Содержание к диссертации
Введение
1. Стохастические дифференциальные уравнения 8
1.1. Общие понятия 8
1.2. Линейные стохастические уравнения 19
1.3. Стохастические дифференциальные уравнения Ито 21
1.4. Стохастические дифференциальные уравнения Стратоновича 25
1.5. Стохастическое разложение Тейлора 27
A. Детерминистические разложения Тейлора 27
B. Разложение Ито-Тейлора 29
C. Разложение Стратоновича-Тейлора 32
D. Приближения кратных интегралов Стратоновича 33
E. Генерирование кратных интегралов Стратоновича 38
F. Связи между кратными интегралами Ито и Стратоновича 38
2. Стахостическое моделирование в дискретном времени
2.1. Методы аппроксимации и интерполяции 41
A. Аппроксимация Эйлера 41
B. Интерполяция в дискретном времени 42
2.2. Кусочная аппроксимация и сильная сходимость 44
A. Критерий «абсолютной ошибки» 44
B. Доверительные интервалы для абсолютной ошибки 45
C. Порядок сильной сходимости 46
2.3. Аппроксимация моментов и слабая сходимость 47
A. Средняя ошибка 48
B. Систематическая и статистическая ошибки 49
C. Порядок слабой сходимости 50
2.4. Численная устойчивость 51
A. Численная устойчивость в детерминистическом случае 52
B. Жесткие стохастические дифференциальные уравнения 55
C. Численная асимптотическая устойчивость 56
3. Сильные численные схемы 59
3.1. Сильная схема Тейлора 59
A. Схема Эйлера 60
B. Схема Мильштейна 61
C. Сильная схема Тейлора порядка 1.5 62
D. Сильная схема Тейлора порядка 2.0 64
3.2. Явные сильные схемы 64
A. Явные сильные схемы порядка 1.0 64
B. Сильная явная схема порядка 1.5 66
C. Сильные явные схемы порядка 2.0 67
D. Двухшаговая сильная схема порядка 1.0 67
E. Двухшаговая сильная схема порядка 1.5 68
3.3. Неявные сильные схемы 69
A. Неявная схема Эйлера 69
B. Неявная схема Мильштейна 70
C. Неявные сильные схемы Тейлора порядков 1.5 и 2.0 71
D. Неявные сильные схемы Рунге-Кутта 73
E. Неявные сильные двухшаговые схемы 75
4. Слабые численные схемы 78
4.1. Слабые схемы Тейлора 78
A. Слабая схема Эйлера 78
B. Слабая схемы Эйлера порядка 2.0 79
C. Слабая схема Тейлора порядка 3.0 80
4 D. Слабые схемы Тейлора порядка 4.0
4.2. Явные слабые схемы
A. Явные слабые схемы порядка 2.0
B. Явная слабая схема порядка 3.0
4.3. Неявные слабые численные схемы
A. Неявные схемы Тейлора
B. Слабые неявные схемы порядка 2.0
C. Метод типа «предиктор-корректор»
D. Методы типа «предиктор-корректор» порядка
5. Применение стохастических дифференциальных уравнений в практических задачах
5.1. Модель поведения одного потребителя
A. Идентификация параметров модели
B. Исследование свойств метода идентификации
C. Численный пример
5.2. Модель поведения нескольких потребителей
A. Идентификация параметров модели
B. Численное моделирование
C. Численный пример
Заключение
Литература
Приложения
- Приближения кратных интегралов Стратоновича
- Численная устойчивость в детерминистическом случае
- Сильная схема Тейлора порядка 1.5
- Слабая схема Тейлора порядка 3.0
Введение к работе
Детерминированные математические модели могут быть использованы при решении многих прикладных задач. Однако они не отображают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многих технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал. Это дает возможность изучения таких объектов детерминированными методами. Однако анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, поскольку во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к статистическим переходным режимам даже в детерминистических системах. Описание таких явлений классическими методами затруднительно и приводит к следующим проблемам: переходы из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных «толчков»; существование распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора; непрерывность дискретного спектра автоколебаний; возникновение элементов хаоса при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов; появление систематической составляющей в выходном сигнале при наличии статистической связи параметрических и аддитивных шумов; уменьшение запаса устойчивости или возникновение неустойчивых режимов под влиянием параметрических шумов; невозможность избежания основного резонанса при широкополосном спектре параметрических возмущений, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет
смысл; существенные различия поведение движение систем с шумами и без них на больших интервалах времени, несмотря на совпадение в среднеквадратическом смысле.
Вот почему исследования вероятностных процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших теоретических и практических задач. Необходимость решения таких задач является актуальной при изучении различных явлений: расчет полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализ движения транспортных средств по неровной дороге; оценка перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследование качки судов при нерегулярном морском волнении; анализ технологических процессов производства; изучение отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управления; анализ изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов; флуктуация шумов усилителя в системах регулирования и следящих системах; непредсказуемый спроса в экономических системах и т.д.
Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева. Различные вопросы анализа статистических систем управления, автоматического регулирования, радиотехники, радиоэлектроники и т.д. рассматривали Андреев Н.И. [4], Богуславский И.А. [15], Дашевский М.Л. [29], Казаков И.Е. [34 - 36], Кляцкин В.И. [37], Красовский А.А. [42, 43], Малахов А.Н. [49, 50], Параев Ю.И. [56], Первозванский А.А. [57], Свешников А.А. [74], Синицын И.Н. [75], Солодовников В.В. [77], Тихонов В.И. [81, 82], и др., а в области нелинейной механики - Диментберг М.Ф. [30,31], КоломиецВ.Г. [38] и др.
Неотъемлемой частью рассмотренных выше вопросов являются стохастические дифференциальные уравнения. Поскольку явные решения известны для небольшого числа уравнений, изучение численных методов их решения играет важную роль. Следует отметить, что существуют два различные подходы для нахождения численных решений. Если необходимо аппроксимировать ветви процесса решения, используются методы преобразования в среднеквадратическом смысле, а численные схемы называются схемами численной аппроксимации. С другой стороны если некоторые моменты или в общем случае математическое ожидание функционала решения являются целью исследования, используются методы слабой аппроксимации.
В данной работе рассмотрены основные вопросы теории стохастических дифференциальных уравнений, показаны различные численные методы решения, а также приведены примеры использовании стохастических дифференциальных уравнений для решения практических задач.
Приближения кратных интегралов Стратоновича
Вычислительный эксперимент был выполнен при следующих условиях. Входная переменная t менялась от 0.0 до 1.0 с шагом 0.1, начальное значение выходной переменной составляло Y0 = 0.5, истинные значения параметров уравнений (Л) - (Д) составляли // = 1.0 и сг = 0.5, количество реализаций каждой ветви решения составило т = 50. Для выполнения оптимизации критериев был использован метод LUr оптимизации. (Текст программы находится в приложении 2). Число повторений вычислительных схем для каждого уравнения и каждой численной схемы составило 500. Средние значения параметров, а также их стандартные отклонения приведены в таблице 5.6.
Проанализируем полученные результаты. Во-первых необходимо отметить наличие небольшого смещения оценок параметров // и сг, полученных для проведенной серии экспериментов. Во-вторых, интересным является тот факт, что схема более низкого порядка сходимости, использованная для генерации «истинных» значений в уравнениях (А) и (Д) - схема Эйлера - дает меньшие значения смещения и стандартного отклонения. В третьих, обращает на себя внимание то, что использование критерия качества Колмогорова-Смирнова приводит к меньшим смещениям и стандартным отклонениям, чем при использовании критерия Однако, не смотря на достаточно сложную вычислительную процедуру, наличие смещений и стандартных отклонений, которые в некоторых случаях составляли более 10%, рассмотренные методы можно использовать для оценивания параметров стохастических дифференциальных уравнений. В качестве возможных направлений дальнейших исследований можно предложить повышение точности процедур идентификации, поиск более эффективных численных схем как для генерации «истинных значений», так и для процедуры оптимизации.
В таблице 5.7 приведены данные о потреблении электроэнергии в шести промышленных регионах Польши в зимний период.. Для описания данных таблицы 5.7 было использовано уравнение (Д) и численная схема Тейлора сильного порядка сходимости порядка 1.5. В результате расчетов были получены следующие значения параметров: / = 0.997 ±0.034 и 7 = -0.024 ±0.003. Таким образом, уровень потребления электроэнергии несколькими потребителями можно описать как
Итак, целью представленной работы была разработка методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений и в применении этих методов для повышения эффективности управления конкретными системамиПЧ - і I7J Для достижения цели исследования были решены следующие задачи: 1) проанализирована теория стохастических дифференциальных уравнений и методы численной аппроксимации их решений; 2) проанализированы сильные численные схемы решения стохастических дифференциальных уравнений; 3) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений; 4) показано применение разработанных методов на примерах определения и прогнозирования поведения потребителей электроэнергии.
Численная устойчивость в детерминистическом случае
Хорошо известно, что в детерминистическом случае трудности появляются при попытке применении метода дифференцирования, который считается сходящимся. Например, дифференциальное уравнения имеет точное решение x(t) = x0e w, которые очень быстро сходится к нулю для различных дг0 0. Для этого уравнения метод Эйлера с постоянной величиной шага А, _ул+1 =(1-16Д)-у„ , имеет точные итерации у„ = (1 - 16Д)" у0 . Если выбрать А 2"3, то эти итерации будут колебаться с увеличивающиеся амплитудой в место того, чтобы сходится к точному решению (2.39). Говорим, что одношаговые методы численно устойчивы, если для каждого интервала [t0,T] и дифференциального уравнения удовлетворяющего условиям Липшица существуют положительные константы А0 и М такие, что для /7 = 0,1,2,...,/7г и два решения у„,у„ для одношагового метода, начиная от любого у0, у0 соответственно для каждого момента дискретизации с тахДя Д0. Константы А0 и М рассматриваемого дифференциального уравнения могут также зависит от конкретного интервала времени /0 / Г. Используемые одношаговые методы являются численно устойчивыми для достаточно малых А. Однако, постоянная М в (2.40) может быть достаточно большой. Например, замена знак минус на знак плюс в дифференциальном уравнении (2.39) в схеме Эйлера приводит к Л-Л=0 + 16А)"( 0-Л)-Условие численной устойчивости (2.40) требует ограничения такого как ещт-10) для f в Пр0тивопоставление сМ 1, тогда Д0 2"3 для исходного дифференциального уравнения. Различие возникает из-за того, что решения модифицированного дифференциального уравнения возрастают экспоненциальной скоростью так, что решения исходного уравнения сходятся с экспоненциальной скоростью. В обоих случаях метод Эйлера контролирует ошибку, но в дальнейшим случае исходная ошибка должна быть нереально мала, чтобы не вызывать неограниченного экспоненциального роста. Для того, чтобы удостовериться в том, что ошибки в методе Эйлера не растут для (2.39) с учётом границы М 1, нам необходимо выбрать длину шага меньше чем 2"3. Ситуация не улучшается, если используются методы высокого порядка Хеуна представленный формулой (1.6). Однако, неявный метод трапеций подвергается значительному улучшению. В этом случае он представляется схемой позволяющей получить явное решить, положив Для того чтобы получить значения подходящего А, важно определить класс тестов. Пусть существуют комплексные линейные дифференциальные уравнения с A = Ar+iAt где i = , имеющая колебательные решения когда А, О Мы можем записать (2.43) как двухмерное дифференциальное уравнение где х - хх + їх2. Подходящие значения для длины шага А 0 выражаются в определениях области абсолютной устойчивости для метода, состоящей из комплексных чисел АД для каждой ошибки с начальными условиями у0 и /0, которая не возрастает в следствии итерации для метода примененному к дифференциальному уравнению (2.43). Это значение Я и А порождающие границу М 1 в (2.40). Поэтому мы требуем в методе Эйлера выполнения условия такого, что область абсолютной устойчивости представляет собой единичную окружность на комплексной плоскости с центром в z = -\ + 0i. Другим интересным классом уравнений является двухмерное линейное дифференциальное уравнение вида такое, что два собственных значения матрицы коэффициентов являются отрицательными и сильно различаются, так, что -а2 е: ах 0. Компоненты выражения (2.44) являются различными поэтому они могут быть решены отдельно как для начальных условий (x\,xl ) = (1,1). Поскольку -or, на много больше, чем -а2, то первая компонента показывает очень медленное экспоненциальное затухание в сравнению со второй. Другими словами две компоненты имеют сильно отличающиеся временные масштабы. В литературе такие системы уравнений часто называют жёсткими системами. В общем d мерном случае будем говорить, что линейная система является жёсткой, если максимальная и минимальная действительные части собственных значений матрицы коэффициентов существенно отличаются.
Сильная схема Тейлора порядка 1.5
Детерминированные математические модели могут быть использованы при решении многих прикладных задач. Однако они не отображают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многих технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал. Это дает возможность изучения таких объектов детерминированными методами. Однако анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, поскольку во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к статистическим переходным режимам даже в детерминистических системах. Описание таких явлений классическими методами затруднительно и приводит к следующим проблемам: переходы из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных «толчков»; существование распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора; непрерывность дискретного спектра автоколебаний; возникновение элементов хаоса при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов; появление систематической составляющей в выходном сигнале при наличии статистической связи параметрических и аддитивных шумов; уменьшение запаса устойчивости или возникновение неустойчивых режимов под влиянием параметрических шумов; невозможность избежания основного резонанса при широкополосном спектре параметрических возмущений, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл; существенные различия поведение движение систем с шумами и без них на больших интервалах времени, несмотря на совпадение в среднеквадратическом смысле.
Вот почему исследования вероятностных процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших теоретических и практических задач. Необходимость решения таких задач является актуальной при изучении различных явлений: расчет полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализ движения транспортных средств по неровной дороге; оценка перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследование качки судов при нерегулярном морском волнении; анализ технологических процессов производства; изучение отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управления; анализ изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов; флуктуация шумов усилителя в системах регулирования и следящих системах; непредсказуемый спроса в экономических системах и т.д.
Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева. Различные вопросы анализа статистических систем управления, автоматического регулирования, радиотехники, радиоэлектроники и т.д. рассматривали Андреев Н.И. [4], Богуславский И.А. [15], Дашевский М.Л. [29], Казаков И.Е. [34 - 36], Кляцкин В.И. [37], Красовский А.А. [42, 43], Малахов А.Н. [49, 50], Параев Ю.И. [56], Первозванский А.А. [57], Свешников А.А. [74], Синицын И.Н. [75], Солодовников В.В. [77], Тихонов В.И. [81, 82], и др., а в области нелинейной механики - Диментберг М.Ф. [30,31], КоломиецВ.Г. [38] и др. Неотъемлемой частью рассмотренных выше вопросов являются стохастические дифференциальные уравнения. Поскольку явные решения известны для небольшого числа уравнений, изучение численных методов их решения играет важную роль. Следует отметить, что существуют два различные подходы для нахождения численных решений. Если необходимо аппроксимировать ветви процесса решения, используются методы преобразования в среднеквадратическом смысле, а численные схемы называются схемами численной аппроксимации. С другой стороны если некоторые моменты или в общем случае математическое ожидание функционала решения являются целью исследования, используются методы слабой аппроксимации.
В данной работе рассмотрены основные вопросы теории стохастических дифференциальных уравнений, показаны различные численные методы решения, а также приведены примеры использовании стохастических дифференциальных уравнений для решения практических задач.
Слабая схема Тейлора порядка 3.0
Это дает возможность изучения таких объектов детерминированными методами. Однако анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, поскольку во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к статистическим переходным режимам даже в детерминистических системах. Описание таких явлений классическими методами затруднительно и приводит к следующим проблемам: переходы из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных «толчков»; существование распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора; непрерывность дискретного спектра автоколебаний; возникновение элементов хаоса при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов; появление систематической составляющей в выходном сигнале при наличии статистической связи параметрических и аддитивных шумов; уменьшение запаса устойчивости или возникновение неустойчивых режимов под влиянием параметрических шумов; невозможность избежания основного резонанса при широкополосном спектре параметрических возмущений, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл; существенные различия поведение движение систем с шумами и без них на больших интервалах времени, несмотря на совпадение в среднеквадратическом смысле.
Вот почему исследования вероятностных процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших теоретических и практических задач. Необходимость решения таких задач является актуальной при изучении различных явлений: расчет полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализ движения транспортных средств по неровной дороге; оценка перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследование качки судов при нерегулярном морском волнении; анализ технологических процессов производства; изучение отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управления; анализ изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов; флуктуация шумов усилителя в системах регулирования и следящих системах; непредсказуемый спроса в экономических системах и т.д.
Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева. Различные вопросы анализа статистических систем управления, автоматического регулирования, радиотехники, радиоэлектроники и т.д. рассматривали Андреев Н.И. [4], Богуславский И.А. [15], Дашевский М.Л. [29], Казаков И.Е. [34 - 36], Кляцкин В.И. [37], Красовский А.А. [42, 43], Малахов А.Н. [49, 50], Параев Ю.И. [56], Первозванский А.А. [57], Свешников А.А. [74], Синицын И.Н. [75], Солодовников В.В. [77], Тихонов В.И. [81, 82], и др., а в области нелинейной механики - Диментберг М.Ф. [30,31], КоломиецВ.Г. [38] и др. Неотъемлемой частью рассмотренных выше вопросов являются стохастические дифференциальные уравнения. Поскольку явные решения известны для небольшого числа уравнений, изучение численных методов их решения играет важную роль. Следует отметить, что существуют два различные подходы для нахождения численных решений. Если необходимо аппроксимировать ветви процесса решения, используются методы преобразования в среднеквадратическом смысле, а численные схемы называются схемами численной аппроксимации. С другой стороны если некоторые моменты или в общем случае математическое ожидание функционала решения являются целью исследования, используются методы слабой аппроксимации.
