Введение к работе
Актуальность темы. Математические модели небесной механики и космической динамики, как правило, описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений, имеющих весьма сложную аналитическую структуру. Отсутствие точных универсальных методов интегрирования таких систем стимулировало разработку приближенных аналитических и численно-аналитических методов, которые могут быть реализованы в эффективных компьютерных алгоритмах. Исследования в этом направлении связаны с именами К. Зундмана, Г.А. Мермана, В.А. Брумберга, Е.А. Гре-беникова, Ю.А. Рябова и других ученых, в работах которых разработаны алгоритмы построения решений, прежде всего, классической ньютоновой задачи трех тел и ее разновидностей в виде различных рядов и получен ряд фундаментальных результатов. Эти известные результаты получены, как правило, в "докомпьютерную эпоху", поэтому они не всегда могут быть приспособлены к новым компьютерным технологиям.
В настоящее время более эффективными становятся качественные исследования моделей космической динамики, основанные на поиске точных частных решений дифференциальных уравнений движения и последующем анализе их устойчивости с использованием новейших достижений в компьютерной математике. Такой подход связан с идеями А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова и хорошо зарекомендовал себя в случае известной модели астрономии, математики и механики - ограниченной задачи трех тел. Для его реализации требуется, в первую очередь, разработать математические методы и алгоритмы построения точных частных решений, поскольку в случае ньютоновой задачи многих тел, например, число найденных решений весьма ограничено. Имеющиеся в настоящее время результаты получены учеными различных стран, среди которых следует отметить, прежде всего, В.М. Алексеева, Г.Н. Дубошина, А.А. Орлова, К.А. Ситни-кова, A. Albouy, D. Bang, F. Cedo, A. Chenicer, J.M. Cors, O. Dziobek, B. El-mabsout, L. Euler, Y. Hagihara, J.L. Lagrange, P.C. Laplace, J. Llibre, M. Olle, A. Ollongren, K.R. Meyer, R. Moeckel, R. Montgomery, F.R. Moulton, J.I. Pal-more, L.M. Perko, D.G. Saari, D.S.Schmidt, M. Shub, С Sirrio, P.K. Seidel-mann, S. Smale, V. Szebehely, E.L. Walter, A.L. Whipple, A. Wintner и др. Большая часть найденных точных решений ньютоновой задачи многих тел принадлежит к классу так называемых томографических решений, достаточные условия существования которых были получены А. Винтнером в первой половине двадцатого столетия, а необходимые условия были сформулированы позднее Е.А. Гребениковым. Несмотря на эти фундаментальные результаты, относящиеся к нахождению точных томографических решений, конструктивные алгоритмы их поиска с использованием компью-
теров в настоящее время практически отсутствуют. Это делает проблему их разработки весьма актуальной.
В проблеме устойчивости решений дифференциальных уравнений, описывающих различные модели небесной механики и космической динамики, имеются существенные принципиальные достижения, причем они получены в основном в трудах отечественных ученых. Среди них следует отметить специалистов, успешно использующих, в той или иной степени, современные компьютерные технологии для выполнения аналитических вычислений: В.И. Арнольд, А.Д. Брюно, М.А. Вашковьяк, Ю.Ф. Гордеева, Е.А. Гребеников, С.А. Гутник, В.Ф. Еднерал, Г.Б. Ефимов, Н.И. Земцова, А.П. Иванов, A.M. Леонтович, М.Л. Лидов, А.П. Маркеев, СВ. Миронов, Ю.А. Рябов, В.А. Сарычев, А.Г. Сокольский и др. Но, к сожалению, многие важные вопросы в рамках данной тематики, прежде всего, проблема устойчивости решений многомерных гамильтоновых систем, весьма далеки от окончательного решения. Существенная особенность задачи об устойчивости решений гамильтоновых систем, в отличие от систем с другой аналитической структурой, состоит в том, что она относится к критическому в смысле Ляпунова случаю и, как правило, не может быть решена ни в каком конечном приближении, а может быть решена только в строгой нелинейной постановке. Даже анализ устойчивости решений линейной неавтономной гамильтоновой системы часто вызывает значительные трудности, особенно тогда, когда функция Гамильтона зависит от двух и более параметров. Наиболее простым примером такого рода является следующая гамильтонова система второго порядка
<&, _ dx2 _ a + scosf .
Х-у у " — ~~ ' ' ' Xl у ( 1 )
dt dt 1 + ecos/
которая встречается, например, при исследовании эллиптических ограниченных задач многих тел. Здесь а и є - положительные параметры, причем в практически важных случаях е можно считать малой величиной. Система (1) сводится к хорошо известному уравнению Хилла, исследованию которого посвящена обширная литература. Стандартный анализ этой системы показывает, что области неустойчивости ее тривиального решения на плоскости параметров Оеа могут существовать только в окрестности точек а = п2/4 (л = 0,1,2,...). Вместе с тем, имеющиеся в литературе критерии, например, критерий A.M. Ляпунова или критерий Н.Е. Жуковского, не позволяют найти уравнения границ этих областей с требуемой точностью. Например, конструктивные алгоритмы, которые позволяли бы найти эти границы в виде рядов по малому параметру є с любой заданной точностью и которые можно реализовать в виде эффективных компьютерных
программ, в литературе отсутствуют, что делает, наряду с динамическими факторами, весьма актуальной проблему их разработки.
Современные системы компьютерной алгебры типа Mathematica, Maple, Macsyma, предоставляют новые возможности для решения задач небесной механики и космической динамики, так как они позволяют реализовать вычислительные алгоритмы системного анализа и обработку символьной информации на качественно более высоком уровне. В этой связи разработка самих моделей космической динамики, математического аппарата и программного обеспечения для их исследования представляются весьма актуальными.
Целью работы является разработка аналитических, качественных и вычислительных методов системного анализа и математического модели1 ро'вания для более точного описания эволюции динамических систем небесной механики и космической динамики и исследования их устойчивости, а также разработка соответствующего программного обеспечения на основе системы компьютерной алгебры Mathematica.
Объект и предмет исследования. Физическим объектом исследования являются системы многих тел, динамика которых определяется законами и постулатами классической ньютоновой механики. Предметом исследования являются системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику естественных и искусственных космических объектов. Областью исследования являются теоретические основы и методы математического моделирования и системного анализа, позволяющие производить исследование моделей небесной механики и космической динамики с требуемой для практических нужд точностью.
Методика исследований базируется на применении аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости Ляпунова-Пуанкаре, теории Колмогорова-Арнольда-Мозера условно-периодических решений гамильтоновых систем на многомерных торах, теории и алгоритмах математического программирования, а также на использовании возможностей современных систем компьютерной алгебры по выполнению численных расчетов, обработке символьной информации и визуализации получаемых результатов.
Достоверность и обоснованность полученных результатов основаны на математической корректности сформулированных и решаемых проблем космической динамики, строгом применении методов качественной теории дифференциальных уравнений, а также на применении фундаментальных результатов теории устойчивости Ляпунова и теорем КАМ-теории. Все приведенные в диссертации результаты сопровождаются полными доказательствами и строго обоснованы.
Связь работы с крупными научными программами, темами.
Диссертационная работа выполнена в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН в рамках проектов РФФИ № 01-01-00144 "Методы математического моделирования в гамильтоновой томографической динамике" (2001-2003 гг.), № 04-01-00270 "Методы, компьютерной алгебры в гамильтоновой динамике с неполной симметрией" (2004-2006 гг.) и в Брестском государственном техническом университете в соответствии с научной темой № 200,1509 "Аналитические и качественные исследования кос-модинамических моделей Лагранжа-Винтнера, Гребеникова-Эльмабсута и нелинейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядка" в рамках межвузовской программы фундаментальных исследований "Анализ и динамические системы" (2001-2005 гг.).
Основные результаты, выносимые на защиту
1. Аналитический метод вычисления матриц преобразования Ляпунова для
гамильтоновых систем дифференциальных уравнений с малым параметром и приведения функции Гамильтона к нормальной форме в смысле Биркгофа-Пуанкаре.
-
Теоремы существования новых классов гомографических решений в ньютоновой проблеме четырех тел и в обобщенной модели Винтнера, представляющей динамику большого числа тел, образующих в любой момент времени правильные концентрические многоугольники, а также алгоритмы их построения и исследования.
-
Теоремы об устойчивости и неустойчивости равновесных решений в эллиптических ограниченных задачах четырех и пяти тел, а также в обобщенной "задаче Ситникова", в том числе и при наличии резонанса четвертого порядка.
-
Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости гомографических многоугольников, а также о неустойчивости ромбоподобных конфигураций в задаче четырех и пяти тел.
-
Новые алгоритмы, позволяющие эффективно вычислять в символьном виде характеристические показатели систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на основе метода бесконечных определителей и теории возмущений.
-
Новый конструктивный алгоритм символьных вычислений границ между областями устойчивости и неустойчивости в пространствах параметров, определяющих основные динамические и геометрические характеристики динамических моделей.
-
Результаты символьных вычислений границ областей устойчивости решений уравнения Хилла и треугольных лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел.
8. Теоремы о неустойчивости по Ляпунову и устойчивости в первом приближении цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите в случае резонанса 3:2.
Научная новизна
1. В диссертации найдены математические условия, гарантирующие суще-
ствование новых классов томографических решений дифференциальных уравнений движения в ньютоновой проблеме многих тел.
-
Впервые доказана топологическая эквивалентность трехмерных конфигурационных пространств Евклида и Нехвила на множестве томографических решений задачи многих тел.
-
Впервые доказано, что в малой окрестности произвольной центральной конфигурации четырех тел, массы которых заданы, существует двухпа-раметрическое семейство центральных конфигураций, получаемых путем непрерывной деформации исходной конфигурации.
-
Разработан и реализован до конца новый алгоритм символьных вычислений характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на основе метода бесконечных определителей.
-
Полностью исследована проблема устойчивости равновесных решений дифференциальных уравнений в обобщенной задаче Ситникова, а также проблема устойчивости ромбоподобных конфигураций в системах четырех и пяти взаимодействующих тел.
Практическая полезность. Разработанные в диссертации методы исследования устойчивости динамических систем классов Пуанкаре-Ляпунова и Колмлгорова-Арнольда-Мозера могут быть использованы при проектировании космических аппаратов нового поколения. Методы, алгоритмы и компьютерные программы, разработанные в диссертации, уже использованы и используются в настоящее время при проведении научно-исследовательских работ в отделе методов нелинейного анализа ВЦ РАН, в Брестском государственном университете им. А.С. Пушкина, в Брестском государственном техническом университете, а также могут быть использованы при исследовании других математических моделей космической динамики, небесной и классической механики. Результаты диссертации используются автором в учебном процессе при чтении спецкурса "Решение физических задач с помощью системы Mathematical, а также могут быть использованы при чтении курсов дифференциальных уравнений, небесной механики, теории устойчивости, качественной теории динамических систем, методов математического моделирования.
Личный вклад соискателя. Автором лично выполнены анализ, алгоритмизация и решение всех представленных в диссертации задач. Все результаты, изложенные в единоличных публикациях, получены автором
самостоятельно. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях:
на семинарах ртдела методов нелинейного анализа ВЦ им. А.А. Дородницына РАН (Москва, 2001-2005 гг.);
на семинаре по компьютерной алгебре в лаборатории информационных технологий ОИЯИ (Дубна, 2005 г.);
на семинаре по компьютерной алгебре на факультете ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова (Москва, 2005 г.);
на Международной конференции "Компьютерная алгебра и ее приложения в физике СААР'200Г (Дубна, 2001 г.);
на Международных конференциях "Моделирование динамических систем и исследование устойчивости" (Киев, 2001 г.; 2003 г.);
на Международной конференции "Mathematica System in Teaching and Research" (Седльце, Польша, 2001 г.);
на Международных математических конференциях "Еругинские чтения" (Гродно, 2001 г.; Брест, 2002 г.; Витебск, 2003 г.);
на Международной конференции "Mathematica Developer Conference" (Champaign, USA, 2001 г.); -
на Рейнских конференциях по компьютерной алгебре (Mannheim, Германия, 2002 г.; Nijmegen, Голландия, 2004 г.);
на Международной конференции "Applications of Computer Algebra ACA'2002" (Volos, Греция, 2002 г.);
на пятом Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.);
на Международной конференции "Компьютерная математика в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании" (Минск, 2002 г.); ' .
на Международной конференции "International Mathematica Symposium" (Лондон, Великобритания, 2003 г.);
на Международных конференциях "Компьютерная алгебра в научных вычислениях CASC" (Passaii, Германия, 2003; Санкт-Петербург, 2004 г.; Kalamata, Греция, 2005 г.);
на Международной конференции "Applications of the Mathematica system to Social Processes and Mathematical Physics" (Брест, 2003 г.);
на Международной математической конференции, посвященной 75-летию академика К.С.Сибирского (Кишинев, Молдавия, 2003 г.);
на Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений AMADE'2003" (Минск, 2003 г.);
на V Конгрессе румынских математиков (Pitesti, Румыния, 2003 г.);
на Международных конференциях "Mathematical Modelling and Analysis" (Юрмала, Латвия, 2004 г.; Тракай, Литва, 2005 г.);
на Международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной И.Г.Петровскому (Москва, 2004 г.);
на пятом Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, 2004 г.);
на Международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Киев, 2005 г.);
на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры DE&CAS'2005" (Брест, 2005 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 научных работ, включая одно учебное пособие и монографию, 30 статей в научных журна-
лах и сборниках научных трудов, из них 5 статей в научных журналах и сборниках, рекомендованных ВАК Российской Федерации, и 15 статей в зарубежных научных изданиях, соответствующих требованиям ВАК Белоруссии, 16 тезисов докладов на международных научных конференциях.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников, включающего 182 наименования, и пяти приложений. Работа изложена на 229 листах машинописного текста, содержит 40 рисунков и одну таблицу.
