Содержание к диссертации
Введение
1 Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью 21
1.1 Постановка задачи 22
1.2 Основное уравнение нелинейной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью 24
1.3 Уравнение для семиинвариантной функции 33
1.4 Синтез экстраполятора в условиях апостериорной гауссовости 40
1.4.1 Некоторые предварительные результаты 42
1.4.2 Уравнение для семиинвариантной функции 45
1.4.3 Синтез экстраполятора 47
1.5 Обобщенная обратная экстраполяция с фиксированной памятью 59
1.6 Исследование эффективности дискретного канала с памятью в задаче экстраполяции 62
1.7 Выводы 80
2 Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью при наличии аномальных помех 82
2.1 Постановка задачи 83
2.2 Случай непрерывных наблюдений 85
2.2.1 Синтез фильтрат-интерполятора 85
2.2.2 Анализ чувствительности 90
2.2.3 Оптимальность процедуры исключения аномальных наблюдений 91
2.3 Случай непрерывно-дискретных наблюдений 95
2.3.1 Синтез фильтра-интерполятора 95
2.3.2 Анализ чувствительности 97
2.3.3 Оптимальность процедуры исключения аномальных наблюдений 98
2.3.4 Точность оценивания 100
2.3.5 Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче интерполяции 105
2.4 Случай резервирования дискретных каналов наблюдения с памятью при наличии аномальных помех 111
2.4.1 Резервирование дискретных каналов наблюдения 111
2.4.2 Фиксированный момент включения системы с резервированием 112
2.4.3 Произвольный момент включения системы с резервированием 115
2.4.4 Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче фильтрации 119
2.5 Выводы .127
Распознавание стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью 128
3.1 Постановка задачи 130
3.2 Общие соотношения 131
3.3 Случай эффективного вычисления A.t(Bj ; 0а) 136
3.4 Оценивание 142
3.5 Частные случаи 143
3.6 Обнаружение аномальных помех 151
3.6.1 Основные результаты 151
3.6.2 Случай резервирования каналов наблюдения 156
3.6.3 Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти 158
3.7 Выводы 169
Заключение 170
- Основное уравнение нелинейной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью
- Исследование эффективности дискретного канала с памятью в задаче экстраполяции
- Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче интерполяции
- Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Широкий класс встречающихся на практике задач управления [6, 7» 95 16, 47, 49, 70, 83, 88, 92], навигации [7, 68, 77, 85, 96, 97, 102], передачи сообщений [14, 31, 62, 82, 83, 84, 85, 89, 90] и обработки наблюдений [8, 10, 35, 45] заключается в следующем: по реализации zo ~ {zv\ 0 < <т < } случайного процесса zt необходимо для случайного процесса xt построить управляющее воздействие 7[;zq], найти оценки д[сг, t] Zq], либо решающее правило S[t; Zq] о состояниях xt. Задачи оценивания в зависимости от соотношения между моментом окончания наблюдения t и моментом времени ет, в который необходимо получить оценку ^[ст, t\ Zq] значений процесса xt, разделяются на три типа [63, 64, 65, 66, 67, 70, 83]: фильтрация (a = t); интерполяция (<т < t)\ экстраполяция {а > t). Поскольку предметом исследования данной работы являются задачи оценивания и распознавания, то остановимся подробнее на сути каждой задачи.
ТшпА
I. Задача оценивания. По реализации z$ = {z^O < а < t} случайного процесса Zfj необходимо в момент времени а найти оценку //(сг, t) = д[(Т, t\ 2q] случайного процесса ха? как некоторый функционал от реализации z ~ z\. При этом в зависимости от соотношения между моментом оценивания & и моментом окончания наблюдения t задачи оценивания подразделяют на три типа [67, 70]. Далее момент оценивания в задаче интерполяции обозначаем как г, а в задаче экстраполяции как $. задач оценивания следующие:
фильтрация, когда а = і (Рис.0.1);
интерполяция (сглаживание), когда г < і (Рис.0.2);
экстраполяция (прогноз, предсказание), когда s > t (Рис,0,3). Задачи интерполяции и экстраполяции в свою очередь также
подразделяются на три типа.
Рис. 0.2: Интерполяция
Рис. 0.3: Экстраполяция
Рис. 0,1: Фильтрация
Интерполяция,
a) прямая интерполяция или интерполяция в фиксированной точке^
когда г-фиксировано, ^-переменная, и ищется зависимость оценки ^(т,)
^ от момента окончания наблюдений t при фиксированном моменте
оценивания т.
обратная интерполяция или интерполяция на фиксированном интервале, когда ^-фиксировано, г-переменная, и ищется зависимость оценки ju(r,t) от момента оценивания г при фиксированном моменте окончания наблюдений t>
скользящая интерполяция или интерполяция с фиксированным отставанием, когда t и т-переменные, причем г = t — f\ t* = canst.
Экстраполяция.
a) прямая экстраполяция или экстраполяция на фиксированном
интервале, когда ^-фиксировано, s-переменная, и ищется зависимость
оценки fi(s^t) от момента оценивания s при фиксированном моменте
* окончания наблюдений t.
b) обратная экстраполяция или экстраполяция в фиксированной
точке, когда ^-фиксировано, f-переменная, и ищется зависимость оценки
fi{s,t) от момента окончания наблюдений t при фиксированном моменте
^ оценивания s.
c) скользящая экстраполяция или экстраполяция с фиксированным
упреждением, когда s и i-переменные, причем s = t + Т, Т = const.
II. Задача распознавания. Имеется несколько типов процесса хи т.е. #( Є ІІХ — {xf }, 0 Є Ї0, и по реализации Zq нужно вынести решение о том, какой тип процесса xt из множества 1Х реализовался. Данная задача является задачей распознавания гипотез 7ij{в = 0?} , j = О^г, когда в классе нерандомизированных байесовских решающих правил решение данной задачи сводится к проблеме нахождения апостериорных вероятностей гипотез и отношений правдоподобия [14, 85, 89, 83]. Важным частным случаем задачи распознавания является задача обнаружения сигнала, т.е. одна частная задача для случая распознавания двух гипотез [14, 85, 89].
Начало рассмотрению проблемы оценивания случайных процессов было
положено классическими работами А.Н. Колмогорова [57] и Винера [143],
в которых были решены задачи минимизации среднеквадратической
J оишбки оценок фильтрации, интерполяции и экстраполяции стационарных
случайных процессов в классе линейных фильтров. Следующим
фундаментальным вкладом в развитие теории оценивания случайных
процессов являются работы Р.Е. Калмана (R.E, Kalman) [122], Р.Е.
Калмана и Р.С. Бьюси (R.S. Busy) [123], в которых дается решение
задач дискретной и непрерывной линейной фильтрации и предсказания
в пространстве состояний. Некоторые задачи линейной фильтрации,
интерполяции (сглаживания) и экстраполяции (прогноза) эффективно
решены Дж.С. Медичем (J.S. Medich) [70, 133], Т. Кайлатом (Т. Kailath)
[118] и П. Фростом (P. Frost) [120]. Решение практических проблем
потребовало рассмотрения задач нелинейного оценивания. Наиболее
значительным вкладом в решение задач нелинейного оценивания являются
4 работы Р.Л. Стратоновича [87, 88], Р.Ш. Липцера [63], Р.Ш. Липцера и
АЛ. Ширяева [64, 65, 66, 67], Дж.Р Фишера (J.R. Fisher) и Е.Б. Стира (Е.В. Stear) [114], Дж.М. Ли (G.M Lee) [130], БДО. Андерсона (B-D.O. Anderson) [98], Т.Накамизо (T.Nakamizo) [135], В.М. Вонэма (W.M. Won-ham) [16], Г.Каллианпура (G. КаШаприг) [48), Г.Д. Кушнера (H.J. Kushner) [126], B.C. Пугачева и И.Н. Синицына [74, 75, 76].
Одно из направлений дальнейшего развития теории оценивания случайных процессов связано с наличием памяти (memory) [117, 131], временных задержек (time-delays) [100, 142, 145], последействия (aftereffect) [54, 55, 56, 124], что связано с инерционностью систем и каналов наблюдения за состоянием систем, с конечным, а не мгновенным временем прохождения сигналов по каналам передачи. Решение ряда задач оценивания и управления для подобного класса систем было осуществлено В.Б. Колмановским [53, 54, 55, 56, 124], Чаном (W.L. Ghan)[l03], Р.Х. Куонгом (R.H. Kwong)[127], М.К Делфором (М.К. Delfour) [105], 3. Вонгом и Д.В,К. Хо (Z. Wang, D.W.C. Но) [142], М. Базиным и Р. Мартинес-Зунига
(M. Basin, R. Martines-Zuniga) [100]. Поскольку в части перечисленных работ временные задержки присутствуют в математических моделях ненаблюдаемых процессов, в другой части-в моделях наблюдаемых процессов, а в некоторых-как в наблюдаемых так и ненаблюдаемых, то далее мы будем пользоваться термином "память", обозначая присутствие временных задержек только в моделях наблюдаемых процессов.
Во всех перечисленных выше работах стандартной является ситуация, когда оба процесса х* и z* одновременно являются процессами с непрерывным, либо дискретным временем. Однако на практике распространенной является ситуация, когда вместе с непрерывными наблюдениями могут присутствовать в отдельные моменты времени дискретные наблюдения rj(tm) (тп = 0,1,2,...). Подобным классом систем являются, например, навигационные системы подвижных объектов, в которых непрерывные наблюдения zt формируются из показаний бортовых измерителей, работающих непрерывно во времени, а дискретные r)(tm)-из показаний внешних источников (РЛС, спутники, акустические маяки и пр.)» срабатывающих в отдельные моменты времени [68, 77]. Одной из первых работ, исследующих подобную ситуацию, является работа П*И, Кинула [51], которая посвящена обобщению фильтра Калмаиа на случай непрерывно-дискретных наблюдений. За ней последовало решение ряда задач оценивания и распознавания П.И. Кицулом [52], Л.Е, Широковым [94] и КС. Дёминым [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] для случая совокупности непрерывных и дискретных наблюдений-
Новый класс задач заключается в том, что наблюдаемые процессы zt и r]{tm) зависят не только от текущих, но и от произвольного числа N прошлых значений xr^xT2^-.7xTN процесса Xt, т.е. обладают памятью произвольной кратности N относительно ненаблюдаемого процесса. Для подобного класса процессов для случая памяти единичной кратности (JV = 1) в работах Н.К. Кульмана, В.М Хаметова [61] и Н.С. Дёмина [29] рассмотрена задача фильтрации, в [53]-задача экстраполяции, в [31]-задача передачи стохастических сигналов по непрерывно-дискретным
о
Рис. 0.4:
тк = const -фиксированная память,
rk-t-t*k, t*k = const - скользящая память.
t sx st sL
к;«7о"}
Рис. 0.5: s{ = const - обобщенная обратная экстраполяция,
sz = f+ 7J, Тг= const - обобщенная скользящая экстраполяция.
каналам.
Для случая памяти произвольной кратности N в работах О. Л. Абакумовой, Н.С. Дёмина, Т.В. Сушко [1, 2, 3] рассмотрена совместная задача фильтрации и интерполяции, когда по совокупности реализаций 4 = {^;0<ст<і} и 4ff* = {ч(*о)т *?(*i)i - -»Ч(*т)} одновременно находятся оценки фильтрации jx(t) и интерполяции //(г,i),fc = 1; Л7", для значений ненаблюдаемого процесса xt соответственно в моменты времени , ті, Г2, .,.,7дг- При этом, если 7 == consi, ft = 1; ЛГ, то память фиксированная, а если rfc = t — t|, t% — const^ то память скользящая (Рис. 0.4). Соответственно в этом случае задачи экстраполяции могут быть сформулированны как обобщенные задачи экстраполяции, когда по совокупности реализаций {z\\ rj} одновременно находятся оценки д(я^ ), I — 1;L3 для значений процесса хв1 ненаблюдаемого процесса х± в произвольном числе 5i, 52, ..., si будущих моментов времени. При этом если si = const, I = 1; L, то имеем обобщенную обратную экстраполяцию, а если si — t + Tu Ті — constat = 1; Ь5 то обобщенную скользящую экстраполяцию (Рис.0.5). Обобщенная обратная экстраполяция рассмотрена в [43].
Другим актуальным классом задач являются задачи синтеза алгоритмов оценивания процессов в условиях наличия неопределенностей типа неизвестных параметров, либо аномальных помех, связанных с атмосферными, акустическими, искусственными помехами, а также с помехами, возникающими при отказах в измерительных устройствах [19, 20, 46? 50, 72, 82, 93], Последний случай особенно важен, так как он связан с проблемой конструирования устройств оценивания, функционирующих в автоматическом режиме, которые могли бы выполнять свои функции в условиях нарушений нормального режима работы. В указанных работах в многомерном случае (в случае многоканального приема) рассматривались задачи, когда появление аномальных помех происходит сразу по всем каналам, хотя наиболее интересной и распространенной на практике ситуацией является появление аномальных помех в какой-то части каналов наблюдения.
В настоящее время для решения подобных задач сформировалось четыре основных метода: адаптивный [82, 129]; условно-оптимальный [74, 75, 76]; минимаксный [136, 137]; метод, использующий первоначальное байесовское решение задачи фильтрации. Для случая непрерывно-дискретных наблюдений без памяти подобные задачи оценивания рассмотрены с использованием последнего метода в [32, 33], а задача обнаружения аномальных помех в [34],
Таким образом, подводя итог проведенному анализу, можем утверждать, что актуальной проблемой является: а) решение задач оценивания (фильтрации, интерполяции, экстраполяции) и распознавания процессов с непрерывным временем для случая, когда наблюдаемый процесс представляет собой совокупность непрерывных и дискретных во времени компонент, причем каналы наблюдения обладают памятью произвольной кратности; ) синтез алгоритмов оценивания процессов с непрерывным временем в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности, когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и обнаружения аномальных помех.
Цели диссертационной работы.
На основе теории условных марковских процессов рассмотреть обобщенную скользящую экстраполяцию с фиксированной памятью многомерного процесса с непрерывным временем Xf, когда наблюдаемые многомерные процессы с непрерывным zt и дискретным т?(т) временем обладают фиксированной памятью произвольной кратности N > 1, т.е. зависят не только от текущих xt, xtm^ но и от произвольного числа N прошлых значений хТк1 к = 1; iV, ненаблюдаемого процесса х^.
Рассмотреть задачу синтеза и анализа свойств фильтра-интерполятора для процессов с непрерывным временем по совокупности реализаций процессов с непрерывным и дискретным временем, обладающих фиксированной памятью произвольной кратности N, когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи.
3) Исследовать влияние кратности резервирования дискретных каналов
наблюдения на точность оценивания,
Рассмотреть в классе нерандомизированных байесовских решающих правил задачу оптимального распознавания стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности.
Рассмотреть задачу обнаружения аномальных помех в дискретных наблюдениях с памятью и исследовать качество обнаружения в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдения и от кратности резервирования каналов наблюдения.
Методика исследования»
Методы исследования включают в себя методы линейной алгебры, теории матриц, теории случайных процессов, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, общей теории статистических решений, математической статистики и статистики случайных процессов, математического анализа. Точные результаты формулируются в форме лемм, утверждений, теорем и следствий.
Оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой фильтрации fi{t) является апостериорное среднее [67], т.е. fj>(t) — M{xt\z\^ rf}* гдег усреднение осуществляется по апостериорной плотности pt{x) = dV{xt < яі^о^о*}/^' Таким образом, в общем случае нахождение fj,{t) связано с нахождением pt{x). Опыт решения задач статистики случайных процессов, где в постановке присутствуют несколько моментов времени [1]-[3], [61] говорит, что наиболее конструктивным является подход, основанный на совместной апостериорной плотности значений ненаблюдаемого процесса в моменты времени, присутствующие в постановке задачи. Такими моментами в задаче обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью кратности N являются: момент (-момент окончания наблюдения; моменты 7 = const-иомепты времени, связанные с наличием памяти, к — \\N\ моменты t + Т/, Т\ = const-моменты экстраполяции, I = \\L. Таким образом, искомые оценки
fj,(t + Т\,і) скользящей экстралоляции будут первыми моментами по соответствующим переменным апостериорной плотности
t dN^V{xt <х;х?< xN- jgf+r < а*|4 iff}
где x^ = {xTl% гс^ї-м^}, f+T ~ {xi+Tj, х*+тяї-*^4-гЛ}- Существует несколько методов получения уравнений для моментов на основе уравнения для апостериорной плотности [21, 84, 89, 101, 102, 135] (находить fi(t + Ti,t) как первый момент апостериорной плотности или как первый семиинвариант семиинвариантной функции апостериорной плотности.) В данной работе, следуя [2, 66, 135], воспользуемся методом семиинвариантной функции, поскольку он обладает рядом преимуществ [21, 135], когда уравнения для моментов находятся как уравнения для семиинвариантов. Научная новизна.
1) Впервые решена задача обобщенной скользящей экстраполяции
стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных
наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности. Получено
основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции.
В условиях апостериорной гауссовости осуществлен синтез скользящего
непрерывно-дискретного фшътра-интерполятора-жстраполятора с
фиксированной памятью.
2) Впервые осуществлен совместный синтез оптимального в
среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора
в случае непрерывно-дискретных наблюдений с фиксированной памятью
произвольной кратности при наличии аномальных помех. Исследованы
свойства полученного решения, касающиеся зависимости точности
оценивания от структуры воздействия компонент вектора аномальных
помех на компоненты вектора наблюдения и кратности резервирования
дискретных каналов наблюдения.
3) Впервые решена задача распознавания состояний случайных
процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной
памятью произвольной кратности и задача обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения, а также исследовано качество обнаружения в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдения и от кратности резервирования каналов наблюдения.
Теоретическая ценность работы.
Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области решения задач оценивания и распознавания случайных процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью.
Практическая ценность работы*
Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при разработке систем обработки измерений, систем управления, навигационных систем и систем управления подвижных объектов, функционирование которых происходит в условиях, имеющих следующие особенности:
1) непрерывно-дискретный во времени характер доступной измерению
(наблюдению) информации, например, когда непрерывно во времени
поступают сигналы бортовых измерителей, а в отдельные моменты
времени- сигналы от внешних источников;
2) наблюдения обладают памятью относительно ненаблюдаемого
процесса, т.е. зависят как от текущих, так и от прошлых значений
ненаблюдаемого процесса, что связано с конечным временем срабатывания
измерителей, либо с конечным временем прохождения сигналов по каналам
передачи информации;
3) в системе присутствуют неопределенности типа аномальных помех.
Апробация работы.
Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах:
1) Международная конференция "Всесибирские чтения по математике" (Томск, 1997).
2) Russian-Korean International Symposium of Science and Technology
"Korus" (Новосибирск 1999, Томск 2001).
3) IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике
"INPRIM11 (Новосибирск 2000).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 17 работ, приведенных в списке литературы [36]-[42], [78, 79, 80], [107]-[113].
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения! трех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы общим объемом 207 страниц. Используется тройная нумерация формул: первая цифра-номер главы, вторая цифра^номер пункта, третья цифра-номер формулы. Нумерация утверждений (теорем, лемм, следствий, замечаний) двойная: первая цифра-номер главы, вторая цифра-номер соответствующего утверждения. Нумерация рисунков -двойная: первая цифра-номер главы, вторая цифра-номер рисунка.
Краткое содержание диссертации.
Во введении показывается актуальность работы, дается краткий обзор работ других авторов по данной тематике, формулируется цель работы, обосновывается выбор методики исследования, указывается область применения результатов и приводится краткое содержание работы.
В первой главе диссертации рассматривается задача обобщенной скользящей экстраполяции стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности. В пЛЛ формулируется постановка задачи главы L В пЛ.2 получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНОСЭФП) для совместной апостериорной плотности значений ненаблюдаемого процесса в текущий момент времени, в прошлые моменты времени, связанные с наличием памяти, и в будующие моменты времени, которые являются моментами экстраполяции. В качестве
частных случаев из ОУНОСЭФП следует основное уравнение нелинейной обобщенной обратной экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНООЭФП), а также основное уравнение нелинейной фильтрации с фиксированной памятью (ОУНФФП). В п. 1,3 получено уравнение для семиинвариантной функции совместной апостериорной плотности, из которого следуют уравнения для перечисленных выше частных случаев, В п. 1.4 показывается, что эффективный синтез скользящего экстраполятора может быть осуществлен только в условиях апостериорной гауссовости. Получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный фильтр-интерполятор-экстраполятор в случае фиксированной памяти. Из этих общих результатов в п.1,5, как частные случаи, следуют решения следующих задач:
а) обобщенной обратной экстраполяции с фиксированной памятью;
б) фильтрации-интерполяции с фиксированной памятью.
В пД.6 проводится исследование эффективности дискретных наблюдений с памятью кратности JV = 1 относительно наблюдений без памяти на основе задачи обратной экстраполяции с фиксированной памятью. В п.1.7 приводятся выводы по главе 1, Основные результаты главы опубликованы в [37, ПО, 112].
Во второй главе диссертации осуществлен синтез и анализ оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора (ОСКСНФИ) для процессов с непрерывным временем по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью произвольной кратности, когда в каналах наблюдения присутствуют аномальные помехи. В п. 2 Л приводятся модели процессов и формулируется постановка задачи главы 2. В п.2.2 рассматривается случай, когда аномальные помехи присутсвуют только в непрерывных наблюдениях. Осуществлен систез ОСКСНФИ и исследованы его свойства относительно оптимальности процедуры исключения аномальных наблюдений и нечувствительности к матрице интенсивности аномальных помех. В п.2.3 для случая совокупности непрерывных и дискретных наблюдений осуществлен синтез
ОСКСНФИ и исследуются его свойства относительно нечувствительности к матрице интенсивности аномальных помех, оптимальности процедуры исключения аномальных измерений и качество оценивания в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдений, а также проводится исследование эффективности дискретного канала с памятью при наличии аномальных помех относительно канала без памяти в задаче интерполяции. В п.2.4 результаты п.2.2 и п.2.3 обобщаются на случай резервирования дискретных каналов наблюдения, исследуется качество оценивания в зависимости от кратности резервирования и проводится исследование эффективности дискретного канала с памятью при наличии аномальных помех относительно канала без памяти в задаче фильтрации.В п.2,5 приводятся выводы по главе 2, Основные результаты главы опубликованы в [39, 41, 42, 78, 79, 80, 107, 108, 109, 111].
В третьей главе диссертации рассматривается задача распознавания произвольного числа гипотез, когда ненаблюдаемый процесс является процессом с непрерывным временем, а наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным и дискретным временем с фиксированной памятью произвольной кратности. Также решается важная частная задача распознавания- задача обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения с памятью. В п.3.1 приводятся модели процессов и формулируется постановка задачи главы З, В п.3.2 рассматривается задача распознавания произвольного числа гипотез в стохастических системах при непрерывно-дискретных наблюдениях с фиксированной памятью произвольной кратности. Находятся апостериорные вероятности гипотез и отношения правдоподобия. В п-3.3 рассматривается случай, допускающий эффективное вычисление указанных статистик. В п.3.4 решается задача оценивания, решение которой получается в форме адаптивных по Лаиниотису (D.G. Lainiotis) оценок. В п.3.5 рассмотрен частный случай задачи распознавания. В п.3.6 рассматривается задача обнаружения аномальных помех в дискретных
каналах наблюдения. На основе дивергенций по Кульбаку, исследуется эффективность процедуры обнаружения в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдений и от кратности резервирования каналов наблюдения, а также исследуется эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче обнаружения. В п.3.7 приводятся выводы по главе 3. Основные результаты главы опубликованы в [36, 38, 40, ИЗ].
В заключении формулируются основные результаты исследования, выносимые на защиту .
В приложение АЛ вынесены формальные, но достаточно громозкие преобразования, связанные с выводом некоторых формул и уравнений,
В приложение А.2 вынесено получение дифференциальных уравнений, возникающих при доказательстве теоремы о параметрах ФИЭ в условиях апостериорной гауссовости,
В приложение А.З вынесено получение дифференциальных уравнений, доказывающих Утверждение 1.1, на основе которых проводится исследование эффективности дискретного канала с памятью в задаче экстраполяции.
В приложение В вынесено получение формул, определяющих односторонние (направленные) дивергенции в случае редких дискретных наблюдений при условии, когда гипотезы связаны только с шумом.
I !
Основное уравнение нелинейной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью
В задаче распознавания отношение правдоподобия в классе нерандомизированных байесовских стратегий является достаточной статистикой для построения решающих правил [115, 134, 139, 141]. Поэтому нахождение отношения правдоподобия является базовой задачей в решении данной проблемы. Современный этап в теории синтеза алгоритмов обработки стахостических процессов берет начало с работ [122, 123]. В системах калмановского типа основным математическим объектом является пара процессов {xt; yt} с непрерывным либо дискретным временем, где Xt является ненаблюдаемым процессом, & yt - наблюдаемым процессом. Для случая, когда Xt и yt являются процессами с дискретным временем и xt - гауссовский процесс, проблема нахождения отношения правдоподобия в задаче обнаружения, которая является частным случаем задачи распознавания, рассматривалась в [132, 139, 140]. Для случая, когда xt и yt являются процессами с непрерывным временем и xt - гауссовский процесс, проблема нахождения отношения правдоподобия в задаче обнаружения рассматривалась в [119, 139]. Проблема нахождения отношения правдоподобия в общей задаче распознавания рассматривалась в [144] для случая, когда xt и yt являются процессами с дискретным временем, и в [116] для случая, когда xt и yt являются процессами с непрерывным временем. Проблеме нахождения отношения правдоподобия, когда yt = y(t,tm) = {zt,7)(tm)}, то есть наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным zt и дискретным r](tm) временем, посвящена работа [26].
Новый класс задач порождается ситуацией, когда наблюдаемые процессы Zt и r}(tm) обладают памятью памятью относительно ненаблюдаемого процесса, то есть Zt и 7](tm) зависят не только от текущих, но и от произвольного числа N прошлых значений процесса xt. Для подобного класса процессов {xt;zt;r](tm)} для случая памяти единичной кратности (ЛГ = 1) в [29, 61], рассмотрена задача фильтрации, в [30] -задача экстраполяции, в [31] - задача передачи стохастических сигналов по непрерывно-дискретным каналам, в [106] - задача распознавания. Для случая памяти произвольной кратности N 1 в [1, 2] рассмотрена задача фильтрации, а в [43] задача экстраполяции.
Данная глава посвящена проблеме нахождения отношения правдоподобия в общей задаче распознавания произвольного числа гипотез, когда ненаблюдаемый процесс х% является процессом с непрерывным временем, а наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным zt и дискретным r)(tm) временем с фиксированной памятью произвольной кратности. Совместно с [1, 2, 43] и результатами первой и второй глав данная глава дает решения задач синтеза оптимальных алгоритмов обработки стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности.
Исследование эффективности дискретного канала с памятью в задаче экстраполяции
Основные научные положения, выносимые на защиту, сводятся к следующему. Для случая совокупности непрерывных и дискретных во времени наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности N : 1) Получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНОСЭФП), определяющее совместную апостериорную плотность значений ненаблюдаемого процесса xG в момент окончания наблюдений , в моменты времени, характеризующие память, и в будующие моменты времени t + Ти такие что. Сформулированы частные результаты, следующие из ОУНОСЭФП как следствия. 2) В условиях апостериорной гауссовости на основе ОУНОСЭФП с использованием метода семиинвариантной функции осуществлен синтез фильтра-интерполятора-экстраполятора, определяющего оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки фильтрации fi{t), интерполяции (, экстраполяции для будущих значений. Сформулированы частные результаты, следующие из общего результата, 3) Осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности? когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и исследованы его свойства, 4) Получено решение проблемы нахождения апостериорных вероятностей гипотез и отношений правдоподобия в общей задаче распознавания произвольного числа гипотез по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений для случая фиксированной памяти произвольной кратности. 5) Решена задача обнаружения аномальных помех с заданной структурой воздействия её компонент на компоненты вектора наблюдения и исследованы потенциальные свойства алгоритма относительно нижних границ вероятностей ложного обнаружения и пропуска аномальной помехи. 6) С использованием общих результатов решены задачи исследования эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задачах фильтрации, интерполяции, экстраполяции, обнаружения аномальных помех.
Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче интерполяции
Во второй главе рассматривается совместная задача фильтрации и интерполяции стохастических процессов с непрерывным временем по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью произвольной кратности в присутствии аномальных помех. 1) Осуществлен синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора (ОСКСНФИ, Теоремы 2.1, 2.4). 2) Доказана нечувствительность ОСКСНФИ к неточному знанию матриц интенсивности аномальных помех (Теоремы 2.2, 2,5). 3) Показано, что процедура исключения аномальных компонент векторов наблюдения является оптимальной в классе линейных ОСКСНФИ в случае неизвестных математических ожиданий аномальных помех (Теоремы 2.3, 2.6). 4) Исследовано качество оценивания в зависимости от структуры воздействия компонент вектора дискретных наблюдений (Теоремы 2.7, 2.8). 5) Исследовано качество оценивания в зависимости от кратности резервирования дискретных каналов наблюдения (Теоремы 2.9, 2.10). 6) С использованием общих результатов в частных задачах исследованы эффективность каналов с памятью относительно количества аномальных каналов в задаче интерполяции и эффективность идеального резервного канала наблюдения с памятью относительно аналогичного канала наблюдения без памяти в задаче фильтрации. Распознавание стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью
В задаче распознавания отношение правдоподобия в классе нерандомизированных байесовских стратегий является достаточной статистикой для построения решающих правил [115, 134, 139, 141]. Поэтому нахождение отношения правдоподобия является базовой задачей в решении данной проблемы. Современный этап в теории синтеза алгоритмов обработки стахостических процессов берет начало с работ [122, 123]. В системах калмановского типа основным математическим объектом является пара процессов {xt; yt} с непрерывным либо дискретным временем, где Xt является ненаблюдаемым процессом, & yt - наблюдаемым процессом. Для случая, когда Xt и yt являются процессами с дискретным временем и xt - гауссовский процесс, проблема нахождения отношения правдоподобия в задаче обнаружения, которая является частным случаем задачи распознавания, рассматривалась в [132, 139, 140]. Для случая, когда xt и yt являются процессами с непрерывным временем и xt - гауссовский процесс, проблема нахождения отношения правдоподобия в задаче обнаружения рассматривалась в [119, 139]. Проблема нахождения отношения правдоподобия в общей задаче распознавания рассматривалась в [144] для случая, когда xt и yt являются процессами с дискретным временем, и в [116] для случая, когда xt и yt являются процессами с непрерывным временем. Проблеме нахождения отношения правдоподобия, когда yt = y(t,tm) = {zt,7)(tm)}, то есть наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным zt и дискретным r](tm) временем, посвящена работа [26].
Новый класс задач порождается ситуацией, когда наблюдаемые процессы Zt и r}(tm) обладают памятью памятью относительно ненаблюдаемого процесса, то есть Zt и 7](tm) зависят не только от текущих, но и от произвольного числа N прошлых значений процесса xt. Для подобного класса процессов {xt;zt;r](tm)} для случая памяти единичной кратности (ЛГ = 1) в [29, 61], рассмотрена задача фильтрации, в [30] -задача экстраполяции, в [31] - задача передачи стохастических сигналов по непрерывно-дискретным каналам, в [106] - задача распознавания. Для случая памяти произвольной кратности N 1 в [1, 2] рассмотрена задача фильтрации, а в [43] задача экстраполяции.
Данная глава посвящена проблеме нахождения отношения правдоподобия в общей задаче распознавания произвольного числа гипотез, когда ненаблюдаемый процесс х% является процессом с непрерывным временем, а наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным zt и дискретным r)(tm) временем с фиксированной памятью произвольной кратности. Совместно с [1, 2, 43] и результатами первой и второй глав данная глава дает решения задач синтеза оптимальных алгоритмов обработки стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности.
Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти
В первой главе рассматривается задача скользящей экстраполяции многомерного процесса с непрерывным временем Xt по совокупности реализаций z% = {z„; 0 а t} и r$ = Ы о),ч( 1)»ч( 2)»-»»?( т); О la t\ ... tm t} многомерных процессов с непрерывным Zt и дискретным 7}(tm) временем, когда наблюдаемые процессы зависят не только от текущих хи xtm но и от произвольного числа N прошлых значений %Tk,Tk = const) к = 1; iV", ненаблюдаемого процесса ха} т.е. имеем случай каналов наблюдения с фиксированной памятью произвольной кратности N. 1) Получено основное уравнение нелинейной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНОСЭФП) для случая совокупности непрерывных и дискретных наблюдений (Теорема 1.1), определяющее совместную апостериорную плотность р\±ть{х\ лг; %1) значений ненаблюдаемого процесса ха в момент окончания наблюдений , в моменты времени 7Ъ, к = 1;JV5 характеризующие память и в будующие моменты времени t + Tut + T2)t + Ts}...,t + TL, такие что Тг Т2 TS ... TLi Т\ = const, I = 1;L. В качестве частных случаев из ОУНОСЭФП следуют основное уравнение нелинейной обобщенной экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНООЭФП : Следствие 1.5), а также основное уравнение нелинейной фильтрации с фиксированной памятью (ОУНФФП: Следствие 1.1). 2) В условиях апостериорной гауссовости на основе ОУНОСЭФП с использованием метода семиинвариантной функции осуществлен синтез скользящего экстраподятора, определяющего оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки fj,(t + T t) для будущих значений ям-Тр I = l\L, ненаблюдаемого процесса xt для случая фиксированной памяти (Теорема 1.5), а также обратного экстраполятора с фикснрованой памятью (Следствие 1.6). Из этих общих результатов, как частные случаи, следуют решения некоторых частных задач (Следствие 1.4; Замечание 1.5). 3) В условиях апостериорной гауссовости система дифференциально-рекуррентных уравнений, определяющая "фильтр-интерполятор", является замкнутой, те, представляет собой самостоятельный, независимый блок в системе "фильтр-интерполятор-экстратолятор". 4) С использованием общих результатов решена задача исследования эффективности оценки экстраполяции стационарного гауссовского марковского процесса диффузионного типа (процесс Орнстейяа-Уленбека) для случая присутствия непрерывных наблюдений без памяти, причем исследована эффективность дискретного канала с фиксированной памятью кратности N = 1 относительно дискретного канала без памяти. Рассмотренный пример показал, что наблюдения с памятью могут как улучшать, так и ухудшать точность оценок экстраполяции. Фильтрация в динамических системах по непрерьгенсъдискретньш наблюдениям с фиксированной памятью при наличии аномальных помех Теория калмановской фильтрации [123] является основой для конструирования современных систем управления, навигации, передачи и переработки информации, обработки траекторных изменений [7, 58, 68, 83, 84, 85, 96, 102]. Потребности практики со временем потребовали развития данного направления на случай неточного задания математической модели либо нарушения нормального режима функционирования системы [50], [86]-В рамках развития этой проблемы в данной главе рассматривается задача оценивания вектора состояния системы калмановского типа для случая, когда: 1) каналы наблюдений являются непрерывно-дискретными во времени и обладают памятью произвольной кратности относительно значений вектора состояния, что имеет место, например, при наличии инерционных измерителей либо наличии задержек в каналах передачи информации; 2} в каналах наблюдений, кроме регулярных, действуют аномальные помехи, причем в общем случае не по всем компонентам вектора наблюдений; 3) аномальные помехи являются нестационарными, математические ожидания которых - неизвестные функции времени. Результаты данной главы представляют собой обобщение результатов [32],[33] на случай наблюдений с памятью.
![Модельное представление морфофункционального состояния системы периферических эндокринных желез в условиях отдаленности последствий [Г] -облучения в малых дозах](/i/i/4389/393433.png "Модельное представление морфофункционального состояния системы периферических эндокринных желез в условиях отдаленности последствий [Г] -облучения в малых дозах Черкасова Юлия Баходуровна")
