Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор методов синтеза систем с распределенными параметрами 20
1.1. Понятие пространственно-инвариантных объектов и систем . 20
1.2. Методы синтеза пространственно-инвариантных систем . 26
1.2.1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) 26
1.2.2, Частотный метод синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами 30
1.2.2Л. Распределенные звенья , 31
1,2.2.2. Распределенный высокоточный регулятор . 33
1,2-3. Параметрический синтез регуляторов 35
1.3. Общие замечания к синтезу систем, не принадлежащих к классу пространственно-инвариантных 36
ГЛАВА 2. Построение корректирующих устройств . 45
2Л. Понятие прострапственно-субиивариантиых объектов и систем . 45
2.2. Масштабный преобразователь распределенных сигналов 46
2.3, Распределенный преобразователь 57
ГЛАВА 3. Математическая модель магнитных полей тороидальной камеры 68
3.1. Проблема управляемого термоядерного синтеза 68
3.2. Конструкция установок ТОКАМАК 70
3-3. Пространственная структура регулирующей оболочки 71
3,3.1, Магнитное поле 76
3,3-2. Уравнения магнитной гидродинамики 78
3.4 Математическая модель магнитных полей тороидальной камеры , 79
3.4.1. Условия для магнитного поля на границе раздела двух изотропных сред 82
3.4.2. Расчет входного воздействия 83
3.4.3. Граничные условия 84
3.5, Дискретная математическая модель 85
3.5Л. Дискретизация тороидальной камеры по пространственным координатам 88
3.6, Результаты моделирования 91
ГЛАВА 4. Синтез распределенной системы управления магнитным полем установки токамак , . 98
4Л, Постановка задачи синтеза 99
4.2. Определение динамических характеристик объекта управления методом частотных характеристик 102
4.3, Определение параметров масштабного преобразователя 107
4-4. Синтез распределенного высокоточного регулятора (РВР) , 109
4-4 Л. Определение параметров регулятора 111
4.4ЛЛ. Пропорциональная составляющая 111
4.4Л 2. Интегрирующая и дифференцирующая составляющие , 112
4.5. Исследование эффективности синтезированного регулятора (результаты численного моделирования) 115
Заключение 121
Библиографический список
Использованной литературы 123
Приложения 135
- Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)
- Масштабный преобразователь распределенных сигналов
- Математическая модель магнитных полей тороидальной камеры
- Определение параметров масштабного преобразователя
Введение к работе
В современных условиях большое распространение получили непрерывные технологические процессы большой мощности со сложными комплексами энергетических и материальных потоков. Параметры многих технологических процессов изменяются не только во времени, но и в пространстве, В качестве примера могут служить процессы, связанные с термической обработкой, диффузией и т.п. (в теории управления этот класс процессов назван системами с распределенными параметрами (СРП)).
Строго говоря, практически любой реальный объект управления представляет собой СРП, и лишь в частных (хотя и достаточно часто встречающихся на практике) случаях его можно с некоторыми небольшими допущениями и погрешностями отнести к типу систем с сосредоточенными параметрами (ССП). Необозримое по своему разнообразию число реальных управляемых процессов, описываемых пространственно-временными характеристиками физических полей различной природы (электромагнитное и температурное поля, поля концентраций, перемещений, деформаций, напряжений, скоростей, давлений, потенциалов и т.д.), относится к СРП, для: которых пренебрежение пространственной зависимостью функции состояния приводит к потере принципиальных свойств обьекта.
К числу СРП относится широкий круг типичных управляемых объектов, охватывающих, в частности, как традиционные, так и новейшие технологии в самых различных областях техники, зачастую практически не реализуемые с требуемыми качественными показателями без построения соответствующих систем автоматического управления, что и явилось главным стимулом к созданию теории и методов управления СРП.
Состояние проблемы синтеза регуляторов дли объектов с распределенными параметрами. Для изложения состояния проблемы рассмотрим, вначале, способы построения систем управления процессом
распространения тепла в пластинке конечных размеров математическая модель этого процесса имеет вид:
дТ 8т
~а
д2Т д2Т д2т] ах2 ду2 dz2
(1)
0
Граничные и начальные условия для уравнения (1) задаются соотношениями:
T(x,y,L,T) = U{x,y,T),
= 0
дт(х,у,0,т)_
T(x,O,z,T) = T(x,Ly,z,r) = T(0,y,z,r) = T(Lx,y,z,T) = O,
T(x,y,z,0) = 0,
(2)
(3)
(4) (5)
где Т{х,у^>т) - температурное поле пластины;
L& Ly, Lz - заданные числа;
г-время;
а - коэффициент температуропроводности материала пластинки;
U(x9 у,т) — управляющее воздействие (управление).
Ставится следующая задача - найти управление, при котором на
*
плоскости Sn {x,y,z = z}t (0
неравенство
г—Ї-СО
T{x,y,z,r)-F(x,y)
(6)
где Д - заданное число (установившая точность); F(x,y) - заданная функция. Очевидное решение поставленной задачи заключается в следующем:
полагая в (6) Д = 0, (0 < г й со) 9 получим
x,y,zfz\^F(x,y)m (7)
Для определения управления найдем решение уравнения
дТ (д2Т д2Т д2т\ 8т [дх2 By2 dz2}
0
при граничных условиях (3), (4), (7) и начальном условии (5). Определив функцию Т{х,у^,т) и воспользовавшись соотношением (2), найдем управление.
В произведенном решении предполагалось, что коэффициент температуропроводности а точно известен.
В действительности значение коэффициента а точно не известно. Оно зависит от свойств материала и определяется экспериментально, поэтому реализовать полученное управляющее воздействие затруднительно (из-за параметрического возмущения а).
Портером показано [1], что система с обратной связью менее чувствительна к параметрическим возмущениям, чем описанная выше разомкнутая система» В связи с этим используются системы с обратной связью.
В литературе известен ряд методов синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами:
аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (ЛКОР);
параметрический синтез регуляторов;
конечномерная аппроксимация систем с распределенными параметрами и решение задачи синтеза регуляторов методами, используемыми в сосредоточенных системах;
синтез систем управления с подвижным воздействием;
7 5) частотный метод синтеза.
Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов для систем с распределенными параметрами основывается на принципе оптимальности Беллмана и принципе максимума Понтрягина. Общим вопросам АКОР для систем с распределенными параметрами посвящены работы Сиразетдинова Т.К. [2-8], Дегтярева Г.Л [9], Егорова А.И. [10-12], а также работы [13-17]. В работах [3, 11] дан вывод интегро-дифференциального уравнения типа Риккати при квадратичном критерии качества. При этом полагается, что объект описывается системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Граничные условия считаются однородными и нулевыми.
Вывод интегро-дифференциального уравнения типа Риккати для стохастических систем при неполном измерении функции состояния системы приведен в [4].
Уравнение типа Риккати, полученное в [5], представляет собой систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.
В [18, 19] рассматривается решение задачи АКОР для систем с распределенными параметрами, когда существует полная биортогональная система собственных вектор-функций.
В частных случаях решения задач синтеза для теплового процесса [7, 20], гидродинамических процессов [21-23], задачи синтеза регуляторов, минимизирующих напряжение в упругих конструкциях [5], полученные уравнения типа Риккати решаются методом последовательных приближений- В задаче синтеза системы управления проводником в магнитном поле [24, 25] уравнение типа Риккати решается с использованием аппарата Фурье, Решение задач синтеза оптимальных регуляторов для объектов с запаздывай и ем рассмотрено в [26-28].
Для выработки управляющего воздействия регулятором, синтезированным по методу АКОР, необходимо знать состояние объекта управления, а измерению, как правило, доступно состояние ограниченного числа точек распре-
8 деленных объектов, поэтому возникает задача восстановления функции состояния объекта, или задача наблюдения по результатам измерений.
Определение наблюдаемости для систем с распределенными параметрами является развитием концепции наблюдаемости сосредоточенных систем, предложенной Калманом [29], и заключается в требовании возможности восстановления начального состояния системы на некотором временном интервале в некоторой конечной пространственной области [30-33].
Впервые задача оценки состояния распределенной системы методом наименьших квадратов рассмотрена в [16]. В [34] предложены алгоритмы оценки системы с распределенными параметрами методом наименьших квадратов. Работы [9, 35-37] посвящены построению фильтра Калмана для систем с распределенными параметрами, В [38-41] рассмотрены вопросы построения оптимальных фильтров для дискретных распределенных систем. Обобщение результатов исследований по фильтрации случайных полей дано в работе Дегтярева ГЛ [9], при этом полагалось, что наблюдаемый сигнал является некоторым линейным оператором. Вопросы оптимального размещения датчиков для измерения состояния распределенных объектов рассмотрены в [42].
Таким образом, основным препятствием на пути применения АКОР является трудность решения интегро-дифференциалыюго уравнения типа Риккати. Даже если удалось построить решение интегро-диффереициального уравнения на основе собственных вектор-функций, остается неясным, как аппроксимировать конечным образом бесконечную систему дифференциальных уравнений, к решению которой сводится решение уравнения типа Риккати. Следует также отметить трудность выбора весовых функций функционала оптимизации и сложность решения задачи наблюдения.
Переходя ко второму направлению (параметрический синтез регуляторов), можно выделить два поднаправления.
Первое поднаправление состоит в разработке модели системы управления с регулятором выбранной структуры. Требуемое качество и точность выбранных критериев оптимизации системы достигаются путем перебора
параметров регулятора с использованием численного экспериментирования на ЭВМ (или на реальном объекте).
Количественной мерой оценки при формировании критериев оптимизации может служить Д - норма.
При этом многие важные практические задачи могут быть сведены к задаче минимизации т - нормы матрицы передаточных функций замкнутой системы. Это позволило разработать различные варианты параметрического синтеза достаточно эффективные в инженерной практике [43].
Второе поднаправление параметрического синтеза регуляторов базируется на использовании структурной теории, в которой введено понятие распределенных блоков [44-49].
Распределенный блок это устройство, в котором выделены входная распределенная функция и распределенная функция выхода- Описание распределенных блоков дается импульсной переходной функцией (функцией Грина).
В [47] приведены импульсные переходные функции для различных физических процессов, описываемых уравнениями в частных производных.
Для описания сложных взаимосвязанных систем с распределенными параметрами в [50, 51] определены операции соединения отдельных блоков, а также выводится передаточная функция замкнутой распределенной системы.
Вывод передаточных функций для неоднородных систем приведен в [44], Примером неоднородной системы может служить тепловой процесс, протекающий в многослойной пластине (или оболочке). Как известно, функции распределения температуры в каждом слое пластинки (оболочки) связаны между собой граничными условиями. Для получения передаточной функции многослойной пластинки (оболочки) используют передаточные функции каждого слоя пластинки, и по разработанному в [44] алгоритму находят передаточную функцию всей пластины (оболочки).
Для решения задачи параметрического синтеза моделируют систему управления на ЦВМ и выбирают параметры регулятора»
В отличие от прямого моделирования уравнений объекта и регулятора на ЦВМ при использовании структурной теории значительно упрощается решение вопросов сходимости численных методов, и снимается проблема устойчивости вычислительной схемы.
Переходя к третьему направлению синтеза, следует отметить, что, в сущности, численное решение уравнений в частных производных на ЦВМ базируется на использовании конечномерной аппроксимации, и поэтому, естественно, на необходимости аппроксимировать систему с распределенными параметрами специальным образом подобранной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такая конечномерная аппроксимация распределенных систем может базироваться на использовании конечномерных представлений частных производных на основе метода «сеток» и «прямых», а также с использованием рядов Тейлора [24,42,52-69].
Рассмотрим применение конечномерной аппроксимации к объекту, описываемому уравнением (1), Положим, что число точек дискретизации по оси х равно I, по оси у равно J, а по оси z равно К, Тогда уравнение (1) может быть записано в виде следующей системы уравнений:
la? V dz2
где Ax, Ду, Az - шага дискредитации соответственно по осям хг у, z.
Граничные значения функций Г0/і; ГЬІі/4; TlrUl/$ Тш; ТЧМ1 определяются с учетом условий (2) - (5),
Если полученную систему записать в векторной форме Х= A-X+B-U, то размерность вектораХ, будет m = I-J-Kt а матрицы A = m*m. Следовательно, даже при небольшом числе точек дискретизации по осям (например, / = J-K = 5) достаточно велика размерность вектора.^(/л = 125) и матрицы Л (125 х 125), что осложняет решение задачи синтеза регулятора.
В [55, 70, 71] приведено решение задачи управления объектами, описываемыми уравнениями параболического типа, при этом используется конечномерная аппроксимация на основе метода «прямых».
Однако, во многих задачах процесс аппроксимации является неустойчивым относительно погрешностей промежуточных вычислений, и иногда весьма сложно доказать сходимость конечномерных аппроксимаций [72,73].
Широкую известность в исследовании систем с распределенными параметрами получил метод модального управления, в котором используется разложение входного воздействия в ряды по собственным функциям оператора объекта. Обширная библиография по модальному управлению приведена в [43, 46]. При использовании этого метода задача синтеза распадается на ряд подзадач синтеза по каждой моде, причем число мод выбирается, как правило, конечным. Вычисление управляющего воздействия для рассматриваемых систем состоит из следующих этапов [43]:
Входной сигнал в регулятор разлагается в ряд по собственным функциям оператора объекта с сохранением конечного числа членов ряда (числа мод).
Каждая мода пропускается через свой регулятор, а па выходе сигналы суммируются- Полученный суммарный сигнал подается на объект управления.
Решение ряда технических задач, в которых используется аппарат модального управления, приведено в [74-79].
Одной из разновидностей модального управления является спектральный метод. Используя понятие обобщенной функции спектральных характеристик, в [27] разработана процедура перехода от уравнений в частных производных к системе уравнений в форме Коши. При этом, если управляющее воздействие распределено по некоторой граничной области, то используя дельта-функции оно переносится в основное уравнение, описывающее распределенный объект.
Рекомендуемые в [27] алгоритмы анализа и синтеза позволяют существенно облегчить решение практических задач проектирования распределенных систем управления.
Системы с подвижным воздействием, рассматриваемые в четвертом направлении синтеза, оказались новым классом для систем с распределенными параметрами. Это потребовало разработки специальных методов анализа и синтеза этих систем [48, 80-85]. Основной технической трудностью в построении таких систем управления является трудность создания высокоскоростных источников воздействия любой физической природы.
Рассматривая пятое направление синтеза регуляторов, следует отметить, что концепции частотных характеристик и методы проектирования, основанные на них, являются основным рабочим инструментом при проектировании сосредоточенных систем с одним входом и одним выходом.
На практике часто используется критерий X. Найквиста, так как он связан с величинами, которые могут быть непосредственно измерены. Как известно [S6]t X. Найквист для построения системы управления с обратной связью использовал не математическую модель, а сам объект с точки зрения сигналов «вход - выход».
В начале обзора частотных методов синтеза для систем с распределенными параметрами кратко рассмотрим основные результаты по частотным методам синтеза в сосредоточенных системах. Это связано с тем, что основные результаты, полученные в сосредоточенных системах, могут быть обобщены на системы с распределенными параметрами.
Для одномерных сосредоточенных систем управления решена задача обеспечения устойчивости и точности в установившемся режиме, установлена аналитическая зависимость между переходной функцией и частотной характеристикой системы [87, 88], а также разработаны приближенные методы оценки времени регулирования и перерегулирования по вещественным частотным характеристикам [89-91].
Применение частотного метода синтеза для многомерных сосредоточенных систем рассмотрено в [92-98]. Основная трудность применения частотного метода синтеза для многомерных сосредоточенных систем связана с необходимостью приведения системы управления к такому виду, когда взаимодействие
13 между контурами можно не учитывать, а рассматривать систему в виде совокупности независимых одномерных сосредоточенных систем.
Как известно, в линейных сосредоточенных системах для анализа устойчивости используется характеристический полином- В системах с распределенными параметрами выделить аналогичный характеристический полином удается не всегда. Рассматривая объекты, описываемые уравнением в частных производных, зависящих от одной пространственной координаты, в [87] получены их передаточные функции, которые представляются отношением иррациональных или трансцендентных функций, зависящих от физических свойств объекта и краевых условий. Аналогичные передаточные функции получены в [99-101] для объектов, описываемых уравнением в частных производных с разделяющимися переменными.
В подходе к исследованию устойчивости такого рода систем управления можно выделить несколько направлений. Одно из них заключается в усечении функций числителя и знаменателя, представляемых в виде бесконечных рядов, и представлении передаточной функции в виде отношения конечных полиномов. Для усечения целых функций может быть использована формула Уитек-кера [102], по которой строится последовательность, сходящаяся к наименьшему по модулю корню целой функции. Задавая точность определения наименьшего по модулю корня, можно произвести усечение целой функции.
Представление передаточной функции систем с распределенными параметрами в виде отношения конечных полиномов может базироваться на использовании разложения передаточной функции в ряды Тейлора [82] и отбрасывании членов высоких порядков.
В общем случае методика исследования устойчивости систем управления с распределенными параметрами, с использованием при этом представления передаточных функций в виде отношения конечных полиномов, не разработана. Поэтому существует опасность потери положительных корней при замене це-лой функции конечным полиномом.
Второе направление исследования устойчивости систем с распределенными параметрами связано с исследованием неусеченных передаточных функций. В этом случае характеристический полином системы с распределенными параметрами представляется в виде целой функции. Исследование расположения корней целых функций рассмотрено в работах [30,102-105]. В [102] для целых функций получены достаточные условия того, чтобы минимальный по модулю корень был отрицательным.
При рассмотрении систем с распределенными параметрами, передаточные функции которых представлены в виде отношения бесконечных полиномов, в [87] приведены условия, которым должны удовлетворять передаточные функции разомкнутой системы, чтобы было возможно применение критерия Найк-виста к анализу устойчивости замкнутой системы. Было показано, что передаточная функция разомкнутой системы управления, представляющая собой частное от деления двух полиномов, должна быть мероморфной и на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса не должна иметь особенностей.
Отметим, что разработка частотных методов стимулировалась необходимостью развития методов синтеза регуляторов для объектов, модели которых определяются с использованием экспериментальных данных. Частотные методы синтеза сосредоточенных систем дают возможность непосредственно связать параметры синтезируемой системы с качеством процесса управления.
Задачи управления СРП оказываются качественно более сложными по сравнению с ССП ввиду целого ряда принципиальных особенностей. Укажем некоторые из них [106].
1. Состояние СРП, определяемое функцией нескольких переменных, описывается, соответственно, дифференциальными уравнениями не в обыкновенных, а в частных производных (содержащими производные функции состояния как во времени, так и по пространственным координатам), интегральными уравнениями, а так же «гибридными» системами уравнений различной природы, включая в качестве дополнительных соотношений и обыкновенные дифференциальные уравнения. Это обстоятельство приводит к математическим
15 моделям СРП, качественно отличающимся от типичных представлений, используемых в ССП,
По сравнению с ССП принципиально расширяется класс управляющих воздействий, прежде всего за счет возможности включения в их число пространственно временных управлений, описываемых подобно управляемому состоянию СРП, функциям нескольких аргументов - времени и пространственных координат. Применительно к таким воздействиям становится непригодной стандартная техника исследования ССП.
Формулируемые применительно к пространственно - распределенным функциям состояния и управляющим воздействиям в СРП даже традиционные в содержательном плане постановки задач управления характеризуются рядом отличий, не имеющих аналогов в задачах управления ССП,
Указанные выше особенности приводят к необходимости далеко не тривиальных обобщений важнейших категорий теории управления на случай систем с распределенными параметрами и по существу требуют создания нового аппарата для их анализа и синтеза на базе нетрадиционных для теории управления математических средств,
Задача реализации системы управления объектами с распределенными параметрами резко усложняется по сравнению с ССП как за счет необходимости осуществления пространственно - распределенного контроля состояния объекта в целях наблюдения за результатами процесса управления и использования соответствующих сигналов обратных связей, так и за счет необходимости построения регуляторов с пространственно - распределенными управляющими воздействиями.
Вышесказанное в достаточной степени отражает серьезные трудности, возникающие при разработке методов анализа, синтеза и реализации систем управления объектами с распределенными параметрами- Решение этой, несомненно, весьма сложной и актуальной проблемы возможно лишь путем сочетания фундаментальных исследований в области общей теории управления и значительных усилий по поиску нестандартных инженерных решений.
Математические модели таких процессов либо не известны, либо описываются уравнениями в частных производных [106]. В контуре управления сложными технологическими процессами имеется контроллер. Отметим, что в последнее время имеет место значительное снижение цены управляющих контроллеров наряду с увеличением их надежности и разрешающих способностей (увеличиваются объемы памяти, возрастает быстродействие, уменьшаются габариты и вес).
Таким образом, имеются экономические стимулы и технические возможности к созданию систем управления сложными технологическими процессами.
Особую роль автоматизация играет при создании новых технологий. Так, например, при спекании различных материалов, выращивании кристаллов, вытяжке световодов требуется обеспечить управление температурными полями соответствующих нагревательных камер с высокой точностью. В связи с этим актуальной становится задача разработки методик синтеза регуляторов для систем управления объектами с распределенными параметрами.
Следует отметить, что многие практически значимые распределенные объекты не принадлежат к классу пространственно-инвариантных, что не позволяет разложить решение по собственным вектор-функциям оператора объекта, но имеющие большую практическую ценность, К объектам данного класса следует отнести, например следующие:
различные туннельные камеры термической обработки (камера вытяжки световодов), в которых объект перемещается с заданной скоростью по длине камеры;
процессы диффузии, гидродинамики, а так же объекты другой физической природы: ТОКЛМАК (Тороидальная КЛмера МАгнитная Катушка) у которого область входных воздействий при наложении не совпадает с областью распределения функции выхода объекта.
Рассмотренные особенности говорят об актуальности данной задачи и о необходимости разработки методики синтеза подобных объектов (систем) управления.
17 Предметом исследования в данной работе являются распределенные объекты и системы, не принадлежащие к классу пространственно-инвариантных.
Объект исследования - построение системы автоматического управления объектом, не принадлежащим к классу пространственно-инвариантных, с использованием масштабного преобразователя распределенных сигналов.
Целью работы является расширение класса объектов (систем) с распределенными параметрами к которым может быть применена известная частотная методика синтеза.
В соответствии с целью, объектом и предметом исследования решены следующие задачи:
Выделен класс пространственно-субинвариантных объектов (систем).
Исследован ряд технических объектов, принадлежащих выделенному
классу.
На основе разработанной методики построения масштабного преобразователя синтезирована система управления мапштыым полем тороидальной камеры.
Цель и задачи исследования обусловили использование совокупности следующих методов исследования:
Частотные методы синтеза объектов с распределенными параметрами.
Преобразования Лапласа,
Разложение в ряды Фурье по ортогональным системам функций. Математическое моделирование объектов (систем) с распределенными параметрами.
Компьютерное моделирование исследуемых процессов. Проведение практических экспериментов.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования. В
результате теоретических исследований удалрсь расширить класс рас-
18 пределенных объектов (систем) для которого стало возможно применение частотного метода синтеза. Этот класс назван в работе пространственно-субинвариантным. Для этого в работе проведены следующие научные исследования:
Разработана методика построения масштабных преобразователей распределенных сигналов, которая позволяет применять известную частотную методику синтеза;
Исследованы свойства распределенного преобразователя (РП) выбранной структуры, приводящего систему (Объект + РП) к классу пространственно-инвариантных;
Разработана математическая модель магнитных полей тороидальной камеры и проведен анализ ее параметров;
С использованием масштабного преобразователя синтезирована система управления магнитным полем тороидальной камеры.
Практическая значимость и реализация работы:
Одна из методик, рассмотренных в работе, доведена до конкретного конструктивного предложения и может быть использована в инженерной практике. Конструктивная направленность разработанных методик показана на примере синтеза системы автоматического управления магнитным полем тороидальной камеры установки ТОКАМАК.
Указанная методика внедрена в учебный процесс Пятигорского государственного технологического университета по специальности 210100 - Управление и информатика в технических системах (используется в лабораторных ра-ботах> курсовом и дипломном проектировании).
Работа выполнена в рамках исполнения задания Федерального агентства по образованию для Пятигорского государственного технологического университета на проведение в 2006-2007 годах научных исследований по тематическому плану. Наименование научно-исследовательской работы (НИР) - Анализ и синтез систем с распределенными параметрами»
19 На защиту выносятся следующие положения:
- Методика построения масштабного преобразователя распределенных
сигналов;
Исследование характеристики распределенного преобразователя выбранного типа;
Математическая модель магнитных полей тороидальной камеры и анализ результатов численного моделирования;
Синтез распределенной системы управления магнитным полем тороидальной камеры.
Апробация работы:
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: 2-ой Всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии» (Пятигорск - 2004); 2-ой Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и её приложения» (Саратов - 2005); Международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика» (Пятигорск - 2006).
Структура и объем работы:
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы включающего 129 наименований, 14 приложений. Содержание работы изложено на 122 страницах, содержит 77 рисунков и 4 таблицы.
Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)
Приведем основные результаты метода АКОР, изложенного в [6], Рассмотрим объект, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений
Коэффициенты bt =bt(x,t), яу = CM) - непрерывные, atJp =a/(xJ) непрерывно дифференцируемые no xeD и непрерывно дифференцируемые по /є[0,7"] функции. Для простоты изложения управление u = u(xj) принимается в виде скалярной функции. Граничные условия являются однородными.
Требуется найти такое управление и = u(xj) процессом (1.27), чтобы функционал принимал наименьшее значение. Где х, - две различные точки области В, в которой протекает процесс; Dtn D обозначают область при интегрировании соответственно по х. л и=м-у(х, ), = (й(х)9 о) =a);j(xfi) - заданные весовые функции. Функционалы W и WQ предполагаются неотрицательными в области их определения. Весовые функции wu(xt%) . и wsj(x, ) будем считать симметричными, т.е. при замене местами индексов і и jt переменных х и о значения весовых функций не меняются: Функционал Кбудем искать в виде интегральной квадратичной формы Если wb (х, %), о,у (х, ) симметричны, то функции v,y (х, , t) удается построить симметричными. Производная V вычисляется согласно системе (1.6), имеет вид cos(n,x ) + Здесь 5Ж, 4 обозначают поверхность S при интегрировании соответственно по переменным х и 5. В функции О, и gj входят граничные условия функции Ф, и vtf. Граничные условия д предполагаются однородными, например следующего вида; P4 l vxp Составим выражение k=\ Оптимальное управление определяется из условия min (К=0). Наименьшее значение К достигается при управлении. Приравниваем функционал К нулю при управлении и0.
Выражение (1.29) представляет собой систему ннтегро-дифференциалыщх уравнений для определения vr Эти функции при вычислении оптимального управления следует подставить в (1.28).
Систему (1.29) назовем системой основных уравнений АКОР. Решение системы (1.29) осложняется тем, что она представляет собой систему нелинейных интсгро-дифференциальных уравнений в частных производных. Если удается построить систему собственных вектор-функций линейного оператора ( ), то система (1.29) сводится к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае, когда функции v в явном виде не зависят от времени - к системе бесконечных квадратичных алгебраических уравнений.
Масштабный преобразователь распределенных сигналов
Введем класс лространственно-субинвариантных (ПСИ) объектов (систем).
Определение: система (объект) принадлежит к классу пространственно-субинвариантных, если путем введения дополнительных (корректирующих) устройств, описываемых линейными (нелинейными) операторами, вновь образованная система (объект + корректирующее устройство) обладают свойством пространственной инвариантности (см. рис. 2.1).
Рассмотрим способы построения корректирующих устройств для выделенного класса ПСИ объектов (систем). В качестве таких преобразователей могут служить масштабный преобразователь, распределенный преобразователь. При этом объект, физически, не подвергается никаким изменениям. Данные корректирующие устройства используются только при синтезе систем управления объектами данного класса. 2,2. Масштабный преобразователь распределенных сигналов
Рассмотрим пример, положим, что имеется объект, представленный на рис. 2., в котором протекают тепловые процессы
Из рис. 2,2 и 2,3 видно, что пространственная область распределения входных воздействий (S0 и область распределения функции выхода (S2) при наложении не совпадают, В данном случае Si S2 следовательно объект не обладает свойством пространственной совместимости. Структурно данный объект представлен на рис. 2.3.
Совместим области S\ и (см, рис. 23). Используя рассмотренный выше метод для анализа таких систем (разлагая по собственным вектор-функциям оператора объекта) получим матрицу комплексных передаточных коэффициентов рассматриваемого объекта, связывающую пространственные моды входа и выхода объекта управления. При разложении функций входа и выхода будем использовать параметры области Si- Полученная матрица комплексных передаточных коэффициентов будет полной (недиагональной), т.е., согласно определения, объект не принадлежит к классу пространственно-инвариантных.
Рассмотрим методику построения дополнительного устройства (ДУ), которое проецирует область функции выхода (S2) на область входных воздействий (;), при этом совокупность «ОУ+ДУ» обладает свойством пространственной совместимости.
Отметим, что такой проектор может быть реализован как при помощи масштабного преобразователя (коэффициент усиления постоянен по пространственным координатам (см, рис. 2.4)), ис, 2.4. Области распределения входного воздействия (Si) и функции выхода (S2) объекта управления. так и в виде нелинейной функции, зависящей от пространственных координат, проекцирующей область Si на область S2 (см. рис, 2,5).
Математическая модель магнитных полей тороидальной камеры
Для упрощения процесса анализа, в связи со сложностью описания математической модели, рассмотрим объект управления без плазмы внутри (v = 0), без катушек полоидалыгого поля и оболочки. Тогда уравнение (3.3) можно записать в виде: магнитная постоянная. Графическое представление моделируемой системы управления показано на рис. 3.6.
Для описания магнитных полей в рассматриваемой камере будем полагать, что имеется две среды: материал управляющих обмоток и вакуум.
В цилиндрической системе координат, магнитное поле может быть описано следующей системой дифференциальных уравнений: где В и Нь В2, Н2 - Магнитная индукция и напряженность магнитного поля в обмотках магнитных катушек и в вакууме, соответственно, к - коэффициент учитывающий скорость распространения магнитных полей в материале обмоток секций управляющей оболочки, г, хч 0 - пространственные координаты.
. Графическое представление граничных условий: а - по радиусу, в сечении тороидальной камеры, 1 - границы раздела сред, R/ - внешний радиус оболочки камеры, Я#- радиус излучателя, R2 - внутренний радиус излучателя, Яд - радиус расположения датчиков (магнитной индукции и напряженности магнитного поля), ц?, Ц/ - относительные магнитные проницаемости: материала управляющих обмоток и вакуума соответственно; б - по наружному радиусу, Яц - центральный радиус, Rf!(rt 0) - наружный радиус, 8 - угол, где Дй(г, 6 )-Rtir, Qsol R&, Є5)= Rnfr U Rfa 6,)= R&, Q8\ Rfa B5)= Rj{rt Q7). 3.4.1. Условия для магнитного поля на границе раздела двух изотропных сред
Найдем соотношения между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля в двух изотропных средах 1 (Bj и Н) и 2 (В2 и U2) в произвольной точке А, лежащей на поверхности раздела сред. Для этого воспользуемся законом полного тока и теоремой Остроградского-Гаусса [ПО]. Предположим, что макротоки не идут по поверхности раздела вблизи точки А. Тогда с помощью математических операций, получим следующие граничные условия для магнитного поля:
Определение параметров масштабного преобразователя
Результаты моделирования показывают высокую эффективность синтезированного распределенного регулятора. В отличие от существующих систем управления, разработанный распределенный регулятор позволяет управлять с заданными показателями качества -распределенным магнитным полем на поверхности рабочей зоны (внутреннего тора), что обеспечивает хорошую динамику и качество управления выходом (см. графики на рис, 4 Л 7, Л 8).
Отметим, что некоторые из существующих систем управления магнитным полем реализуются в виде нескольких пространственных мод получаемых путем соответствующих трансформаторных обмоток на оболочке ТОКАМАКа, при этом регулировка осуществляется по току [120, 122]. В большинстве случаев с помощью конструктивного расположения сосредоточенных обмоток пытаются создать требуемое распределенное магнитное поле для стабилизации плазмы в конечном числе точек. В данной работе рассмотрен класс распределенных объектов (систем) не принадлежащих к классу пространственно-инвариантных, что, в свою очередь, не позволяет применять известную частотную методику синтеза. Показано, что система обладает свойством пространственной инвариантности, если формирующие её блоки обладают свойством пространственной инвариантности и система в целом обладает свойством пространственной совместимости.
Для широкого класса распределенных объектов названного в работе пространственно-субинвариантными удалось построить дополнительные устройства, которые приводят систему (объект + корректирующее устройство) к классу пространственно-инвариантных,
В работе приведена методика построения одного из типов таких устройств (описываемых линейными (нелинейными) операторами); масштабный преобразователь - преобразующий область распределения функции выхода объекта и наделяющий систему (объект + масштабный преобразователь) свойством пространственно совместимости.
В работе исследованы характеристики распределенного преобразователя выбранной структуры - позволяющего привести систему (объект + распределенный преобразователь) к инвариантному виду при этом сам объект не обладает свойством пространственной инвариантности, согласно физического определения. При этом конкретная методика построения данного устройства в работе не выделена.
В практической части диссертации рассмотрено решение задачи синтеза систем управления магнитным полем тороидальной камеры установки типа ТОКАМАК. В отличии от известных систем управления магнитными полями в ТОКАМАКе: ортоганализированная регулирующая оболочка для гидродинамических возмущений плазменного шнура; система стабилизации положения плазменного шнура; электромагнитная система автоматического регулирования с электростатическим измерением и др., в работе показан принципиально иной подход к решению распределенной задачи управления позволяющий с высокой точностью регулировать магнитное поле в заданной пространственной области.
