Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накопленных сбережений на основе принципа максимума 6
1.1. Задача оптимального управления домашнего хозяйства 7
1.2. Реализация максимума функционала для найденных потребления и накопленных сбережений 13
1.3. Выражения для потребления и накопленных сбережений в случае постоянного относительного отвращения к риску. Индикаторная функция 16
1.4. Условия, когда описывающая накопленные сбережения домашнего хозяйства функция не меняет знак, сформулированные при помощи индикаторной функции 20
1.5. Домашнее хозяйство в режиме отсутствия накопленных сбережений. 25
Глава 2 Эффективное решение различных задач максимизации потребления домашнего хозяйства 54
2.1. Различные задачи максимизации потребления домашнего хозяйства в связи с общепринятой терминологией 55
2.2. Ограничения на функцию потребления домашнего хозяйства, играющую роль управления 57
2.3. Выход домашнего хозяйства за рамки режима отсутствия накопленных сбережений 68
2.4. Элементарные решения задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого -А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства 82
2.5. Алгоритм решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства 87
Заключение 108
Литература 109
- Задача оптимального управления домашнего хозяйства
- Выражения для потребления и накопленных сбережений в случае постоянного относительного отвращения к риску. Индикаторная функция
- Ограничения на функцию потребления домашнего хозяйства, играющую роль управления
- Элементарные решения задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого -А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства
Введение к работе
В работе исследуется задача оптимального управления, основанная на принципе максимума Понтрягина [1], потреблением домашних хозяйств. Роль управления играет функция потребления с = c(t). Роль уравнения связи играет дифференциальное уравнение динамического баланса между доходами, расходами и накопленными сбережениями
х = рх+Р-с, (1)
где х = х(/)- накопленные сбережения, Р = Р(7) - зарплаты и пенсии, р = р(г) -процент по наличным деньгам .
При выполнении уравнения связи задача о рациональном поведении потребителей ставится как задача максимизации функционала, выражающего интегральную дисконтированную полезность потребления
і
\u(c(t))exp(-3t)dt, (2)
о
где и - функция полезности, а 5 - коэффициент дисконтирования будущей полезности [2]. Кроме этого, справедливы условия
х( о) = хо: (3)
х(0 = х,, (4)
а
0 с с с +00. (5)
Исследование проводится на базе принципа максимума Л.С. Понтрягина. Основную трудность представляет собой исследование фазового ограничения, возникающего из условия неотрицательности накопленных домашним хозяйством сбережений.
х 0, (6)
Введение так называемой индикаторной функции
jp(s) /s }p(s) /s
( . \ Л .
J p(s)t/s
eT dx
5T- f p(s)i/s
e "
р(т)е t/x + xQe " Ф(0 = - т ; v- : (7)
JOO"
позволяет получить достаточные условия выполнения этого фазового ограничения как в вариационной задаче:, так и в задаче Л.С. Понтрягина.
Под вариационной постановкой задачи максимизации потребления домашнего хозяйства понимается нахождение функции потребления максимизирующей функционал (2), и накопленных сбережений, удовлетворяющих уравнению (I) и условиям (3) и (4) на концах рассматриваемого временного промежутка. Однако, решение этой вариационной задачи не должно противоречить ограничению (5) на функцию потребления. Т. о., ограничение (5) не должно быть сдерживающим. Однако, эта вариационная постановка имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (6), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (1), заданных, т. е. закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4) и справедливости фазового ограничения (6) мы называем вариационной постановкой задачи максимизации потребления домашнего хозяйства с закрепленными концами и фазовым ограничением.
В соответствии со сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией, задачу максимизации функционала (2) при условиях (3) и (4), к которым добавлено ограничение (5) на функцию потребления, которая, как нами уже отмечалось ранее, играет роль управления, мы должны назвать задачей Л. С. Понтрягина. В этом случае ограничение (5) является сдерживающим. Однако, и эта задача Л. С. Понтрягина имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (б), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (1), закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4), с ограничением (5) на функцию потребления, играющую роль управления, можно также рассматривать лишь при условии справедливости фазового ограничения (6). А такую задачу, согласно все той же сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией принято называть задачей А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.
Эффективность индикаторной функции (7) для получения достаточных условий, когда при решении вариационной задачи фазовое ограничение (6) выполняется автоматически основано на представлении для накопленных сбережений
(о= JVy
(
6t-p(s) /s
А
Jp(sVs
е б/т[ф(0-Ф(/,)
)
f(uT
T-JP(S)/S
j p(s);/s
e! dx
(8)
Это представление справедливо в предположении, что согласно известной теоретической схеме [3] домашние хозяйства оценивают полезность потребительских расходов монотонной вогнутой функцией и(с), входящей в (2), которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу-Пратту [4]:
u (c)
(9)
Функция потребления при этих условиях может быть записана в виде
с(0 = (иУ
А
5(- fp(s)ds
(Ю)
Константа т]/А при этом определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка. Выражение для этой константы с учетом (9) будет иметь вид
Л Г
А
і J" p(s) ds Jp(s)ds
[p(x)er dt+x0e" -x.
Л
8T- p(s)ds
т-р(
j(u )"
}p(s)ds
e1 dx
,a 0.
(11)
В более общем случае задачи J1. С. Понтрягина накопленные сбережения могут быть выражены формулой
Jp(s)ds p(s)ds
х(0= J[P(t)-c(x)]e dx+x0e "
(12)
Заметим, что если мы в формулу (12) подставим (10), а затем (11), то получим представление (8).
Для решения задачи Л. С. Понтрягина в формулу (12) в качестве функции потребления нужно подставлять выражение
с(/) = max ram
(и )"
( г л 6/-Jp(s)ds Є " -с \ С
Л V J
= min maxs
(и ) А
-Jp(s)ds
,С
(13)
Константа т]/А при этом также определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка
і, ч ч
i p(s)ds і p(s)ds J P(s)ds
jc(x)e йfx=JP(т)e, dx + x0e " -x.
(14)
Отметим также, что из формулы (14) при (9) и (10) получается формула (11).
В многочисленных примерах, для которых Р(ґ) = Р0 ер , Р0 = const 0,р = const 0, р(0 = р = const О подробно рассмотрены случаи, когда уравнение (14) приводит к выражению для искомой константы л/А, а когда из (14) для этой константы получается трансцендентное уравнение.
Определены и подробно разобраны: случай режима отсутствия накопленных сбережений домашнего хозяйства, а также случай выхода домашнего хозяйства за рамки режима отсутствия накопленных сбережений.
Задача оптимального управления домашнего хозяйства
Из формулы (1.4.7) видно, что знак ее левой части совпадает со знаком разности (1.4.2). Отсюда следует возможность сформулировать и доказать не только достаточные условия неотрицательности, положительности или вообще знакоопределенности выражения (1.4.7), но и необходимые. Разберем сначала случай, когда х,=0. (1.4.8) Теорема 3. Для того, чтобы выражение (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при граничных условиях (1.1.3) и (1.1.4) при (1.4.8) было неотрицательно на интервале (to, t\) необходимо и достаточно, чтобы разность (1.4.2) была неотрицательна. Для того, чтобы выражение (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при граничных условиях (1.1.3) и (1.1.4) при (1.4.8) было положительно на интервале (to, t\) необходимо и достаточно, чтобы разность (1.4.2) была положительна.
Доказательство. Для доказательства лишь заметим, что из формулы (1.4.7) при (1.3.10), (1.4.8) и (1.3.3) следует, что знаки выражений (1.4.7) при (1.4.8) и разности (1.4.2) совпадают.
Аналогично предыдущему, теорему 3 можно назвать необходимым и достаточным признаком неотрицательности или положительности выражения (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при нулевом правом граничном условии, т. е. (1.1.3), (1.1.4) с (1.4.8). Лемма. Разность (1.4.2) при условиях (1.1.3) и (1.1.4) с (1.4.8) не может быть всюду неположительной.
Доказательство. Действительно, предполагая неположительность разности (1.4.2), получаем неположительность (1.4.7) всюду на интервале (to,t\). Однако, функция (1.3.8), при (1.4.8), или, что тоже самое (1.3.9) при (1.4.8),а значит и (1.4.7) при (1.4.8) непрерывна на отрезке [/0, t\]. Отсюда, в силу свойства сохранения знака непрерывной функцией [5. 6] и левого неравенства (1.4.8) функция (1.4.7) при (1.4.8) должна быть положительной в некоторой правой окрестности точки to. Полученное противоречие доказывает, что разность (1.4.2) не может быть неположительной на (/о, t\).
Очень интересны в смысле приложений достаточные признаки знакоопределенности выражения (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства, которые могли бы быть справедливы на любом конечном промежутке времени. Следствие За. Если индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) монотонно не возрастает по /, то функция (1.4.7) при (1.4.8) на любом конечном интервале (to, t\) неотрицательна. Индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) не может монотонно не убывать по t.
Доказательство. Для доказательства заметим, что если индикаторная функция (1.3.10) монотонно не возрастает по t, то разность (1.4.2) неотрицательна. Из теоремы 3 получаем неотрицательность выражения (1.4.7) накопленных сбережений домашнего хозяйства при условиях (1.4.8). Предположим теперь, что индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) монотонно не убывает по I. Тогда разность (1.4.2) неположительна, а этого не может быть согласно лемме. Полученное противоречие доказывает, что индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) не может немонотонно не убывать по t. Следствие 36. Если индикаторная функция (1.3.10) строго монотонно убывает по t, то функция (1.4.7) при (1.4.8) на любом конечном интервале (to, t\) положительна. Индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) не может строго монотонно возрастать по t, яли быть постоянной, т. е. не зависеть от t.
Доказательство. Для доказательства заметим, что если индикаторная функция (1.3.10) строго монотонно убывает по t, то разность (1.4.2) положительна. От сюда, согласно теореме 3 выражение (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при (1.4.8) положительно.
Предположим теперь, что индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) строго монотонно возрастает по t. Но тогда, разность (1.4.2) всюду отрицательна, а это невозможно в силу леммы. Отсюда и следует невозможность строгого монотонного возрастания по t индикаторной функции (1.3.10) при (1.4.8).
Пусть теперь индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) постоянна, т. е. не зависит от t. Тогда, при правом равенстве (1.3.8) функция (1.4.7) обращается в нуль. А это противоречит левому неравенству (1.3.8). Отсюда и следует невозможность равенства индикаторной функции (1.3.10) при (1.4.8) постоянной, т. е. невозмож- ность независимости индикаторной функции (1.3.10) при (1.4.8) от t.
Выражения для потребления и накопленных сбережений в случае постоянного относительного отвращения к риску. Индикаторная функция
В связи с общепринятой терминологией мы сначала формулируем различные задачи максимизации потребления домашнего хозяйства: вариационную задачу, задачу Л. С. Понтрягина, задачу А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.
Далее мы изучаем условия, когда решение вариационной задачи автоматически является решением задачи Л. С. Понтрягина. В связи с этим и возникают ограничения на функцию потребления, играющую роль управления.
На основании наработанной математической техники осуществляется следующий этап экономических исследований. Он посвящен выходу домашнего хозяйства из режима отсутствия накопленных сбережений. Следующий уровень математических исследований требует введения и изучения так называемых элементарных решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.
После введения указанных выше элементарных решений становится возможным описать алгоритм получения решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства в общем случае.
Из материалов предыдущей главы видно, что функционал, который нужно максимизировать и аргументом которого является подлежащая отысканию функция потребления с = с(0 может быть записан в двух различных формах: (1.1.2) и (1.2.1); причем в форме (1.2.1) сама функция потребления в качестве аргумента функционала в явном виде не присутствует. Это происходит потому, что неизвестная функция потребления в (1.2.1) выражена при помощи уравнения (1.1.1) через известные функции р = р(0 и Р = Р(0и подлежащие отысканию накопленные сбережения х(/) (1.1.1).
С формой записи (1.2.1) функционала, которого нужно максимизировать связана простейшая постановка нашей задачи - вариационная. Вариационная постановка задачи максимизации потребления домашнего хозяйства заключается в нахождении накопленных сбережений x(t), максимизирующих функционал (1.2.1) при условиях (1.1.3) и (1.1.4) на концах рассматриваемого временного промежутка. Однако, эта вариационная постановка имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (1.4.4), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, задачу максимизации функционала (1.2.1) при заданных, т. е. закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (1.1.3) и (1.1.4) и справедливости фазового ограничения (1.4.4) мы называем вариационной постановкой задачи максимизации потребления домашнего хозяйства с закрепленными концами и фазовым ограничением.
В пункте 1.4. предыдущей главы сформулированы условия, в основном достаточные, при которых решение описанной выше вариационной задачи с закрепленными значениями накопленных сбережений на концах временного промежутка автоматически удовлетворяет фазовому ограничению (1.4.4). При нулевых граничных условиях для значений накопленных сбережений на концах рассматриваемого временного промежутка эти условия являются необходимыми и достаточными. Условия эти сформулированы в виде теорем, которые используют свойства специально введенной для этого индикаторной функции.
В соответствии со сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией, задачу максимизации функционала (1.1.2) при условиях (Ы.З) и (1.1.4), к которым добавлено ограничение (1.1.5) на функцию потребления, которая, как нами уже отмечалось ранее, играет роль управления, мы должны назвать задачей Л. С. Понтрягина [8 - 11]. Однако, и эта задача Л. С. Понтрягина имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (1.4.4), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, задачу максимизации функционала (1.1.2) при условиях, что значения накопленных сбережений на концах рассматриваемого временного промежутка закреплены (1.1.3) и (1.1.4) с ограничением на функцию потребления, играющую роль управления, можно также рассматривать лишь при условии справедливости фазового ограничения (1.4.4). А такую задачу, согласно все той же сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией [9 - 11], принято называть задачей А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.
Ограничения на функцию потребления домашнего хозяйства, играющую роль управления
Другими словами, если заданы нулевые накопленные сбережения на концах временного отрезка, т. е. (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11), то при (1.1.15) функционал (1.2.1) максимизируется нулевыми накопленными сбережениями (1.5.2).
Если же (1.5.4) в общем случае и (1.5.5) в случае (1.3.1) не выполнено, то нулевое решение (1.5.2) все же может максимизировать функционал (1.2.1). При этом (1.5.2) не будет при этом решением дифференциального уравнения (1.1.1) при функции потребления (1.1.29). Нулевое решение (1.5.2) может быть результатом естественного сдерживающего фазового ограничения (1.4.4).
Фазовое ограничение (1.4.4) следует из предположения, что потребители, т. е. домашние хозяйства, не берут в долг, поэтому, они не могут потратить больше денег, чем имеют на счету в банке [2]. Конечно, потребители берут в долг. Однако, хорошо известно, что в нормальной экономике потребители являются ярко выраженными сберегателями - сберегают больше, чем берут в долг. В нашей стране потребительский кредит не развит до сих пор.
В этом случае возникает естественный вопрос, куда девается решение дифференциального уравнения (1.1.1) при функции потребления (1.1.29) и почему оно не реализует решение искомой оптимизационной задачи. Естественное решение вопроса таково: решение дифференциального уравнения (1.1.1) при функции потребления (1.1.29) с условиями на концах временного отрезка (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11) не удовлетворяет фазовому ограничению (1.4.4), или функция потребления (1.1.29) не удовлетворяет ограничению на управление (1.1.5).
Справедливость того утверждения, что если решение дифференциального уравнения (1.1.1) при функции потребления (1.1.29) и граничных условиях (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11) отрицательно на всем временном интервале, то решение искомой задачи этого пункта (1.5.2), т. е. нулевое, устанавливается от противного. Действительно, предположим, что задача максмизации функционала (1.2.1) с нулевыми граничными условиями (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11) с отрицательным на всем временном интервале решением дифференциального уравнения (1.1.1) с функцией потребления (1.1.29) имеет положительное на этом интервале решение. В этом случае значение функционала (1.2.1) как на отрицательном решении (1.1.1) при (1.1.29) и (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11), так и на положительном решении задачи больше чем на тождественном нуле (1.5.2). Отсюда, в силу полноты соответствующего функционального пространства гладких функций на нашем временном отрезке с соответствующей топологией, на котором функционал (1.2.1) непрерывен, следует существование элемента этого пространства, на котором функционал (1.2.1) имеет минимум. Т. е., мы получили существование еще одного экстремума, помимо решения уравнения (1.1.1) при (1.1.29) и (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11), что невозможно.
В случае, если решение уравнения (1.1.1) при (1.1.29) и (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11), неотрицательно на нашем временном интервале, то она автоматически удовлетворяет фазовому ограничению (1.4.4), которое в этом случае не является сдерживающим. Поэтому, решением исходной задачи и будет являться решение уравнения (1.1.1) при (1.1.29) и (1.1.3), (1.1.4), (1.4.11).
Элементарные решения задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого -А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства
Для того, чтобы выражение (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при граничных условиях (1.1.3) и (1.1.4) при (1.4.8) было неотрицательно на интервале (to, t\) необходимо и достаточно, чтобы разность (1.4.2) была неотрицательна. Для того, чтобы выражение (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при граничных условиях (1.1.3) и (1.1.4) при (1.4.8) было положительно на интервале (to, t\) необходимо и достаточно, чтобы разность (1.4.2) была положительна.
Доказательство. Для доказательства лишь заметим, что из формулы (1.4.7) при (1.3.10), (1.4.8) и (1.3.3) следует, что знаки выражений (1.4.7) при (1.4.8) и разности (1.4.2) совпадают. Аналогично предыдущему, теорему 3 можно назвать необходимым и достаточным признаком неотрицательности или положительности выражения (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при нулевом правом граничном условии, т. е. (1.1.3), (1.1.4) с (1.4.8). Лемма. Разность (1.4.2) при условиях (1.1.3) и (1.1.4) с (1.4.8) не может быть всюду неположительной. Доказательство. Действительно, предполагая неположительность разности (1.4.2), получаем неположительность (1.4.7) всюду на интервале (to,t\). Однако, функция (1.3.8), при (1.4.8), или, что тоже самое (1.3.9) при (1.4.8),а значит и (1.4.7) при (1.4.8) непрерывна на отрезке [/0, t\]. Отсюда, в силу свойства сохранения знака непрерывной функцией [5. 6] и левого неравенства (1.4.8) функция (1.4.7) при (1.4.8) должна быть положительной в некоторой правой окрестности точки to. Полученное противоречие доказывает, что разность (1.4.2) не может быть неположительной на (/о, t\). Очень интересны в смысле приложений достаточные признаки знакоопределенности выражения (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства, которые могли бы быть справедливы на любом конечном промежутке времени. Следствие За. Если индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) монотонно не возрастает по /, то функция (1.4.7) при (1.4.8) на любом конечном интервале (to, t\) неотрицательна. Индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) не может монотонно не убывать по t. Доказательство. Для доказательства заметим, что если индикаторная функция (1.3.10) монотонно не возрастает по t, то разность (1.4.2) неотрицательна. Из теоремы 3 получаем неотрицательность выражения (1.4.7) накопленных сбережений домашнего хозяйства при условиях (1.4.8). Предположим теперь, что индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) монотонно не убывает по I. Тогда разность (1.4.2) неположительна, а этого не может быть согласно лемме. Полученное противоречие доказывает, что индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) не может немонотонно не убывать по t. Следствие 36. Если индикаторная функция (1.3.10) строго монотонно убывает по t, то функция (1.4.7) при (1.4.8) на любом конечном интервале (to, t\) положительна. Индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) не может строго монотонно возрастать по t, яли быть постоянной, т. е. не зависеть от t. Доказательство. Для доказательства заметим, что если индикаторная функция (1.3.10) строго монотонно убывает по t, то разность (1.4.2) положительна. От-сюда, согласно теореме 3 выражение (1.4.7) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при (1.4.8) положительно. Предположим теперь, что индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) строго монотонно возрастает по t. Но тогда, разность (1.4.2) всюду отрицательна, а это невозможно в силу леммы. Отсюда и следует невозможность строгого монотонного возрастания по t индикаторной функции (1.3.10) при (1.4.8). Пусть теперь индикаторная функция (1.3.10) при (1.4.8) постоянна, т. е. не зависит от t. Тогда, при правом равенстве (1.3.8) функция (1.4.7) обращается в нуль. А это противоречит левому неравенству (1.3.8). Отсюда и следует невозможность равенства индикаторной функции (1.3.10) при (1.4.8) постоянной, т. е. невозмож- ность независимости индикаторной функции (1.3.10) при (1.4.8) от t. Однако, выражение для накопленных сбережений домашнего хозяйства уже не будет выражаться формулой (1.4.7). Для накопленных сбережений, как и ранее, нужно будет снова использовать представление (1.3.9). Т. о., формула для индикаторной функции упрощается, однако выражение для накопленных сбережений домашнего хозяйства снова усложняется. Поэтому условие на знак разности (1.4.2) уже не будет необходимым и достаточным для знакоопределенности выражения, описывающего накопленные сбережения домашнего хозяйства.
Теорема 4. Для того, чтобы выражение (1.3.9) для накопленных сбережений домашнего хозяйства при (1.4.10) было бы положительным на интервале (/о, Л) достаточно чтобы разность (1.4.2) была бы всюду неотрицательна. Причем в (1.4.2) нужно подставлять (1.4.10).
Доказательство. Для доказательства достаточно обратиться к формуле (1.3.9) с учетом (1.4.9). Даже если разность (1.4.10) где-то и обратится в нуль, то искомая положительность (1.3.9) достигнется за счет третьего слагаемого в квадратных скобках правой части (1.3.9).
Интересны в смысле приложений достаточные признаки положительности или неотрицательности выражения (1.3.9) для накопленных сбережений домашнего хозяйства, которые могли бы быть справедливы на любом конечном" промежутке времени
Следствие 4. Если индикаторная функция (1.4.10) монотонно не возрастает по t, то выражение (1.3.9) при (1.4.9) на любом конечном интервале (to, t\) положительно. Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что у монотонно неубывающей функции разность (1.4.2) неотрицательна. Тогда из теоремы 4 сразу следует положительность выражения (1.3.9) при (1.4.10).
