Содержание к диссертации
Введение
1. Модели динамики ла и критерии оптимальности 13
1.1 Принципы формирования траекторий 13
1.2 Описание динамики ЛА как твёрдого тела в пространстве 18
1.3 Описание динамики ЛА как материальной точки в пространстве 22
1.4 Описание динамики ЛА с использованием модели материальной точки в вертикальной плоскости 24
1.5 Модель, принятая для имитационного моделирования 26
1.6 Методы решения задач оптимального управления 30
Выводы по разделу 43
2... Алгоритм оптимального управления ла с интегральными ограничениями на управление . 45
2:1 Построение оптимального управления. 45
2.3 Получение рекомендаций по формированию управления 64
Выводы по разделу 83
3. Алгоритм оптимального управления ЛА с ограничениями на управление в виде неравенства и имитационное моделирование .86
3.1.Получение предельного и особого управления... ...86
3:2 Получение рекомендаций по формированию управления 94
3:3 Решение задачи стабилизации... 100
3.4 Имитационное моделирование. 104
Выводы по разделу 110
Заключение... 112
Список использованных источников... 113
Приложение a 123
Приложение б 127
Приложение в 132
- Описание динамики ЛА как твёрдого тела в пространстве
- Методы решения задач оптимального управления
- Получение рекомендаций по формированию управления
- Получение рекомендаций по формированию управления
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время существует множество технических объектов, математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка. Создаются новые, более совершенные и сложные системы, управление которыми должно обеспечивать высокое качество их функционирования при экономии ресурсов, повышении быстродействия и наложении различного рода ограничений. Развитие математического аппарата для разработки оптимальных по быстродействию вьшислительных алгоритмов при этом строится на основе использования классических критериев оптимальности.
Задачи управления полётом являются важным направлением в области развития беспилотной авиации. Алгоритмы должны быть ориентированы на возможность формирования управления в реальном времени, на повышение точностных характеристик и безопасности полёта.
Применение теории оптимального управления полётом летательного аппарата (ЛА) по классическим критериям оптимальности ограничивается размерностью математических моделей динамики. Как показывает анализ публикаций по исследуемой проблематике, решение задач оптимизации сложных систем, в частности с использованием прогнозирующих моделей, на сегодняшний день не имеет широкого применения. Это объясняется отсутствием чётких методик и рекомендаций к реализации численных методов решения, а также нарастающей сложностью решения при увеличении порядка рассматриваемых систем.
Для формирования оптимального управления ЛА необходимо в реальном масштабе времени получать данные о параметрах движения. Использование прогнозирующей модели для расчёта оптимальной траектории особо актуально, поскольку позволяет формировать траектории полёта с приемлемой точностью, в том числе при сокращении объёма данных о текущем положении ЛА.
Диссертационная работа посвящена разработке вьшислительных алгоритмов формирования оптимального управления полётом ЛА как твёрдым телом в пространстве, что определяет её актуальность.
В диссертационной работе рассматривается задача оптимального управления беспилотным летательным аппаратом (БИЛА) с учётом ограничений на управление. В качестве системы, описывающей динамику ЛА как твёрдого тела, приняты уравнения его пространственного движения с использованием уравнений Эйлера и Пуассона. Решение строится по принципу максимума Л.С. Понтрягина на нефиксированном интервале времени. При этом двухточечная краевая задача решается методом Ньютона. Решение многомерной задачи представляет в случае общих начальных и конечных условий существенные вычислительные трудности, связанные с обеспечением сходимости итерационной процедуры. Поэтому решить задачу оптимального управления движением ЛА, описываемого уравнениями Эйлера и Пуассона (15 уравнений), значительно сложнее, чем, например, при описании динамики ЛА как материальной точки в пространстве (6 уравнений). Однако, в рассматриваемую систему включены уравнения для угловых скоростей, что является достоинством рассматриваемой модели и способно облегчить решение задачи стабилизации ЛА на оптимальной траектории.
Данная работа является продолжением и развитием ряда исследований по оптимальному управлению с использованием модели ЛА как твёрдого тела, связанных с оптимизацией по критерию Красовского, с построением управления по
алгоритму последовательной оптимизации с рассмотрением иерархии целевых функционалов.
Объект и предмет исследования. Объект исследования - управляемый полёт, задачи маневрирования БПЛА как твёрдого тела. Предмет исследования -методы оптимального управления применительно к решению поставленной задачи.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка алгоритмов оптимального управления ЛА по классическим критериям оптимальности, позволяющих формировать оптимальные по быстродействию траектории полёта для широкого диапазона задания начальных и конечных условий с учётом ограничений на вектор управления.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
обосновать и выбрать критерии оптимальности с учётом технических требований, предъявляемых к манёвру ЛА в виде ограничений на значения вектора перегрузки и угловых скоростей;
разработать алгоритмы оптимального управления, найти метод решения краевой задачи для рассматриваемой системы 15-го порядка;
выработать рекомендации по применению разработанных алгоритмов управления, определить условия сходимости и точность решения задачи оптимизации траектории ЛА.
Все технические решения испытывались и оценивались при помощи имитационного моделирования динамики управляемого полёта. Результаты диссертационного исследования:
Разработаны алгоритмы оптимального управления ЛА как твёрдым телом при минимизации затрат на управление.
Разработаны алгоритмы оптимального по быстродействию управления ЛА как твёрдым телом (при ограничениях на управление в виде неравенства).
Предложен метод нахождения решения поставленной задачи оптимального управления методом Ньютона, позволяющий сократить число итераций решения.
На основе сравнительного анализа алгоритмов оптимизации движения ЛА как твёрдого тела и как материальной точки по различным критериям разработана адаптивная процедура выбора начальных значений метода Ньютона в обеспечение сходимости итерационной процедуры.
Научная новизна:
Разработанные алгоритмы оптимального управления ЛА позволяют решить задачи минимизации затрат на управление и максимального быстродействия для модели ЛА как твердого тела, описываемого уравнениями высокого порядка (Эйлера и Пуассона).
Разработанные вычислительные алгоритмы решения краевых задач принципа максимума по методу Ньютона с адаптивной процедурой выбора начальных параметров обеспечивают сходимость итерационной процедуры за небольшое число итераций (для приближенной точности - за одну итерацию).
Сравнительный анализ алгоритмов оптимизации движения ЛА как твёрдого тела и как материальной точки позволил установить связь задания начальных параметров решения краевых задач при минимизации затрат на управление и при ограничениях на управление в виде неравенства.
Получены условия устойчивой сходимости разработанных алгоритмов с обеспечением требуемой точности решения краевой задачи.
Достоверность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгим обоснованием основных научных положений, использованием апробированных методов оценки полученных результатов, применением общепринятых допущений и ограничений. Достоверность полученных результатов подтверждается также работоспособностью операций, реализованных в виде программных продуктов, совпадением результатов математического и имитационного моделирования, сопоставимостью полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.
Практическая ценность результатов диссертации.
Решение задачи управления ЛА по принципу максимума с учётом ограничений на управление позволяет:
Учитывать ограничения на вектор управления, существующие в реальных ЛА.
Расширить области достижимости ЛА за счёт формирования управления, основанного на "предельных" возможностях.
Формировать управление при различных значениях начального и конечного векторов состояния без изменения структуры алгоритма управления, варьируя только начальные значения вектора переменных сопряжённой системы.
При использовании аналитических выражений для прогнозируемых конечных значений вектора состояния ЛА на участках с постоянными значениями управлений (перегрузки и угловой скорости, т.е. на участках "предельного" управления) сократить объём вычислительных затрат до 20 раз на борту при формировании траектории в реальном времени.
Методы исследования. Приводимые в диссертации исследования опираются на приложения динамики полёта, теории автоматического регулирования, теории оптимального управления, методы математического моделирования. При разработке программного обеспечения использовался пакет Matlab v. 6.1.
Внедрение результатов. Результаты диссертационного исследования внедрены в ОАО «Концерн «Гранит-Электрон» при разработке алгоритмов бортовой автоматической системы управления на этапе технического проектирования.
Полученные в диссертации результаты были использованы при выполнении гранта РФФИ № 09-08-00829.
Результаты диссертационного исследования, связанные с решением краевой задачи методом Ньютона, управления математическими моделями ЛА использованы в учебном процессе Балтийского государственного технического университета "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.
Апробация работы. Диссертация обсуждена и одобрена на кафедре "Системы обработки информации и управления" Балтийского государственного технического университета "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.
Основные положения диссертационной работы докладывались на международных конференциях и опубликованы.
Основные результаты доложены и обсуждены на:
международной конференции "Пятые Окуневские чтения", 26-30 июня 2006 г., г. Санкт-Петербург,
международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ - 2007", 4-8 июня 2007 г., г. Санкт-Петербург,
- международной конференции "Системный анализ, управление и навигация", 29
июня - 6 июля 2008 г., Украина, Крым, г. Евпатория;
семинарах кафедры "Системы обработки информации и управления" БГТУ
"ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.
Работа была представлена и обсуждалась на кафедре "Пилотажно-навигационных комплексов (и авиационных тренажёров)" ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, г. Москва, 22 мая 2008 г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ, из них - одна статья из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 4 работы -в материалах международных научно-технических конференций, одно учебно-методическое пособие.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы из 113 наименований и трёх приложений. Основная часть работы содержит 122 страницы машинописного текста, 48 рисунков и 4 таблицы.
Описание динамики ЛА как твёрдого тела в пространстве
В настоящее время для решения задачи приведения ЛА в заданное положение можно выделить два распространённых типа систем управления. Первые из них строятся на принципах программного управления (метод "жестких" траекторий) и реализуют управление, обеспечивающее движение ЛА по номинальной, рассчитанной заранее, траектории [65]. Эти системы отличаются простыми алгоритмами и аппаратурной реализацией, а также высокой точностью при переработке навигационной информации, так как диапазон изменения управляемых величин в процессе управления достаточно узок. Вместе с тем этот тип систем обладает недостатками, связанными с трудностями оперативного перехода на новую траекторию при изменении условий полета или положения места назначения, а также сравнительно большими динамическими ошибками управления, свойственными системам программного управления.
Второй тип систем строится на принципах терминального управления и реализует приведение ЛА по так называемому методу "гибких" траекторий [14, 60, 83]. В данном случае система управления в соответствии с. целью управления на основании информации о параметрах движения, определяемых навигационной системой, и характеристик ЛА, спрогнозированных в полёте или заложенных в память системы управления, сама формирует во время полёта программу управляемого движения.
Среди данного класса систем можно, в свою очередь, выделить два направления. Для одного из них свойственно формирование управления как результата решения краевой задачи, что возможно при введении ряда упрощающих предположений и организации специальной итерационной схемы бортовых вычислений, при которой влияние введенных допущений ослабевает по мере приближения к концу рассчитываемого участка движения. Эти системы лишены недостатков систем программного управления, связанных с отсутствием "гибкости" управления, но отличаются более низкой точностью при переработке навигационной информации и имеют особенности, связанные с неустойчивостью процесса управления в конце участка манёвра.
Контур системы стабилизации при использовании программного метода управления формирует управляющие команды, которые возвращают ЛА с возмущенной траектории движения на номинальную, рассчитанную заранее на Земле и помещенную в память системы управления.
При использовании "гибких" методов приведения ЛА на борту в реальном масштабе времени рассчитывается новая программная траектория, выполняющая задачи маневрирования с учетом фактических параметров возмущенного движения, полученных от навигационной системы, и вырабатываются также управляющие команды, обеспечивающие полёт по этой новой траектории. При терминальном управлении система по заложенному в неё алгоритму непосредственно вырабатывает такие команды управления (без расчета траектории движения), которые при их реализации обеспечивают приведение ЛА в заданную точку.
Команды из траєкторного блока системы управления поступают в контур угловой стабилизации, задача которого — отработка команд системы управления и создание необходимых управляющих сил и моментов [17].
Управление продольным и боковым движением при маневрировании БПЛА естественно осуществлять по аналогии с самолётной схемой, изменяя аэродинамические силы аппарата. Управлять дальностью наиболее удобно было бы с помощью изменения угла атаки и качества ЛА, а управление боковым движением -с помощью поворота по углу крена, т.е. изменяя проекцию подъемной силы в поперечной плоскости. В настоящее время практически на всех летательных аппаратах дальностью управляют поворотом по углу крена, изменяя таким образом проекцию подъемной силы на продольную плоскость, а боковым движением - изменением знака поворота по углу крена.
Управление углом крена реализует на борту система угловой стабилизации. Стабилизация по углам тангажа и рыскания происходит за счет статической устойчивости движущегося ЛА и самобалансировки его на номинальном угле атаки.
Таким образом, в соответствии с известной классификацией методы, используемые в системах управления [60], делятся на два основных класса: а) метод "жестких" траекторий, основанный на отслеживании заранее рассчитанной номинальной траектории; б) метод "гибких" траекторий, основанный на прогнозировании оставшегося отрезка траектории до точки окончания манёвра на основании информации о текущих координатах и составляющих скорости аппарата. Здесь необходимо отметить, что в последнее время большое развитие получили методы, которые лежат в промежутке между методами "жестких" и "гибких" траекторий. Это методы, в которых, с одной стороны; имеет место, отслеживание номинальной- траектории, с другой -это отслеживание, осуществляется на основе прогноза отклонений кинематических параметров в точке окончания манёвра.
Рассмотрим упомянутые методы более подробно и применительно к« системам управления движением БПЛА.
При использовании метода "жестких" траекторий программная траектория движения вычисляется заранее для номинальных условий полёта, характеристик аппарата, стандартной атмосферы и помещается в бортовом запоминающем устройстве. Имеющиеся на борту датчики измеряют отклонения фактических параметров движения от их программных значений и в соответствии с выбранным законом управления формируют управляющие сигналы в систему угловой стабилизации. В каждом частном случае закон управления характеризуется конкретной совокупностью параметров траектории, которые используются для выработки управляющих сигналов.
Необходимо отметить, что реализация подобных законов управления представляет собой определенные трудности, так как измерение входящих в закон управления параметров Vx, Vy, V:, h, I, z и хранение на борту соответствующих программных зависимостей требуют достаточно сложных систем измерений и запоминания. Поэтому наиболее часто встречаются упрощенные законы управления, в которых число измеряемых параметров сведено до минимума. Примером этого является закон, используемый в. системе отслеживания программного значения кажущегося ускорения! в продольном направлении. Реализация такого метода весьма проста и не предъявляет высоких требований к бортовым вычислительным устройствам.
Основной и существенный недостаток методов управления, основанных на отслеживании номинальной программы, заключается в том, что динамические и точностные характеристики системы управления, реализующей эти методы, удовлетворительны только в пределах незначительных отклонений возмущенных траекторий от номинальной, т.е. пока оправдана линеаризация уравнений возмущённого движения. Правда, система может быть сделана достаточно гибкой, если номинальная траектория выбирается не заранее, а определяется, с помощью БЦВМ незадолго до начала манёвра. Однако это требует более мощной и сложной вычислительной системы на борту.
Методы решения задач оптимального управления
Для решения вопросов управления полётом БПЛА, а также на первой стадии проектирования и выбора летательного аппарата и силовой установки известна только тактическая задача, для выполнения которой выбирается летательный аппарат и его силовая установка, а также ряд начальных и конечных параметров траектории, например начальная и конечная скорость, конечная и начальная высота и т. д. Вполне естественно потребовать такого осуществления проектирования, чтобы заданная тактическая задача выполнялась аппаратом оптимально.
Для этого необходимо выработать соответствующие критерии, позволяющие таким образом определять параметры летательного аппарата и его силовой установки, чтобы они обеспечивали оптимальные режимы полета при выполнении заданной тактической задачи [92]. При рассмотрении задачи по определению оптимальных продольных и нормальных перегрузок, действующих . на летательный аппарат, т.е. перегрузок, обеспечивающих аппарату оптимальные режимы полета, рассматривается модель (1.12). Знание продольной и поперечной перегрузок позволит определить тягу силовой установки и программу управления аппаратом, которые необходимы при оптимальных режимах полета. При полёте в вертикальной плоскости функции пх и пу наряду с функциями V, h, I и Q являются варьируемыми. Кроме того, принимается, что на пх и пу не накладываются ограничения в виде неравенства. Следовательно, задача заключается в определении функций пх и пу, обеспечивающих экстремум одному из функционалов. В качестве критериев оптимальности выбираются (1.14) -ь (1.17). При решении задачи по критерию Майера получаемое управление интересно тем, что в соответствии с принципом максимума возникает режим максимального быстродействия (предельное управление), который позволяет использовать маневренные возможности ЛА в ситуациях с жёсткими ограничениями по времени или дальности манёвра. Т.о. задача решается с наложением ограничений на пхипув виде неравенства. В основе темы диссертации лежит рассмотрение задачи управления маневрированием БПЛА с учётом ограничений на управление для модели (1.1)41-3). При траекторией оптимизации первостепенное значение имеет выбранная форма прогнозирующей модели. Желательно, чтобы она, с одной стороны, допускала аналитическое прогнозирование "свободного" движения (движение при "замороженных" управлениях), а с другой стороны позволяла использовать достаточно содержательные функционалы, отражающие помимо качества решения основной навигационной задачи выполнение различных ограничений, расход топлива и др. За счёт аналитичности решения удаётся резко сократить вычислительные затраты при реализации программного моделирования прогноза на борту, что особенно важно при решении терминальных задач управления с большими интервалами времени прогнозирования [59]. Особенно актуально использование прогнозирующих моделей в случаях, когда данные с измерителей ЛА по различным причинам перестают поступать в систему управления, а сопутствующая и/или дублирующая, например, спутниковая, информация, также недоступна. В таком случае есть возможность продолжения движения по "запомненным" и/или экстраполированным сигналам, но зачастую это неосуществимо. Если осуществляется "пропорциональное" движение в заданную точку, то при потере информации на больших до неё" дальностях даже при малых погрешностях измерителей, все "запомненные" и/или экстраполированные сигналы с течением времени будут увеличивать эту ошибку. Если же потеря информации произошла в ходе или после выполнения какого-либо манёвра, когда не все переходные процессы установились, тогда пользование "запомненными" и/или экстраполированными сигналами бесполезно. Используя прогнозирующую модель, мы можем отслеживать вектор состояния ЛА через отклонение органов1 управления согласно закону управления.
Также обратиться к использованию прогнозирующей модели можно для контроля ошибок в показаниях некоторых измерителей и/или для решения задач комплексирования сигналов, полученных от различных измерителей, измеряющих одну величину (повышение достоверности данных одного из измерителей, чтобы избежать, к примеру, ошибок усреднения).
Однако использование прогнозирующих моделей связано с процедурой выбора подходящей математической модели для реализации в системе управления данного типа ЛА и параметров этой модели, соответствующих характеристикам используемого ЛА.
В качестве прогнозирующей модели для пространственного траєкторного движения ЛА, удовлетворяющей обоим упомянутым требованиям, в данной работе используется модель пространственного спирального движения, носящая название "спиральный прогноз". В качестве управления принимаются векторы производных перегрузки и угловой скорости по времени.
Это широко известные уравнения движения самолёта без учёта посадочных режимов, выпуска шасси, изменения положения органов механизации крыла, других специальных органов управления [57]. При оптимизации управления ЛА эти уравнения динамики полёта берутся в пренебрежении вращением Земли, т.е. в предположении, что земная система координат является инерциальной.
При нулевом управлении, т.е. при постоянных во времени векторе перегрузки (пх, riy, nz) и векторе угловой скорости (аъ, coy, coz), центр масс летательного аппарата как твёрдого тела совершает равномерное вращение вокруг заданной пространственной оси (отсюда эти уравнения получили название "спиральный прогноз").
Получение рекомендаций по формированию управления
Рассмотрение задачи оптимального управления для случая материальной точки оказало существенное влияние на направление поиска решения задачи при рассмотрении ЛА как твёрдого тела. Изначально не было известно, в каком диапазоне должны находиться начальные значения сопряжённых переменных; значениями какого порядка являются оптимальные параметры краевой задачи; как сказывается порядок коэффициентов kt на динамике рассматриваемой модели и характере управления; каков общий вид изменения управляющих величин для данного типа критериев оптимальности; каким образом влияет число параметров управления на сходимость задачи. Полученный при рассмотрении упрощённой задачи (и последующих усложняющих её решение вариаций) ряд результатов был частично перенесён с выработкой рекомендаций на задачу 15 порядка. В ходе моделирования было установлено, что система для ЛА как твёрдого тела (1.1) - - (1.3) также обладает свойством локальной линейной сходимости при рассмотрении критерия (1.8). Для гарантированного решения поставленной задачи за минимальное число итераций требуется использовать это свойство. Расчёты показали, что система 15 порядка обладает и некоторыми отличительными особенностями по сравнению с материальной точкой. Это связано с появлением коэффициентов /с, при угловых скоростях. Выводы по разделу Применение принципа максимума позволило определить структуру оптимального управления в задаче с минимизацией затрат на управление. Разработан алгоритм оптимального управления пространственным движением ЛА как твёрдого тела. Краевая задача, возникающая из принципа максимума, решалась методом Ньютона. Получена адаптивная процедура нахождения начальных значений вектора сопряжённых переменных и весовых коэффициентов при управлении в целевом функционале в зависимости от задания условий на правом конце траектории. Вычислительная процедура решения задачи позволяет проводить исследования с учетом различных возмущений и внешних сил. Найденные с помощью представленного алгоритма оптимальные траектории имеют S-образную форму, как и в случае использования алгоритма последовательной оптимизации со спиральным прогнозом при рассмотрении иерархии критериев Красовского [47, 49]. Причём алгоритм последовательной оптимизации имеет существенные вычислительные преимущества за счёт использования аналитических выражений для компонент вектора состояния, полученных в работе [57].
Рассмотрение аналогичных задач на примере материальной точки позволило получить рекомендации для построения оптимального управления и перенести их на более полную модель ввиду схожести принципов управления.
Как показано в данном разделе, существующие области задания параметров краевой задачи носят локальный характер. Предложена методика нахождения этих областей, уменьшающихся при наложении ограничений. Она заключается в том, что производится постепенное движение от решения задачи с малым числом уравнений (например, только вертикальная плоскость), простым законом управления, отсутствием ограничений на некоторые параметры движения к задаче более полной, с ограничениями-(интегральными, затем жёсткими неравенствами). Каждый раз для обеспечения сходимости нашего метода мы выбираем область, полученную из предыдущего решения, т.е. более близкую к оптимальной, чем и обеспечиваем сходимость в более сложных постановках задачи. Решение в самой простой постановке сходится из широкого диапазона начальных значений.
Сходимость метода Ньютона, использованного для решения краевой задачи, в зависимости от размерности вектора невязок тем лучше, чем больше параметров управления имеется в наличии для решения системы уравнений (например, "замораживание" значения скорости заметно увеличивает число итераций метода Ньютона), и чем больше значений вектора состояния на правом конце остаётся свободными.
Как по результатам математического моделирования, так и в [3] отмечено, что не всякие значения вектора состояния на правом конце траектории возможно получить при решении системы. Особую трудность могут вызвать значения скорости, равные 0 в конечный момент времени, т.к. они могут соответствовать только определённо заданным начальным значениям.
Рассмотрено использование ограничений на управление в виде функций штрафа для модели движения материальной точки в вертикальной плоскости. Данные варианты похожи на решения задачи с ограничениями на управление в виде неравенства, которые будут рассмотрены в следующем разделе, и отличаются неплохой сходимостью метода Ньютона. Однако в вычислительном плане довольно трудоёмкой оказывается процедура выбора параметра Мв функции штрафа.
Получение рекомендаций по формированию управления
В данном разделе гарантированно получается решение задачи с ограничениями на управление в виде неравенства при переходе от варианта с интегральными ограничениями на управление (критерия Лагранжа). То есть семейство оптимальных траекторий, изображенное на рисунках 2.20 и 2.21, возможно повторить для решения задачи с ограничениями на управление в виде неравенства.
Рассмотрение аналогичных задач на примере материальной точки позволило получить рекомендации для построения оптимального управления и перенести их на более полную модель ввиду схожести принципов управления. Также можно отметить, что трудоёмкость полученного решения для сиситемы 15 порядка не на много превосходит аналогичные решения для материальной точки в вычислительном плане.
Сходимость метода Ньютона, использованного для решения краевой задачи, зависит от продолжительности отрезка особого управления. Точность решения задачи также зависит от данного отрезка управления. Варьируя длительность подключения особого управления, возможно влиять на конечную точность, и, тем самым, на сходимость решения.
Использование критерия с ограничениями на управление в виде неравенства не только более объективно при моделировании движения ЛА, но и позволяет использовать аналитические выражения для прогнозируемых конечных значений вектора состояния БПЛА на участках с постоянными значениями управлений (перегрузки и угловой скорости), т.е. на участках "предельного" управления, что позволяет сократить объём вычислительных затрат на борту при формировании траектории в реальном времени [57]. (Уравнения также приведены в [75]).
Применение даже простейшего из традиционных методов численного интегрирования — метода Эйлера — непосредственно к уравнениям динамики полёта ЛА (1.1) - (1.3), (1.21), (1.24), вектора перегрузок п, коэффициентов моментов тх, ту, т=, коэффициентов аэродинамических сил сх, су, с приведёт к потере быстродействия более чем в 5 раз по сравнению с использованием аналитических выражений из [57] на одном шаге вычислений. Применение более совершенных методов интегрирования повлечёт дальнейшее увеличение необходимого быстродействия. Так, при методе Рунге-Кутты четвёртого порядка и прочих равных условиях необходимая вычислительная производительность уменьшится более чем в 21 раз по сравнению с аналогичным использованием аналитических выражений. При решении задачи управления полётом с рассмотрением иерархии из двух критериев качества динамика изменения параметров ЛА согласуется с задачей рассмотрения критерия с интегральными ограничениями на управление, что подтверждает корректность полученных режимов управления. Рассматриваемые задачи имеют сопоставимые вычислительные затраты и полученные точности управления. Проведено имитационное моделирование полёта БПЛА, подтверждающее возможность использования алгоритмов оптимального управления как при интегральных ограничениях на управление, так и при ограничениях в виде неравенства. Показана устойчивость алгоритмов вычисления оптимального управления к изменению положения ЛА в пространстве как по линейным, так и по угловым координатам. В работе ЛА рассматривался как твёрдое тело/ без учёта упругости. Предметом дальнейшего1 исследованиям может быть совершенствование математических методов, .улучшающих сходимость; вывод полных уравнений для особых управлений по перегрузкам. Также в дальнейшем целесообразно провести статистическое моделирование достижимого увеличения точности приведения ЛА в заданное положение и рассмотреть воздействие шумов и внешних сил на ЛА. Основные выводы по диссертационной работе. 1. Разработан алгоритм оптимального управления ЛА как твёрдым телом в пространстве при минимизации затрат на управление. 2. Предложен метод нахождения решения задачи оптимального управления ЛА как твёрдым телом методом Ньютона, позволяющий вычислить функцию управления за одну итерацию. 3. Разработан алгоритм вычисления оптимального управления ЛА при ограничении на управление в виде неравенств. Показаны принципы построения оптимальных траекторий при комбинированном использовании различных критериев для разных составляющих вектора управления. 4. Предложена адаптивная процедура нахождения начальных значений вектора параметров краевой задачи на основе решений, найденных для математической модели ЛА как материальной точки. Вычислительная процедура решения задачи позволяет проводить исследования с учетом различных возмущений и внешних сил. Получены условия сходимости разработанных алгоритмов с обеспечением требуемой точности решения задачи, задаваемой значением невязки, по различным критериям. 5. Даны рекомендации по использованию и применению данного подхода для различного набора начальных и конечных значений вектора состояния БПЛА. Показана вычислительная эффективность полученного алгоритма: 6. Результаты, полученные в работе, представляют интерес для учебного процесса и для предприятий, занимающихся разработкой СУ ЛА, в частности для оценки манёвренных возможностей ЛА. Предложенные алгоритмы могут применяться для управления другими подвижными объектами, в достаточной степени определяемыми уравнениями Эйлера и Пуассона.
Похожие диссертации на Оптимальное управление летательным аппаратом с учётом ограничений на управление
