Введение к работе
Актуальность темы. Термин «синхронизация» относится ко множеству явлений, встречающихся во всех областях естественных наук, техники и социальной жизни, явлений, которые кажутся совершенно различными, но, тем не менее, подчиняются универсальным закономерностям1.
Голландский ученый Христиаан Гюйгенс был, по всей видимости, первым исследователем, наблюдавшим и описавшим явление синхронизации еще в XVII столетии. В дальнейшем эффект синхронизации был обнаружен и изучен в различных устройствах (музыкальных инструментах, электронных генераторах, силовых электрических установках, лазерах, решетках джо-зефсоновских контактов и т.д.), ему было найдено множество различных применений в инженерном деле. В XX веке была создана ставшая классической теория синхронизации периодических колебаний, основные положения которой были сформулированы И.И. Блехманом.
В настоящее время «центр тяжести» исследований сместился в сторону изучения хаотических систем2. Впрочем, явление синхронизации автоколебаний в рамках классической теории синхронизации периодических колебаний по-прежнему привлекает особое внимание исследователей, что обусловлено важностью данного явления с точки зрения практических приложений. Так, большое значение имеет явление синхронизации мощных генераторов периодических колебаний слабым воздействием от внешнего высокостабильного генератора, что позволяет существенно улучшить их характеристики.
Настоящая диссертация касается прежде всего вопроса взаимной синхронизации двух автоколебательных систем, поскольку этот случай является наиболее универсальным. Система из двух слабонелинейных осцилляторов подробно изучена в работе D.G. Aronson3. В работах Д.А. Куликова изучается система из двух идентичных осцилляторов. Наконец, В.В. Стрыгин и Г.Ю. Северин вывели и исследовали более широкий класс динамических систем, представляющих собой два слабо связанных абстрактных генератора колебаний общего вида, с тем лишь исключением, что на правые части рассматриваемых уравнений наложены определенные ограничения.
'Пиковский А.С. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление / А.С. Пиковский, М.Г. Розен-блюм, Ю. Курте. — М. : Техносфера, 2003
2Анищенко B.C. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуации / B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова. — Долгопрудный : Интеллект, 2009
3Aronson D.G. Amplitude response of coupled oscillators / D.G. Aronson, G.B. Ermentrout, N. Kopell // Physica D : Nonlinear Phenomena. - 1990. - Vol. 41, No. 3. - P. 403-449
В настоящей диссертации проведено исследование явления взаимной синхронизации двух слабо связанных автоколебательных систем в общем случае, когда на коэффициенты правых частей рассматриваемых уравнений не наложены никакие дополнительные условия (кроме, естественно, условия возникновения автоколебаний в каждой из парциальных систем). Исследуются условия, при которых имеет место фазовая синхронизация, т.е. устанавливаются взаимоотношения между фазами взаимодействующих систем.
Принцип фазовой синхронизации широко распространен в современной технике и реализуется в работе систем самой различной природы. В данной работе преобразование фаз осуществляется за счет слабой связи между системами. Особый интерес здесь представляет вопрос о возможности взаимной синхронизации автоколебательных систем с заданной наперед разностью фаз.
Необходимость решения указанных проблем определяет актуальность развития асимптотических методов теории нелинейных колебаний и их применение к исследованию явления синхронизации.
Цель работы: разработка универсального метода, позволяющего получить достаточные условия взаимной синхронизации малых автоколебаний двух слабо связанных динамических систем общего вида. Требуется получить условия, зависящие от коэффициентов, отвечающих за связи между парциальными системами, чтобы эффекта синхронизации можно было достичь для двух произвольных динамических систем путем выбора связей.
Методы исследования. Для сведения исходной (п + ш + 4)-мерной системы дифференциальных уравнений к четырехмерной использован метод интегральных многообразий. Асимптотическое приближение 27Г-ПЄрИОДИЧЄСКОГО решения системы на многообразии ищется с помощью метода Пуанкаре, разработанного И.Г. Малкиным для нелинейных систем общего вида. Для исследования устойчивости 27г-периодического решения используется метод Боголюбова - Штокало, а также критерий Рауса - Гурвица.
Численные расчеты проведены в пакете символьных вычислений Maple 12.
Научная новизна работы заключается в том, что предложен новый математический аппарат исследования задачи о синхронизации автоколебательных систем с близкими частотами. Разработан метод, позволяющий для рассматриваемого класса сложных систем получить достаточные условия синхронизации малых автоколебаний с любой наперед заданной разностью фаз. Предложенный подход не предполагает никаких дополнительных ограничений на коэффициенты парциальных систем (за исключением условий возникновения автоколебаний в каждой из них).
Практическая ценность работы. Полученные в данной работе результаты могут быть использованы при решении различных прикладных задач из таких областей, как механика, радиоэлектроника, связь, лазерная физика.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
Класс сложных систем, в которых возможно возникновение синхронных автоколебаний.
Определение синхронизации малых автоколебаний для данного класса сложных систем.
Универсальный метод, позволяющий получить условия, при которых в исследуемой системе возникают синхронные автоколебания с любой заданной наперед разностью фаз, а также исследовать многие другие задачи, касающиеся теории синхронизации малых автоколебаний.
Достаточные условия возникновения синхронных автоколебаний (в фазе и в противофазе)
для случая двух близких динамических систем (теорема 2);
для случая двух идентичных динамических систем (теорема 3);
для случая двух динамических систем с произвольными коэффициентами, но близкими частотами (теорема 4).
Личный вклад автора. Постановка задач и определение направлений исследований выполнены научным руководителем. Выбор методов, используемых при решении поставленных задач, осуществлялся совместно автором и научным руководителем. В частности, лично автором была предложена идея поиска приближенного 27г-периодического решения системы на многообразии с целью дальнейшего его исследования на устойчивость. Рассматриваемые приложения были предложены лично автором. Подробное проведение рассуждений и доказательств, а также все аналитические и численные расчеты выполнены лично автором.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на
X Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 3-6 июня 2008 г.;
Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 27 января - 2 февраля 2009 г.;
Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 22-24 июня 2009 г.;
XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 1-4 июня 2010 г.;
Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 20-22 сентября 2010 г.;
семинаре Кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета, Воронеж, 7 декабря 2010 г.;
Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 25 января - 1 февраля 2011 г.
семинаре Лаборатории адаптивных и робастных систем управления им. Я.З. Цыпкина Института Проблем Управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва, 5 апреля 2011 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано девять научных работ, в том числе одна статья в журнале, рекомендованном ВАК РФ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 78 наименований. Объем диссертации составляет 104 страницы текста, включая 11 рисунков.
