Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор современных подходов к решению задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем с учётом неопределённости исходной информации 17
1.1 Постановка задачи оптимального проектирования химико-технологической системы 18
1.2. Классификация неопределнных параметров 21
1.3. Уровень неопределенности на различных этапах жизненного цикла ХТС 23
1.4. Способы учета неопределенности в целевой функции задачи проектирования оптимальных ХТС 26
1.5. Характеристика ограничений в задачах проектирования оптимальных ХТС 27
1.6. Оценка гибкости технологических систем в условиях неопределнности исходной информации 31
1.7. Подходы к формализации задачи проектирования оптимальных ХТС 35
1.8. Подходы к решению задач проектирования оптимальных ХТС в условиях неопределенности 45
1.9. Численные методы интегрирования 53
1.10. Методы решения задач оптимизации 55
Выводы к главе 71
ГЛАВА 2. Формализация основных постановок и разработка составляющих методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности 75
2.1 Систематизация факторов, влияющих на постановку задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности информации 76
2.2. Формализация основных постановок задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности 80
2.2.1 Характеристика вида области неопределенности 80
2.2.2. Постановка одноэтапной задачи проектирования оптимальных ХТП в условиях неопределенности 83
2.2.3. Постановка двухэтапной задачи оптимизации для проектирования оптимальных ХТС в условиях неопределенности 88 2.3. Разработка основных составляющих подходов к решению задач
оптимизации ХТС с учетом неопределенности в исходной информации 103
2.3.1. Подход к вычислению значения функции гибкости 106
2.3.2 Оценка структурной гибкости ХТС 117
2.3.3. Апробация разработанных подходов к решению задач вычисления оценки гибкости ХТС на модельных примерах 122
2.3.4. Способы аппроксимации критерия, имеющего вид математического ожидания, в задачах проектирования оптимальных ХТС 135
2.3.5. Функциональное описание зависимости управляющих
поисковых переменных от неопределенных параметров 142
2.3.6. Преобразование вероятностных ограничений в детерминированные 145
Выводы к главе 152
ГЛАВА 3. Разработка подходов к решению задач проектирования оптимальных химико-технологических систем в постановке одноэтапной задачи оптимизации 155
3.1. Одноэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными
параметрами и жсткими ограничениями 155
3.1.1. Функции распределения вероятностей неопределенных параметров неизвестны 156
3.1.2. Полные сведения о распределении вероятностей неопределенных параметров 156
3.2. Одноэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами и вероятностными ограничениями 158
3.2.1. Подход получения нижней оценки критерия ОЭЗО 158
3.2.2. Подход получения верхней оценки критерия ОЭЗО 168
3.3. Одноэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами при учете жстких и вероятностных ограничений 180
3.3.1. Подход получения нижней оценки критерия ОЭЗО 180
3.3.2. Подход получения верхней оценки критерия ОЭЗО 181
3.4. Одноэтапная задача оптимизации со статистически взаимно зависимыми неопределенными параметрами при учете вероятностных ограничений 183
3.4.1. Подход, основанный на замене вероятностных ограничений детерминированными 184
3.4.2. Подход, основанный на замене статистически взаимно зависимых неопределенных параметров независимыми случайными величинами 186
3.5 Явное использование ограничений типа равенств 188
3.6 Апробация разработанных подходов к решению задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС на основе одноэтапной задачи оптимизации 190
3.6.1. Проектирование оптимальной ХТС реактор и теплообменник 193
3.6.2. Проектирование оптимальной системы реакторов 203 Выводы к главе 209
ГЛАВА 4. Разработка подходов к решению задач проектирования оптимальных химико-технологических систем в постановке двухэтапной задачи оптимизации 212
4.1 Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами и жсткими ограничениями 212
4.1.1 Двухэтапная задача оптимизации в дискретном виде 213
4.1.2 Тест структурной гибкости как оценка существования решения ДЭЗО 219
4.1.3 Сведение ДЭЗО2 к виду одноэтапной задачи 220
4.2 Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами и вероятностными ограничениями 221
4.2.1. Подход получения верхней оценки критерия ДЭЗО 222
4.2.2. Подход получения нижней оценки критерия ДЭЗО 232
4.3. Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами при учете жстких и вероятностных ограничений 235
4.3.1. Математическое ожидание функции эффективности ХТС в качестве критерия ДЭЗО 236
4.3.2. Вероятностная верхняя оценка функции эффективности ХТС в качестве критерия ДЭЗО 242
4.3.3. Неполная информация относительно неопределнных параметров на этапе функционирования 243
4.4. Двухэтапная задача оптимизации со статистически взаимно зависимыми неопределенными параметрами при учете жстких и вероятностных ограничений 245
4.5. Апробация разработанных подходов к решению задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС на основе двухэтапной задачи оптимизации 247
4.5.1. Проектирование оптимальной ХТС реактор и теплообменник 249
4.5.2. Проектирование оптимальной системы реакторов 257
Выводы к главе 261
ГЛАВА 5. Методология решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации 263
5.1. Основные составляющие методологии решения задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности в исходной информации 264
5.1.1 Влияние учета неопределенности при проектировании оптимальных ХТС на вид решаемой задачи 264
5.1.2 Основные компоненты методологии решения задач проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности 268
5.2. Алгоритм стратегии формализации и формирования алгоритма решения задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС 270
5.3. Применение предлагаемой методологии для решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом частичной неопределенности в исходной информации 281
5.3.1. Проектирование оптимальной подсистемы узла захолаживания пирогаза 282
5.3.2. Проектирование оптимальной системы биологической очистки сточных вод 293
5.3.3. Проектирование оптимальной подсистемы реакторного узла процесса изомеризации н-пентана 305
Выводы к главе 313
Основные результаты и выводы 315
Список литературы
- Способы учета неопределенности в целевой функции задачи проектирования оптимальных ХТС
- Формализация основных постановок задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности
- Функции распределения вероятностей неопределенных параметров неизвестны
- Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами при учете жстких и вероятностных ограничений
Способы учета неопределенности в целевой функции задачи проектирования оптимальных ХТС
Основной текст диссертационной работы изложен в пяти главах. В первой главе дается анализ существующих видов неопределенности, рассматриваются способы ее учета в постановках задач проектирования, а также основные подходы к решению полученных задач. Анализируются проблемы, влияющие на качество и скорость получаемого решения на основе существующих подходов, выделены наиболее перспективные для дальнейшего использования методы решения задач. В заключительном параграфе главы на основе анализа источников научной литературы приведены выводы, определяющие сформулированные в параграфе цель и задачи исследования.
Вторая глава посвящена систематизации основных факторов, влияющих на постановку задачи проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности в исходной информации. В главе даются формализованные постановки задач, принятых к рассмотрению, и их классификация, выделены типовые сложности решения задач, на преодоление которых направлено проводимое исследование. К ним отнесены решение задач недифференцируемой многоэкстремальной задачи оптимизации, возникающих при вычислении значения функции гибкости, для решения которых невозможно использовать большинство хорошо зарекомендовавших себя методов нелинейной оптимизации, а также вычисление на каждом шаге решения задачи многомерных интегралов при получении значений критерия в виде математического ожидания функции эффективности работы ХТС и вероятностных ограничений.
Особо выделены одно- и двухэтапные задачи оптимизации как наиболее часто используемые при решении задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности. В главе проведена формализация двухэтапной задачи оптимизации при учете вероятностных ограничений для случая, когда критерия имеет вид математического ожидания оценки эффективности работы ХТС за период функционирования.
Исходя из перечня выделенных сложностей решения задач проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности во второй главе предложены подходы и преобразования, позволяющие привести различные постановки рассматриваемых задач к виду задач конечного или полубесконечного детерминированного нелинейного программирования. Совокупность этих подходов и преобразований закладывает основы методологии решения задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности, направленные на снижение вычислительных затрат при их решении. К ним относятся способы аппроксимации подынтегральной функций в критерии задачи оптимизации, имеющем вид математического ожидания, и преобразования вероятностных ограничений в детерминированные, что позволяет избежать многомерного интегрирования в ходе решения задачи оптимизации. Для распространения предлагаемых способов на класс двухэтапных задач оптимизации предложено описание зависимости управляющих переменных от неопределенных параметров виде кусочно-линейных или кусочно-постоянных функций.
К названной совокупности относятся предложенные подходы, сводящие решение задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации вычисления значений функции гибкости и теста структурной гибкости к решению последовательности задач полубесконечного программирования. Эффективность предложенного подхода к вычислению значения функции гибкости, а также его адаптации для вычисления значения теста структурной гибкости показана в сравнении с методом ветвей и границ, часто используемым при решении задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации, для чего был решен ряд задач анализа гибкости ХТС на модельных примерах.
Третья глава посвящена формализации задач нижних и верхних оценок критериев одноэтапных задач оптимизации как с жесткими, так и мягкими ограничениями, а также при учете статистически независимых или статистически взаимозависимых неопределенных параметров. Проведение формализации основано на использовании разработанных во второй главе основных преобразований компонентов задач и позволяет получить вид задач конечного или полубесконечного детерминированного программирования. В результате разработаны модификации метода внешней аппроксимации для вычисления оценок.
С целью уточнения получаемых оценок в главе разработаны итерационные процедуры, основанные на разбиении области неопределенности. Процедуры используют предложенные правила выбора и разбиения подобластей области неопределенности, а также способы согласования проводимых разбиений. Показана универсальность разработанных процедур в применении к различным формализациям задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности.
Для учета статистической взаимосвязи неопределенных параметров в постановке задачи проектирования оптимальных ХТС предложены способы сведения задач к более простому виду. Один из способов предполагает сведение исходной задачи к задаче полубесконечного программирования на основе использования распределения
X2, второй способ при помощи предложенной замены переменных позволяет получить задачу с независимыми случайными величинами. Применение предложенных способов позволяет для решения полученных задач использовать подходы и методы, ранее разработанные в этой главе.
Эффективность предлагаемых подходов к решению задач проектирования оптимальных ХТС на основе одноэтапных задач оптимизации показана на ряде модельных примеров. Дано сравнение полученных результатов с решениями других авторов или с результатами использования других методов.
Четвертая глава посвящена формализации задач нижних и верхних оценок критериев двухэтапных задач оптимизации с учетом жестких и мягких ограничений в предположении статистической независимости, а также взаимозависимости неопределенных параметров. Особое внимание уделено двухэтапной задаче с жесткими ограничениями, представленными в виде требования на значение функции гибкости. Для решения задачи разработан подход получения нижней оценки критерия задачи, который сокращает время получении решения за счет совмещения процедур дискретизации области неопределенности при решении двухэтапной задачи оптимизации и вычислении значения функции гибкости. Предложена итерационная процедура уточнения получаемой оценки за счет разбиения области неопределенности.
Формализация основных постановок задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности
Ierapetritou M.G. [247] разработала способ определения допустимого размера области неопределенности и разработала метрику для анализа работоспособности ХТС на основе выпуклой оболочки (convex hull), вписанной в область допустимых значений неопределенных параметров. Floudas C.A. с соавторами предложили в [200] модификацию метода ветвей и границ для вычисления глобального оптимума в задачах (1.30) и (1.28). Для нижней оценки ограничения задач аппроксимируются нижними выпуклыми оценочными функциями, а верхняя оценка получается решением исходной задачи методами локальной оптимизации. Однако в случае грубого вычисления оценок метод ветвей и границ предусматривает возврат к проанализированным вершинам, что может привести к полному перебору точек области неопределнности.
В [328], [66] Островский Г.М. с соавторами ввел для заданной структуры ХТС понятия теста и индекса структурной гибкости при учете жестких ограничений. Тест структурной гибкости показывает возможность существования хотя бы одного значения вектора конструктивных переменных d, при котором ХТC будет работоспособной на заданной области неопределенности. Для этого нужно решить задачу [71]
Решение 8 задачи (1.34) соответствует максимальному размеру многомерного прямоугольника Т(8), соответствующего области, на которой ХТС с найденными конструктивными параметрами d будет гибкой. Мы видим, что задачи (1.33) и (1.34) имеют вид задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации.
Если тест гибкости (1.28) и индекс гибкости (1.30) характеризуют работоспособность ХТС для заданного d, то тест структурной гибкости (1.33) и индекс структур 35 ной гибкости ХТС (1.34) оценивают существование хотя бы одного значения d для заданной структуры системы.
Подходы к формализации задачи проектирования оптимальных ХТС Учет неопределенности в исходной информации в постановке задачи при предположении о вероятностной природе неопределенных параметров приводит задачи проектирования оптимальных ХТС к виду задач стохастической оптимизации. В случае интервального типа неопределенных параметров мы приходим к стратегии наихудшего значения с жесткими ограничениями. Будем рассматривать постановки задач проектирования оптимальных ХТС, выделяя два этапа в жизни ХТС: этап проектирования и этап функционирования. Учет разной степени полноты информации и возможности управления ХТС формирует задачи: а) одноэтапная задача оптимизации (ОЭЗО) – используется в случае, если невозможно получить экспериментальную информацию на этапе функционирования ХТС; б) двухэтапная задача оптимизации (ДЭЗО) – используется в случае получения пол ной экспериментальной информации во время функционирования ХТС.
Одним из направлений развития стохастического программирования являются исследования в области двухэтапных задач с использованием математического ожидания в качестве функции цели. Свойства двухэтапных задач стохастического линейного программирования исследованы в работах Дж. Бержа [126], Д. Валкупа [419], Р.-Дж. Ветса [428], П. Калла [258], [259], Ф. Ловайо [126], [279], С. Сена [380], Д.Б. Юдина [90]. Также интенсивно развивающимся направлением являются работы, связанные с учетом в задачах вероятностных ограничений. Первыми в области стохастического линейного программирования являются работы А. Чарнс, В. Купер, Г. Сай-мондс [140], [142], [399], Миллер и Вагнер [295].
Рассмотрим более подробно постановки задач оптимизации, применимые к проектированию оптимальных ХТС с учетом частичной неопределенности в исходной информации.
Проектирование ХТС без учта неопределнности в постановке задачи оптимизации Учт неопределнности при проектировании ХТС может иметь различную форму. Например, неопределнным параметрам на основе опыта эксперта присваи 36 ваются «номинальные» (чаще всего средние) значения . После решения задачи номинальной оптимизации получают номинальные оптимальные значения конструктивных переменных d . Здесь в формализованной постановке нет переменных в и задача (1.1) имеет вид
Уравнения математической модели ХТС (1.36) почти всегда будут нелинейны, поэтому задача (1.35) будет задачей нелинейной оптимизации. Подробный обзор методов нелинейной оптимизации был дан I.E. Grossmann и L.T. Biegler в [121], [217]. После решения задачи (1.35), на основе имеющегося опыта используют так называемые «коэффициенты запаса» /,, на которые домножают найденные значения dN, получая уточненные значения конструктивных параметров dt =rjtdf. Такой подход не может гарантировать оптимальность решения, кроме того, ограничения могут быть нарушены при работе ХТС [8].
Уже на раннем этапе использования вычислительной техники для решения задач проектирования и управления исследователи поняли важность учта неточности в исходной информации для построения работоспособных (гибких) ХТС. Поэтому первые публикации по этой проблеме появились уже в 60-е, 70-е годы прошлого столетия (см. например, Chen с соавторами [147], Takamatsu с соавторами [400], Grossmann, Sargent [214], Dittmar, Hartmann [174], Johns с соавторами [253]). В 80-е годы существенное развитие получила теория гибкости в работах профессора Гроссманна (I.G. Grossmann) и его сотрудников в Университете имени Карнеги и Меллона (г. Питтс-бург, США). В области оптимального проектирования первой была работа I.G. Grossmann [215], дальнейшее развитие этой темы было дано в работах [224], [398], [216], [364], [117], [175], [325], [326].
Функции распределения вероятностей неопределенных параметров неизвестны
Эти методы называют также методами статистических экспериментов, они являются разновидностью метода Монте-Карло (Monte Carlo sampling, MCS), основанного на генерации псевдо-случайных чисел, называемых экспериментами. Он получил широкое распространение среди численных методов интегрирования [176], [175].
Отличительной особенностью этих методов является то, что число генерируемых аппроксимационных точек, необходимых для вычисления интеграла с заданной точностью, не зависит от размерности области интегрирования. Однако следует отметить медленную сходимость, зависящую от количества созданных точек [105], уменьшение которого ведет к падению точности вычисления. Более того, ошибка аппроксимации также зависит от свойств распределения [270]. В последнее время с целью уменьшения количества точек были предложены другие виды распределений [175], [248], [304], [257], что позволило увеличить скорость вычисления.
Метод дискретизации латинского гиперкуба (Latin Hypercube sampling, LHS) - вариант многослойной дискретизации, предложенный McKay, Beckman, and Conover [290], позволяющий получать весьма точные оценки функции распределения [248]. В методе диапазон изменения каждой переменной интегрирования разбивается на множество непересекающихся диапазонов равной вероятности и последовательно выбирается одно случайное значение в каждом интервале в соответствии с функцией распределения. Эта операция проводится независимо для каждой переменной интегрирования. Значения, полученные для одной координаты, затем случайным образом соединяются со значениями для другой координаты. В методе свойство равномерности справедливо лишь для одного измерения. Многослойное разбиение области интегрирования в целом свойством равномерности не обладает, что приводит к падению точности [304].
При решении задач стохастического программирования авторами [274] также используются техники Латинского гиперкуба. Дальнейшее развитие техника LHS получила в работах Avramidis and Wilson ([104], Section 1.2.2), Stein [390], and Owen [329]. Этот подход используют Diwekar and Kalagnanam [175] и Bailey, Jensen and Morton [106]. Подходы, направленные на снижение дисперсии обсуждаются в Higle [238]. Метод сценариев со снижением дисперсии используют Dantzig and Infanger [158].
Основной проблемой в использовании методов стохастического эксперимента является определение количества экспериментов для получения качественного решения. В работах Norkin, Pug, and Ruszczyski [312] предложены статистические нижняя и верхняя оценки исходной задачи стохастического программирования, далее идеи развиты Mak, Morton, and Wood [284].
Метод дискретизации последовательностей точек Хаммерслей (Hammersley sequence sampling, HSS) предложен Kalagnanam и Diwekar [257], [175]. Он является квази-случайным методом дискретизации и использует выборку точек в области интегрирования по их важности [160], благодаря чему наиболее полно дискретизуются заданные важные подобласти. Задание местонахождения областей делает этот метод зависимым от задачи. Но он требует меньшего количества узловых точек, чем MCS и LHS, и лучше обеспечивает равномерность в многомерном пространстве. На тестовых примерах авторов HSS оказался в 3-100 раз быстрее MCS и LHS [268].
Как было показано в разделе 1.8.1, многие подходы к решению одно- и двух-этапной задач оптимизации используют прямое решение задачи, опираясь на известные методы линейного и нелинейного программирования. Поскольку моделирование процессов химической технологии редко опирается на линейные зависимости, рассмотрим ниже наиболее эффективные методы нелинейного программирования. 1.10.1 Методы выпуклого нелинейного программирования
Методы решения задач нелинейной оптимизации условно можно разделить на две группы: прямые методы, базирующиеся на непосредственном сравнении значений целевой функции в соседних точках, и непрямые методы, в которых положение минимума определяется с помощью соответствующего необходимого условия. К прямым методам относятся методы спуска, среди которых широко известен класс методов последовательной безусловной оптимизации, сводящих исходную задачу условной минимизации к последовательности задач безусловной минимизации за счет формирования модифицированного критерия задачи, включающего информацию о критерии и ограничениях исходной условной задачи. Группа этих методов достаточно известна, обзор основных свойств методов можно найти в [74], [66], [118].
Методы безусловной нелинейной оптимизации. Поскольку многие методы решения задач условной минимизации обращаются к решению безусловной задачи, охарактеризуем здесь наиболее эффективные методы безусловной минимизации. Среди этих методов метод Ньютона, (Островский и др. [69]), квазиньютоновские методы, а также методы сопряженных градиентов (Fletcher, Reeves [197]) и сопряженных направлений, высокая скорость которых обусловлена использованием не только градиента целевой функции для получения направления спуска, но и информации о вторых производных за счет использования матрицы Гесса.
Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами при учете жстких и вероятностных ограничений
Решение задачи (3.88) для случая статистически независимых неопределенных параметров проводилось также двумя способами [64], [42], [67], [44], [315]. Для решения этой задачи мы использовали в критерии задачи аппроксимацию математического ожидания (2.163), (2.165), а также аппроксимацию по аппроксимационным точкам, заданным в [224]. Для этого вероятностные ограничения (3.89) были преобразованы к детерминированному виду, на основе двух способов преобразований. 1) Опираясь на предположение о нормальном распределении неопределенных параметров, мы использовали преобразования, позволяющие привести вероятностные ограничения к виду (2.186). Тогда ОЭЗО (3.88) получила вид задачи (3.59) , которую назвали нижней оценкой
Рассматривается задача проектирования оптимальной гибкой ХТС, состоящей из реактора, компрессора и теплообменника (рис. 2.2). Пример предложен в (Halemane, Grossmann [224]). Описание ХТС и ее математическая модель и перечень неопределенных параметров с описанием области неопределенности приведены в Главе 2, раздел 2.3.3.1.
Для этой ХТС были решены [42], [44], [66], [67], [315], [320] задачи (3.87) и (3.88) для двух случаев: в предположении о статистической независимости неопределенных параметров, а также о их статистической взаимной зависимости . В качестве критерия оптимальности было использовано математическое ожидание оценки эффективности работы ХТС за период функционирования вида (1.11). Для решения задачи (3.88) были
Формализация задачи
Как и в задаче вычисления функции гибкости, см. раздел 2.3.3.1, в качестве поисковых переменных были выбраны: управляющие переменные - температура в реакторе и температура воды на выходе из теплообменника z = {Т1, Tw2 }; конструктивные переменные d - объм реактора V и поверхность теплообмена в теплообменнике 4.
При решении ОЭЗО в виде (3.87), (3.88) нам необходимо учесть зависимость функций ограничений и критерия эффективности от неопределенных параметров задачи. Функции ограничений примут вид
Только ограничения (3.95)-(3.101) зависят от неопределенных параметров. Ограничения (3.102), (3.1032) накладываются на управляющие переменные задачи и не зависят от неопределенных параметров по определению одноэтапной задачи оптимизации.
Для ОЭЗО (3.87) все ограничения являются жесткими, m = m1 Для ОЭЗО (3.88) ограничения (3.95)-(3.101) будут мягкими и вероятность выполнения ограничения (3.95) будет задана как а1, а вероятность выполнения ограничений (3.96)-( 3.101) как а2. Поскольку нарушение ограничения (3.95) приводит к нарушению требования поддержания необходимой температуры в реакторе, принято а1=1.
Обсуждение результатов решения задачи проектирования оптимальной ХТС Для аппроксимации критерия задач (3.87) использовалось множество аппрокси-мационных точек заданных авторами [224], представленное в таблице 3.1. В таблице N - соответствует 6f, wt - весовому коэффициенту в аппроксимации критерия, L -нижней границе 0t, U - верхней границе в1 в области неопределенности, / = 1,..., пв.
Для аппроксимации критерия задачи (3.88) использовались зависимости (2.163) и (2.165). Статистически независимые неопределенные параметры Результаты полученного нами решения [66] задачи номинальной оптимизации и ОЭЗО (3.87) для различных размеров области неопределенности приведены в таблице 3.2. В таблице 3.2 it - номер итерации, ncrit - число критических точек, tcalc - время вычислений. Значение Г=0 соответствует номинальной оптимизации.
Из таблицы 3.2 видно, что при решении задачи ОЭЗО для размера области, соответствующего 7 = 1, Алгоритм 3.1 получил решение за одну итерацию, в процессе решения которой на шаге 5 было набрано 7 критических точек. При решении ОЭЗО для 7 = 1,25 для получения решения методу внешней аппроксимации потребовалось 3 итерации, на шаге 5 первой итерации алгоритма 3.1 было набрано 7 критических точек, в ходе второй и третьей итерации было найдено еще по 1 критической точке.
Сравнивая значения критерия и найденных конструктивных параметров (объем реактора V и поверхность теплообмена At), полученные на последней итерации алгоритма 3.1 при 7 = 1 и у = 1,25, можно видеть, что увеличение области неопределенности приводит к более затратной конструкции. ОЭЗО при увеличении размера области неопределенности потребовала большего времени вычисления, при у = \ время составило 0,312 с, а при увеличении размера области на 25% время составило 0,421 с.
Результаты решения ОЭЗО (3.88) на основе разных подходов для разных уровней вероятности выполнения мягких ограничений и различных способов аппроксимации критерия задачи представлены в таблицах П.А.8-П.А.18. Графическое представление полученных результатов дано на рисунках 3.4-3.16.
Эффективность работы Алгоритмов 3.2 и 3.4. Проанализируем представленные результаты для случаев использования аппроксимации (2.165). Из рисунков 3.4-3.9, на которых показана сходимость верхней (задача (3.94), Алгоритм 3.4) и нижней (задача (3.93), Алгоритм 3.2) оценок и время их получения, мы видим, что наблюдается сходимость верхней и нижней оценок для разных уровней вероятности выполнения вероятностных ограничений. Заметим, что для случаев уровня вероятности а2 меньше 1, разница между значениями верхней и нижней оценок не превысила 1,5 %.
На основании проведенного анализа можно сделать вывод об эффективности подходов получения верхней и нижней оценок ОЭЗО в жесткими и мягкими ограничениями, использующих Алгоритмы 3.4 и 3.2 соответственно.
