Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Необходимые сведения из математической теории оптимального управления 22
1. Основные определения и понятия 22
2 Необходимые условия оптимальности для систем, описываемых интегральными уравнения типа Вольтерра 27
3 Принцип квазимаксимума 32
Глава 2. Модель хищник - жертва, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений 35
1 Постановка задачи. Краевая задача принципа максимума Л. С. Понтрягина 35
2 Особое оптимальное управление 43
3 Дискретная задача 45
4 Влияние параметров задачи на оптимальное решение 53
Глава 3. Модель хищник - жертва, описываемая системой интегро-диффереициальиых уравнений типа Вольтерра 56
1 Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра 56
2 Необходимые условия оптимальности 64
3 Исследование общей модели хищник - жертва. 70
4 Постановка задачи. Необходимые условия оптимальности. 79
5 Модель хищник - жертва. Управление отловом хищников и коэффициентами прироста жертв. 87
Приложение 1 93
Приложение 2 94
- Необходимые условия оптимальности для систем, описываемых интегральными уравнения типа Вольтерра
- Постановка задачи. Краевая задача принципа максимума Л. С. Понтрягина
- Влияние параметров задачи на оптимальное решение
- Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра
Введение к работе
В настоящее время задачи экологии приобретают первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.
Одной из основных задач экологии па современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.
Одной из первых работ в области математической экологии была работа А, Д. Лотки (1880 - 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник - жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940), В. А. Костицин (1883 -1963) В настоящее время уравнения5 описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки — Вольтерра.
Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних
величин - численности популяции. В настоящее время на их основе
построены более общие модели взаимодействия популяций,
описываемые интегро- дифференциальными уравнениями,
исследуются управляемые модели хищник - жертва.
Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из
одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления. Любое управление сводится к принятию того или иного решения, которое основывается на информации об управляемом объекте и знании его свойств. Вычислительный эксперимент позволяет корректировать модель и сё параметры, расширяет возможности математического моделирования,
В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям, В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума Л. С. Поптрягииа и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.
Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели.
Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно.
Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.
Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.
Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.
Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счет внешних факторов, так и за счет изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизация
прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.
Исследование управляемой модели проводится по следующей схеме. В начале осуществляется качественный анализ управляемой системы, исследуется устойчивость положения равновесия или решения динамической системы в зависимости от начальных условий и параметров задачи. Затем с помощью необходимых условий оптимальности определяется структура оптимального управления, записывается краевая задача принципа максимума, исследуется возможность возникновения особых режимов и их оптимальность, строится синтез оптимального управления. Важным этапом является разработка и определение методов, алгоритмов, программно - технических средств моделирования. Большое внимание уделено исследованию структуры оптимального управления и влиянию параметров задачи на оптимальное решение.
В работах [18, 44, 45] исследовались неуправляемые модели типа хищник - жертва, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Пусть x(t) и y(t) — численность жертв и хищников
соответственно. Предположим, что единственным
лимитирующим фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв). Тогда в отсутствие хищников, численность жертв должна расти экспоненциально с относительной скоростью р а хищники в отсутствие жертв — также экспоненциально вымирать с относительной скоростью є2.
Коэффициенты } и 2 — коэффициенты естественного прироста жертв и естественной смертности хищников соответственно.
Пусть V = V (х) — количество (или биомасса) жертв, потребляемых одним хищником за единицу времени, причем к-я часть полученной с этой биомассой энергии расходуется хищником на воспроизводство, а остальное тратится на поддержание основного обмена и охотничей активности. Тогда взаимодействие хищника и жертвы можно записать нелинейной системой дифференциальных уравнений:
-r = exx-V(x)y
і (1Л)
-y- = kV(x)y-2y
at с заданными начальными условиями
Х(0)=х у(0)=у (1.2).
Функцию V (х) обычно называют трофической функцией хищника или функциональным откликом хищника на плотность популяции жертвы. Именно эти функции обычно определяются в экспериментальных работах, посвященных изучению хищничества, и к настоящему времени считается установленным, что эти функции обычно принадлежат к одному из следующих трех типов (рис, 1). Динамическое поведение системы в значительной степени зависит от вида трофической функции.
Рис, 1. Различные типы трофических функций в системе хищник — жертва: а) этот тип характерен для беспозвоночных и некоторых видов хищных рыб; 6) трофическая функция с резко выраженным порогом ігасьтщеїіия характерна для хищпиков-фильтраторов (например, многих моллюсков); в) такой тип характерец для позвоночных — организмов, проявляющих достаточно сложное поведение (например, способных к обучению). Аналогичный вид будет иметь трофическая функция, если жертвы могут вырабатывать защитную сграпяню (например, прятаться в убежище, недоступное хищникам).
При малых значениях х, например, когда трофические отношения в системе напряжены и почти все жертвы становятся добычей хищника, который всегда голоден и насыщения которого не наступает (ситуация, довольно обычная в природе), трофическую функцию V (х) можно считать линейной функцией, численности жертв, т. е. V(x) = рх. Кроме того, предположим, что к = const. Тогда система (1.1) перепишется в виде:
dx at
(1.2).
= к/3ху-2у
Система дифференциальных уравнений (1.2) называется
классической моделью хищник — жертва типа В. Вольтерра. Эта система имеет интеграл вида
(ехЛ
*! /
.г V
= С,
(1.3)
где Х=дУх* Y=y/y*f х' =Е21кр, у =affi. Если х^ ^ - начальные значения численности жертв и хищников соответственно, то значение постоянной С определяется равенством
С =
>0
и уравнение (1.3) описывает семейство вложенных друг в друга
кривых, соответствующим фазовым траекториям периодических решений системы (1.2), При увеличении С амплитуды колебаний хну возрастают, при минимальном значении С* = е^*1' - эти кривые стягиваются в точку (х*,у*).
Несмотря на то, что модель Вольтерра смогла объяснить многие реально наблюдавшиеся явления, у нее есть большой недостаток — не грубость (в математическом смысле этого слова) вольтерровских циклов, так что при любых сколь угодно слабых, возмущениях фазовых координат система переходит с одного цикла на другой- По-видимому, более адекватные модели должны обладать свойством «грубости»,
С точки зрения теории устойчивости, состояние
,*\=\*
равновесия системы (х*9 у*)
это состояние
безразличного равновесия, устойчивое по Ляпунову, но не асимптотически. Отсутствие асимптотической устойчивости
равновесия указывает на то, что в вольтерровскои системе отсутствуют механизмы, стремящиеся сохранить ее нетривиальное равновесное состояние.
Уже из простейшего анализа вольтерровскои модели, можно заключить следующее» Например, в отсутствие хищников численность жертв может неограниченно возрастать. В действительности этого не происходит, поскольку любая популяция существует в условиях ограниченности ресурсов (пища, пространство и т. п.), что и лимитирует ее численность, . С другой стороны, количество жертв, потребляемых в единицу времени хищником, может возрастать до бесконечности при возрастании численности жертв, что тоже неверно, поскольку существуют чисто физиологические ограничения.
Введение в вольтерровскую модель внутривидовой конкуренции среди жертв, возникающей из-за ограниченности ресурсов, делает модель «грубой», но колебания численностей становятся затухающими. Дифференциальные уравнения описывающие модель в этом случае имеют вид
dx 1
-— = єіх-рху-уїх 9
* > (1-4)
— ^крху-єіУ at
где слагаемое угх2 описывает внутривидовую конкуренцию. Легко видеть, что в отсутствии хищников предельное значение
численности жертв равно х = еу . Последняя система имеет
единственное нетривиальное положение равновесия в точке (х*;у*)\
x =—'-,
. _слкр-у,єг
В диссертационной работе рассматриваются управляемые модели типа хищник — жертна на отрезке времени [0,7]. Введем в модели (1.4) управление, с помощью которого осуществляется отлов хищников и жертв. Пусть uj(t) — часть жертв, подлежащая отлову; u2(t) — часть хищников, подлежащая отлову в момент времени t тогда Ui(t)x(t) - отлов жертв, a u2(t)y(1) — отлов хищников в единицу времени. В этом случае динамика управляемой модели хищник - жертва описывается следующей системой дифференциальных уравнений
-— = єхх-рху-у^х -щх
d , (1.5)
-— = кр ху -с2у-и^у dt
с заданными начальными условиями x(0)=xf у(0)=у На функции управления обычно накладываются ограничения, связанные с техническими возможностями и с необходимостью сохранения популяции:
Возможен и другой способ управления, при котором управлением является величина отлова хищников и жертв соответственно в единицу времени щ , і=1,2, В этом случае управляемая система примет вид
r>
— = єхх-рху-у1х*-и1 , dt
~ = kfixy~e2y-u2 5 (1.6)
х(0)=х\ ><(0) = / 0^и<<ит, і = 1,2
Модель Вольтерра можно обобщить для п особей, как
это сделано в главе 3, например, для трех видов особей,
численность популяции которых равна x(t), y(t), z(t)
соответственно. В этом случае Взаимодействие особей
^ описывается следующей системой дифференциальных
уравнений.
y^y(e2+$c-a2y-ayz), (1.7)
z - z{c^ 4- ay + ух - (J3z)
где єі9 і = 1,3 прирост биомассы і - го вида; параметры a,0fy -
характеризуют межвидовую конкуренцию, a cit і = 1,3 отвечают, за
-} внутривидовую конкуренцию.
Учитывая отлов и естественную смертность популяции, в систему (1.7) молено ввести управления, которые характеризуют отлов популяции в единицу времени, при этом на управление наложены суммарные ограничения, а сама функция управления характеризует часть отлова популяции в единицу времени:
х = х(є1 -fiy — a^ — yz — u^
у = у(є2 +0х-агу-ссуг-иг)
( ї ' (1'8)
где х(0), у(0), z(0) заданные начальные состояния системы, или аналогично (1-6) управляемая модель в случае .трёх взаимодействующих особей описывается системой:
х = х{є1 - Py — fjlx — yz)-ul
y = y{s2+px-a2y-ayz)-u2^ ^^
z = ±\ъ л-аул-ух — агъ)—иг
Заметим, что наряду с отловом популяции в этих моделях может учитываться также естественная смертность.
Выбор критерия управления зависит от цели. Это может быть и переход системы из одного устойчивого состояния х(0), у(0), z(0) в другое х(Т), у(Т), z(T) за минимальное время с минимальными затратами или получение максимальной прибыли от продажи того или иного вида популяции, и др.
В математических моделях, описывающих двувидовые взаимодействия, игнорируется возможность неоднородного размещения популяций в занимаемой ею части пространства. Такие модели служат лишь первым приближением к реальности- В действительности условия проживания популяции никогда не бывают одинаковыми в разных частях ареала. Кроме того, даже для пространственно однородной среды обитания всегда существенны чисто биологические причины скопления и разрежения представителей популяции: инстинктивные поведенческие мотивы собирания их в стаи и стада, сезонные изменения в природе и т. д.
Более точным математическим описаниям двувидовых взаимодействий, учитывающим неравномерность распределения численности популяций па занимаемых территориях, соответствует система уравнений в частных производных.
В основу классификации всевозможных типов межвидовых отношений может быть положена принадлежащая Ю.Одуму идея классифицировать взаимодействие между видами по тому влиянию* которое это взаимодействие оказывает на численность взаимодействующих популяций. Так, например, тип взаимодействия при котором рост численности каждого вида подавляет численность остальных видов, называется конкуренцией. Если прирост численности взаимодействующих видов положительно влияет на каждый из них, то тин взаимодействия -симбиоз (или мутуализм). Если же рост численности одного вида подавляет прирост второго, а рост численности второго вида стимулирует прирост первого, то взаимодействие классифицируется как хищник - жертва (или паразит — хозяин, или травоядные - растения и т. п.). Взаимодействие, при котором один из видов извлекает выгоду, не принося другому ни вреда, ни пользы, называют комменсализмом.
Характер влияния одного вида на другой можно изображать одним из знаков: ^(стимулирующий), -(угнетающий) или О (нейтральный). Тогда классификация парных взаимодействий состоит, очевидно, из шести основных типов:
-Н- симбиоз (мутуализм), ~ конкуренция,
+- хищник - жертва, -0 аменсализм,
+0 комменсализм, 00 нейтрализм.
Пусть у,} число, знак которого и абсолютная величина
отражают соответственно характер и интенсивность влияния j- го вида на /- й вид, тогда yh - показатель внутривидового
взаимодействия і- го вида. Квадратную матрицу Г = \\у0 |,
отражающую структуру связей сообщества, называют матрицей
Ь сообщества.
Анализ динамики сообщества с матрицей Г должен опираться на некоторую систему уравнений относительно функций Ni(t)9 аппроксимирующих численность видов сообщества. Чтобы составить эту систему уравнений, рассмотрим сообщество, структура которого изображена на рисунке.
Солнечная энергия
Рис. Структура взаимодействия между вилами
Компоненты сообщества разобьём на группы:
Продуценты с биомассами (или концентрациями) jq
{i=If2,.„fp) - это в основном зеленые растения, способные преобразовывать световую энергию в собственную органическую биомассу и использовать в пищу простые минеральные вещества.
Консументы с биомассами yj (j=lt2,.*.tq) - это животные,
питающиеся продуцентами и другими организмами, а также
разлагатели, расщепляющие мёртвую органику на простые
-/t вещества, которые используются продуцентами.
Субстракты с биомассами с^ {к=1>2,..,гр) - это абиотические вещества (в основном продукты жизнедеятельности консументов), используемые продуцентами.
Вся цепь превращений органических веществ от растений к разного вида животным - это так называемая трофическая (пищевая) цепь. Каждый живой организм в процессе питания преобразует органическое вещество и передаёт его дальше по цепи. Любая биомасса, как и любой человек, рано или поздно погибает и, разлагаясь, превращается в более простые химические соединения. Почва помогает попавшим в неё веществам и элементам, потребляемыми животными, снова включиться в природный круговорот.
Составим уравнения, отражающие баланс масс каждой из компонент хи yJt ск. По сути дела, балансовые уравнения есть не что иное, как законы сохранения масс. Эти уравнения имеют вид:
^(K-^t-±Vyi+R„ І = 1Д...,Л (1.10)
^ = (^-^,-^,+Д,, У = 1;2,...,?, (1.11)
at s=|
Иг q P
^- = 1^-1^,+. * = U,..,r (1.12)
и называются уравнениями экологического баланса. Здесь F и Df - функции рождаемости и смертности продуцентов и консументов (с соответствующими нижними индексами); VtJ -функции выедания, описывающие скорость потребления биомассы і- го вида - продуцента единицы биомассы j- го консумента; vjs -
функции выедания j- го вида s-и (среди консументов); W^ -функции выедания к- го субстракта j-м видом - продуцентом; СД,- -интенсивность производства к- го субстракта j- м консументом; Rxt
Ry , Rc - сумма входных и выходных потоков соответствующих компонент. Естественно, что все эти функции зависят от параметров внешней среды (от сезонно изменяющейся влажности, температуры и т. п.).
Такая модель в делом правильно описывает балансовые соотношения в наземных экосистемах, однако она страдает излишней общностью, не позволяющей использовать её для исследования конкретных систем. Поэтому необходимо, исходя из различных биологических соображений^ конкретизировать вид входящих в модель функций с помощью подходящего выбора коэффициентов, являющихся, вообще говоря, функциями компонент, входящих в систему.
Если предположить, что рождаемость продуцентов не
ограничена ни светом, ни минеральным питанием, а ограничена
лишь физиологическими пределами, то F* = const. Поскольку
компоненты - субстракты в этом случае не оказывают влияния на
динамику остальных компонент, то в уравнениях экологического
баланса можно рассматривать только уравнения (НО) и (1Л1).
Вводя масштабные преобразования переменных
Nt =аіх. <і=1,2,._р), Nj=bjyj 0 = 1,2,..,^) при довольно
естественных предположениях о коэффициентах прироста и смертности, а также скоростях преобразования биомасс, можно преобразовать уравнение экологического баланса к виду
d^ = N:
, 1=1,2,-,71 (1.13)
где є{ - скорость естественного прироста или смертности I-го вида в отсутствии всех остальных видов, Г = \у91 - матрица сообщества, n=p+q - порядок матрицы Г.
В диссертационной работе исследованы различные типы управляемых моделей хищник — жертва.
Во второй главе рассматривается модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой оптимальное управление процессом отлова выбирается из условия максимума прибыли и сохранения популяции на заданном уровне. Формализованная задача оптимального управления состоит в максимизации функционала
Au)=\f4{PiNi{i)-ci)ui{t)dt, (1.14)
выражающего прибыль от использования популяции хищников и
жертв.
где р(9г=192 - стоимость популяции, Сі - стоимость использования
технических средств.
Динамика популяции хищников и жертв описывается системой дифференциальных уравнений:
N2{t) = -s2N2{t)^r2Nx{t)N2{t)-u2{t)N2{t)
с заданными начальными условиями и ограничениями:
N}(0)=N10, N2(Q)=N2q9 Ni(T)=Ait i=lj (1.16)
и с двумя типами ограничений на функции управления:
а)0<и№<Ьп (1.17)
б) 0<иу(0 + и2(0<В,и;>0,1 = 12, ге[0,Г].
Для этой задачи строится оптимальное управление, исследуется влияние параметров задачи на оптимальное решение, анализируется возможность возникновения особых оптимальных управлений.
В третьей главе исследуется общая задача типа хищник -жертва, которая описывается системой п- интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. Требуется найти минимум функционала
ад=і Цчр.тЫо) - c(xo)koA+
і-І
при динамических ограничениях
(1.18)
л(0 = лС)
ri^)~Y.^)yj{t)-t.b^\KAt-sbb)ds
>i
j=i
(1.19)
с заданными начальных условиями и скалярным управлением
удовлетворяющим ограничению
0
Для этой задачи выписываются необходимые условия оптимальности управления, краевая задача принципа максимума, приводятся численные методы и алгоритмы построения приближённого оптимального решения. Рассматривается задача с нефиксированным временем процесса, для которой получены условия оптимальности и разработаны методы построения приближённого решения.
В четвёртом параграфе третьей главы рассматривается задача управления отловом хищников и жертв с целью минимизации затрат на отлов и сохранения популяции на заданном уровне Л, , і=1,2. Требуется найти минимум функционала
(1.21)
с /-1 1=1
где Є; > 0, / = 0,1,2, заданные весовые коэффициэпты.
Динамика взаимодействия описывается системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра
у№ = у№\\---
г у у (О4
-ауА0у2 (.0-уЛОщ (О
Уг(0 = -«2(0^(0 + ^(0 \y,{j)G(t-r)dr
(1.22)
f-^
с начальными условиями:
^(0 = ^(0. Л (0 = . СО, /є[-к,0]
Рассматриваются два типа ограничений па управления
а) а,иДО^А.» = 1А*е[0рГ], (1.23)
б? ^^(О + ^СО^М, > 0,/ = 1,2, f є[0,Г]
В пятом параграфе третьей главы управление осуществляется не только отловом, но и коэффициентами прироста жертв и хищников. Формализованная задача состоит в минимизации функционала
Ли) = оЙ»?(0Л + Е^(^0-4)а3 (1-24)
0 Ы 1=1
При ограничениях:
х, (0 = х, (0«, (0(1 - * (0«, (0) - axi (0 (0,
(1.25) *2<0 = -«2 (0*2 (0 - / (0 J*i (*W - r)dr.
1ф)>ап / = U, їє[0,Г] (1.26)
Для поставленной задачи сформулирован принцип максимума, найдено оптимальное управление. разработан численный метод и реализован алгоритм построения приближённого оптимального решения.
Необходимые условия оптимальности для систем, описываемых интегральными уравнения типа Вольтерра
В настоящее время задачи экологии приобретают первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.
Одной из основных задач экологии па современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.
Одной из первых работ в области математической экологии была работа А, Д. Лотки (1880 - 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник - жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940), В. А. Костицин (1883 -1963) В настоящее время уравнения5 описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки — Вольтерра.
Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро- дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник - жертва. Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления. Любое управление сводится к принятию того или иного решения, которое основывается на информации об управляемом объекте и знании его свойств. Вычислительный эксперимент позволяет корректировать модель и сё параметры, расширяет возможности математического моделирования,
В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям, В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума Л. С. Поптрягииа и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.
Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели. Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно. Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.
Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.
Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.
Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счет внешних факторов, так и за счет изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизация прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.
Исследование управляемой модели проводится по следующей схеме. В начале осуществляется качественный анализ управляемой системы, исследуется устойчивость положения равновесия или решения динамической системы в зависимости от начальных условий и параметров задачи. Затем с помощью необходимых условий оптимальности определяется структура оптимального управления, записывается краевая задача принципа максимума, исследуется возможность возникновения особых режимов и их оптимальность, строится синтез оптимального управления. Важным этапом является разработка и определение методов, алгоритмов, программно - технических средств моделирования. Большое внимание уделено исследованию структуры оптимального управления и влиянию параметров задачи на оптимальное решение.
Постановка задачи. Краевая задача принципа максимума Л. С. Понтрягина
В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям, В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума Л. С. Поптрягииа и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.
Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели.
Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно.
Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.
Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.
Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.
Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счет внешних факторов, так и за счет изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизаци прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.
Исследование управляемой модели проводится по следующей схеме. В начале осуществляется качественный анализ управляемой системы, исследуется устойчивость положения равновесия или решения динамической системы в зависимости от начальных условий и параметров задачи. Затем с помощью необходимых условий оптимальности определяется структура оптимального управления, записывается краевая задача принципа максимума, исследуется возможность возникновения особых режимов и их оптимальность, строится синтез оптимального управления. Важным этапом является разработка и определение методов, алгоритмов, программно - технических средств моделирования. Большое внимание уделено исследованию структуры оптимального управления и влиянию параметров задачи на оптимальное решение. В работах [18, 44, 45] исследовались неуправляемые модели типа хищник - жертва, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Пусть x(t) и y(t) — численность жертв и хищников соответственно. Предположим, что единственным лимитирующим фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв).
Влияние параметров задачи на оптимальное решение
Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро- дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник - жертва. Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления. Любое управление сводится к принятию того или иного решения, которое основывается на информации об управляемом объекте и знании его свойств. Вычислительный эксперимент позволяет корректировать модель и сё параметры, расширяет возможности математического моделирования,
В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям, В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума Л. С. Поптрягииа и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.
Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели.
Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно. Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.
Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.
Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.
Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счет внешних факторов, так и за счет изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизация прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.
Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра
Одной из первых работ в области математической экологии была работа А, Д. Лотки (1880 - 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник - жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940), В. А. Костицин (1883 -1963) В настоящее время уравнения5 описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки — Вольтерра.
Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро- дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник - жертва. Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления. Любое управление сводится к принятию того или иного решения, которое основывается на информации об управляемом объекте и знании его свойств. Вычислительный эксперимент позволяет корректировать модель и сё параметры, расширяет возможности математического моделирования,
В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям, В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума Л. С. Поптрягииа и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.
Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели. Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно. Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.
Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.
Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.
Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счет внешних факторов, так и за счет изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизация прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.
Исследование управляемой модели проводится по следующей схеме. В начале осуществляется качественный анализ управляемой системы, исследуется устойчивость положения равновесия или решения динамической системы в зависимости от начальных условий и параметров задачи. Затем с помощью необходимых условий оптимальности определяется структура оптимального управления, записывается краевая задача принципа максимума, исследуется возможность возникновения особых режимов и их оптимальность, строится синтез оптимального управления. Важным этапом является разработка и определение методов, алгоритмов, программно - технических средств моделирования. Большое внимание уделено исследованию структуры оптимального управления и влиянию параметров задачи на оптимальное решение.
