметров, которая не поддается анализу численными методами. В управлении такими задачами являются проверка робастной устойчивости неопределенных систем в пространстве состояний, построение регуляторов заданного порядка, синтез стабилизирующей обратной связи по выходу и многие другие. Кроме того, целевая функция часто оказывается недифференцируема, например, таковой является максимальная вещественная часть корней полинома, зависящего от параметров.
Вторая трудность: Вычислительная сложность. Строгое определение классов алгоритмической и вычислительной сложности довольно громоздко, поэтому ограничимся нестрогими формулировками. Задача называется NP-сложной, если не существует алгоритма нахождения ее точного решения, число операций в котором не более, чем полиномиально зависит от ее размерности. Если такой алгоритм существует, то говорят, что задача принадлежит полиномиальному классу сложности Р. Например, имеющиеся алгоритмы обращения матрицы п х п требуют порядка 0{пъ) операций, — это "простая" задача; задача о максимальном разрезе на графе с п вершинами не может
Введение
быть решена за число шагов, выражающееся полиномом от п, — эта задача
iVP-сложна. ;
Классической трудной задачей робастности является анализ асимптотической устойчивости интервальной системы в пространстве состояний (гурви-цевость интервальной матрицы), для которой, в частности, не имеется вершинного результата, т.е. устойчивость вершин не гарантирует устойчивости всего семейства. Однако, даже если задача и допускает вершинную формулировку, число вершин, подлежащих проверке, часто растет экспоненциально с ростом размерности вектора неопределенных параметров, и уже при весьма скромных размерностях задача не может быть решена в разумное время. Типичным примером является ЛГР-сложная задача проверки квадратичной устойчивости интервальной системы: уже при размерности матрицы состояния выше четырех требование к памяти и быстродействию вычислительной техники превышает возможности современных персональных компьютеров и математического обеспечения. Иными словами, даже использование достаточных условий робастности часто не приводит к принципиальному сокращению вычислений.
Вообще говоря, понятие ТУР-сложности имеет чисто теоретическое смысл — оно описывает асимптотическое поведение метода при п .—> со, и при конечных малых размерностях iVP-сложная задача тем не менее может быть решена. На практике принято считать, что если число параметров превышает 10, то это задача большой размерности. Для задач управления характерно наличие гораздо более высоких размерностей, например, если вектор состояний имеет 5 компонент (более чем скромная величина), то матрица состояний содержит 25 неопределенных параметров, и задача проверки гурвицевости такого семейства необозрима. Поскольку степени полиномов, оценивающих алгоритмическую сложность задачи, и входящие константы могут быть велики, то преимущество полиномиального метода над сверхполиномиальным проявится при столь больших значениях п, что на современных компьютерах оба таких алгоритма не могут быть реализованы в разумное время. Однако на практике подавляющее большинство полиномиально сходящихся алгоритмов ведут себя приемлемо для задач больших размерностей, и iVP-сложность задачи принято считать синонимом ее практической сложности.
Введение
К середине 90-х появились статьи и монографии по вычислительной сложности задач управления, [130, 83, 84, 85]; ранее интуитивное понимание трудности многих важных проблем нашло строгое теоретическое обоснование. Основной вклад в решение этих вопросов внесли А. Немировскй, В. Блон-дель, Дж. Цициклис, М. Видьясагар и др.
Третья трудность или, точнее, существенный недостаток классического подхода к робастности кроется в его минимаксной природе: максимально допустимая величина неопределенности, при которой сохраняется робастность, определяется наихудшим элементом семейства. Иными словами, классические методы рассчитаны на наихудшую возможную неопределенность, реализация которой на практике может быть крайне маловероятной, т.е. с практической точки зрения получаемые границы робастности оказываются неоправданно заниженными. В англоязычной литературе такое явление называют консерватизмом, понимая под этим, что границы изменения параметров могут быть расширены при малом риске нарушения желаемого свойства.
0.3 Возможные подходы.
Таким образом, в исходной постановке большинство реалистично поставленных задач робастности не поддаются точному анализу, поэтому приходится либо ограничиваться достаточными условиями, дающими субоптимальное решение, либо пользоваться численными методами, либо переформулировать задачу, обходя имеющиеся трудности, а не преодолевая их. Иными словами, предлагается жертвовать гарантией получения правильного ответа ради возможности нахождения хоть какого-то решения, простоты методов, широты области их применимости и возможности работать с задачами больших размерностей. При этом получаемое приближенное решение должно не сильно отличаться от истинного; кроме того, желательно, чтобы такие методы могли применяться единообразно к различным постановкам задач как анализа робастности, так и синтеза регуляторов.
Целью диссертации является разработка простых с вычислительной точки
Введение
зрения методов решения задач робастности, применимых к более, широкому кругу задач, чем известные из литературы. Рассматриваемые задачи прежде всего характеризуются общего вида нелинейной структурой неопределенности и большим количеством параметров, а предлагаемые в работе методы отличаются простотой и единообразием применения к анализу и синтезу. За такую "универсальность" разработанных методов приходится платить, в частности, тем, что не всегда удается формулировать строгие математические результаты о качестве получаемого решения, скорости сходимости и т.д.
Предлагаемые в настоящей работе методы условно делятся на несколько типов, и под термином "приближенные методы" понимается следующее:
Методы, основанные на достаточных условиях. Центральное место здесь занимает новое продуктивное понятие сверхустойчивости, являющееся достаточным условием асимптотической устойчивости. Оно формулируется в терминах элементов матрицы, а не ее собственных значений, что, в частности, позволяет сводить задачу робастности при разнообразных ограничениях на неопределенность к линейному или квадратичному программированию. При таком подходе различные задачи робастности, стабилизации и оптимального управления при параметрической неопределенности могут решаться с единых позиций, при этом вычислительная сложность методов низка.
Численные методы, использующие идеи теории возмущений. Представляют собой специальные итеративные процедуры негладкой оптимизации, работающие непосредственно с собственными значениями возмущенной матрицы или корнями полинома. С их помощью удается единообразно решать задачи робастного анализа и синтеза как в полиномиальной, так и в матричной постановке и легко находить субоптимальные решения в традиционно трудных задачах. На практике эти методы являются мощным средством решения типичных задач, возникающих в управлении, хотя, строго говоря, они не дают гарантии получения решения, даже если оно существует.
Введение
3. Вероятностные методы. Исходя из предположения о том, что неопределенные параметры — случайные величины, делаются выводы о робастности системы с некоторой высокой вероятностью. При этом, во-первых, удается решать задачи с нелинейно входящей неопределенностью, во-вторых, большие размерности не представляют проблемы, в-третьих, снимается консерватизм детерминированных критериев, т.е. даже при очень малой вероятности потери устойчивости ограничения на неопределенности можно значительно ослабить.
Первая глава посвящена методам первого типа. Вводится понятие сверхустойчивой системы в пространстве состояний (в дискретном и непрерывном времени) и показывается каким образом многие задачи управления при неопределенности сводятся к задачам линейного программирования. Эффективность предлагаемого подхода демонстрируется на таких важных трудных проблемах как оценивание радиуса устойчивости интервальной матрицы; построение статического регулятора по выходу, в том числе и робастного; новая задача оптимального управления, связанная с минимизацией линейного показателя качества и др.
Во второй главе разрабатывается оптимизационный подход к решению задач робастности. Предложены итеративные методы негладкой оптимизации для отыскания устойчивого или неустойчивого элемента в матричном или полиномиальном семействе. Их математическая основа — теория возмущений собственных значений матриц и корней полиномов, зависящих от параметров [52]. Методы применимы к решению как задач анализа робастности систем управления, так и к построению стабилизирующих регуляторов. Особенностью методов является простота численной реализации, применимость к широкому кругу задач управления и возможность работать с большими размерностями.
В третьей главе развивается вероятностный подход к робастности. Параметры предполагаются случайными с некоторым распределением на множестве неопределенности, и делаются выводы о сохранении желаемого свойства с высокой вероятностью. Первые результаты в этом направлении получены в [147, 69, 35], среди других работ отметим [18, 90, 99, 91, 68, 161].
Введение
Среди достоинств вероятностного подхода — возможность решать задачи с произвольной зависимостью от параметров и существенное снижение консерватизма детерминированных критериев. В первой части главы на основе центрально-предельного поведения строится доверительное ядро для области значений неопределенной системы и приводится вероятностный аналог принципа исключения нуля. Такой подход проиллюстрирован на примере систем с неопределенными запаздываниями. Далее рассматривается равномерное распределение на шаре и формулируется теорема о распределении линейного преобразования от случайного вектора с таким распределением. Этот результат применяется к оцениванию вероятностного радиуса устойчивости аффинных семейств полиномов со сферической неопределенностью. Среди других применений — вероятностная характеризация псевдоспектра матриц при возмущениях, ограниченных во фробениусовой норме, и вероятностное описание множеств достижимости дискретных динамических систем с ограничением на энергию внешнего возмущения.
Четвертая глава примыкает к третьей — вероятность сохранения систе
мой желаемого свойства описывается в терминах объема множества наруше
ния в пространстве параметров. Проблема робастности сводится к оценива
нию сверху этого объема и последующей оптимизации выпуклого критерия.
Большая часть главы посвящена понятию обусловленности задач робастно
сти, которое характеризует вычислительные затраты, ожидаемые при реа
лизации такого подхода. Также вводится понятие индикаторов приближен
ной робастности и предлагаются использующие это понятие методы проверки
приближенной робастности. На этой же основе разработаны методы решения
задач с управлением, в частности, задачи робастной квадратичной стабили
зации. ' . ...
Пятая глава посвящена вопросам выбора оптимального распределения при вероятностном взгляде на робастность. Понятие вероятностного радиуса робастности, введенное в гл. 3, зависит от принимаемого распределения вероятностей для случайных параметров. Неправильно выбранное распределение может привести к получению неоправданно больших величин для радиуса и чересчур оптимистичным выводам о вероятности робастности. Такие вопросы ставились в работах [66, 18, 15], но результаты относились к частным
Введение
случаям; использовались довольно жесткие предположения. Вводится новый класс множеств, названных ПП-множествами, которые удовлетворяют так называемому принципу равномерности [66]; предлагается процедура построения оптимальной нижней оценки вероятностного радиуса, использующая аппроксимацию исходного целевого множества множеством из ПП-класса. Во второй части главы для целевого множества общего вида оптимальное распределение указывается явно, если доступна дополнительная информация о его объеме.
Подробный обзор литературы по соответствующим темам будет дан в главах.
0.4 Постановка задач параметрической робастности
В классической теории параметрической робастности рассматривается следующая модель неопределенности. Считаем, что в описание системы входит вещественный вектор неопределенных параметров q Є Ш?, относительно которого известно лишь, что он принадлежит некоторому множеству неопределенности или, иначе, допустимому множеству Q С R^. Обычно предполагается, что Q — замкнутое ограниченное множество в М^; как правило — это куб радиуса у в некоторой векторной норме || || в1^; величина 7 > 0 называется размахом неопределенности.
Конкретный вид функциональной зависимости системы от параметров q называется структурой неопределенности. Рассмотрим семейство полиномов
p{s,q) = ao(q) + ai(q)s+. ban(q)sn} q = (qu ..., qe)T
и будем различать следующие структуры.
1. Линейная (аффинная). Коэффициенты o,j(q) являются линейными функциями от вектора параметров. Собирая члены с <&, можем записать аффинное семейство в виде
p(s, q) = p0{s) + qipi(s) + h qePi(s),
Введение
где pi(s) — известные полиномы, a po(s) — так называемый номинальный полином.
Важным частным случаем линейной зависимости является интервальная неопределенность, когда сами коэффициенты щ являются неопределенными параметрами, независимо принимающими значения на интервалах:
о* = Чи % < Чі < 9.1 г = 0,1,..., п.
Мулътилинейная: функции ai(q) являются линейными по каждой компоненте вектора q при фиксированных остальных компонентах
Полиномиальная, или более общо, интегрируемая в явном виде зависимость от параметров, будет рассматриваться в главе 4, где предложены аналитические методы, использующие так называемые масштабирующие интегралы.
Дифференцируемая: функции ai(q) предполагаются дифференцируемыми, а в остальном произвольны. Такая весьма общая структура неопределенности поддается анализу методами, основанными на идеях теории возмущений, рассматриваемых в главе 2.
Произвольная зависимость от вектора параметров будет рассматриваться в главах, посвященных вероятностным методам в робастности.
Совершенно аналогично эти структуры неопределенности вводятся для матричных задач. Рассматривается также модель матричной неопределенности вида
А = Ао + А,
где Aq — номинальное значение неопределенной матрицы А, а неопределенность A = (Aij) ограничена в некоторой матричной норме: ||ДЛ|| < 7- Как правило, будет рассматриваться фробениусова норма, по сути сохраняющая параметрическую векторную природу неопределенности, ибо это есть евклидова норма вектора, полученного вытягиванием столбцов матрицы в один вектор-столбец.
Подчеркнем, что задачи с общей нелинейной структурой неопределенности не поддаются анализу стандартными методами классической теории робастности; это же относится и к семействам полиномов.
Введение
Считаем, что параметры не меняются во времени, но могут принимать любые фиксированные значения из допустимого множества; таким образом, имеем семейство S стационарных линейных систем S(q), параметризованное вектором q. Иногда будем записывать
Q1 = {qERe: ||?-<7о||<7},
где qo Є Ш.е — значение параметра, соответствующее номинальной (невозмущенной) системе.
Пусть V — некоторое желаемое свойство системы (устойчивость, качество переходного процесса и др.); предполагается, что оно выполнено для номинальной системы. Задача заключается в проверке робастности семейства, т.е. сохранения свойства V для всех элементов семейства. Основное внимание в работе уделено случаю, когда свойство V — асимптотическая устойчивость, т.е. траектория каждой системы семейства стремится с течением времени к нулю при любых начальных условиях; при этом говорим просто о робастной устойчивости.
Радиусом робастности 7тах семейства называется максимальная величина размаха неопределенности 7> при которой обеспечивается робастность для
ВСЄХ 7 < 7тах-
В анализе робастных систем различаем две задачи: (1) определить, робастна ли система при данном фиксированном размахе 7 и (2) найти радиус робастности. Задача робастного синтеза заключается в построении регулятора, ро-бастно стабилизирующего неопределенную систему или нахождении радиуса робастной стабилизируемости. Точные определения будут даны ниже, равно как и конкретизация свойства V, нормы, определяющей множество Q, структуры неопределенности, специфика задачи в дискретном и непрерывном времени и др.
Введение
0.5 Список обозначений
В работе используются следующие стандартные обозначения:
Ж, С множества вещественных и комплексных чисел.
sign ж знак числа жЄІ.
Rear, Imz вещественная и мнимая части комплексного числа z Є С,
z = Re z + jlm z, j = \/—Ї.
г* комплексное сопряжение z Є С, т.е. если 2 = Re -г + jlm z,to -
z* = Rez — jlmz.
En, Cn пространства n-мерных векторов ж с вещественными и ком-
плексными координатами: х — (х\,..., жп)т.
||ж|| норма конечномерного вектора х Є Rn или ж Є Сп, в частно-
сти:
— модуль ж при п = 1;
/ П ч 1/р
— /р-норма: ||ж||р = (^ |яг|р) ? 1 < р < со; в том числе:
при р = 2 — евклидова норма: ||ж|І2 = ( Y2 \хі\ ) і при р = со: ЦжЦоо = max |ж*|;
прир=1: ||ж||і = ^ \Х{\.
г=1
(а, 6) скалярное произведение векторов из Rn или Сп.
]Rnxm) cnxm пространства nxm матриц А с вещественными и комплексными элементами а^-, г = 1,..., n, j = 1,..., т.
(Oij)
матрица с элементами щ».
диагональная матрица с элементами аі Є Cn.
единичная матрица.
транспонирование А = (а^): Ат = (aji).
комплексное сопряжение и транспонирование матрицы А Сгахп, т.е. если А = (щ), то А* = (о},-).
ранг матрицы Л.
г-е собственное значение матрицы А Спхп, г = 1,... ,'п.
след матрицы Л = (а^-) Є C"xn: tr A = ^ Off.
определитель матрицы А.
спектральный радиус матрицы А Є Спхп, т.е. максимум модуля ее собственных значений: р(А) = max|Aj|.
г-е сингулярное число матрицы А Є Cnxm: сгг-(А) = \' (А*А), г = 1,... ,ш.
матрица Л Є Rnxn симметрична и положительно (неотрицательно) определена.
норма матрицы А Є Шпхт или А Є Cnxm; если не указана явно, то подразумевается любая норма или индуцированная норма; в частности:
— спектральная норма (2-норма):
Р||2 = тахА!/2(у1*А) = max о* (А);
Введение
— строчная норма (1-норма): ||A||i = max ( ]Г) \щА );
l
— столбцовая норма (оо-норма): ЦАЦоо = max (^2 \aij\) J
/ n \ :
— фробениусова норма: ||^4||f == ( X) laij|2)
1/2
— интервальная норма: ||-А||г-п< = max|ay|.
degp(s) степень полинома p(s).
= равно по определению.
конец доказательства или примера.
Если не указывается особо, прописными буквами обозначаются матрицы; области в Жп обозначаются прописными буквами полужирным шрифтом; рукописным шрифтом обозначаются семейства, классы, а также некоторые вероятностные распределения. Неопределенные параметры как правило обозначены строчной буквой q; размерность неопределенности обозначается через , а буква 7 зарезервирована для размаха неопределенности.
