Содержание к диссертации
Введение
Глава I. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ С ПАМЯТЬЮ ПО ЗАДАННЫМ ПОЛЮСАМ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МАТРИЦ
I.I. Основные обозначения и вспомогательные утверждения
1.2 Решение задачи размещения полюсов для дискретных систем с одним входом
1.3. Решение задачи размещения полюсов для дискретных систем с одним измерением
1.4. Решение задачи размещения полюсов для дискретных систем общего вида ,
1.5. Расширенный регулятор с памятью
1.6. Слежение за заданным значением выхода
1.7. Интегральная обратная связь в непрерывных системах
Глава II. СИНТЕЗ МАЛОЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ И САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ
2.1. Компенсация неизмеряемых возмущений на входе объекта управления
2.2. Синтез систем, малочувствительных к ошибкам измерения
2,3. Синтез систем с минимальной чувствительностью полюсов
2.4. Системы с неполной информацией о модели объекта управления
2.5. Условия идентифицируемости
Глава III. ПРИМЕНЕНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ С ПАМЯТЬЮ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ
3.1. Описание объекта управления
3.2. Постановка задачи управления
3.3. Примеры расчета регуляторов с памятью и анализ результатов моделирования .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
- Основные обозначения и вспомогательные утверждения
- Компенсация неизмеряемых возмущений на входе объекта управления
- Описание объекта управления
Введение к работе
Тема диссертации относится к теории модального управления -быстро развивающейся области современной теории линейных систем автоматического управления.
Первые работы по модальному управлению были посвящены решению задач синтеза реальных систем: химических и ядерных реакторов, летательных аппаратов и т.д. /39,44,72/. Начиная с 1967 г., после опубликования основополагающей работы М.Уонэма /87] задачам модального управления уделялось много внимания. Подробный обзор иностранной литературы до 1976 г. приводится в работе /2/. В последние годы также было опубликовано много работ. К сожалению, в отечественной литературе теории модального управления уделялось меньше внимания, чем в зарубежной. Из монографий, в которых обсуждаются вопросы модального управления, можно назвать [і, ІЗ, 16, 20, 32, 33, 50, 66 j. Многие важные задачи пока еще не получили удовлетворительного решения. К ним, в частности, относятся задачи управления системами с неполной информацией о состоянии и модели объекта управления. Именно такие системы рассматриваются в данной диссертации. Ниже приводится краткий обзор задач и методов теории модального управления.
В настоящее время под модальным управлением понимают размещение собственных чисел матрицы замкнутой системы или полюсов передаточной матрицы замкнутой системы в желаемые позиции на комплексной плоскости. Решая задачу модального управления, мы можем, например, сделать систему устойчивой, а также улучшить качество переходных процессов за счет размещения полюсов в желаемые позиции на комплексной плоскости /1б/.
Как правило, рассматривают линейные стационарные непрерывные системы, поведение которых описывается уравнениями ± =/?х+а7 (ол) J~ Jte, (0.2) где X - /? -мерный вектор состояния, /J - /77 -мерный вектор управления,^ - <1 -МерНЫЙ ВеКТОр ИЗМеряеМЫХ ПеремеННЫХ, /4 , / ,/7- постоянные матрицы соответствующих размеров. Обычно предполагается, что система является полностью управляемой и наблюдаемой, матрицы /В> и /7 полного ранга. Почти все результаты, полученные для непрерывных систем, справедливы и для дискретных, описываемых уравнениями х/*+//= 4x-/kJ+ г/А/, (о.з) JS//(/~ ^jr/kS- (0.4)
В теории модального управления рассматриваются также и нестационарные системы.
Важным свойством объекта управления является наличие информации о состоянии. Если вектор состояния полностью доступен измерению, то говорят о системе с полной информацией о состоянии. Если измеряется только некоторая линейная комбинация переменных состояния, причем ?а/7л;/у
Как уже было отмечено, задача модального управления может решаться в пространстве состояний как задача размещения собственных чисел матрицы замкнутой системы или в частотной области как задача размещения полюсов передаточной матрицы замкнутой системы. В первом случае говорят о методах пространства состояний, во втором - о частотных методах.
В случае систем с полной информацией о состоянии используется линейная обратная связь (ОС) по состоянию //= Х*Я? , где матрица обратной связи. Матрица обратной связи может быть полного и единичного ранга. Известны методы пространства состояний и частотные методы. Методы пространства состояний в свою очередь делятся на использующие каноническое представление системы и не использующие его.
Для систем с неполной информацией о состоянии применяется линейная обратная связь и динамическая обратная связь по измеряемым переменным. Динамическая обратная связь включает в себя наблюдатели и динамические компенсаторы. Обратная связь может быть полного и единичного ранга. Известны частотные методы и методы пространства состояний с применением канонических форм и без применения канонических форм.
Задача модального управления для стационарных систем с полной информацией о состоянии рассматривалась во многих работах /і, 6, 20, 32, 45, 49, 51, 59,, 62, 66, 87j. Основополагающим является результат М.Уонэма /877. В этой работе впервые было доказано, что все собственные числа матрицы замкнутой системы могут быть произвольно заданы тогда и только тогда, когда система управляема. Более простое доказательство этой теоремы приведено в /53/.
Решению задачи модального управления с помощью одноранговой обратной связи по состоянию посвящены работы /"45, 49, 53, 67, 69, 71, 87J . Известны работы, в которых матрица обратной связи определяется как решение некоторого линейного матричного уравнения /ЗІ, 62/. При этом используются канонические формы управляемых систем /бі/. Матрица обратной связи получается полного ранга. Без применения канонических форм матрица обратной связи полного ранга в пространстве состояний может быть найдена с помощью алгоритмов, описанных в/20, бб_/. Известно решение задачи и в час- тотной области /да/.
Как уже было отмечено, в случае систем с неполной информацией о состоянии используется линейная и динамическая обратная связь по измеряемым переменным. В отличие от обратной связи по состоянию при линейной обратной связи типа //= '/"V задача модального управления является существенно нелинейной. Попытки свести процедуру решения этой задачи к последовательности линейных задач типа систем линейных алгебраических уравнений приводят к тому, что удается разместить в заданные положения только часть собственных чисел. Так в/46Убыло показано, что если система управляема, то с собственных чисел матрицы замкнутой системы могут быть произвольно близко размещены к й заданным числам на комплексной плоскости.
Более общий результат был получен в работе /47J, где доказывается, что если система управляема и наблюдаема, то /я&х*//??, собственных чисел матрицы замкнутой системы могут быть произвольно близко размещены к такому же числу заданных значений. Аналогичные утверждения доказываются в /73, 8l/.
Первые наиболее интересные с практической точки зрения алгоритмы расчета линейной обратной связи были предложены в 1975 г. Так алгоритм, описанный в [чъ], позволяет разместить/н//?//? rfs-c-J/ полюсов замкнутой системы произвольно близко к такому же числу заданных значений на комплексной плоскости. Аналогичный результат доказан в /55, 56, 83І. Простой метод размещения /7?-*-полюсов предложен в Матрица обратной связи определяется в виде суммы двух матриц единичного ранга. Первая из них обеспечивает /?р- _/ желаемый полюс, вторая - дополнительна к ним Е полюсов.
Кронекеровское произведение матриц используется для решения задачи в /*63, бт/. Достаточно общий подход к решению задачи в пространстве состояний предложен в работе [ 64]» Матрица обратной
8 связи определяется из уравнения J-tSA7//- TWT~Jf (0.5) где V/ - фиксированная матрица с желаемыми собственным числами, а 7~ - произвольная невырожденная матрица. Применение канонической формы Луенб ерг ера [Ы] позволяет получить необходимые и достаточные условия, накладываемые на структуру ~J~ , при которых уравнение (0.5) имеет решение относительно F . Данный подход сводит нелинейную задачу размещения собственных чисел к совокупности систем линейных алгебраических уравнений.
В работе /30^/используется каноническая форма[90J управляемой системы. В данном случае задача сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой можно использовать известные численные методы.
В настоящее время не известно достаточно хорошего решения задачи модального управления для случая линейной обратной связи по измеряемым переменным. Все известные результаты формулируют только достаточные условия возможности желаемого размещения собственных чисел или полюсов. Причем эти условия являются грубыми и многие- реальные системы большой размерности им не удовлетворяют.
Преодолеть трудности, возникающие из-за неполноты информации о состоянии, позволяют динамические регуляторы. Наиболее изучены наблюдатели. Наблюдатель /I, 12у представляет собой дополнительную к объекту управления динамическую систему, которая дает л асимптотически сходящуюся оценку состояния jC Управление формируется в виде 11 = F'ЗС . При этом условий управляемости и наблюдаемости достаточно, чтобы произвольно разместить все собственные числа расширенной замкнутой системы. Основной не-
9 достаток наблюдателя заключается в следующем. Если наблюдатель сконструировать так, чтобы он обеспечивал быстро сходящуюся оценку состояния, то это может привести к перерегулированию в переходных процессах состояния. С другой стороны, при медленно сходящейся оценке состояния будет большим время переходных процессов [2 J.
Другой класс динамических регуляторов - динамические компенсаторы. Регуляторы с памятью, рассматриваемые в диссертации, относятся к этому классу. В отличие от наблюдателей,динамические компенсаторы не предусматривают построение оценки состояния.
В /Зб/был предложен динамический компенсатор, использующий производные вектора измеряемых переменных. Дополним уравнения системы (0.1)-(0.2) уравнением динамического регулятора порядка z Н zfs z < - ф ij/ //J- (0-6)
Здесь Z - вектор размера Л7, /?6~ , сгс - матрицы соответственно размеров /77х/7? и /7?х с . Управление положим равным //= 5Г . Подставим в (О.б) уравнение для^ . В результате получим = - G/At/'z . /=0 Введем новые переменные состояния и запишем уравнение расширенной замкнутой системы (0.7) %/>-/ ~^p , ~ В/36/была доказана Теорема ОЛ. Выбирая параметры динамического регулятора (0.6), можно произвольно разместить )Г=> +/77#ЗС///?/ собственных чисел системы (0.7), где
Заметим, что для реализации регулятора (0.6) необходимо вы-числять производные вектора измеряемых переменных I/ * =42,..../0/ что при больших уО не всегда возможно,
В /65 Убила рассмотрена пропорционально-дифференциальная обратная связь вида
Подставив это управление в (ОЛ), получим
Задача заключается в определении матриц /> и Or , при которых собственные числа // совпадают с желаемыми. В /65] предложен подход, позволяющий свести эту задачу к решению некоторого линейного матричного уравнения.
Наиболее интересным является динамический компенсатор, пред ложенный в работе Дополним уравнения объекта управления(0.1)-(0.2) уравнением компенсатора
Управление положим равным
Здесь матрицы имеют соответственно размеры />*/? , /? * с , /r?x z , /7?*/7 . Матрица расширенной замкнутой системы равна
У- & о а я
Задача заключается в определении матриц /%? Q /J при которых собственные числа совпадают с желаемыми.
Обозначим через о/ и ^ соответственно индексы управляемости и наблюдаемости системы (0.1)-(0.2)/ЗЗу. В /40і была доказана
Теорема 0.2. Если система управляема и наблюдаема, то все /7+уР собственных чисел матрицы У можно произвольно задать^ используя компенсатор порядка /э= /77//?
Аналогичный результат был получен в частотной области /"41 J.
Динамические компенсаторы заданной размерности рассматривались в работах /21, 36, 38.7. Компенсаторы пониженной размерности были предложены в /56, 75, 7б7.
При решении задачи модального управления может иметь место свобода в выборе коэффициентов обратной связи. Поэтому возможны постановки дополнительных задач синтеза, связанных с улучшением качества замкнутой системы. Например, можно сформулировать задачу минимизации нормы матрицы обратной связи /"31, 42/. Может быть также сформулирована задача минимизации квадратичного функционала качества при условии заданных собственных чисел матрицы замкнутой системы /7, 17, I9J. Здесь происходит слияние теории модального управления и теории оптимального управления линейными системами /iO, 14, 18 J. Метод улучшения модального управления для дискретных систем предложен в работе /бО 7.
Важным свойством системы является чувствительность ее характеристик к вариациям параметров объекта управления /27/. В теории модального управления естественно рассматривать чувствительность собственных чисел или полюсов замкнутой системы. Анализу чувствительности и синтезу малочувствительных систем посвящены работы /43, 52, 54, 58, 66, 70, 77, 78, 79, 80, 84J.
Очень большое внимание в теории управления уделяется системам с неполной информацией о модели объекта управления /28, 37_/. Однако в теории модального управления такие системы практически не рассматривались. Можно назвать, например, работы/85, 88, 89_/.
Известны работы, посвященные решению задачи модального управления для систем с запаздыванием /4, 57»
Целью данной диссертации является исследование с точки зрения модального управления регуляторов, которые мы в дальнейшем будем называть регуляторами с памятью. Для дискретных систем такие регуляторы имеют следующий вид U/xJ~ - 27 /J- l/A- i'J (0.8)
Л- я (7 '*/= - 2Г ///^- // 2Г A; it'//:-/-У/ <-9>
1=о (У /=0 Cv\ c. 0,1, Структурная схема дискретной системы с регулятором (0.8); S" - оператор задержки на единицу времени 1 to* і у(ю
Рис. 0.2. Структурная схема дискретной системы с регулятором (0.9); S' - оператор задержки на единицу времени
Аналогичные регуляторы могут быть построены и для непрерывных систем. Они представляют собой интегральную обратную связь по измеряемым переменным ~ ~" (0.10)
Я тУ >. &І+4 = <Я 7 /- o,Jf.,., />--/ (О.П) (0.12) и*-I! F: СГ/ - 2Г A; uf;(Г0 = и . &.^,_,rs . ~ v „_ / (0.13)
Основное внимание уделяется дискретным системам. Регуляторы (0.8),(0.9) просты с точки зрения их реализации на управляющей ЦВМ и в то же время существенно расширяют возможности обратной связи по измеряемым переменным по сравнению с управлением
Согласно описанной выше классификации регуляторы с памятью следует отнести к динамическим компенсаторам, они не требуют построения оценки состояния.
Задача модального управления в данной диссертации везде формулируется как задача желаемого размещения полюсов передаточной матрицы замкнутой системы.
Диссертация состоит из введения и трех глав. Все задачи решаются на единой методологии модального управления, разработанной в главе I, где решаются задачи желаемого размещения полюсов для линейных стационарных детерминированных систем. Глава П посвящена синтезу малочувствительных и самонастраивающихся систем. В главе Ш показывается возможность применения разработанных в диссертации методов для синтеза реальных многомерных систем. (0.14)
Основные обозначения и вспомогательные утверждения
В данной главе рассматриваются регуляторы с памятью для дискретных и непрерывных систем с неполной информацией о состоянии. Получены условия возможности желаемого размещения полюсов замкнутой системы и описаны алгоритмы расчета соответствующих коэффициентов обратной связи. С помощью методов модального управления решается задача слежения за заданным значением выхода.
Компенсация неизмеряемых возмущений на входе объекта управления
В данном параграфе решается задача компенсации влияния неизмеряемых постоянных возмущений на входе объекта управления на. выход системы. Рассматриваются дискретные и непрерывные системы.
Пусть поведение объекта управления описывается уравнениями где - неизмеряемое постоянное возмущение. Под выходом системы., как и ъ .1.6, будем понимать некоторую линейную комбинацию переменных состояния вида Задача заключается в том, чтобы выбрать управление в виде обратной связи по измеряемым переменным, при котором выход стремится к нулю при любом начальном состоянии системы и любом значении возмущения.
Описание объекта управления
В качестве объекта управления /3 7 имеем накат бумагоделательной машины, состоящий из двух валов и наматываемого рулона. Каждый из валов приводится в движение электродвигателем постоянного тока. Кинематическая схема наката представлена на рис, 3.1. Здесь 1,2 - несущие валы, 3 - наматываемый рулон, Ч - бумажное полотно, поступающее с натяжением J; Р , где ; удельное натяжение,- ширина полотна. Структурная схема электропривода наката представлена на рис. 3.2. Через U/ и иг обозначены управляющие сигналы ( В ) на входе первого и второго двигателей соответ;-ственно. Через uf/ и иУг - угловые скорости первого и второго вала, иУр - угловая скорость рулона (рад/с). Здесь: / х -коэффициент усиления тиристорного преобразователя, С - конструктивная постоянная электродвигателя (В.с), / 2 - приведенный коэффициент передачи якорьной цепи / //ott /3) , 7 - постоянная времени якорьной цепи ( С ) , JV - момент инерции несуще-, го вала, Jz " момент инерции рулона (кг.м ), й. - коэффициент пропорциональности между силой, передаваемой через контакт и упругим скольжением.
