Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема синтеза робастных регуляторов для линейных непрерывных систем 10
1.1 Классы задач робастного управления 10
1.2 Робастные регуляторы для класса задач адаптивного управления 13
1.3 Методы, основанные на Н^-оптимизации 16
1.4 Использование понятия сверхустойчивости для синтеза робастных регуляторов 25
1.5 Синтез робастных регуляторов низкого порядка 28
1.6 Модальный подход к синтезу робастных регуляторов 30
1.7 Подход к синтезу регуляторов для многосвязных систем, основанный на декомпозиции 32
Выводы к 1 главе 33
Глава 2. Метод синтеза модальных робастных регуляторов 36
2.1 Обоснование использования аппарата передаточных функций 36
2.2 Декомпозиция многосвязной системы на односвязные 41
2.3 Условия стабилизируемости подсистем, полученных в результате декомпозиции 48
2.4 Метод, позволяющий расположить неуправляемые корни подсистем
в желаемой области комплексной плоскости 53
2.5 Метод синтеза робастных регуляторов для односвязных систем 58
Выводы ко 2 главе 68
Глава 3. Учет требований к качеству управления в синтезируемых САР ... 69
3.1 Синтез робастного управления с учетом требований ко времени регулирования 69
3.2 Учет ограничений на величину перерегулирования 73
3.3 Синтез по критерию, обеспечивающему оптимальное соотношение между робастными свойствами системы и качеством управления 79
Выводы к 3 главе 91
Глава 4. Анализ эффективности предложенного метода 92
4.1 Сравнительный анализ с известными методами на примере из работ [111, 121-123, 126, 135] 92
4.2 Сравнительный анализ с известными методами на примере из работ [40,П8] 100
Выводы к 4 главе 103
Заключение 105
Список используемой литературы
- Классы задач робастного управления
- Робастные регуляторы для класса задач адаптивного управления
- Обоснование использования аппарата передаточных функций
- Синтез робастного управления с учетом требований ко времени регулирования
Введение к работе
Актуальность. Одной из основных проблем современной теории управления является проблема управления динамическими объектами в условиях неопределенности. Неопределенность вызывается отсутствием полных сведений относительно параметров или характеристик объекта управления, математическая модель, полученная на основании теории или в результате идентификации, отличается от реальной технической системы.
В последние десятилетия развивается подход, когда при наличии неопределенности возникает задача управления не единственным объектом, а семейством объектов, принадлежащих заданному множеству. Основная и принципиально новая идея по сравнению с классической теорией управления состоит в том, чтобы единственным регулятором обеспечить устойчивость замкнутой системы не только для номинального (без учета ошибок модели) объекта, но и любого объекта, из заданного класса неопределенности — это и есть задача синтеза робастного управления.
Интерес к синтезу робастных регуляторов связан с потребностями в снижении необходимого объема априорной информации об объектах управления, стремлением к универсальности управляющих систем, сокращению затрат на наладку. Несмотря на большое число публикаций, посвященных проблеме робастности, синтез робастных регуляторов еще представляет значительные трудности.
Многие из существующих методов синтеза робастных регуляторов основываются на определении области робастной устойчивости или максимизации этой области. Однако, на современном этапе для синтеза робастных регуляторов не достаточно только требования обеспечения устойчивости множества систем из заданного класса. Синтезируемые регуляторы должны обеспечивать желаемое качество переходного процесса. Известно, что между качеством управления в номинальной системе и робастными свойствами системы существует определенное противоречие, но общего способа разрешения этого противоречия не предложено. Можно отметить только одну работу, в которой данная проблема решена для объектов первого и второго порядков [96].
Целью работы является разработка метода синтеза робастных регуляторов для многосвязных непрерывных динамических систем с параметрической интервальной неопределенностью в объекте управления. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) изучить основные направления синтеза робастных систем управления и выбрать наиболее перспективное;
2) на основе выбранного направления предложить метод синтеза робастных регуляторов для многосвязных систем, обеспечивающих максимальную либо заданную степень робастности системы;
3) обобщить предлагаемый метод на случай учета ограничений на время переходного процесса и величину перерегулирования в номинальной системе;
4) решить задачу синтеза робастных регуляторов, обеспечивающих оптимальное соотношение между качеством управления в номинальной системе и робастными свойствами системы;
5) сравнить результаты синтеза предлагаемым методом с результатами синтеза робастных систем методами, предлагаемыми в известных работах по робастному регулированию.
Методы исследований. В диссертационной работе систематически используются понятия и методы теории автоматического регулирования, теории автономности, линейной алгебры, математического анализа. При экспериментальных исследованиях (математическом моделировании) применены численные методы оптимизации и программирование в средах Matlab и Mathcad.
Научная новизна представленных в работе результатов заключается в следующем.
1) Разработан новый метод синтеза реализуемых модальных робастных регуляторов, обеспечивающих максимальную либо заданную степень робастности системы.
2) Представлено обобщение указанного метода на случай учета требований ко времени управления в номинальной системе.
3) Предложен новый метод синтеза регуляторов при ограничении на величину перерегулирования в номинальной системе, основанный на минимизации нового критерия качества.
4) Впервые для систем любого порядка решена задача синтеза модальных робастных регуляторов, обеспечивающих оптимальное соотношение между качеством управления в номинальной системе и робастными свойствами системы.
5) Получены более простые, по сравнению с ранее известными, соотношения, определяющие передаточные функции объектов управления подсистем, полученных в результате декомпозиции многосвязной системы.
6) Впервые исследован вопрос потери полной управляемости и наблюдаемости подсистемами, полученными в результате декомпозиции. Выявлены классы систем, для которых подсистемы, полученные в результате декомпозиции, теряют свойство полной управляемости и наблюдаемости.
7) Впервые получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости подсистем, образованных при декомпозиции многосвязной системы.
Научная и практическая значимость. Разработанные методы построения модальных робастных регуляторов позволяют решать актуальные проблемы теории автоматического управления, связанные с задачей синтеза регуляторов при неполностью определенной модели объекта. Метод синтеза модальных робастных регуляторов для многосвязных систем естественным образом пересекается с методами теории автономности и может быть применен для решения задач в рамках этой теории. Разработанные принципы построения новых критериев, положенных в основу синтеза робастных регуляторов при учете требований к качеству управления, могут быть использованы при разработке иных методов синтеза регуляторов.
Предложенные в диссертации методы синтеза модальных робастных регуляторов могут стать удобным инструментом для разработчиков управляющих устройств в сложных системах автоматического управления, т. к. ориентированы на практическое применение при решении конкретных задач и позволяют автоматизировать процесс синтеза регуляторов с помощью ЭВМ.
Основные положения, выносимые на защиту.
1) Метод синтеза модальных робастных регуляторов для многосвязных систем, обеспечивающих максимальную либо заданную степень робастности системы.
2) Метод синтеза модальных робастных регуляторов, обеспечивающих максимальную либо заданную степень робастности и заданное время переходного процесса в номинальной системе.
3) Метод синтеза модальных робастных регуляторов, обеспечивающих максимальную либо заданную степень робастности при учете требований к величине перегулирования в номинальной систем.
4) Метод синтеза модальных робастных регуляторов, обеспечивающих оптимальное соотношение между качеством управления в номинальной системе и робастными свойствами системы.
5) Необходимые и достаточные условия стабилизируемости подсистем, теряющих свойство полной управляемости и наблюдаемости в результате декомпозиции полностью управляемой и наблюдаемой многосвязной системы.
Личный вклад автора. Постановка исследовательских задач и направление поиска решений принадлежит научному руководителю д.т.н, профессору Г.И. Лозгачеву. Разработка идей, обоснование решений и научных рекомендаций принадлежит лично автору.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (Воронеж, 2000); на II, IV, VI, VIII Международных научно-технических конференциях «Кибернетика и технологии XXI века» (Воронеж, 2001, 2003, 2005, 2007 гг.); VI, VII, XVI Всероссийских научно-технических конференциях «Современные проблемы математики и естествознания» (Н. Новгород, декабрь 2003 г., июнь 2003 г., декабрь 2006 г.); 4-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2003 г.); 2-ом Международном форуме «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2006 г.), Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы управления-2006» (Москва, 2006 г.).ч
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ [50, 54-60, 98-104]. В совместных работах автор принимал участие в непосредственной разработке методов, проведении численных экспериментов, в обсуждении результатов и подготовке работ к печати.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 135 наименований. Объем диссертации составляет 123 страницы машинописного текста, включая 19 рисунков.
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи научного исследования, приведены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы.
Первая глава посвящена анализу основных направлений синтеза робастных систем регулирования, особое внимание уделяется линейным непрерывным системам с интервальной параметрической неопределенностью, так как именно такие системы рассматриваются в настоящей работе, приводятся историко-библиографические справки, ссылки на основные работы, ставится исследовательская задача.
Во второй главе обосновывается использование аппарата передаточных функций для решения поставленных задач; предлагается способ декомпозиции многосвязной системы на односвязные. Для односвязных подсистем, полученных в результате декомпозиции исходной много связной, предлагается метод синтеза модальных робастных регуляторов, обеспечивающих максимальную либо заданную степень робастности системы. Исследуются условия, при которых в результате декомпозиции полностью управляемой и наблюдаемой системы образуются подсистемы, не обладающие указанными свойствами. Определяются условия, при которых неполностью управляемые подсистемы являются стабилизируемыми, и даются рекомендации по выбору дополнительного управления для исходного многосвязного объекта, чтобы обеспечить стабилизируемость подсистем.
В третьей главе рассматривается обобщение предложенного во второй главе метода на случай учета требований к качеству переходного процесса: ограничений на время регулирования и величину перерегулирования. А также предлагается решение задачи обеспечения оптимального соотношения между качеством управления в номинальной системе и робастными свойствами системы.
В четвертой главе эффективность предложенных методов сравнивается с известными методами синтеза робастных регуляторов на примерах, взятых из основных работ по данной проблеме.
В заключении подведены итоги по диссертационной работе в целом и сформулированы основные теоретические выводы.
Классы задач робастного управления
Современное состояние теории робастных систем характеризуется большим разнообразием постановок задач и формулировок критериев для синтеза робастных регуляторов. Принято различать классы параметрических (структурированных) и непараметрических (неструктурированных) неопределенностей. На практике бывают случаи совместной неопределенности (и параметрической, и непараметрической), такие системы рассматриваются, например, в работах [49, 120].
Под непараметрической неопределенностью понимают такую неопределенность в объекте управления, которая влияет на структуру объекта, изменяя его порядок. Например, непараметрическая неопределенность объекта управления, заданного передаточной функцией, может быть записана в виде [40]: G(p) = G0(p) + AG(p), \\w-lAG\l y. (1.1.1)
Здесь G0(p) - передаточная функция номинального объекта, AG(p) — неопределенная дробно-рациональная функция, W{p) - заданная весовая функция (не обязательно дробно-рациональная, она может быть и кусочно-постоянной). Через \G\ обозначается //"-норма функции G(p): ЦСгЦ = Slip G(y s/). В многомерном случае ограничения записываются 0 со со аналогичным образом для передаточных матриц.
Под параметрической неопределенностью понимают изменения коэффициентов объекта в некоторой области. Среди параметрических неопределенностей наиболее часто рассматриваются интервальная и эллиптическая — названия даны, исходя из класса ограничений на неизвестные параметры.
В случае эллиптической неопределенности параметры определены с точностью до принадлежности многомерному эллипсоиду [61]. Простейшим случаем являются эллипсоидальные ограничения вида [85]: где а)- номинальные значения параметров, а— масштабы возможных погрешностей по разным параметрам, у О - размах возможных погрешностей.
Эллиптические ограничения на неопределенность параметров получают, например, при вычислении доверительных областей с использованием экспериментально-статистических методов построения математических моделей динамических объектов. Системы с указанным видом неопределенности рассматриваются, например, в работах [61, 85, 132, 133].
Основное внимание, однако, уделяется интервальной неопределенности. Это связано с одной стороны с историческими факторами: в работе Харитонова [105] рассматривались интервальные ограничения вида а, я, , (1.1.3) где а1 - коэффициенты характеристического полинома. С другой стороны, это обусловлено распространенностью интервальной формы представления неопределенности параметров при структурно-аналитическом подходе к получению моделей систем управления. Интервальные ограничения в общем виде записываются следующим образом [85]: at - at т (1.1.4) где at - номинальные значения параметров, at — масштабы возможных погрешностей по разным параметрам, у 0 — размах возможных погрешностей. Заметим, что для записи ограничений в виде (1.1.3) верно: а =(а, +а{)/2, at ={at -at)/2, у—\.
Считаются известными номинальные (расчетные) значения параметров характеристического полинома или объекта управления, и требуется построить регулятор, стабилизирующий систему при заданных at и у (задача робастной стабилизации), либо построить регулятор, стабилизирующий систему при как можно большем размахе у, который также подлежит определению (синтез регуляторов по критерию максимальной робастности). Кроме того, для синтеза регуляторов может использоваться критерий максимального подавления внешних возмущений (Н"-теория), максимизация радиуса запасов устойчивости, интегральный критерий качества и др. Для определения области робастной устойчивости могут быть использованы такие классические подходы, как техника D-разбиения [40, 77], построение функций Ляпунова [113, 114], либо новые критерии робастной устойчивости [68-72, 79, 85, 86, 90, 107 и др.].
Начало современному этапу развития теории робастного управления положила работа В. Л. Харитонова в 1978 г. [105], который обнаружил, что в некоторых случаях об устойчивости бесконечного множества систем можно судить только по некоторым четырем из них. Этот факт вызвал широкий резонанс в научном мире, появилось большое число работ, посвященных поиску новых критериев робастной устойчивости. В 1993 г. Я. 3. Цыпкин и Б.Т. Поляк [87], анализируя доклады Международного симпозиума, полностью посвященного вопросам робастности, отмечают, что вопросы анализа робастной устойчивости можно считать хорошо разработанными, однако проблема синтеза робастных регуляторов представляет еще значительные трудности. На сегодняшний день данное замечание по-прежнему отражает действительное положение дел в этой области теории автоматического управления.
Робастные регуляторы для класса задач адаптивного управления
В работах [16-18, 73] рассматривается задача робастного управления для систем с неопределенными параметрами, не имеющими априорной информации о диапазоне возможных вариаций неизвестных параметров объекта (в отличие от задачи робастной стабилизации) или характере внешних возмущений. Рассматривается линейный стационарный объект
В(р) D(p) „ А(р) А(рУ где у = y(t) - регулируемая переменная, и — сигнал управления, / = f(t) — внешнее неопределенное детерминированное возмущение, p-dldt — оператор дифференцирования, А{р), В(р), D(p)-полиномы переменной р, все или некоторые коэффициенты которых являются неизвестными. Номинальные значения неизвестных коэффициентов заданы. Желаемый характер изменения регулируемой переменной y(t) задается эталонным сигналом уг (/). Известно, что 1) полином В(р) является гурвицевым некоторой степени т; 2) известен порядок объекта п и относительная степень р = (п- т) 1 по управляющему воздействию; 3) известен знак коэффициента Ът старшей степени рт полинома В{р), 4) внешнее возмущение / является ограниченной функцией времени, а относительная степень по возмущению Л = т-р 1; 5) эталонное воздействие и его первые р производных являются известными ограниченными функциями времени, а производная у{гр) кусочно-непрерывная функция. Требуется синтезировать регулятор, обеспечивающий для любых начальных условий ограниченность всех сигналов системы и выполнение целевого условия \im\y{t)-yr(t)\ s, г—»оо для любого произвольно малого числа є.
Представленная постановка проблемы с условиями 1)-4) является типовой для класса задач адаптивного управления [75]. Однако решение поставленной задачи при робастном подходе, не использующем каких-либо процедур идентификации неизвестных параметров объекта или адаптивной настройки коэффициентов регулятора, позволило значительно понизить размерность регуляторов. Например, для параметрически неопределенного линейного объекта управления третьего порядка с единичной относительной степенью адаптивный регулятор, предложенный А. Морзе [75, 130] имеет 28 порядок, регулятор, построенный с использованием схемы Р. Монополи - 29 порядок [75, 129], а робастный регулятор для того же объекта в работе В. О. Никифорова [73] имеет 6 порядок.
В работе [73] для синтеза регулятора предложена итеративная процедура, базирующаяся на идее "обхода интегратора". Суть метода состоит в последовательном введении новых специальным образом выбранных координат состояния и последовательном синтезе промежуточных алгоритмов управления - так называемых функций стабилизации. На каждом очередном шаге функция стабилизации рассматривается в качестве фиктивного закона управления и находится из условия стабилизации определенной части координат вектора состояния. Искомое управление определяется на последнем шаге через все предыдущие функции стабилизации. Компенсация параметрической неопределенности объекта и неизмеряемого внешнего возмущения достигается за счет специальным образом выбранной нелинейной обратной связи. Недостатком метода является нелинейность регулятора и большие вычислительные затраты для расчета частных производных по регулируемой переменной. Решение задачи слежения за эталонным сигналом при неизвестных параметрах объекта, предлагаемое Бобцовым А. А. в работе [16], не требует измерения производных регулируемой величины и синтезируемый закон управления является линейным. При применении указанного метода существуют определенные сложности в выборе некоторых коэффициентов регулятора, которые подбираются эвристически. Однако следует отметить вычислительную простоту метода в сравнении с известными в указанном классе задач.
Обоснование использования аппарата передаточных функций
Как известно, в теории автоматического управления существует 3 основных способа описания системы: уравнениями в переменных состояния, с помощью уравнений "вход-выход" и с помощью передаточных функций. Переход от одного вида описания к другому подробно рассмотрен в работе [116].
Выбор аппарата передаточных функций для синтеза робастного регулятора в данной диссертационной работе связан с несколькими причинами.
Аппарат передаточных функций является рабочим инструментом инженеров-проектировщиков, воспитанных на классической теории автоматического регулирования. Известные передаточные функции стандартных звеньев систем автоматического регулирования позволяют легко формировать заданную передаточную функцию из этих звеньев [3, 94], что очень важно при реализации системы. Кроме того, уравнения динамики сложных объектов определяют из эксперимента именно в виде передаточной матричной функции [116], а входные и выходные переменные объекта есть конкретные физические величины. Описание системы в пространстве состояний является вторичным, переменные состояния - абстрактные величины, связанные с выходными координатами объекта некоторой постоянной матрицей преобразования. Переход к описанию объекта управления с неполностью определенными параметрами в пространстве состояний от исходного математического описания, полученного на базе фундаментальных физических законов, обычно сопровождается увеличением неопределенных параметров во вторичном описании (т. е. в пространстве состояний). Это еще более усложняет исходную задачу и делает процесс синтеза более громоздким. В настоящее время классический аппарат передаточных функций переживает свое второе рождение.
Еще одним аргументом в пользу выбора аппарата передаточных функций является наличие удобных частотных критериев робастной устойчивости [68-72, 79, 85, 86, 90].
Регуляторы, синтезированные в частотной области, обладают рядом известных преимуществ перед аналогичными регуляторами состояния [95]: минимальное число измерителей, разнообразие фильтрующих свойств, меньшие статические ошибки и др.
Передаточная матричная функция линейного непрерывного многосвязного объекта по отношению к управляющим воздействиям характеризует реакцию предварительно невозбужденного (т.е. при нулевых условиях) объекта на управляющие воздействия. Элементами передаточной матрицы являются передаточные функции Wtj{p) для различных выходных переменных у, по различным входам щ.
Следует отметить, что по матричной передаточной функции трудно судить о внутренней структуре объекта, однако некоторые закономерности можно проследить. Как отмечается в работе [116], наличие общих сомножителей в знаменателях элементов Wi;(p) указывает на связь между координатами объекта. В свою очередь наличие сомножителей, не являющихся общими делителями знаменателей всех элементов WAp), свидетельствует о существовании отдельных, не связанных между собой звеньев в каналах многосвязного объекта. Покажем это на примере системы автоматического управления с двумя регулируемыми величинами, но приводимые выводы и соотношения, могут быть легко распространены на объекты с любым количеством регулируемых величин.
Очевидно, что знаменатели всех элементов передаточной матрицы системы, все звенья которой охвачены обратной связью, одинаковы. Тот же вывод можно сделать, проанализировав содержание работы [27, с. 238-243], где рассматривается пример разомкнутой системы направленного действия. Отмечается, что «отдельные части такой системы по отношению к одному и тому же входу могут описываться дифференциальными уравнениями различных порядков и иметь различные характеристические полиномы и не быть при этом вырожденными. В замкнутой системе все переменные в разных точках замкнутого контура благодаря действию обратной связи становятся взаимозависимыми и для любой части контура характеристические полиномы будут одинаковыми, если только рассматриваемая часть невырожденная. Различие порядков в замкнутой системе является следствием вырождения».
Следовательно, если элементы матричной передаточной функции имеют различные знаменатели в предположении, что передаточная функция невырождена, т. е. полностью описывает полностью управляемую и наблюдаемую систему, то это свидетельствует о наличии звеньев, не охваченных замкнутым контуром.
Вышеизложенное следует помнить при исследовании моделей объектов, полученных из экспериментов.
По виду передаточной матрицы можно судить о физической реализуемости. Если степени числителей элементов матричной функции не превышают степеней их знаменателей, то говорят о реализуемости модели с такой передаточной функцией. Физически это означает, что в случае равенства степеней числителя и знаменателя объект не ослабляет высокие частоты. У реальных объектов существует ограниченная полоса пропускания высоких частот, поэтому желательно, чтобы степень числителя была хотя бы на единицу меньше степени знаменателя.
Важными понятиями теории управления являются управляемость и наблюдаемость. Эти свойства системы формулируются и проверяются в пространстве состояний [3, 27, 33, 97], но существует связь этих понятий и с видом передаточной функции.
Синтез робастного управления с учетом требований ко времени регулирования
На современном этапе для синтеза робастных регуляторов не достаточно только требования обеспечения устойчивости множества систем из заданного класса, синтезируемые регуляторы должны обеспечивать желаемое качество переходного процесса.
Пусть передаточная функция номинального объекта управления, задана в виде отношения двух полиномов: Рх(р) степени т п, и Р2(р)степени п: Кб(р)- - (3.1.1) Piip)
В реальном объекте управления содержится параметрическая неопределенность, т. е. передаточная функция реального объекта управления отличается от номинального: Р2(р) + АР2 где АР, и АР7 содержат неизвестные параметры qt, на которые наложены интервальные ограничения вида ЧІ -ЯІ УСС;, qt — заданные номинальные значения параметров, q{ — реальные значения параметров, а — масштабы возможных погрешностей по разным параметрам, / 0 - размах возможных погрешностей, степень робастности (/ = l,s, s n + m ), или qL q)-qi qi, qt - заданные номинальные значения параметров, qt - реальные значения параметров, qt и qi - пределы возможных погрешностей по /-му параметру (i = l,s, s n + m). Положим у = min( gr/- -qt).
Требуется построить такой регулятор, который стабилизировал бы замкнутую систему с отрицательной обратной связью и объектом (3.1.2) при максимально широком диапазоне изменений параметров qi , обеспечивая при этом желаемое время переходного процесса / в замкнутой системе с номинальным объектом.
Известно [39], что корни характеристического полинома замкнутой системы, расположенные ближе к комплексной оси оказывают наибольшее влияние на быстродействие системы, поскольку составляющие, соответствующие другим корням, будут затухать быстрее. Время переходного процесса / обратно пропорционально степени устойчивости системы. Степенью устойчивости линейной системы называется абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси корня или пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, при условии, что все корни принадлежат левой полуплоскости комплексной плоскости: a = minJRe (Ду )j, Re(A() 0.
Если считать, что переходный процесс завершен, как только решение входит в трубку величиной А = 0,05, то верна оценка t 3-. р а
Это следует из того, что для решения, соответствующего вещественному A atp корню р = -а, можно записать /л = е , для пары комплексно сопряженных корней с соответствующей вещественной частью A = e atp sin(/3t +cp) e atp . Следовательно, t — In—. a A
Поставленную задачу будем решать, используя подход, предложенный в разделе 2.5. Зададим передаточную функцию номинальной замкнутой одноконтурной системы в виде отношения полиномов Qx (р) степени 1 к, Q2{p) степеник 2п: Q2(P) &(р)= ,/ й(/о= у- . 1=0 у=0 Числовые значения коэффициентов аі {і = 0, к), dj (у = 0, /) будут определены на этапе синтеза регулятора с заданными свойствами.
Если система полностью управляема и наблюдаема, то построим передаточную функцию регулятора для системы с объектом (3.1.1) и желаемым характеристическим полиномом Q2 (р): WP{P) = TY зл-4 N(p) где L(p) и N(p) есть соответственно частное от деления полинома [Q2(P) Q\(P)] на полином Р2(р) и частное от деления полинома Q{(p) на Р\(р) при условии, что остатки от деления соответствующих полиномов равны нулю.
Зададим желаемое время переходного процесса t в системе с номинальным объектом управления и определим соответствующую степень устойчивости а из соотношения:
