Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные проблемы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления 10
1.1. Проблемы формализации объектов 10
1.2. Обоснование выбора математической модели 15
1.3. Некорректно поставленные задачи 25
1.4. Численные методы анализа стохастических систем 29
Глава 2. Численные методы решения жестких систем стохастических дифференциальных уравнений 36
2.1. Принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений 36
2 1. 1. Разложение Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича 39
2.1.2. Численная аппроксимация кратных интегралов разложения Тейлора-Стратоновича и Тейлора-Ито 45
2.2. Анализ явных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений 51
2.2 1. Явные численные методы решения 52
2.2.2. Сравнение явных сильных численных схем по критерию абсолютной ошибки 55
2.3. Разработка явного сильного метода Я - преобразования для решения жестких систем 62
Глава 3. Методы идентификации моделей систем управления, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями 67
3.1. Постановка задачи 67
3.2. Метод максимального правдоподобия 70
3.3. Методы Монте-Карло 75
3.3.1. Метод максимального правдоподобия на основе Монте-Карло 75
3.3.2. Методы идентификации, основанные на критериях согласия 81
3.3.3. Косвенный метод оценивания, основанный на использовании вспомогательной модели 88
Глава 4. Алгоритмы методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений 91
4.1. Проверка эффективности метода максимального правдоподобия 91
4.2. Алгоритм метода максимального правдолодобия на основе повторений Монте-Карло 96
4.3. Алгоритм метода идентификации, основанного на критерия согласия 102
4.4. Алгоритм косвенного метода оценивания параметров 108
Глава 5. Задачи принятия управленческих решений в экономических и биологических системах 117
5.1. Определение ценового риска инвестирования в акции 117
5.2. Оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам 125
5.3. Прогнозирование эпидемиологической ситуации 132
Заключение 140 Приложения 142
Библиографический список использованной литературы 159
Список обозначений и сокращений 175
- Проблемы формализации объектов
- Принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений
- Постановка задачи
- Проверка эффективности метода максимального правдоподобия
Введение к работе
Проблемы управления сложными объектами управления занимают в настоящее время значительное место в теории и практике управления [19, 26, 27, 35, 70, 71, 76, 79]. При разработке систем управления особо ответственным является этап идентификации параметров и структуры математической модели сложного объекта управления, от реализации которого в значительной степени зависит качество спроектированной системы управления, а также ее дальнейшее использование. Сложный объект управления (к числу которых можно отнести многие технологические и экономические процессы, биологические, экологические и медицинские системы) характеризуется стохастичностью, не-стационарностьго, многомерностью и многосвязностью [35, 36]. Поэтому даже в условиях нормального функционирования характеристики такого объекта изменяются под влиянием внешних воздействиями. Принципиальная невозможность учета всех воздействий и другие реальные факторы предопределяют необходимость постоянного уточнения законов функционирования и управления объектом. Уточнение закона функционирования объекта позволяет уменьшить степень априорной неопределенности и выбрать закон управления, обеспечивающий выполнение заданной цели.
Целью идентификации является определение такой структуры и параметров модели, которые бы давали с одной стороны «наибольшее» соответствие (удовлетворен критерий качества идентификации) между рассматриваемым физическим процессом и полученной математической моделью, а с другой - удовлетворение целей исследования [62]. Отсюда возникает с одной стороны проблема выбора класса моделей - детерминистического или стохастического, дискретного или непрерывного, а с другой стороны - подбор «наилучшего» метода идентификации параметров модели, т.е. задача структурно-параметрического синтеза моделей объектов управления в условиях неопределенности. Решению этой проблемы посвящено большое количество работ, как в отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 - 103], Фе-доренко Р.П. [106], Дикусар В.В. [32], Вагшик В. Н. [19], Ивахненко А. Г. [35 -38], Льюинг Л. [62], Гуреро К. [160], Эйкхофф.П [98, 131], Эфрон Б. [132], Пракаса Рао Б.Л.С. [187] и др.).
В большинстве работ авторами рассматривается построение детерминистических моделей - зависимостей средних значений выходных переменных от входных переменных [19, 36, 62, 131, 132]. Действительно, детерминистические модели, используемые для описания многих физических явлений, приводят к хорошим результатам только, если входной сигнал не содержит шума или влияние шума незначительно [40, 53, 65]. Однако для большинства реальных физических систем влияние шума является существенным, и выбор такого класса моделей приводит к разнообразным проблемам: нестабильность состояния относительно моментов фазового вектора, уменьшение области устойчивости и т.п. [75, 86 - 88]. Кроме того, если состояние детерминированных систем определяется как минимальное количество информации об истории системы, необходимое для предсказания поведения системы в будущем, то для стохастических систем невозможно предсказать это поведение. Поэтому состояние стохастической системы определяется как минимальное количество информации, которое требуется для предсказания функции распределения в будущем. Очевидно, что описание таких систем при помощи хорошо известных детерминированных подходов не всегда плодотворно и не отображает действительной картины функционирования объекта [89, 98, 120, 121]. Не приспособлены также к решению задачи оптимального управления этим классом объектов разработанные методы для детерминированных систем. Таким образом, чтобы максимально приблизить формализованное представление к действительным условиям функционирования сложного объекта управления, повысить качество проектируемой системы и уменьшить степень априорной неопределенности, для описания модели объекта необходимо выбрать стохастический подход, а сам объект управления отнести к классу стохастических.
В последние годы математическое моделирование стохастических систем как в непрерывном, так и в дискретном времени получило особое внимание. Большой вклад в развитие методов идентификации такого класса систем внесли Басава И.Б. [137], Леви П. [55], Острей К. [77], Оксендаль Б. [185] и др. [51, 68, 82 - 85]. Для описания поведения таких систем было предложено использование стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Несмотря на то, что появилось достаточное количество методов оценивания параметров стохастических моделей, задача идентификации параметров СДУ остается трудноразрешимой и актуальной не только из-за своей некорректности по Адамару [31, 64, 80, 92, 100, ], но и из-за отсутствия аналитических решений СДУ [50, 171, 172,185].
В связи с вышеизложенным разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастических моделей объектов управления на основе ретроспективной обработки информации является актуальной научной задачей, решение которой позволит повысить эффективность принятия управленческих решений.
В качестве объекта исследования в работе выбран стохастический объект, отличительная особенность которого заключается в неоднозначным отклике на одни и те же входные воздействия. Кроме того, при детерминированном входном воздействии выходная переменная такого объекта не является детерминированной, а для выходной переменной этого класса объектов рассеивание тем больше, чем сильнее влияние шумов, что всегда связано с неопределенностью поведения объекта.
Современный уровень вычислительной техники позволяет сделать следующий шаг в повышении эффективности решения задачи идентификации рассматриваемого класса систем. Поэтому общая методика исследований базируется на результатах теории стохастических дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, теории решения некорректных задач, теории численных решений, системного анализа и имитационного моделирования. В работе используется пакет прикладных программ MATLAB 6.5.
Цель работы состоит в разработке методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастической модели сложного объекта управления на основе ретроспективной информации и применении этих методов и алгоритмов для повышения эффективности управления конкретными системами. Для достижения цели исследования в диссертации решены следующие задачи:
1) определены особенности стохастических моделей, представленных в виде стохастических дифференциальных уравнений: определено понятие жесткости стохастических дифференциальных уравнений; проанализированы сильные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений при корректной и некорректной задачах (свойство жесткости); проводя аналогию с системами обыкновенных дифференциальных уравнений, предложен новый явный метод решения жестких систем как обыкновенных, так и стохастических дифференциальных уравнений -метод X преобразования; проведены вычислительные эксперименты по исследованию свойств методов X преобразования;
2) разработаны методы идентификации параметров стохастических диффе ренциальных уравнений: метод максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения; методы, основанные на повторениях Монте-Карло: метод максимального правдоподобия; методы, использующие критерии согласия; косвенный метод, использующий вспомогательную модель; получены аналитические выражения оценок методом максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения; для предложенных методов идентификации разработаны алгоритмы и проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие их эффективность; для линейного стохастического дифференциального уравнения доказана теорема о несмещенности оценок параметров, получаемых косвенным методом идентификации; предложенные методы и алгоритмы нашли практическое применение в решении задач принятия управленческих решений в экономических (оценка ценового риска инвестирования в акции, оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам) и биологических системах (прогнозирование эпидемиологической ситуации), имеющих важное народнохозяйственное значение.
Основной текст диссертации состоит из пяти глав. В первой главе анализируются основные проблемы формализации сложных объектов управления: выбор модели, разработка численного алгоритма, программная реализация этой модели, корректность постановки задачи, а также формулируется постановка задачи исследования. Во второй главе показаны основные принципы построения численных методов решения СДУ: адаптация схем, существующих для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), с учетом свойств стохастических интегралов, или разработка специальных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а также причины возникновения такого явления как жесткость. Проанализированы свойства сильных явных схем при решении СДУ. Разработаны методы численного интегрирования решения жестких систем ОДУ и СДУ. Третья глава работы посвящена разработке методов идентификации параметров СДУ, основанных на принципе максимального правдоподобия: точный метод ( метод максимального правдоподо- бия) и численные методы на основе схемы Монте-Карло (метод максимального правдоподобия, методы с использованием статистических критериев согласия и косвенный метод с использованием вспомогательной модели). В четвертой главе разрабатываются алгоритмы методов идентификации параметров СДУ, Реализация этих методов (кроме метода максимального правдоподобия для линейного СДУ) требовала оптимизации критерия качества идентификации при одновременном выполнении группы ограничений. Среди существующих подходов оптимизации в работе был выбран и адаптирован к условиям решаемой задачи - относительно простой с точки зрения программной реализации и потребления вычислительных ресурсов - квазиоптимальный метод - метод случайного поиска. Эффективность разработанных алгоритмов доказана при помощи статистического моделирования. В пятой главе разработанные методы и алгоритмы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений применяются в задачах поддержки принятия управленческих решений: определение ценового риска инвестирования в акции, оценки процентных ставок краткосрочных облигаций, а также прогнозирования эпидемиологической ситуации.
Настоящая работа представляет собой результаты, полученные автором при выполнении ряда научно-исследовательских работ в Академии Свентокши-ской им. Яна Кохановского в Кельцах (Кельце, Польша) в рамках тем:
095/S/03 Моделирование процессов обучения;
0I/W/03 Параметрическая идентификация математических моделей в социальных науках;
2012/12/Р Математическое моделирование оптимального управления портфелем в непрерывном времени.
Проблемы формализации объектов
Исследование поведения многих динамических систем, таких как, например, технические, биологические, экологические и экономические системы, а также ряд технологических процессов, позволяет прогнозировать их поведение и принять необходимые управленческие решения. Принятие каждого такого решения всегда связано с риском, поскольку поведение реального объекта, функционирующего в условиях естественных, промышленных и других шумов, характеризуется некоторой неопределенностью. Кроме того, в автоматизированных системах управления сложными объектами обычно участвуют люди, для которых свойственна некоторая неопределенность поведения. Очевидно также, что применение обычных теоретических методов в попытке выявления и объяснения физической стороны исследуемого явления в нужной полноте и точности не обеспечивает решения поставленной задачи. В связи с этим возникает необходимость выполнения формализации функционирования сложного объекта управления, т.е. получения некоторой модели (ее первое приближение также можно назвать концептуальной моделью) исследуемой динамической системы [95]. Поскольку перечисленные объекты относятся к классу сложных объектов управления и характеризуются: - наличием большого числа составляющих элементов и связей между ними и слабоструктурированностью, наличием количественных и качественных характеристик, - отсутствием полной информации о внешней среде и о связях между параметрами, - наличием ошибок в полученных данных, - необходимостью использования множества моделей и языков для своего описания, то часто не возможно определить точную модель их функционирования. В этом случае возникает необходимость построения приближенной модели, т.е. специально синтезированного объекта, обладающего необходимой степенью подобия исходному и адекватному целям исследования, сформулированным субъектом или лицом, принявшим решение относительно исследования системы (см. рис. 1.1). Естественно, модель должна удовлетворять двум группам трудно совместимых требований: с одной стороны - максимально точно отображать хотя бы основные свойства объекта исследования, а с другой стороны - соответствовать аппаратурным возможностям исследователя, т.е. быть удобной для применения избранного инструментария. Наиболее информативными показателями изменения динамики системы являются входной Хзх и выходной Хшх сигналы. Поэтому систему можно характеризовать как принадлежность Такое определение является общим и справедливым даже для словесного описания системы, функционирующей как «черный ящик» с наблюдаемыми входными и выходными сигналами. Однако, описание (1.1) не дает возможности подвергнуть анализу происходящие в системе процессы, оценить их качественно и количественно. Решение этой проблемы требует фиксации положения системы, т.е. определения состояний, в которых система находилась, находится или может находиться. Под состоянием системы (/) будем понимать такую совокупность значений переменных, характеризующих функционирование системы, которая однозначно определяет последующие изменения в системе. Тогда изменения во времени t можно задать как: где Д, - приращение по времени /, Т(ґ) - оператор, являющийся моделью системы. Если оператор ТГ(г) известен, то появляется возможность прогнозирования динамики событий и оптимального управления, а это и составляет основную цель при исследовании системы. Поскольку для системы характерна множественность состояний, можно говорить о пространстве состояний.
Принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений
Очень не многие СДУ имеют аналитические решения. В основном это -линейные СДУ с аддитивным или мультипликативным шумом или нелинейные СДУ, сводимые к линейным [185]. В связи с этим возникает практическая необходимость создания численных методов решения СДУ.
В настоящее время существует несколько подходов создания численных схем решения стохастических дифференциальных уравнений. Одной из возможностей является адаптация существующих для ОДУ схем с учетом свойств стохастических интегралов [142, 171], другой - разработка специальных методов решения СДУ [158, 181]. Большинство исследователей использует первый подход, поскольку теория численного решения ОДУ хорошо разработана и достаточно легко можно провести аналогии между ОДУ и СДУ.
Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ (с вычислительной точки зрения) является метод Эйлера, разработанный Маруя-мой в 195 5 г [163, 171, 172]. Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам (она имеет порядок сходимости 0.5), но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибка аппроксимации достаточно высока и т.п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и до сих пор ведутся исследования, направления которых можно представить в виде схемы (см. рис. 2.1).
По аналогии с разработкой схем численного решения ОДУ для повышения порядка сходимости, точности аппроксимации и устойчивости можно использовать разложение в точке аппроксимации, т.е. использования производных различных порядков как переменной, так и коэффициентов дрейфа и диффузии. В литературе этот подход получил название метода Тейлора [145]. Однако, минусом схем Тейлора является то, что на каждом шаге аппроксимации требуется вычислять кратные стохастические интегралы, связанные с вышеуказанными производными. Для того, чтобы избежать вычислительные трудности можно использовать многократное деление шага аппроксимации (методы Рунге-Кутта [128, 143, 193]) или результаты аппроксимации предыдущих шагов (многошаговые методы [50, 144, 158, 173, 175, 1911).
Напомним, что разработка численной схемы или алгоритма решения связана не только с математическими аспектами, а также с физической природой объекта исследования и программной реализацией (см. рис. 1.1 и 1.2).
Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием обычных численных схем демонстрируют «нежелательное» поведение и могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости. Существует несколько возможных объяснений этого явления.
Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера. Так для достижения желаемой точности можно применить многократное деление шага интегрирования. С одной стороны, это приводит к накоплению ошибки округления, и как следствие, возникает переполнение регистров компьютера. С другой стороны использование очень малых значений шага интегрирования требует огромных ресурсов времени. Вторая причина связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов. Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики и т.п. Наконец, жесткость может быть вызвана обеими причинами. Поэтому при разработке стабильных численных методов требуется учитывать вышеуказанные ситуации.
Анализ современной литературы показал, что создание численных методов решения жестких систем в большинстве случаев основано на идеях, представленных Хайрером и Банером [122, 159]. В своей работе они постулировали, что жесткие системы не могут быть решены явными методами, и представили подходы, основанные только на использовании неявных методов. Однако, следует отметить, что непосредственное применение этих методов всегда связано с крайне сложной процедурой определения параметров схемы, основанной на nbзаранее выделенной области устойчивости только для рассматриваемой системы. Это обстоятельство делает предложенные подходы не приемлемыми для большинства вышеуказанных приложений, но позволяет выделить два важных математических свойства жесткости. Во-первых, все жесткие системы обладают очень широким спектром (или присутствием очень разных экспонент Ляпунова). Во-вторых, согласно теоремы единственности и существования решения, для жестких систем характерны большие значения константы Липшица.
Итак, анализ принципов создания численных схем решения систем СДУ, особенно для некорректных задач, показал необходимость поиска новых метод решения. Однако, прежде чем начать разработку собственного метода решения жесткой задачи, следует исследовать свойства уже существующих методов и проанализировать их реакцию при наличии жесткости. Поэтому, поскольку существует достаточно большая группа, основанная на разложениях Тейлора, следует пояснить такие понятия как разложение стохастического интеграла уравнения (1Л 5), а также методы численной аппроксимации этих интегралов.
Постановка задачи
Существуют несколько подходов идентификации систем управления [1, 10, 12, 44, 49, 67, 109, 127]. Один из возможных методов идентификации является определение математической модели исследуемого объекта на основе ретроспективной информации о значениях его входных и выходных сигналов [117 - 119]. Целью идентификации является определение такой структуры и параметров модели, чтобы было достигнуто «наибольшее» соответствие (удовлетворен критерий качества идентификации) между рассматриваемым физическим процессом и полученной математическая модель (см. рис. 3.1) [59 - 61, 63, 108, 124, 125]. В работе в качестве модели системы (1.3) предложено использование стохастических дифференциальных уравнений в непрерывном времени. Запишем СДУ Ито (1.18) как где Y, - z -мерный вектор состояния системы с фиксированными начальными условиями Y0-Y(t0); fFf-m-мерный процесс Винера; a(t,Yn\y): КгхНх!1Г- Кг и b(t,Y:,\\f): U! xRxR" Rz xRm - функции дрейфа и диффузии; ц/- неизвестный и -мерный вектор параметров, который необходимо оценить. Поскольку обычно при эмпирическом анализе исследователю доступны дискретные данные, то будем предполагать, что в дискретные моменты време- ни t є {tx,t2,...,tT} фиксируется вектор состояния системы. Обозначим эти состояния как Y(t0), 7(/j),..., Y(tT). Оценка вектора \/ может быть выполнена на основе функции правдоподобия уравнения (3.1), например, методом максимального правдоподобия. Используя марковские свойства процесса 7(ґ) (см. Приложение П. 1), запишем условную вероятность совместного распределения [169] (3.2) может быть достигнуто путем решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова [47, 82, 185]: при начальных условиях, определенных дельта-функцией Дирака S(Y-Y0)=p(Y,t\Y0,t0), где р(УдГ0,/0) - передаточная вероятность, Cl= bbT RzyR- Ru VyRz - диффузионная матрица. Решение задачи (3.2) - (3.3) требует построения численного алгоритма, поскольку аналитическое решение существует только в некоторых тривиальных случаях. Например, если a{t,Y0\y) = fi и b{t,Yn ) = cr, то получаем гауссову плотность распределения вероятности, а в случае a(t,Yt,\\t) = /JY, И b(t,Yn\y) = jYtal2 уравнение (3.1) сводится к уравнению dYt = fiYtdt + aYlalldWt (/є[ґ0,!Г])5 т.е. модели Кокса-Росса оценивания цены опциона [130, 134, 140, 150, 176, 189]. Рассмотрим способы решения задачи (3.2)-(3.3).
Проверка эффективности метода максимального правдоподобия
Для проверки эффективности предложенных методов идентификации параметров СДУ необходимо разработать алгоритмы и проверить их эффективность, выполняя вычислительные эксперименты с использованием схемы Монте-Карло, которая включает следующие этапы: 1) назначение «истинной модели» объекта; 2) получение значений входных и выходных переменных с использованием «истинной модели»; 3) генерация случайных составляющих с заданными вероятностными свойствами для выходных переменных; 4) добавление случайных составляющих к значениям выходных переменных; 5) оценка параметров полученной модели; 6) N кратное повторение шагов 3-5; 7) усреднение искомых характеристик и оценка их стандартных отклонений. В случае идентификации параметров СДУ возникает ряд особенностей непосредственного использования такой схемы моделирования. Аналитическое решение СДУ представляется семейством стохастических процессов или случайными траекториями, значения которых зависит от случайных составляющих процесса Винера. В этом случае можно получить сколь угодно «истинных моделей» процесса, тогда как классическая схема моделирования Монте-Карло предусматривает только одну. Поэтому возникает необходимость ее адаптации к особенностям алгоритма метода идентификации параметров СДУ. Поскольку для линейного СДУ нам удалось получить аналитические выражения оценок параметров методом максимального правдоподобия, алгоритм идентификации можно не формулировать, а беспосредственно приступить к проверки эффективности метода, используя следующую схему вычислительного эксперимента: 1) для линейного СДУ (3.4) задать: истинные значения параметров р, и а, интервал наблюдения [?0,/г], количество интервалов наблюдения Т, начальное значение 7(/0); 2) определить длину шага Д, = ——-; 3) при помощи схемы (см. Приложение П.2) сгенерировать значения процесса Винера Wt, t0 t t7; 4) используя аналитическое решение СДУ (3.4) и значения Wtl вычислить истинные значения процесса Yt, t0 t tT; 5) на основе полученных значений Yt оценить параметры р. и а СДУ (3.4) методом максимального правдоподобия соответственно по формулам (3.9) и (ЗЛО); 6) повторить N раз шаги 3-5; 7) усреднить искомые характеристики и оценить их стандартные отклонения от истинных значений. Учитывая вышесказанное, была выполнена серия вычислительных экспериментов. Для уравнения (3.4) были выбраны несколько произвольных значений параметров /л и т, что в результате дало тестовые уравнения: (A) dYt = 1 mtdt + Q.SYldWl, (Б) = 1.0 + 0.25 , (B) dY l.OY.dt + O.QSY W,, (Г) Л; = -2.01 + 0.51 , (Д) dYt = -4.0Yrdt + 0. \YtdW,, где 0 Г 1, количество интервалов наблюдения Г = 10; 50; 100 и Y(t0)-1.0 и /0 = 0. Вычислительный эксперимент был выполнен с использованием пакета прикладных программ MATLAB 6.5 на ЭВМ типа IBM PC Pentium-IV. Количество повторений эксперимента составило JV = 100; 1000. Результаты вычислений приведены в таблице 4.1. Проанализируем полученные результаты. Первая серия экспериментов (N = 100, Т = 10, т.е. Д, = 0.1) дала заниженные оценки параметров для всех тестовых уравнений с достаточно высоким стандартным отклонением параметров, составляющим в среднем около 20% от истинного значения параметра.
